2019年高考理科数学全国I卷含答案

方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度 26cm 可估值为
5 1
头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 2 （
5 1 0.618
2
称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 42cm ；将人体的头顶至咽喉的
长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为 68cm ，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长
f (x) ，
∴ f (x) 为奇函数，排除 A，
又
f
(
)

2
sin 22
cos
2


2
2

4 2 2
0
，排除 C，
f
( )

sin
cos 2
1 2

0
，排除 B，故选 D.
6.答案：A
解答：
每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有 26 种，在 6 个位置上恰有 3 个是阳爻的情况有 C63 种，所以
A 1 A. 2 A
A2 1
B.
AA 1 1C.源自2AA 1 D. 1 2A
9.记 Sn 为等差数列an的前 n 项和.已知 S4 0 ， a5 5 ，则（
）
A. an 2n 5
B. an 3n 10
C. Sn 2n2 8n
D.
Sn

1 2
n2

2n
C. {x | 2 x 2}
D. {x | 2 x 3}
2.设复数 z 满足 z i 1， z 在复平面内对应的点为 (x, y) ，则（ ）
A. (x 1)2 y2 1
B. (x 1)2 y2 1
C. x2 ( y 1)2 1
D. x2 ( y 1)2 1
12. 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA PB PC ， ABC 是边长为 2 的正三 角形， E, F 分别是 PA ， AB 的中点， CEF 90 ，则球 O 的体积为（ ）
A. 8 6 B. 4 6 C. 2 6 D. 6
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠 治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0
分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮实验中甲药的得分记为 X ． （1）求 X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予 4 分， pi (i 0,1,,8) 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终
5.
函数
f
(x)

sin x x cos x x2
在[ , ] 的图像大致为（
）
A.
B. C.
D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分
为阳爻“
”和阴爻“
”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则
该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（
2
称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉
5 1
的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，
头顶至脖子下端的长度为 26cm ，则其身高可能是（ ） A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm
A= 1
2+
1 2+
1
选项 A 代入运算可得
2 ，满足条件，
A=2+ 1
2+ 1
选项 B 代入运算可得
2 ,不符合条件，
A 1 选项 C 代入运算可得 2 ,不符合条件，
A 1+ 1
选项 D 代入运算可得
4 ,不符合条件.
9.答案：A 解析：
依题意有

S4
a5

4a1 6d 0 a1 4d 5
17. ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .设 sin B sin C 2 sin2 A sin B sin C .
（1）求 A ； （2）若 2a b 2c ，求 sin C . 18.如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1 4, AB 2, BAD 60 ， E, M , N 分别是 BC, BB1, A1D 的中点. （1）证明： MN / / 平面 C 1 DE ； （2）求二面角 A MA1 N 的正弦值.
.
16.已知双曲线
C:
x2 a2

y2 b2
1(a

0,b
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，过 F1 的直线与 C
的
uuur uuur uuur uuur
两条渐近线分别交于 A, B 两点.若 F1A AB, F1B F2B 0 ，则 C 的离心率为
.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分）
(1)
f
(
x)
在区间
(1,
2
)
存在唯一极大值点；
(2) f (x) 有且仅有 2 个零点.
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验 方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只 施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的 白鼠多 4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实
2.答案：C 解答：
∵复数 z 在复平面内对应的点为 (x, y) ，
∴ z x yi
∴ x yi i 1
∴ x2 ( y 1)2 1
3.答案：B 解答：
由对数函数的图像可知： a log2 0.2 0 ；再有指数函数的图像可知： b 20.2 1，
0 c 0.20.3 1，于是可得到： a c b .
3.已知 a log2 0.2 ， b 20.2 ， c 0.20.3 ，则（
）
A. a b c B. a c b C. c a b D. b c a
5 1
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 2 （
5 1 0.618
4.答案：B
解答： 方法一：
设头顶处为点 A ，咽喉处为点 B ，脖子下端处为点 C ，肚脐处为点 D ，腿根处为点 E ，足底处为 F ，
5 1
BD t ， 2
，
根据题意可知
AB BD


,故
AB

t
；又
AD

AB

BD

(
1)t
，
AD DF


，故
DF

1t
；
h AD DF ( 1)2 t 5 1 0.618
认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0 0 ， p8 1， pi api1 bpi cpi1 (i 1, 2,, 7) ，其中
a P( X 1) ， b P( X 0) ， c P( X 1) ．假设 0.5 ， 0.8 ．
（i）证明： { pi1 pi}(i 0,1, 2,, 7) 为等比数列；
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）
理科数学
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1.已知集合 M {x | 4 x 2} ， N {x | x2 x 6 0}，则 M N （ ）
A.{x | 4 x 3}
B.{x | 4 x 2}
P C63 20 5 26 64 16 .
答案：
7.答案 B
解答：
设 a 与 b 的夹角为 ，
∵ (a b) b

2
(a b) b a b cos b
∴
=0
cos = 1
∴
2
= ∴ 3.
8.答案：A
解答： 把选项代入模拟运行很容易得出结论
5 1
度之比是 2 可计算出肚脐至足底的长度约为110 ；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加 即可得到身高约为178cm ，与答案175cm 更为接近，故选 B.
5.答案：D
解答：
∵
f (x)
sin x x cos x x2

sin x x cos x x2
）
5 A. 16
11 B. 32
21 C. 32
11
D. 16
7.
已知非零向量 a, b 满足
a

2
b
，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为（
）
A. 6
B. 3
2 C. 3
5 D. 6
1
2+ 1
2+ 1
8.右图是求
2 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
13.曲线 y 3(x2 x)ex 在点 (0, 0) 处的切线方程为
.
14.记
Sn
为等比数列
an

的前
n
a1
项和，若

1 3
，
a42