(完整版)量子力学总结
量子力学总结
3.粒子在全空间出现的几率（归一化） ：
则： 4. ，描写的是同一态 6. 归一化波函数 令： 则：
为归一化条件 满足上式的波函数称为归一化波函数，使 变为 注意： 的常数称为 称为归一化常数。
1）.波函数在归一化后也还不是完全确定的，还存在一个相因子 2）.不是所有的波函数都可按上述归一化条件求一化，即要求 意义。 例如：自由粒子的波函数 注意：波函数是时间位置的函数，即 ，
二十、几个重要的守恒量
1、能量守恒 若体系的哈密顿算符不显含时间：
2、动量守恒：
3、角动量守恒：
4、宇称守恒：
（偶宇称） （奇宇称） 第四章 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式成为表象
一、平均值公式
代入平均值公式：
上式写成矩阵相乘形式为：
或者简写为：
二、本征方程
久期方程：
它是
的多次方程，解之可得到一组
1.质量密度： 2.质量流密度： 3.质量守恒定律：
4.电荷守恒定律：
其中： 十三、波函数的标准条件：单值，有限，连续 十四、定态： 定态波函数： 定态的特点： 1、粒子的几率密度和几率流密度与时间无关
2、∵ 显然， 3、能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证） 4、各力学量的平均值不随时间变化 十五、哈密顿算符的本征方程： （ 被称为算符 的本征值， 十六、一维谐振子的能量可能取值为： 称为算符的本征方程）
n m m
变换矩阵 S 的一个基本性质：
k
~ * ( S S ) ( S )k S k ( S * )k S k S k S k
k | * k |
k
k
| k k |
量子力学知识总结
量子力学基础知识总结一．微观粒子的运动特征1.黑体辐射和能量量子化黑体：一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体普朗克提出能量量子化假设：定温下黑体辐射能量只与辐射频率有关，频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能是hν的整数倍，称为能量量子化。
2.光电效应与光子学说爱因斯坦将能量量子化概念用于电磁辐射，并用以解释光电效应。
其提出了光子学说，圆满解释了光电效应。
光子学说内容：①光是一束光子流，每一种频率的的光的能量都有一个最小单位，称为光子光子能量ε＝hν/c②光子质量m＝hν/c2③光子动量p=mc=hν/c= h/λ④光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
光电效应： hν＝W+EK ＝hν+21mv2,W为脱出功,Ek为光电子的动能。
3.实物微粒的波粒二象性德布罗意提出实物微粒也具有波性：E＝hν p＝h/λ德布罗意波长：λ=h/p=h/(mv)4. 测不准原理：∆x∆x p≥h∆y∆py ≥h∆z∆py≥h∆tE≥h二、量子力学基本假设1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。
这一函数称为波函数或态函数，简称态。
不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。
在本课程中主要讨论定态波函数。
由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。
在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。
对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。
波函数ψ可以是复函数，合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。
2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。
第一章量子力学基础知识总结
第一章量子力学基础知识总结微观粒子的运动特征1.黑体辐射和能量量子化●黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。
●黑体辐射的能量量子化公式:●普朗克常数(h=6.626×10-34 J·s)2.光电效应和光子学说●只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子。
●不同金属的临阈频率不同。
●随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
●增加光的频率，光电子的动能也随之增加●式中h为Planck常数，ν为光子的频率●m = h ／c2所以不同频率的光子有不同的质量。
●光子具有一定的动量(p)P = mc = h /c = h／λ●光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
Ek = h －W3.实物微粒的波力二项性● E = h v , p = h / λ●光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为波粒二象性4.不确定度关系●具有波动性的粒子其位置偏差(△x )和动量偏差(△p )的积恒定.，有以下关系:量子力学基本假设1、波函数和微观粒子的状态●波函数ψ和微观粒子的状态●合格波函数的条件2、物理量和算符●算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。
如：sin，log等。
线性算符：Â( 1＋ 2)＝Â 1＋Â 2自轭算符：∫ 1*Â 1 d ＝∫ 1(Â 1 )*d 或∫ 1*Â 2 d ＝∫2(Â 1 )*d3、本征态、本征值和Schrödinger方程●A的本征方程Aψ= aψa 称为力学量算符 A 的本征值，ψ称为A的本征态或本征波函数，4、态叠加原理●若 1， 2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。
5、Pauli(泡利)原理●在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。
量子力学知识点总结
v
2mx
1.05 1034 2 9.1 1031 1010
0.6106 m/s
按经典力学计算
v2 m
r
k
e2 r2
v
ke2 mr
9109 (1.6 1019 )2 9.11031 0.5 1010
2.2106m/s
速度与其不确定度 同数量级。可见，对原 子内的电子，谈论其速 度没有意义，描述其运 动必须抛弃轨道概念， 代之以电子云图象。
Eˆ i 哈密顿算符 t
pˆ x
i
Hˆ
x
2
xˆ x 2 U
定态薛定谔方程（一维）
条件：U=U(x,y,z)
不随时间变化。
2 2m
2m 2Ψ x2 U( x)Ψ
i Ψ t
一般薛定谔方程（三维） 2 2 U i
2m
5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？
(2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？
(3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角 动量。
答：(1) 4 个量子数包括： ➢ 主量子数 n， n = 1, 2, 3,… ➢ 角量子数 l， l = 0, 1, 2,…, n-1 ➢ 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, …, l ➢ 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2
处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。
因此波函数 y 又叫概率幅。
六、不确定关系
位置动量不确定关系： xpx / 2 能量时间不确定关系： Et / 2
量子力学内容总结
解：(1) hν = hc / λ = 2.86eV
(2) 由于此谱线是巴耳末线系，其 k =2
由 E1 = -13.6 eV
E2 =E1 / 22 =−3.4 En = E1 / n2 = EK +hν
n=
E1 = 5
E2 + hν
(3) 可发射四个线系，共有10条谱线．见图 波长最短的是由n =5跃迁到n =1的谱线．
示．描写粒子状态的波函数为 ψ = cx(l − x)，其中c为待定常
0
1 3
l
x l
量．求在0~ l / 3 区间发现该粒
子的概率 ． l
解：由波函数的性质得 ∫ ψ 2 d x =1
l
0
∫ 即 c 2 x 2(l − x)2 d x = 1
0
由此解得 c = 30 /l /l 2
c2 = 30 /l 5
E = hν
粒子性
p= h λ
描述光的 波动性
四 氢原子光谱公式
波数
σ
= 1 = R( 1 − 1 )
λ
n n 2
2
f
i
nf = 1,2,3,4,L, ni = nf +1, nf + 2,nf + 3,L
里德伯常量 R = 1.09737×107 m−1
五 玻尔的氢原子能级公式
E1
=
−
me
8ε
2 0
(普朗克常量 h =6.63× 10－34 J·s)
39. 氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到能量为－3.4
e V的状态时 ，所发射的光子能量是__2_.5_5__e V，这是电
量子力学总结
2个费米子
A k1k2
q1,q2
12k1
q1k2
q2k1
q2k2
q1
Quantum Mechanics
1 k1 q1 k1 q2 2k2 q1 k2 q2
2个玻色子
s k1k2
q1,q2
cn 2an
A (rv)(rv)drv n cn2
n
对于归一的波函数此项为一。
Quantum Mechanics
矩阵表示
A
a1
c1
b1
d1
A ac11
b1 d1
*
a1 c1
db1112an12
A
n
Quantum Mechanics
解存在的条件
久期方程
a1 an
b 0
c d1 an
给出 a n ，一般是多值。 对应不同本征值 a n 代入本征方程中，在考虑归一化条件，
A B A B 1 [A ,B ] 1[A ,B ]
2
2
Quantum Mechanics
2、量子力学基本原理： （1）状态→数学上用波函数描述，波函数是
(r,t)的函数，
是希尔伯特空间中的矢量。
波函数满足标准化条件：单值、连续、有限（或平方可积）。
波函数|ψ(x,t)|2才有物理意义，解释为概率密度。 在t时刻，在x--x+dx区域发现粒子的概率：dp=|ψ(x,t)|2 dx
a* c* a b b* d* c d
Quantum Mechanics
② AB C C B A
③ 本征值为一些实数， ④ 计算的常用基本公式
也是体系中测量这些力学量得 到的测量值
[xi, pˆj ]iij (i, j 1,2,3)
量子力学课程总结
量子力学课程总结简介量子力学作为现代物理学的基石，对于理解微观世界中的粒子行为起着至关重要的作用。
本文将对量子力学课程进行总结，深入探讨量子力学的基本原理、数学形式以及一些经典实验与现象的量子解释。
通过这门课程的学习，我对量子世界有了更深入的了解，并且对于量子力学的应用也有了一定的认识。
量子力学基本原理波粒二象性量子力学的基本原理之一是波粒二象性。
根据量子力学理论，微观物体既可以表现出波的性质，又可以表现出粒子的性质。
这一观念颠覆了我们对自然界的认识，代表性实验是双缝干涉实验，通过对电子或光子的干涉实验观察到的干涉条纹，验证了物质或能量的波动性质。
不确定性原理量子力学的另一个基本原理是不确定性原理，由海森堡提出。
不确定性原理表明，在测量某个粒子的某个物理量时，无论采用什么样的实验手段，都无法同时准确测量出粒子的位置和动量，或者能量和时间的值。
这一原理对于我们认识到微观世界的局限性有着重要的意义。
波函数和量子态波函数是量子力学的核心概念，它用来描述微观粒子的量子态。
根据波函数的演化方程——薛定谔方程，我们可以确定一个粒子在任意时刻的量子态。
波函数通过对位置、动量、角动量等物理量的测量，给出了相应的概率密度分布，从而揭示了微观粒子的统计规律。
叠加原理和量子叠加态叠加原理是量子力学的重要原理之一。
它表明，当一个系统处于两个或多个互不干扰的状态时，该系统的总量子态是这些状态的叠加。
这一概念被广泛应用于量子计算、量子通信和量子模拟等领域。
量子叠加态的表达方式是态矢量，它可以用一个复数向量表示。
数学形式希尔伯特空间和算符希尔伯特空间是量子力学中描述量子态和物理量的数学框架。
它是一个无穷维度的线性向量空间，量子态用希尔伯特空间中的向量表示。
算符是希尔伯特空间中的线性算子，用来描述量子系统的物理量以及其演化。
常用的算符有位置算符、动量算符、角动量算符等。
薛定谔方程和定态解薛定谔方程是量子力学中描述物体运动的基本方程。
(完整word版)量子力学知识点总结,推荐文档
1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。
这种电子称之为光电子。
2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。
按照这种解释，描写粒子的波是几率波7波函数的归一化条件 1),,,( 2⎰∞=ψτd t z y x8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。
定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。
⑵粒子几率流密度不随时间改变。
⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
10厄密算符的定义：如果算符F ˆ满足下列等式() ˆ ˆdx F dx Fφψφψ**⎰⎰=，则称F ˆ为厄密算符。
式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。
11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。
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量子力学总结第一部分 量子力学基础（概念）量子概念所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。
描述对象：微观粒子微观特征量以原子中电子的特征量为例估算如下：○1“精细结构常数”（电磁作用常数），1371~10297.732-⨯==c e α○2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~0224222==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即：数10eV 数量级○3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~220mea =Å，一般原子的半径1Å○4速率：26~~ 2.210/137e c V c m s c ⋅-⨯ ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期秒1600105.1~2~-⨯v at π秒角频率160102.4~~⨯a vc ω，即每秒绕轨道转1016圈（电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ）○6角动量：=⋅⋅2220~~em me mv a J基本概念：1、光电效应2、康普顿效应3、原子结构的波尔理论波尔2个假设：定态轨道定态跃迁4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。
Ph =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。
称Ph h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。
说明其物理意义。
答：动量v p μ=波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--⨯=⨯⨯===μλ晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。
5、波粒二象性（1）电子衍射实验1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ00.167nm 2kh h p m E λ=== 汤姆逊（G ·P ·Thomson ）用高速电子穿过金属衍进行实验，也获得了电子衍射的图样。
如错误!未找到引用源。
是电子在Au 多晶的衍射图样。
（2）电子干涉实验干涉实验说明：◆大量电子的一次性行为与单个电子的多次性行为表现出同样的波动性。
◆干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。
结论：◆干涉、衍射现象是波动本质的体现，波动是无条件的，干涉、衍射现象的观测是有条件的。
◆干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。
◆粒子的波粒二象性，从量子观点看，所谓粒子性是它具有质量、能量、动量等粒子属性。
所谓波动性是指其具有频率、波长，在一定条件下，可观察出干涉和衍射，波和粒子性是物质同时具有的两个属性（但是不能同时观测），如同硬币的两面。
备注：宏观粒子（如子弹）仍然具有波动的属性（“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动），但是，观察不到干涉现象。
6、波函数及波函数的统计诠释（1）波函数：表示一个体系的粒子状态，即用粒子坐标和时间为变量的波函数作为体系粒子状态全面的数学描述。
（2）几率密度|ψ|2：解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率（或在一定空间间隔内的几率密度）（3）几率|ψ|2d τ：空间d τ体积内的几率备注：波函数的统计诠释：|E|2解释为“光子密度的几率量度”首先考察光的双缝干涉图样。
由波动图像，屏幕上某点的强度I 由下式给出20||I c ε=E (2-13)式中：E 为该点的电场强度；ε0为真空介电常数；c 为光速。
另一方面，由光子图像，屏幕上一点的强度为I hvN =式中：hv 是一个光子的能量；N 为打在屏幕上该点的光子通量（单位时间通过单位面积的光子数），虽然单个光子到达屏幕什么地方无法预测，但亮带光子到达的几率大，暗带光子到达的几率小，在屏幕上一点的光子通量N ，便是该点附近发现光子几率的一个量度。
因为20||I c hvN ε==E ，所以2||N ∝E上式说明，在某处发现一个光子的几率与光波的电场强度的平方成正比。
这就是爱因斯坦早在1907年对光辐射的量子统计解释。
|ψ|2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率由于电子也产生类似的干涉条纹，几率大的地方，出现的电子多，形成明条波；在几率小的地方，出现的电子少，形成暗条纹。
与爱因斯坦把|E|2解释为“光子密度的几率量度”相似，玻恩把|ψ|2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率。
玻恩指出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波确定的几率”。
玻恩由此获得了1954年诺贝尔物理奖。
（4）微观物体任意运动状态（任意态）的描述（非定态波函数）及普遍物理诠释按照态迭加原理，非征态ψ可以表示成本征态的迭加： n n C ψψ=∑2||n C ∑代表总的几率，可见2||n C 就是ψ态中本征态ψn 的相对强度（成分），也就是ψ态部分地处于ψn 的相对几率。
2||n C ＝在态ψ中力学量F 的取值λn 的几率，这就是对波函数ψ的普遍物理诠释。
备注：可以认为ψ是部分地处于ψ1，部分地处于ψ2，因此F 的取值可以是λ1，也可以是λ2……总之，只要n n C ψψ=∑中存在ψn 项，相对应的本征值λn 就是F 的一个取值。
由（4-22）式C n 的公式知*n n C d ψψτ=⎰对（4-21）取共轭后：***n n C ψψ=∑（4-23）（4-21）与（4-23）相乘，再积分*****2||n n m m n m nm n n n n m n m n nd d C C C C C C C ψψττψψδ====∑∑∑∑∑∑⎰⎰（本征态的正交归一性*n m nm d ψψτδ=⎰）如果ψ是归一化的，即*1d ψψτ=⎰，则2||1n C =∑ （4-24） 如果ψ没有归一化，则2*||1n n C d ψψτ=∑⎰ （4-25）由（4-24）式和（4-25）式得出2||n C ∑代表总的几率，可见2||n C 就是ψ态中本征态ψn 的相对强度（成分），也就是ψ态部分地处于ψn 的相对几率。
2||n C ＝在态ψ中力学量F 的取值λn 的几率，这就是对波函数ψ的普遍物理诠释。
7、波函数的性质波函数及其一次微商在全部分布空间中都必须有限，单值、连续的，平方可积。
◆ “有限”的要求是从波函数的几率诠释产生出来的，因为，ψ*ψ代表几率，而几率总是有限的。
◆ “单值”是从波函数作为状态的全面 数学描述提出的要求，如果波函数“连续”的要求是多值函数，状态性质就无法确定了。
◆ “连续”可以从定态一维薛定谔方式：ψψψE x V dx d m =+-)(2222 中直接得出，则上式变为：ψψ])([2222E x V m dx d -= ，积分一次⎰-=dx E V m dx d ψψ)(22 不管被积函数（V-E ）ψ是否连续，（有时V(x)不连续，在个别点有跃变），只要它是有限的，则其积分总是连续的，因此dx d ψ是连续的。
◆ “平方可积”：为了计算方便，常引入一些不是平方可积的波函数（相当于粒子运动范围实际上没有限制，粒子可以达无限远处），这时只要作合理数学处理，仍可用⎰=有限值τψd 2||，归一化几率。
8、波函数的叠加原理从经典物理中波的概念知，波具有干涉、衍射现象，满足叠加原理，微观粒子具有波粒二象性，即具有波动的特性，因此，微观粒子的波函数也同样具有叠加性，称之为态叠加原理。
叠迭加性表现在：任何一个态（波函数ψ）总可以看成是由其他某些态（ψ1，ψ2……）线性叠加而成：ψ＝C 1ψ1+C 2ψ2+……C 1，C 2……为复数如果波函数ψ1，ψ2，…是可以实现的态时，则它们的线性叠加式∑=n n nC ψψ总是一个可以实现的态。
当粒子处于叠加态ψ时，可以认为它是部分地处于ψ1态，部分地处于ψ2态，……部分地处于ψn 态.9、几率密度与几率流密度几率密度w ：2),(),(t r t r w ψ= （2-17） 几率流密度)(2**ψψψψ∇-∇-=m i j 0=⋅∇+∂∂j w t（2-22） 几率连续性方程，其积分形式为 ⎰⎰⎰⋅-=∂∂S V dS j wd t s τ （2-23） j 的物理意义：（几率流密度）（2-23）式中：左边代表在封闭区域V s 中找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增量，右边（注意符号!）内通过则应代表单位时间V s的封闭表面S 而流入V s 的内的几率（粒子数），所以j 具有几率流（粒子流）密度的意义，是一个矢量。
这个表达式的物理意义是十分清楚的，即单位时间内空间某一区域V s 中增加的几率等于该区域边界流入的几率。
9、定态（几率）、束缚态（波函数为零）、本征态 10、本征方程、本征函数、本征值 11、算符的对易性12、常用力学量算符（能量E it∂=∂、哈密顿算符22()2H V r m=-∇+、动量P i →-∇、动能222T m→∇、势能()()V r V r →、坐标r r →、角动量、角动量z 轴分量），，，13、力学量算符的性质（线性、厄米） 14、线性算符的性质 15、厄米算符的性质(1)、厄米量算符的本征值为实数(2)、厄米量算符不同本征值对应的本征函数正交，归一。
(3)、厄米算符在一定条件下，厄米算符的本征函数组成完备系。
13、14、15结论：(1)、力学量算符的本征值为实数(2)、力学量算符不同本征值对应的本征函数正交，归一。
(3)、在一定条件下，力学量算符的本征函数组成完备系。
16、隧道效益、塞曼效益、史塔克效益17、微扰的含义18、全同粒子、费米子、波色子、洪特法则、泡利不相容原理19、海森堡测不准关系（两个物理量同时测量测不准） 20、两个物理量同时测准的条件第二部 基本公式1、 薛定谔方程量子波动方程，称薛定谔方程。
三维情况：2222222x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂ 称拉普拉斯算符定义： 22ˆ()2h H V r m=-∇+ 称为哈密顿算符 三维薛定谔方程：22[(,)]2h ih V r t t m ψψ∂=-∇+∂ˆih H t ψψ∂=∂ 2、定态薛定谔方程在势能项V 中不含时间t 时，哈密顿算符ˆH也不显含时间。