【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题3 基本初等函数(Ⅰ)课件
易错防范
案例
(2015· 安徽黄山第二次质检)若函数 f(x)的图象关于原 )
1 1 点成中心对称， 且当 x≥0 时， f(x)＝ x －m， 则 f(log52)＝( 5 ＋101 1 A. 101×102 1 C. 201×102 1 B. 102×103 1 D. 202×203
[易错分析]
1 [解析] 由题意可得，p＝f( ab)＝ln ab＝2(ln a＋ln b)，q＝ a＋b a＋b 1 1 f( 2 )＝ln 2 ，r＝2[f(a)＋f(b)]＝2(ln a＋ln b)，所以 p＝r；又因 a＋b 为 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时等号成立，故 2 ＞ ab，因为 a＋b f(x)＝ln x 为增函数，所以 f( 2 )＞f( ab)，因此 p＝r＜q.故本题 正确答案为 B.
一是不能依据所给条件判断函数的奇偶性， 依据
奇偶性求出 m 的值；二是不能利用对数恒等式求值．
[解答]
由 f(x)的图象关于原点成中心对称可得函数 f(x)是奇
1 1 1 函数， 所以 f(0)＝102－m＝0， 得 m＝102， 所以 f(log52)＝f(－log52) 1 1 1 1 1 ＝－f(log52)＝－( － )＝ － ＝ ，故选 5log52＋101 102 102 103 102×103 B.
走向高考 ·数学
高考二轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一部分
微专题强化练
第一部分 一 3 考点强化练
基本初等函数Ⅰ
1
考 向 分 析
3
强 化 训 练
2
考 题 引 路
4
易 错 防 范
考向分析
1.考查指数式、对数式的计算与求值或分段函数求值，一
般以选择、填空题呈现，难度为容易题． 2 ．“对数值”、“幂值”大小的比较，解含指数、对数
[警示] 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；纠错的方法一是注意函数性质中常用结论的记忆，例如 奇函数在 x＝0 时有意义，一定有 f(0)＝0，偶函数具有性质 f(x)＝ f(|x|)等．二解题速度．
式的不等式，一般以选择题、填空题方式呈现，主要考查幂、
指、对函数的单调性等，难度为容易题或中等题． 3 ．幂、指、对函数的图象变化规律，以识图、用图为主 要考查目标，难度为中等题或易题，难度较大的题有时也出． 重点考查数形结合与等价转换两种数学思想.
考题引路
考例 1
(2015· 陕西理，9)设 f(x)＝ln x,0<a<b，若 p＝f( ab)， )
a＋b 1 q＝f ，r＝2(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( 2
A．q＝r<p C．q＝r>p
B．p＝r<q D．p＝r>q
[ 立意与点拨 ]
考查对数函数、函数的性质与均值不等
式．解答本题先按对数的运算法则，将 p 、 q 、 r 变形，再结合 基本不等式与对数函数单调性作判断，也可以取特值检验． [答案] B
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习
方法二 对a分类讨论：
当
a>0
时，∵log2a>log
1 2
a，∴a>1.
当
a<0
时，∵log
1 2
(－a)>log2(－a)，∴0<－a<1，
∴－1<a<0，故选C.
答案 C
思维升华
(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之 一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨 论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. (2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的 单调性.
ax＋b 跟踪演练 2 (1)(2015·安徽)函数 f(x)＝x＋c2的图象如图所
示，则下列结论成立的是( ) A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
解 析 函 数 定 义 域 为 {x|x≠ － c} ， 结 合 图 象 知 － c>0 ，
a)≤2f(1)，则a的取
值范围是________.
解析 由题意知 a>0，又 log 1 a＝log2a－1＝－log2a. 2
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log1 a). 2
∵f(log2a)＋f(log 1 a)≤2f(1)， 2
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增. ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a∈12，2. 答案 [12，2]
高三数学二轮复习讲练测第1讲 集合及集合思想应用(讲+练)(原卷及答案)(新高考专用)(学生专用)
高三二轮复习讲练测第1讲集合及集合思想应用目录讲高考 (2)题型全归纳 (2)【题型一】集合中元素表示 (2)【题型二】集合元素个数 (3)【题型三】知识点交汇处的集合元素个数 (3)【题型四】由元素个数求参 (4)【题型五】子集关系求参 (5)【题型六】集合运算1：交集运算求参 (5)【题型七】集合运算2：并集运算求参 (6)【题型八】集合运算3：补集运算求参 (7)【题型九】应用韦恩图求解 (8)【题型十】集合中的新定义 (15)专题训练 (10)讲高考1.（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}- 2．（2021·北京·高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤3．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<4．（2021·全国·高考真题（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=（ ）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,45．（2007·全国·高考真题（文））已知集合{}cos sin ,02E θθθθπ=<≤≤∣，{}tan sin F θθθ=<∣，那么E F 为区间（ ）A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34π B ．π C ．2π D ．3π题型全归纳【题型一】集合中元素表示【讲题型】例题1：已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ）（1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）例题2、设集合{|24k M x x πππ+==-，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则（ ） A ．M NB ．M NC ．M N ⊆D ．M N1.以下四个写法中：① {}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆；③{}{}0,1,2,3=2,3,0,1；④A A ⋂∅=，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（ ）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤3.若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（ ） A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【题型二】集合元素个数【讲题型】例题1.已知集合11|3381x A x Z -⎧⎫=∈<≤⎨⎬⎩⎭，2|03x B x N x +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9例题2.，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =_______，则12310...A A A A ++++=_______．【练题型】1.若集合{}2N log 3A x x =∈<，{B x y ==，则A B 的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62.已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为 A ．3B ．4C ．6D ．93.集合{}2*|70,A x x x x =-<∈N ，则*6|,B y y A y N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型三】知识点交汇处的集合元素个数【讲题型】例题1.1.已知全集{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，集合S U ⊆，若S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =均对称，且(2,3)S ∈，则S 中的元素个数至少有A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个例题2.若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．41.设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( )A ．11B ．9C ．6D ．42.已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．303.若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=A ．50B ．100C ．150D ．200【题型四】由元素个数求参【讲题型】例题1.若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或4例题2.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥1.已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．0或2-C ．0或2D ．2 2.．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥3.如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定【题型五】子集关系求参【讲题型】例题1.已知集合{}(){}1,0A B x x x a ==-<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞ D ．()2,+∞ 例题2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A ．(],2-∞B ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1.若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（ ）A ．{}|27a a ≤≤B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅2. {}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3m <B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．23m <<3.已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ）A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，【题型六】集合运算1：交集运算求参【讲题型】例题1.已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若A B =∅，则实数=a （ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或1例题2.已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--1.已知集合{}12A x x =<<，集合{B x y =，若A B A =，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(]1,4C ．[)1,+∞D ．[)4,+∞2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．43.已知集合(){}22240,(1)2101x A x B x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞D ．[)2,+∞ 【题型七】集合运算2：并集运算求参【讲题型】例题1..已知{|A x y =，{}2|220B x x ax a =-++≤，若A B A ⋃=，那么实数a的取值范围是（ ）A ．(12)-，B ．182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．181,7⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦例题2.设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x ≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【练题型】1.设集合{}2|(3)30A x x a x a =-++=，{}2|540B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{0} B ．{03}，C ．{013,4}，， D ．{13,4}，2.非空集合{|03}A x N x =∈<<，2{|10,}B y N y my m R =∈-+<∈，A B A B =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．170,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦3．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【题型八】集合运算3：补集运算求参【讲题型】例题1.已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.例题2..已知集合1121A x R x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}2210B x R x a x a =∈---<，若()R A B =∅，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【讲技巧】补集运算：1.符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．2.图形语言：【练题型】1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}21,1,4A a =-，{}2,3UA a =+，则a 的值为（ ）A ．2±B ．C ．2-D ．22.已知全集{}22,4,U a =，集合{}4,3A a =+，{}1UA =，则a 的所有可能值形成的集合为（ ） A ．{}1- B ．{}1 C ．{}1,1-D ．∅3.已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题【题型九】应用韦恩图求解【讲题型】例题1.全集U =R ，集合04xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞例题2.已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,1【练题型】1.若全集U =R ，集合(){}|lg 6A x y x ==-，{}|21xB x =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．[)0,6D ．(],0-∞2.已知全集U R =，集合{}2313100M x x x =--<和{}2,N x x k k Z ==∈的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有交集运算韦恩图符号语言 Venn 图表示A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }补集运算韦恩图图形语言：A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个3.已知集合{|{||1|2}M x y N x x ==+≤，且 M 、M 都是全集 I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≤≤B ．{|31}z z -≤≤C ．{|3z z -≤<D ．{|1x x <≤【题型十】集合中的新定义【讲题型】例题1定义运算.()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧*=⎨-<⎩若{}()(){}221,2,20A B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =_______.例题2..对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【练题型】1.设A 、B 、C 是集合，称(,,)A B C 为有序三元组，如果集合A 、B 、C 满足||A B =||||1B C C A ==，且A B C =∅，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交（其中||S 表示集合S 中的元素个数），如集合{1,2}A =，{2,3}B =，{3,1}C =就是最小相交有序三元组，则由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________2.．集合{}6666,11135,2333,10,99111,1,198,1000,0,M π=---有10个元素，设M 的所有非空子集为()1,2,,1023i M i =⋅⋅⋅，每一个i M 中所有元素乘积为()1,2,,1023i m i =⋅⋅⋅，则1231023m m m m +++⋅⋅⋅+=_____.3.设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中：①{}0x x ∈≠Z ；②{},0x x x ∈≠R ；③1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ；④,1n x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 以0为聚点的集合有______．专题训练一、单选题1．已知集合{}N 23A x x =∈-<<，则集合A 的所有非空真子集的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．14D ．152．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4,5}3．如图，设U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）A ．()M P SB ．()U M P S ⋂⋂C ．()M P SD ．()U M P S ⋂⋃4．设集合P ，Q 都是实数集R 的子集，且()RP Q =∅，则P Q =（ ）A ．∅B ．RC ．QD ．P5．设集合{}2,,0A a a =-，{}2,4B =，若{}4A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．2或-4C ．2D ．-46．集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．113a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．113a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．{}10a a a <-≥或D ．10013a a a ⎧⎫-≤<<<⎨⎬⎩⎭或7．用()C A 表非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若{}(){}21,20A B x x x ax ==++=∣，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．98．已知集合{}12A x x =->，集合{}10B x mx =+<，若A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题9．若集合{}3|1A x x =-≤<，{}|B x x a =≤，且{|1}A B x x ⋃=<，则实数a 的取值范围为_________.10．已知A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{}222124a a a ，，且a 1＜a 2＜a 3＜a 4，其中ai ∈Z （i ＝1，2，3，4），若A ∩B ＝{a 2，a 3}，a 1+a 3＝0，且A ∪B 的所有元素之和为56，求a 3+a 4＝_____．11．已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.12．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤21}，集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai 的特征数，记为Xi （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为___．答案讲高考1.（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()UA B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-【答案】D【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以(){}U2,0A B ⋃=-.故选：D.2．（2021·北京·高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤ C ．{}|01x x ≤< D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤.故选：B.3．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<.故选：D.4．（2021·全国·高考真题（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()UM N ⋃=（ ）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5UM N =.故选：A.5．（2007·全国·高考真题（文））已知集合{}cos sin ,02E θθθθπ=<≤≤∣，{}tan sin F θθθ=<∣，那么EF 为区间（ ）A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合E ，F ，再利用交集的运算求解.【详解】∵5{cos sin ,02}44E πθθθθπθθπ⎧⎫=<≤≤=<<⎨⎬⎩⎭∣∣， {}tan sin ,2F k k k πθθθθπθππ⎧⎫=<=+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣，∴2EF πθθπ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣.故选：A.6．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34πB ．πC ．2πD ．3π【答案】B【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积. 【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23633BO =⨯=361226PO -=因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为2364136=>⨯，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π故选：B题型全归纳【题型一】集合中元素表示【讲题型】例题1：已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ） （1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅ A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（4） 【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断． 集合A 有两个元素：{}∅和∅， 故选：B 例题2、设集合{|24k M x x πππ+==-，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则（ ） A ．M N B ．M N C ．M N ⊆ D ．M N【答案】B【分析】对于集合N ，令2()k m m =∈Z 和21()k m m Z =-∈，即得解. 【详解】{|24k M x x ππ==+，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，对于集合N ，当2()k m m =∈Z 时，22m x ππ=+，m Z ∈；当21()k m m Z =-∈时，24m x ππ=+，m Z ∈．M N∴，故选：B ．1.以下四个写法中：① {}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆；③{}{}0,1,2,3=2,3,0,1；④A A ⋂∅=，正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C对于①，{}00,1,2∈正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以{}1,2∅⊆正确；对于③，根据集合的互异性可知{}{}0,1,2,3=2,3,0,1正确；对于④， A ∅=∅，所以A A⋂∅=不正确；四个写法中正确的个数有3个，故选C.2.下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（ ）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案. ①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确；{}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确；a 是{},,bc a 的元素，所以⑤正确.故选：A.3.若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（ ）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值.0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∴0a =或3a =均可以.故选：C【题型二】集合元素个数【讲题型】例题1.已知集合11|3381x A x Z -⎧⎫=∈<≤⎨⎬⎩⎭，2|03x B x N x +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【分析】解指数不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，由此求得集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数. 【详解】 由113381x -<≤得411333x --<≤，411x -<-≤，解得32x -<≤，所以{}2,1,0,1,2A =--.由203x x +<-解得23x -<<，所以{}1,0,1,2B =-.所以{}|,,z z xy x A y B =∈∈{}2,0,2,4,1,1,4=---，共有7个元素.故选：B. 例题2.，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =_______，则12310...A A A A ++++=_______． 【答案】11； 682． 【详解】 试题分析：当时，，，即，，由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，【练题型】1.若集合{}2N log 3A x x =∈<，{B x y ==，则A B 的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】分别求出集合,A B ，然后，由交集定义求得交集后可得元素个数．由题意得，{}{}081,2,3,4,5,6,7A x x =∈<<=N ，{}3B x x =≥，故{}3,4,5,6,7A B =，有5个元素. 故选：C2.已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据几何A 中的元素，可求得集合B 中的有序数对，即可求得B 中元素个数. 因为x A ∈，y A ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.3.集合{}2*|70,A x x x x =-<∈N ，则*6|,B y y A y N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D{}{}{}2**|70,|07,1,2,3,4,5,6A x x x x x x x =-<∈=<<∈=N N ,{}*6|,1,2,3,6B y y A y ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭N ,则B 中的元素个数为4个.本题选择D 选项.【题型三】知识点交汇处的集合元素个数【讲题型】例题1.1.已知全集{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，集合S U ⊆，若S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =均对称，且(2,3)S ∈，则S 中的元素个数至少有 A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个【答案】C求出点(2,3)关于原点、坐标轴、直线y x =的对称点，其中关于直线y x =对称点，再求它关于原点、坐标轴、直线y x =的对称点，开始重复了．从而可得点数的最小值． 因为(2,3)S ∈,S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =对称，所以(2,3),(2,3),(2,3),(3,2),(32),S S S S S --∈-∈-∈∈--∈，(32),S ∈，-(32),S -∈，所以S 中的元素个数至少有8个， 故选：C.例题2.若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】将1111=()i j i j AB A A A B B B ++代入11i j A B A B ⋅,结合111j A B A A ⊥和111j A B B B ⊥({}2,3,4j ∈)化简即可得出集合中元素的个数.①当11i j A B A B ≠时 正方体12341234A A A A B B B B -∴111j A B A A ⊥ 故:1110j A B A A ⋅=({}2,3,4j ∈)∴111j A B B B ⊥ 故:1110j A B B B ⋅= ({}2,3,4j ∈)1111()i j i j A B A A A B B B =++∴ 11111111()i j i j A B A B A B A A A B B B ⋅=⋅++2111111111j j A B A A A B A B B B =⋅++⋅={}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.②11=i j A B A B 时.2111111111i j x A B A B A B A B A B =⋅=⋅==此时{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.综上所述, {}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.故选:A.【讲技巧】集合知识点交汇处，多涉及到集合与函数，集合与向量，集合与数列，集合与立体几何，集合与圆锥曲线等等相关知识的综合应用。
【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练(含解析)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练（含解析）一、选择题1．(文)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 6C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a2a )，若△FAB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以1－a2a＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6，选B ．(理)(2014²中原名校联考)已知双曲线x 2a 2＋y 2b2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1 2的两部分，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．233C ． 5D ．52[答案] B[解析] 由条件知∠OAB ＝120°，从而∠BOA ＝30°，∴b a ＝33，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e 2＝43，∵e>1，∴e ＝233.[方法点拨] 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．直接法解答选择题是最基本的方法，用直接法解题的关键是掌握相关知识，熟练应用有关数学方法与技巧，准确把握题目的特点．平时应对基础知识、基本技能与方法强化记忆灵活应用．请练习下题：(2015²河南省高考适应性测试)已知椭圆C 1：x 217＋y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )A ．4B ．41313C ． 2D ．1＋52[答案] C[解析] 双曲线的一条渐近线方程为：y ＝b ax ，设它与椭圆C 1的交点为CD ，易得|CD |＝13|AB |＝2173， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 217＋y 2＝1.得：x 217＋b 2a2x 2＝1，x ＝±17a2a 2＋17b 2， ∴|CD |＝21＋b 2a2²17a2a 2＋17b 2＝217 a 2＋b 2a 2＋17b 2＝2173，整理得：a 2＝b 2，∴e ＝ 2.2．(2015²新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18[答案] C[解析] 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12，选C ．3．(文)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3 1B ．2 1C ．4 1D ．3 1[答案] B[解析] 将P ，Q 置于特殊位置：使P 与A 1重合，Q 与B 重合，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2 1.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．35B ．45 C ．34 D ．43 [答案] B[解析] 解法一：取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝45， 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.故选B ．[方法点拨] 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数、特殊图形．其解题原理是某个结论若对某范围内的一切情形都成立，则对该范围内的某个特殊情形一定成立．请练习下题：已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0[答案] D[解析] A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C 选项中，k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等，故选D ．[点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断，方便的获解，如果盲目从直线与椭圆相交求弦长，则费神耗力无收获．4．(文)A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，且A <B <C (C ≠π2)，则下列结论中一定正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cot A <cotC C ．tan A <tan CD ．cos A <cos C[答案] A[解析] 利用特殊情形，因为A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角，此时结论仍然正确．而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数，因此B 、C 、D 均可排除，故选A ．(理)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．1或－3[答案] D[解析] 令x ＝0，∴a 0＝1；令x ＝1，故(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 6，且因a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或－3.5．已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，排除B 、D ．又f ′(π6)＝12³π6－sin π6＝12³(π6－1)<0，排除C ，选A ．[方法点拨] 筛选法筛选法也叫排除法(淘汰法)，它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．6．(文)(2015²南昌市一模)给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32 ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．(理)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤[答案] D[解析] 对于⑤，由于众数为1，所以1在数据中，又极差≤1，∴最大数≤2，符合要求⑤正确；对于④，由于x ≤3，∴必有数据x 0≤3，又极差小于或等于2，∴最大数不超过5，④正确；当数据为0,3,3,3,6,3,3时，x ＝3，S 2＝187，满足x ≤3且S ≤2，但不合要求，③错，∴选D ．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1)C ．(－14，0)D ．(－14，0][答案] C[解析] 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图只需－14<m <0.[方法点拨] 数形结合法将所研究的问题转化为函数的图象或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合几何图形的直观特征得到正确选项的一种解题方法，其实质就是数形结合思想的运用．1．运用图解法解选择题是依靠图形的直观性进行分析的，因此要对有关的函数图象或几何图形较熟悉，作图尽可能准确才能作出正确的选择．2．讨论方程根的个数、函数的零点个数、函数图象交点个数，直线与圆锥曲线或圆锥曲线之间位置关系的题目，三角形解的讨论，立体几何中线面位置关系的判断，线性规划等等问题常借助图形处理．请练习下题：(2014²长春市三调)已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x <2x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0,5]C ． [0,5)D ． [53，5)[答案] C[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B (13，23)时，可知－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)，故选C ．8．(2015²辽宁葫芦岛市一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 作出可行域如图平移直线2x ＋y ＝0知，当z ＝2x ＋y 经过点A (－1，－1)时取得最小值，经过点B (2，－1)时取得最大值，∴m ＝2³2－1＝3，n ＝2³(－1)－1＝－3， ∴m －n ＝3－(－3)＝6.9．(2015²安徽文，10)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0[答案] A[解析] 令x ＝0⇒d >0，又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数f (x )的图象可知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，由图可知x 1>0，x 2>0，x 1<x 2，f ′(x )＝3a (x －x 1)(x －x 2)＝3ax 2－3a (x 1＋x 2)x ＋3ax 1x 2，当x ∈(－∞，x 1)时，f (x )单调递增，f ′(x )>0，∴a >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b <0，c >0.故A 正确．10．(文)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2＝( ) A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．－15D ．5[答案] D[解析] 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，因此tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1，因此排除A 、B 、C ，选D ．(理)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[答案] B[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．[方法点拨] 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解答比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化，几何体的表面积、体积等问题，常用此种方法确定选项．11．(文)(2014²石家庄市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )A ．a ，aB ．a ，a 2＋b 2C ．a 2，3a 2D ． a2，a[答案] A[解析] 如图，由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝|PC |＋|CF 1|，|PF 2|＝|PD |＋|DF 2|，又|CF 1|＝|F 1A |，|DF 2|＝|F 2A |，∴|PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2A |＝|OF 1|＋|OA |－(|OF 2|－|OA |)＝2|OA |＝2a ，∴|OA |＝a ，同理可求得|OB |＝a .(理)若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在[0，π2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．－3≤a <1C ．a <1D ．0<a <1[答案] A[解析] cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＝a ＋1，可设f (x )＝2sin(2x ＋π6)，g (x )＝a＋1，利用数形结合，如图所示，有1≤a ＋1<2，即0≤a <1，即可得出正确答案．故选A ．12．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A ．169πB ．83πC ．4πD ．649π[答案] D[解析] ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.13．(文)各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足：a n ＋2＝2a n ＋1＋a n ，b n ＋2＝b n ＋1＋2b n (n ∈N *)，那么( )A ．∀n ∈N *，a n >b n ⇒a n ＋1>b n ＋1 B ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n >b n C ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n ＝b n D ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n <b n [答案] B[解析] 特值排除法：取a 1＝1，a 2＝2；b 1＝12，b 2＝3，显然a 1>b 1但a 2<b 2，排除A ；当a 1＝1，a 2＝2，b 1＝1，b 2＝2时，a 3＝5，b 3＝4，a 4＝12，b 4＝8，排除C 、D ，故选B ．(理)已知0<a <b <c 且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log c n 是( )A ．成等比数列B ．成等差数列C ．即是等差数列又是等比数列D ．即不是等差数列又不是等比数列 [答案] D[解析] 方法1：可用特殊值法．令a ＝2，b ＝4，c ＝8，n ＝2，即可得出答案D 正确． 方法2：∵a 、b 、c 成等比数列， ∴可设b ＝aq ，c ＝aq 2.(q >1，a >0)则：log b n ＝log (aq )n ＝log a n 1＋log a q ，log c n ＝log (aq 2)n ＝log a n 1＋2log a q，可验证，log a n ，log b n ，log c n 既不是等差数列又不是等比数列．故选D ．14．(文)某兴趣小组野外露营，计划搭建一简易帐篷，关于帐篷的形状，有三人提出了三种方案，甲建议搭建如图①所示的帐篷；乙建议搭建如②所示的帐篷；丙建议搭建如③所示的帐篷．设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是α，则用料最省的一种建法是( )(四根立柱围成的面积相同)A ．①B ．②C ．③D ．都一样[答案] D[解析] 由于帐篷顶与水平面所成的角都是α，则不论哪种建法，顶部在地面的射影面积都相等，由S ＝S 射cos α得，不论哪种建法，所用料的面积都相等．(理)若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝(S M)nD ．P 2>(S M)n[答案] C[解析] 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M和P 2>(S M)n不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝(S M )n ，且P ≠SM，所以选项A 不正确．15．(文)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x <π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，f ′(0)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D ．(理)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[答案] D[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B ；当x ＝π时，y ＝－π，排除A ；当x ＝π2时，y ＝1，排除C ．16．(文)(2014²浙江理，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )[答案] D[解析] 本题考查幂函数和对数函数图象．选项A 没有幂函数图象．选项B 中y ＝x a(a ≥0)中a >1.y ＝log a x (x >0)中0<a <1.不符合．选项C 中y ＝x a(x ≥0)中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中a >1.不符合．选项D 中y ＝x a (x ≥a )中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中0<a <1，符合，选D ．(理)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] 由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负，由此可排除B 、C 、D ．[方法点拨] 解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧，以节省解题时间．解答选择题的总体策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．17．(2015²四川文，5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x[答案] B[解析] A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y ＝2sin (2x ＋π4)是非奇非偶函数．故正确答案为B ．。
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强专题14 直线与圆一、选择题1．(文)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A.2B.823833C.3 [答案] BD.[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a≠18，求得a＝－1，2∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝2231＋－1 82＝.故选B.3(理)已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 [答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y＋3＝0. [方法点拨] 1.两直线的位置关系B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝02222|6－312.与直线y＝kx＋b平行的直线设为y＝kx＋b1，垂直的直线设为y＝－＋m(k≠0)；k与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线设为Ax＋By＋C1＝0，垂直的直线设为Bx－Ay＋C1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2022年安徽文，8)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 C．－2或－12 [答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|＝1 b＝2或12，故选D. 3＋4B．2或－12 D．2或1222(理)(2022年辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)＋(y－1)＝2 B．(x－1)＋(y＋1)＝2 C．(x－1)＋(y－1)＝2 D．(x＋1)＋(y＋1)＝2 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直|2a||2a－4|线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得22得a＝1，∴r＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：dr 点在圆外，d＝r 点在圆上；dr 点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r(或0)作比较，大于r(或0)时，点在圆外；等于r(或0)时，点在圆上；小于r(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)与圆：(x－a)＋(y－b)＝r(r0)的位置关系如下表.2222222222222222关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2022年安徽文，6)过点P(3，－1)的直线l与圆x＋y ＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )πA. (0，]6πC. [0，]6[答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，ππ在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝，∠OPA66πB．(0，]3πD．[0，]322∴∠MPA＝，∵直线l倾斜角的范围是[0．33[方法点拨] 本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ0求出k的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2022年山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )53A3532B．－或－232254C45[答案] DD．－或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，∵光线与圆(x＋|－3k－2－2k－3|42223)＋(y－2)＝1相切，∴1，∴12k＋25k＋12＝0，解得kk＝3k2＋13－故选D. 44．(文)(2022年湖南文，6)若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y －6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 C．9 [答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C1：x＋y＝1，C2：(x－3)＋(y－4)＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，2222222B．19 D．－11r1＝1，r225－m，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系2(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝x上，且恒与定直线l相切，则直线l的4方程为( )A．x＝1 1C．y＝－32[答案] D[解析] ∵A(0,1)是抛物线x＝4y的焦点，又抛物线的准线为y ＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C21B．x＝32D．y＝－1与定直线l：y＝－1总相切．5．(文)(2022年哈三中一模)直线x＋y2＝0截圆x＋y＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.C.π 62π3B.D.π35π622[答案] D|2|[解析] 弦心距d＝1，半径r＝2，22π∴劣弧所对的圆心角为3(理)(2022年福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x＋y＝1相交于A，B两点，则“k1＝1”是“△OAB的面积为”的( )2A．充分而不必要条件C．充分必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝＝2|k|1＋k，11＋k222B．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件弦长为|AB|＝1－d21|k|1∴S△OAB＝|AB|d＝2，∴k＝±1，2k＋121因此当“k＝1”时，“S△OAB”，故充分性成立．21“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，2∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d＝r，而不使用Δ＝0.6．(2022年太原市一模)已知在圆x＋y－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5 C．15 [答案] DB．65 D．21522[解析] 圆的方程为(x－2)＋(y＋1)＝5，圆的最长弦AC为直径25；设圆心M(2，－1)，圆的最短弦BD⊥ME，∵ME＝2－1 ＋－1－0 ＝2，∴BD＝R－ME＝3，11故S四边形ABCD＝ACBD＝53＝215.227．(2022年重庆理，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 C．6 [答案] C[解析] 易知圆的标准方程C：(x－2)＋(y－1)＝4，圆心O(2,1)，又因为直线l：x＋ay－1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a＝－1，A(－4，－1)，又因为直线AB与圆相切，则△OAB为直角三角形，|OA|＝2＋4 ＋1＋1 ＝210，|OB|＝2，|AB|＝OA－OB＝6.8．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( ) A．1条C．3条[答案] D[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2022年江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )4A.π 5C．(6－25)π [答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB＝90°，∴原点O在⊙C 上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝4242R＝S＝πR＝π.选A.5553B. 45D. 4B．2条D．4条222222222222B．42 D．210(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a＋1＝0和圆：x＋y＋2x－4＝0相切，则222a的取值范围是( )A．a7或a－3 B．a6或a－6C．－3≤a66≤a≤7 D．a≥7或a椋3 [答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|525得－6a6，两条直线都和圆相离时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|52得a－3，或a7，所以两条直线和圆“相切”时a5的取值范围－3≤a≤－6或6≤a≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有：1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d＋r，最小值d－r(d是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d＋r，最小值r－d.3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d，直线与圆相离，则最大值d＋r，最小值d－r；直线与圆相交，则最大值d＋r，最小值0.4．P(x，y)为⊙O上一动点，求x、y的表达式(如x＋2y，x ＋y等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦长为3，则m＝________.[答案] 02222[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d|m ＋1|m＋1＝1，解得m＝0.1222(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA ＋sinB＝sinC，则直线2ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．[答案] 271222[解析] 由正弦定理得a＋b＝c，2∴圆心到直线距离d＝|c|a＋b22＝c2，12c2∴弦长l＝r－d＝29－2＝7.11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．222即|c|12＋522，解|c|13，∴－13c13.12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x＋y＋2ax＋ay＋2a＋a－1＝0相切，则实数a＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a＋a－1＝0，∴a＝－1或－2. 当a＝－1时，x＋y－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x＋y－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.三、解答题13．(2022年福建文，19)已知点F为抛物线E：y＝2px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. 22222222(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.2因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y＝4x.2(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由2p2y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0，211解得x＝2或x＝，从而B(2)．22又G(－1,0)，2－022－2－022所以kGA＝kGB＝＝－，2－－1 313－－1 2所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0.21 1 解得x＝2或x＝，从而B2 . 2 2又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋22＝0，|22＋22|42从而r＝ .8＋917又直线GB的方程为2x＋3y＋22＝0，2＋2|2所以点F到直线GB的距离d＝＝r.8＋917这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．14．(文)已知圆C：x＋y＝r(r0)经过点(13)．(1)求圆C的方程；→(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系OM1→3→＝＋(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存22在，请说明理由．[解析] (1)由圆C：x＋y＝r，再由点(13)在圆C上，得r＝1＋(3)＝4，所以圆C的方程为x＋y＝4.(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，y＝k x＋1 ＋1，联立22x＋y－4＝0.22222222222222消去y得，(1＋k)x＋2k(k＋1)x＋k＋2k－3＝0，2k k＋1 2－2k由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋221＋k1＋kk2＋2k－32k－4x1x2＝＝1＋221＋k1＋ky1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，因此，得x1＋y1＝4，x2＋y2＝4，3x1＋3x2y1＋3y2→1由OM＝＋得，x0＝，y0＝，222222222k＋42－3，1＋k由于点M也在圆C上，则(整理得2x21＋y1x1＋3x222y1＋3y22＝4，242x22＋y2433x1x2y1y2＝4，222k－42k＋4即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋(3)＝0，1＋k1＋k从而得，k－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为2y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.②若直线l的斜率不存在，－1－33－3则A(－1，3)，B(－1，－3)，M()－1323－32)＋)＝4－3≠4，22故点M不在圆上与题设矛盾，综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.(理)已知圆O：x＋y＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为2222椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a2，e＝2c＝1，2则b＝1，即椭圆C＋y＝1.21(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝2∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x. 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．x22∴kPQ＝－1，kOP＝1，∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，则y0＝2－x0，kPF＝22x0＋1kOQ＝－，x0＋1y0x0＋1x，y0y0∴直线OQ的方程为y＝－2x0＋2∴点Q(－2)，y0y0－∴kPQ＝22x0＋2y0x0＋2y20－2x0＋2x0＋2 y0－x0－2x0x0y0＝，又kOP＝x0＋2 y0y0x0∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ 始终与圆O相切．15．(文)(2022年石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C 的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得x2＋y－2 2＝y2＋4，化简得x＝4y.(2)解法一：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，y＝kx＋b22消去y得x－4kx－4b＝0.2x1＋x2＝4k设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＝－4b，且Δ＝16k＋16b211以点P为切点的切线的斜率为y′11，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，__即y＝1x－x1.24112同理过点Q的切线的方程为y＝x2x2.24两条切线的交点A(xA，yB)在直线x－y－2＝0上，x＋xx＝2k 2解得__12A12A2，即A(2k，－b)．则：2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k＋16b＝16k＋32－32k＝16(k－1)＋160，|PQ|1＋k|x1－x2|＝1＋k2222k2＋b，2|2k＋2b|A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝k2＋1S△APQ＝PD|d＝4|k2＋b|k2＋b＝4(k2＋b)3322＝4(k－2k＋2)＝4[(k－1)＋1].当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．解法二：设A(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x＝4y11上，则以点P为切点的切线的斜率为y11，其切线方程为y －y1＝x1(x－x1)，221即y＝1x－y1，21同理以点Q为切点的方程为y＝x2x－y2.21y＝__－y，2设两条切线均过点A(x，y)，则1y＝2__－y.1012021232点P，Q的坐标均满足方程y0＝__0－y，即直线PQ的方程为：y＝0x－y0，代入抛物线方程x＝4y消去y可得：21212x2－2x0x＋4y0＝0|PQ|＝1210|x1－x2| 41221＋x04x0－16y0 412|x0－2y0|2A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝12x0＋14S△APQ＝PQ|d＝x20－4y0x0－4y01212312＝(x0－4y0) 2 2331212＝(x0－4x0＋8) 2 ＝[(x0－2)＋4] 2 22当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．3(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲4线C.(1)求曲线C的方程；→→→→(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|OM－ON|＝|OM＋ON|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x，y)，3则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，4y3x≠±2)，x＋2x－24整理得曲线C＋＝1(x≠±2)．43→→→→→→(2)若|OM－ON|＝|OM＋ON|，则OM⊥ON. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．yx2y2x1y1→→y1－y1由OM⊥ON得＝－1，又＋1.x1x143解得直线MN方程为x＝±12.原点O到直线MN的距离d＝712. 722若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.y＝kx＋m 22由xy＋＝1 43得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0.222－8km4m－12∴x1＋x2＝2，x1x2＝2(*)4k＋34k＋3→→y1y222由OM⊥ON得＝－1，整理得(k＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝0.2x1x2代入(*)式解得7m＝12(k＋1)．此时(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0中Δ0. 此时原点O到直线MN的距离22222。
【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练(含解析)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练（含解析）一、选择题1．已知向量a 、b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°[答案] D[审题要点] 弄清问题、熟悉问题和转化问题 要求向量的夹角，可由cos θ＝a ² a ＋2b|a ||a ＋2b |求解，这是求向量夹角的常用方法，→由已知可求解a ²(a ＋2b )＝a 2＋2a ²b 的值． →由已知可求|a ＋2b |2＝a 2＋4a ²b ＋4b 2的值， 进而可求|a ＋2b |的值． →由上述步骤可求得cos θ＝a ² a ＋2b|a ||a ＋2b |的值．[解析] |a ＋2b |2＝4＋4＋4a ²b ＝8＋8cos60°＝12， ∴|a ＋2b |＝23，记向量a 与向量a ＋2b 的夹角为θ， 则a ²(a ＋2b )＝|a |²|a ＋2b |²cos θ ＝2³23cos θ＝43cos θ，又a ²(a ＋2b )＝a 2＋2a ²b ＝4＋4cos60°＝6， ∴43cos θ＝6，cos θ＝32， 又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，故选D ．2．(文)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2[答案] D[审题要点] 仔细观察会发现f (x )的表达式中“a sin x ＋bx ”有其特殊性，即g (x )＝a sin x ＋bx 为奇函数，这是本题审题第一关键要素，其实从f (1)与f (－1)的提示，也应考虑是否具有奇偶性可用，由此可知f (1)＋f (－1)＝2c ；再注意观察细节可以发现c ∈Z ，从而2c 为偶数．[解析] 令g (x )＝a sin x ＋bx ，则g (x )为奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)，∴f (x )＝g (x )＋c .∴f (1)＋f (－1)＝g (1)＋c ＋g (－1)＋c ＝2c ， ∵c ∈Z ，∴2c 为偶数， ∵1＋2＝3不是偶数，∴1和2一定不是f (1)与f (－1)的一组值，故选D ．(理)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][答案] C[审题要点] 求a 的取值范围，需解给出的不等式，条件中的单调递增为解不等式时脱去函数符号“f ”所备，f (x )为偶函数，为化不等式为f (x 1)≤f (x 2)型而准备．解题思路步骤为：由log 12a ＝－log 2a――→偶函数f log 2a ≤f 1――→单调递增|log 2a |≤1――→隐含a >0a 的范围[解析] 因为log 12a ＝－log 2a 且f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C ．[方法点拨] 注意发掘隐含条件有的题目条件不甚明显，而寓于概念、存于性质或含于图中，审题时，注意深入挖掘这些隐含条件和信息，就可避免因忽视隐含条件而出现的错误．3．(文)(2014²浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90cm 2B ．129cm 2C ．132cm 2D ．138cm 2[答案] D[审题要点]――→分析三视图组合体――→形状特征长方体和直三棱柱――→数据特征长方体的长、宽、高为4、6、3；直棱柱底面直角三角形两直角边长4、3，棱柱高为3――――――――――――→选择表面积公式或计算方法注意公共部分表面积 [解析] 由三视图知该几何体是一个直三棱柱与长方体的组合体，长方体长、宽、高分别为4cm,6cm,3cm ，直棱柱高为3cm ，底面为直角三角形，两直角边长为3cm 、4cm ，∴几何体的表面积为S ＝2³4³6＋2³3³4＋3³6＋3³3＋3³4＋3³5＋2³12³3³4＝138cm 2，选D ．(理)若函数 f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 、d ∈R )的图象如图所示，则a b c d ＝( )A ． 1 6 5 (－8)B ． 1 (－6) 5 (－8)C ． 1 (－6) 5 8D ． 1 6 5 8[答案] B[解析] ∵f (x )的图象以x ＝1和x ＝5为渐近线， ∴1和5是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝6，c a ＝5.∴c ＝5a ，b ＝－6a ；∵图象过点(3,2)，∴d9a ＋3b ＋c＝2，∴d ＝－8a ，∴a b c d ＝a (－6a ) (5a ) (－8a )＝1 (－6) 5 (－8)．[方法点拨] 注重挖掘图形信息：在一些高考数学试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势，抓住图形的特征，利用图形所提供的信息来解决问题．题目中未给出图形的，可画出图形，借助图形分析探寻解题途径．4．(文)(2014²福州市质检)函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x (x －π2)(x －3π2)[答案] C[解析] 注意到题中所给曲线关于原点对称，因此相应的函数是奇函数，选项D 不正确；对于A ，f ′(x )＝1＋cos x ≥0，因此函数f (x )＝x ＋sin x 是增函数，选项A 不正确；对于B ，由于f (x )的图象过原点，因此选项B 不正确．综上所述知选C ．(理)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A ．23B ．33C ．23D ．13[答案] A[解析] 解法1：如图，连接C 1O ，过C 作CM ⊥C 1O .∵BD ⊥平面C 1CO ，∴BD ⊥CM ，∴CM ⊥平面BC 1D ∴∠CDM 即为CD 与平面BDC 1所成的角 令AB ＝1，∴AA 1＝2，CO ＝22， C 1O ＝22＋222＝92＝322， CM ²C 1O ＝CC 1²CO ，即322CM ＝2²22，∴CM ＝23，∴sin ∠CDM ＝CM CD ＝23.解法2：以D 为原点DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ²DB →＝0，n ²DC 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，则x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－2,1)，设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ²DC →||n |²|DC →|＝23.5．(2015²郑州市质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值m n＝( )A ．1B ．13 C ．29 D ．38[答案] D[解析] 由茎叶图知乙的中位数为32＋342＝33，故m ＝3，∴甲的平均数为13(27＋33＋39)＝33，∴14(n ＋2＋4＋8＋20＋30³3)＝33，解得n ＝8，∴m n ＝38.[方法点拨] 注意读图识表，挖掘图表数据：在数据题目的图表数据中包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．审题时认真观察分析图表、数据的特征和规律，可为问题解决提供有效的途径．6．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1、x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f (x 1＋x 22)<f x 1 ＋f x 2 2，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3[答案] C[解析] 观察图象可知选C ．C 的正确性证明如下： 欲证f (x 1＋x 22)<f x 1 ＋f x 22，即证(x 1＋x 22)2<x 21＋x 222，即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22， 即证(x 1－x 2)2>0.此式显然成立．故原不等式得证． [方法点拨] 注意对新定义的理解与转化：遇到新定义问题，要先弄清楚新定义的含义，将其用学过的熟知的数学知识加以转化，然后在新背景下用相应的数学知识方法解决．7．(文)设P 、Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P 、Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2[答案] D[解析] 由圆的性质可知P 、Q 两点间的最大距离为圆心A (0,6)到椭圆上的点的最大距离与圆的半径之和，设Q (x ，y )，则AQ 2＝x 2＋(y －6)2＝10－10y 2＋y 2－12y ＋36＝46－9y 2－12y ＝－9(y ＋23)2＋50，当y ＝23时，|AQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝52＋2＝6 2.(理)(2014²福建文，11)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49[答案] C[解析] 可行域如图：圆心C (a ，b )，则|b |＝1，由图知b ＝1，而当y ＝1时，由y ＝7－x 知x ＝6，所以a 2＋b 2最大值为62＋12＝37.8．(文)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A ．24B ．36C ．48D ．12[答案] B[解析] 正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着一个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，一条体对角线无满足要求的平面∴共有36个．(理)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积．如果数列{a n }既是“等和数列”，又是“等积数列”，且公和与公积是同一个非零常数m ，则( )A ．数列{a n }不存在B ．数列{a n }有且仅有一个C ．数列{a n }有无数个，m 可取任意常数D ．当m ∈(－∞，0]∪[4，＋∞)时，这样的数列{a n }存在 [答案] D[解析] 由题设a n ＋a n ＋1＝m ，a n ²a n ＋1＝m ，对任意正整数n 都成立，则a n 与a n ＋1是一元二次方程x 2－mx ＋m ＝0的两实数根，∴Δ＝m 2－4m ≥0，∴m ≥4或m ≤0，故这样的数列{a n }，当m ≥4或m ≤0时存在，但当0<m <4时不存在．二、填空题9．(文)(2014²乌鲁木齐诊断)已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，S n 、T n 分别是它们的前n 项和，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16的值为________．[答案] 315[解析]a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝2 a 11＋a 12 2 b 11＋b 12 ＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝22 a 1＋a 22222 b 1＋b 22 2＝S 22T 22＝7³22＋122＋3＝315. (理)(2014²郑州市质检)我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗数”)，则“北斗数”中千位为2的共有________个 .[答案] 21[分析] 由北斗数的定义分类，个数、十位、百位数字之和为5，则0＋0＋5＝0＋1＋4＝0＋2＋3＝1＋1＋3＝2＋2＋1，共5类．[解析] 个、十、百位上的数字为0、0、5，共3个，个、十、百位上数字为0、1、4，共A 33＝6个；个、十、百位上数字0、2、3，共A 33＝6个；个、十、百位上数字为1、1、3，共3个；个、十、百位上数字为2、2、1，共3个，故共有21个．10．已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2014(x )的表达式为________．[答案]x1＋2014x[解析] 考查归纳推理．f 1(x )＝f (x )＝x1＋x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1＋x1＋x 1＋x ＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x1＋3x，…，f 2014(x )＝x1＋2014x.三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． [审题要点](1)直线y ＝b 与曲线y ＝f x 在点 a ，f a 处相切――→导数的几何意义f ′ a ＝0，f a ＝b――→解方程组求得a ，b(2)直线y ＝b 与曲线y ＝f x 有两个不同的交点――→从y ＝f x 的图象考虑判断曲线y ＝f x 的形状――→利用导数判断y ＝f x 的单调性、极值图象先减后增――→结合图象b 只需大于y ＝f x 的最小值――→导数知识求y ＝f x 的最小值[解析] 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )． (1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )． 解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以函数f (x f (0)＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f (0)＝1<b ， 所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．[方法点拨] 审视条件 了解和转换解题信息审题时，一是对题目条件信息的挖掘整合；二是明确解题的目标要求，解题思路的确定，解题方法的选择，解题步骤的设计；三是弄清题目中是否有图表可用，是否需要画图帮助思考，列表整合数据？较复杂的问题如何进行转化．12．(文)(2014²北京文，17)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E 、F 分别为A 1C 1、BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．[审题要点] (1)要证平面ABE ⊥平面B 1BCC 1，需在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直；已知三棱柱侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，可知AB ⊥平面B 1BCC 1.(2)要证C 1F ∥平面ABE ，需在平面ABE 内找一条与C 1F 平行的直线，为此过C 1F 作平面与平面ABE 相交，考虑到C 1E 与平面ABE 相交，则平面C 1EF 与平面ABE 的交线EG 为所求(G 为AB 与平面C 1EF 的交点)．考虑条件E 、F 分别为棱的中点，猜想G 应为AB 的中点，由中位线GF 綊12AC 綊C 1E 获证．(3)要求V E －ABC ，高AA 1已知，关键求S △ABC ，由AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC 易得． [解析] (1)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 所以BB 1⊥AB ， 又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)取AB 中点G ，连接EG 、FG . 因为E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点． 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝3， 所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ²AA 1＝13³12³3³1³2＝33. [方法点拨] 审题是解题的基础和关键，一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审题．审题就是对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息进行提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系．能否迅速准确地理解题意，是高考中能否取得最佳成绩的关键．审题时弄清已知什么？隐含什么？数、式结构有何特点？图表有何特征？然后进行恰当的转换，归结为熟知的问题进行解答．要注意架构条件与结论之间的桥梁，要注意细节和特殊情况的审视，要注意答题的条理和语言的规范．(理)如图1，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的侧视图和俯(左)视图如图2所示．(1)证明：BC ⊥平面PBD ； (2)证明：AM ∥平面PBC ；(3)线段CD 上是否存在点N ，使得AM 与BN 所成角的余弦值为34？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，请说明理由．[解析] 解法一：(1)证明：由俯视图可得BD 2＋BC 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ． 又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ，所以BC ⊥平面PBD ．(2)证明：取PC 上一点Q ，使PQ PC ＝1 4，连接MQ 、BQ .由俯视图知PM PD ＝1 4， 所以MQ ∥CD ，MQ ＝14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB ＝60°，所以∠ADB ＝30°. 又BD ＝2，所以AB ＝1，AD ＝ 3.又因为AB ∥CD ，AB ＝14CD ，所以AB ∥MQ ，AB ＝MQ ，所以四边形ABQM 为平行四边形，所以AM ∥BQ . 因为AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC ．(3)线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为34. 证明如下：因为PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .所以D (0,0,0)，A (3，0,0)，B (3，1,0)，C (0,4,0)，M (0,0,3)． 设N (0，t,0)，其中0≤t ≤4，所以AM →＝(－3，0,3)，BN →＝(－3，t －1,0)． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为34， 则有|AM →²BN →||AM →||BN →|＝34，所以|3|23²3＋ t －1 2＝34， 解得t ＝0或2，均适合0≤t ≤4.故点N 位于D 点处，此时CN ＝4；或点N 位于CD 的中点处，此时CN ＝2，有AM 与BN 所成角的余弦值为34. 解法二：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .在△BCD 中，易得∠CDB ＝60°，所以∠ADB ＝30°. 因为BD ＝2，所以AB ＝1，AD ＝ 3.由俯视图和侧视图可得D (0,0,0)，A (3，0,0)，B (3，1,0)，C (0,4,0)，M (0,0,3)，P (0,0,4)，因为BC →＝(－3，3,0)，DB →＝(3，1,0)．因为BC →²DB →＝－3³3＋3³1＋0³0＝0，所以BC ⊥BD ． 又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ， 所以BC ⊥平面PBD ．(2)证明：设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ²PC →＝0，n ²BC →＝0.因为BC →＝(－3，3,0)，PC →＝(0,4，－4)，所以⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋3y ＝0.取y ＝1，得n ＝(3，1,1)．因为AM →＝(－3，0,3)，所以AM →²n ＝3²(－3)＋1²0＋1²3＝0. 因为AM ⊄平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC ． (3)同解法一．[方法点拨] 注重建立条件之间、条件与结论之间的联系：审题过程中要注意由已知可知什么？条件之间有何关联，怎样体现这种关联？由待求(证)结论需知什么？条件和结论之间的衔接点是什么？解题的切入点是什么？13．(文)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；(2)的概率．[审题要点] (1)读懂图表：首先理解两株作物“相近“的含义，其次明确X 与Y 的对应关系(表)，通过读图找出与其相近作物株数为1,2,3,4的作物分别有几株．(2)解题思路：Y ＝51――→读数表“相近”作物株数X 为1――→图形频数――→公式年平均收获量．年收获量至少为48kg ――→读数表Y ＝51或48――→由 1 知可求相应概率――→由事件互斥得出结果． [解析] (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：51³2＋48³4＋45³6＋42³315＝102＋192＋270＋12615＝46.(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.(理)(2014²北京理，16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较E (X )与x －的大小．(只需写出结论)[解析] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝(A B －)∪(A －B )，A ，B 独立． 根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25，P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝35³35＋25³25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x －.14．(文)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D ．(1)求点D 的纵坐标； (2)证明：直线AB 过定点． [审题要点] (1)求点D 纵坐标――→l 1与l 2交点为Dl 1、l 2的方程――→C 在A 、B 点的切线互相垂直设A 、B ，由导数得斜率，由A 、B 在C 上得坐标关系．(2)AB 过定点――→审视图形适当猜想定点可能为焦点F ――→转化证A 、B 、F 三点共线―→用向量或斜率证 [解析] (1)如图，设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．∵l 1、l 2分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1＝y ′|x ＝x 1＝x 1p， 直线l 2的斜率k 2＝y ′|x ＝x 2＝x 2p. ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，得x 1x 2＝－p 2.① ∵A 、B 是抛物线C 上的点，∴y 1＝x 212p ，y 2＝x 222p.∴直线l 1的方程为y －x 212p ＝x 1p (x －x 1)，直线l 2的方程为y －x 222p ＝x 2p(x －x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x 212p ＝x 1px －x 1 ，y －x 222p ＝x2p x －x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝－p2.∴点D 的纵坐标为－p2.(2)证明：∵F 为抛物线C 的焦点， ∴F (0，p2)．∴AF →＝(－x 1，p 2－x 212p )＝(－x 1，p 2－x 212p)，BF →＝(－x 2，p2－x 222p )＝(－x 2，p 2－x 222p)．∵p 2－x 212p p 2－x 222p＝p 2－x 21p 2－x 22＝－x 1x 2－x 21－x 1x 2－x 22＝x 1x 2， ∴AF →∥BF →，即直线AB 过定点F .(理)(2014²沈阳市质检)已知函数f (x )＝mx －sin x ，g (x )＝ax cos x －2sin x (a >0)． (1)若过曲线y ＝f (x )上任意相异两点的直线的斜率都大于0，求实数m 的最小值； (2)若m ＝1，且对于任意x ∈[0，π2]，都有不等式f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵过曲线y ＝f (x )上任意相异两点的直线的斜率都大于0 ∴任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则由f x 2 －f x 1x 2－x 1>0，得f (x 1)<f (x 2)∴函数f (x )＝mx －sin x 在R 上单调递增 ∴f ′(x )＝m －cos x ≥0恒成立，即m ≥cos x ∴m min ＝1(2)∵m ＝1，∴函数f (x )＝x －sin x ∵f (x )≥g (x )，∴x ＋sin x －ax cos x ≥0对于任意x ∈[0，π2]均成立，令H (x )＝x ＋sin x －ax cos x则H ′(x )＝1＋cos x －a (cos x －x sin x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x ①当1－a ≥0，即0<a ≤1时，H ′(x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x >0 ∴H (x )在[0，π2]上为单调增函数∴H (x )≥H (0)＝0 符合题意，∴0<a ≤1②当1－a <0，即a >1时，令h (x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x 于是h ′(x )＝(2a －1)sin x ＋ax cos x∵a >1，∴2a －1>0，∴h ′(x )≥0 ∴h (x )在[0，π2]上为单调增函数∴h (0)≤h (x )≤h (π2)，即2－a ≤h (x )≤π2a ＋1∴2－a ≤H ′(x )≤π2a ＋1(ⅰ)当2－a ≥0，即1<a ≤2时，H ′(x )≥0∴H (x )在[0，π2]上为单调增函数，于是H (x )≥H (0)＝0，符合题意，∴1<a ≤2(ⅱ)当2－a <0，即a >2时，存在x 0∈(0，π2)，使得当x ∈(0，x 0)时，有H ′(x )<0此时H (x )在(0，x 0)上为单调减函数 从而H (x )<H (0)＝0，不能使H (x )>0恒成立 综上所述，实数a 的取值范围为0<a ≤2[方法点拨] 注意对结论的转换：问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．当结论不很明确，语句晦涩，不利于问题的解决时，可以转换角度，翻译为熟悉的数学模型加以解决．15．(文)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1、k 2的两条不同直线l 1、l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A 、B ，l 2与E 相交于点C 、D ，以AB 、CD 为直径的圆M 、圆N (M 、N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .若k 1>0，k 2>0，证明：FM →²FN →<2p 2. [审题要点] 由已知求出l 1的方程――→l 1与E 联立方程组关于x 的一元二次方程――→根与系数关系x 1＋x 1＝2pk 1，y 1＋y 2＝2pk 21＋p ―→FM →坐标――→同理FN →的坐标――→计算FM →²FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)；要证FM →²FN →<2p 2――→只需证k 1k 2＋k 21k 22<2――→再证－2<k 1k 2<1――→k 1>0，k 2>00<k 1k 2<1――→k 1＋k 2＝2k 1k 2<1成立．[解析] 由题意知，抛物线E 的焦点为F (0，p 2)，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1、x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为(pk 1，pk 21＋p2)，FM →＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为(pk 2，pk 22＋p 2)，FN →＝(pk 2，pk 22)，于是FM →²FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以0<k 1k 2<(k 1＋k 22)2＝1.故FM →²FN →<p 2(1＋12)＝2p 2. [方法点拨] 逆向分析一些题目从已知到结论不易证明，可采用逆向分析法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或已知定理为止．(理)(2014²新课标Ⅰ理，20)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． [审题要点] (1)欲求E 的方程，需求a 、b ，需由条件建立a 、b 的方程组：审条件可以发现由离心率和k AF 可建立方程组获解；(2)l 与E 相交于P 、Q ，则S △OPQ ＝12|PQ |²d (d 是O 到l 的距离)，故解题步骤为：设l的方程→l 与E 的方程联立消元化为一元二次方程→由判别式确定k 的取值范围→求|PQ |(用k 表示)→求S △OPQ (用k 表示)→根据f (k )＝S △OPQ 的表达式结构选取讨论最值方法→求l 的方程．[解析] (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1中消去y 得，(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1²4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ²|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t ＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. [方法点拨] 本题常见错误是：①误以为O 点到直线l 的距离最大时，S △OPQ 最大； ②找不到求f (k )＝S △OPQ 的最值的切入点； ③计算失误．为避免上述错误请注意：①慢工出细活，计算时慢一点、细致一点，关键步骤及时检查，莫等完成解答后检查，浪费大量时间；②在直线运动变化过程中，观察△OPQ 面积的变化与什么相关；观察f (k )的结构特征与学过的常见函数作对比，进行化归．。
【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题27 转化与化归思想、数形结合思想课件
可得 a＝ 5c，b＝2c，又因为 B(0，b)，F(－c,0) b－0 b 故直线 BF 的斜率 k＝ ＝c ＝2. 0－－c
(2)设点 P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)． x2 y 2 (i)由(1)可得椭圆方程为5c2＋4c2＝1， 直线 BF 的方程为 y＝2x＋2c， 两方程联立消去 y，得 3x2＋5cx＝0， 5c 解得 xP＝－ 3 .
需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原
料的可用限额如表所示．如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分
别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
A(吨) B(吨) A．12万元 C．17万元 3 1
乙
2 2
原料限额
12 8
B．16万元 D．18万元
[立意与点拨 ]
考查线性规划与数形结合思想的应用．解
3 1 3 (2)∵f(1)＝2，∴a－a＝2，即 2a2－3a－2＝0， 1 ∴a＝2 或 a＝－2(舍去)， 则 y＝g(x)＝22x＋2－2x－2(2x－2－x)，x∈[－1,1]， 令 t＝2x－2－x，x∈[－1,1]， 由(1)可知该函数在区间[－1,1]上为增函数，
3 3 则 t∈[－2，2]， 3 3 则 y＝h(t)＝t －2t＋2，t∈[－2，2]，
走向高考 ·数学
高考二轮总复习
专题强化练
第一部分 二 增分指导练
27(文25) 转化与化归思想、 数形结合思想
1
考 向 分 析
3
强 化 训 练
2
考 题 引 路
4
易 错 防 范
考向分析
1．数形结合思想的应用：集合及其运算中数轴与 Venn图
的运用；函数图象在函数、方程、不等式中的应用；向量的应
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题11 空间几何体课件
易错防范
案例 三视图识读不准致误
一 个 几 何体 的 三 视图 如 图 所示 ， 则 该几 何 体 的体 积 是 ( )
A．112
B．80
C．72
D．64
[易错分析]
ห้องสมุดไป่ตู้
本题易错之处是由正、侧视图误以为几何体
上部为三棱锥或整个几何体为四棱锥． 由俯视图知，棱锥顶点在底面射影为正方体底面一条棱的
中点，故棱锥有一个侧面与底面垂直，它应该为四棱锥，而非
积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化 思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能 力及空间想象能力，难度中等． 3．几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合.
考题引路
考例1
A．8 cm3
(文)(2015·浙江理，2)某几何体的三视图如图所示 )
B．12 cm3
(单位：cm)，则该几何体的体积是(
考例2
(2015·新课标Ⅰ理，11)圆柱被一个平面截去一部
分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正
视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r
＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
[立意与点拨 ]
考查简单几何体的三视图；球的表面积公
式；圆柱的侧面积公式．本题观察视图的关键是圆柱截割后余
三棱锥．
[解答]
由三视图知，该几何体为组合体，下部是棱长为 4
的正方体，上部为四棱锥，四棱锥的底面与正方体底面重合，顶 点在底面射影为正方体棱的中点，其直观图如图，故该几何体的 1 体积 V＝4×4×4＋3×4×4×3＝80，故选 B.
[警示]
识读三视图时，一要按正投影原理找到各点的射
(全国通用)高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题30 不等式选讲(含解析)-人教版高三全册
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题30 不等式选讲（含解析）一、填空题1．(2014·某某理，15A)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．[答案] 5[解析] 解法1：在平面直角坐标系aob 中，由条件知直线ma ＋nb ＝5与圆a 2＋b 2＝5有公共点，∴5m 2＋n2≤5，∴m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2的最小值为 5.解法2：由柯西不等式：a 2＋b 2·m 2＋n 2≥ma ＋nb ， ∴m 2＋n 2≥55＝ 5.2．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值X 围是________． [答案] (－∞，8][解析]∵|x －5|＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8， 要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解， 应有a ≤8.3．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围是________．[答案] {a ∈R |a <0或a ＝2}[解析] 因为|x ＋1|＋|x －3|≥4，所以由题意可得a ＋4a≤4恒成立，因a <0时显然恒成立；当a >0时，由基本不等式可知a ＋4a≥4，所以只有a ＝2时成立，所以实数a 的取值X围为{a ∈R |a <0或a ＝2}．[方法点拨] 注意区分a <f (x )有(无)解与a <f (x )恒成立，设m ≤f (x )≤M ，则a <f (x )有解⇒a <M ，a <f (x )恒成立⇒a <m .a <f (x )无解⇒a ≥M .4．(2014·某某市十二区县重点中学联考)对于任意x ∈R ，满足(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立的所有实数a 构成集合A ，使不等式|x －4|＋|x －3|<a 的解集为空集的所有实数a 构成集合B ，则A ∩(∁R B )＝________.[答案] (1,2][解析] 求出集合A 、B 后利用集合运算的定义求解．对于任意x ∈R ，不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，Δ＝4a －22＋16a －2<0，解得－2<a ≤2，所以集合A ＝(－2,2]．当不等式|x －4|＋|x －3|<a 有解时，a >(|x －4|＋|x －3|)min ＝1，所以解集为空集的所有实数a 构成集合B ＝(－∞，1]，则∁R B ＝(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－2,2]∩(1，＋∞)＝(1,2]． 二、解答题5．(文)(2015·某某省某某中学一模)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R .[解析] (1)当a ＝1时，原不等式变为|x ＋3|＋|x －7|>10， 当x ≥7时，x ＋3＋x －7>10得x >7， 当－3<x <7时，x ＋3－x ＋7>10不成立． 当x ≤－3时－x －3－x ＋7>10得：x <－3 所以不等式的解集为{x |x <－3或x >7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立． ∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立， 即lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a .当且仅当a <1时，对任何x ∈R 都成立．(理)(2015·某某市质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|－a . (1)若a ＝1，求不等式f (x )>x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤a (x ＋2)的解集为非空集合，求a 的取值X 围．[解析] (1)当a ＝1，不等式为|x ＋1|＋2|x －1|－1>x ＋2，即|x ＋1|＋2|x －1|>x ＋3，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，1－3x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，3－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x －1>x ＋3，解得x <－1，或－1≤x <0，或x >2，∴x <0或x >2 所求不等式的解集为{x |x <0，或x >2}．(2)由f (x )≤a (x ＋2)得，|x ＋1|＋2|x －1|－a ≤a (x ＋2)， 即|x ＋1|＋2|x －1|≤a (x ＋3)，设g (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ， x <－13－x ， －1≤x ≤13x －1， x >1如图，k PA ＝12，k PD ＝k BC ＝－3，故依题意知，a <－3，或a ≥12.即a 的取值X 围为(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [方法点拨] 解含绝对值符号的不等式一般用分段讨论法：令各绝对值号内表达式为零，解出各分界点，按分界点将实数集分段．6．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值X 围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >2，5－3x ，32≤x ≤2，x －1，x <32.当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解； 当32≤x ≤2时，5－3x >0，即x <53，解得32≤x <53； 当x <32时，x －1>0，即x >1，解得1<x <32.∴不等式解集为{x |1<x <53}．(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >a ＋23恒成立．∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4.7．(文)(1)若|a |<1，|b |<1，比较|a ＋b |＋|a －b |与2的大小，并说明理由； (2)设m 是|a |、|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：|a x ＋bx2|<2. [解析] (1)|a ＋b |＋|a －b |<2. ∵|a |<1，|b |<1，∴当a ＋b ≥0，a －b ≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ≤2|a |<2， 当a ＋b ≥0，a －b <0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )＋(b －a )＝2b ≤2|b |<2， 当a ＋b <0，a －b ≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(－a －b )＋(a －b )＝－2b ≤2|b |<2， 当a ＋b <0，a －b <0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(－a －b )＋(b －a )＝－2a ≤2|a |<2， 综上知，|a ＋b |＋|a －b |<2.(2)∵m 是|a |，|b |与1中最大的一个，∴m ≥1， 又∵|x |>m ，∴|x |>1，∴|x |>m ≥|a |，|x 2|>1≥|b |，∴|a ||x |<1，|b ||x 2|<1，∴|a x ＋b x 2|≤|a ||x |＋|b ||x 2|<1＋1＝2， ∴原不等式成立．(理)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求证：|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥4；(2)若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|2－x |)恒成立，某某数x 的取值X 围． [分析] (1)含两个绝对值号，可利用|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )±(a －b )|放缩． (2)变形后为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )，运用(1)的方法可得|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值m ，则问题转化为解不等式f (x )≤m .[解析] (1)|2a ＋b |＋|2a －b ||a |＝|2a ＋b a |＋|2a －ba |＝|2＋ba |＋|2－b a |≥|(2＋b a )＋(2－b a)|＝4(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2则有2≥f (x )解不等式2≥|x －1|＋|x －2|得12≤x ≤52.8．(文)(2015·某某市二模)已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0,4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值． [解析] (1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1，∵其解集为[0,4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＝0m ＋1＝4，∴m ＝3.(2)由(1)知a ＋b ＝3， (方法一：利用基本不等式)∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥92，∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(方法二：利用柯西不等式)∵(a 2＋b 2)·(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9， ∴a 2＋b 2≥92，∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(方法三：消元法求二次函数的最值) ∵a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋92≥92， ∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(理)(2015·某某市二模)设f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝m ，求ab ＋bc 的最大值． [解析] (1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1＜x ＜1时，f (x )＝－1－3x ＜2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)∵a 2＋2b 2＋c 2＝2，∴ab ＋bc ≤12[(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)]＝1，当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．所以ab ＋bc 的最大值为1. 9．(文)已知a ，b 是不相等的正实数． 求证：(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2. [解析] 因为a ，b 是正实数， 所以a 2b ＋a ＋b 2≥33a 2b ·a ·b 2＝3ab >0(当且仅当a 2b ＝a ＝b 2，即a ＝b ＝1时，等号成立)， 同理，ab 2＋a 2＋b ≥33ab 2·a 2·b ＝3ab >0(当且仅当ab 2＝a 2＝b ，即a ＝b ＝1时，等号成立)， 所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )≥9a 2b 2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．因为a ≠b ，所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.(理)(2014·某某市二模、某某省三诊)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ＋，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.[解析] (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)解法一：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )≥(a ·1a＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.∴a ＋2b ＋3c ≥9.解法2：由(1)知，1a ＋12b ＋13c ＝1，a 、b 、c ∈R ＋，∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·1 ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )＝3＋2b a ＋3c a ＋a 2b ＋3c 2b ＋a 3c ＋2b 3c＝3＋(2b a ＋a 2b )＋(3c a ＋a 3c )＋(3c 2b ＋2b 3c)≥3＋2＋2＋2＝9，等号在a ＝2b ＝3c ＝13时成立．10．(文)(2015·某某市模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a (a >0)．(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3的解集；(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ≥4.[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－x －2－x －12>3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤－12，x ＋2－x －12>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，x ＋2＋x ＋12>3，∴x <－114或∅或x >14，∴不等式的解集为{x |x <－114或x >14}．(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m＝|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |＋1|m |≥4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，a ＝1时等号成立.(理)(2015·某某统考)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .[解析] (1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |，则 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x ≤2.3，x >2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，x ≥2，∴h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3，∴a ＝3. (2)证明：由(1)知a ＝3， ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，又∵m >n >0， ∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －n m －n1m －n2＝3，∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .。
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题6三角变换、三角函数的图象与性质(含解析)
【走向高考】（全国通用） 2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题加强练 专题 6 三角变换、三角函数的图象与性质一、选择题1． (2015 河·南八市质检 )已知 sin α＋π－ cos α＝1，则 2sin αcos α＋π＝ ()6 3 65 5 A ．－ 18B.187 7 C ．－ 9D.9 [答案 ]Bπ ＝ 2sin α 31[分析 ]2sin αcos α＋6 2 cos α－ 2sin α31－ cos 2α π 1＝ 2 sin 2α－2 ＝ sin 2α＋ 6 －2，π3 1又因为 sin α＋ 6 － cos α＝ 2 sin α＋ 2cos α－ cos α3 1 cos α＝sin α－ π 1 ，＝ sin α－ 6 ＝2 2 3π π π π又 sin 2α＋ 6 ＝ cos 2－2α＋6 ＝ cos 3－2α＝ 1－ 2sin 2α－ π＝ 1－ 2＝ 7，69 9π7 1 5所以 2sin αcos α＋ 6 ＝ 9－ 2＝ 18.[方法点拨 ] 1.已知条件为角α的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角 α的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sin α、cos α、tan α中的一 个值求其余值时，直接运用同角关系公式求解，能用引诱公式化简的先化简．2．已知 tan α求 sin α与 cos α的齐次式的值时，将分子分母同除以 cos n α化 “切 ”代入，所 求式为整式时，视分母为1，用 1＝ sin 2α＋ cos 2α代换．3．sin θ＋ cos θ，sin θ－ cos θ，sin θcos θ知一求其余值时， 利用关系 (sin θ±cos θ)2＝1±2cos θcos θ. 要特别注意利用平方关系巧解题． 已知某三角函数式的值， 求另一三角函数式的值时， 重点是剖析找出两三角函数式的联系适合化简变形，再代入计算．2．(文 )(2015洛·阳市期末)已知角 α的终边经过点A(－ 3，a) ，若点A 在抛物线1y ＝－ 4x 2 的准线上，则sin α＝()33 A ．－ 2B. 21 1 C ．－ 2D.2[答案 ]D1[分析 ] 由已知得抛物线的准线方程为y ＝ 1，故 A( － 3， 1) ，所以 sin α＝ 2.(理 )(2015π的图象，只需将函数y ＝ sin 4x 的图象山·东理， 3) 要获得函数 y ＝ sin 4x －3()πB ．向右平移 πA ．向左平移 12个单位12个单位πD ．向右平移π个单位个单位C ．向左平移 3 3[答案 ] Bπππ[分析 ]因为 y ＝ sin(4x － 3)＝ sin[4( x － 12)] 所以要获得 y ＝ sin[4( x － 12)] 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移π个单位．应选 B.12π3．函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)(此中 A>0，ω>0，|φ|<2) 的图象如下图， 为了获得g(x)＝ sin3x的图象，则只需将f(x)的图象 ( )πA ．向右平移 4个单位长度πB ．向右平移 12个单位长度πC ．向左平移 4个单位长度πD ．向左平移 12个单位长度[答案]B[分析 ]由题知，函数 f(x)的周期5π π 2π T ＝4(－ )＝，12 4 32π 2π所以 3 ＝ ω，解得 ω＝3，易知 A ＝ 1，所以 f(x)＝ sin(3x ＋ φ)．又 f(x) ＝sin(3x ＋ φ)过点 (5π，－ 1)，12 5π所以 sin(3 × ＋φ)＝－ 1，125π 3所以 3× ＋ φ＝2k π＋2π， k ∈Z ，12ππ所以 φ＝ 2k π＋4， k ∈ Z ，又 |φ|<2，π所以 φ＝ ，4ππ所以 f(x)＝ sin(3x ＋ )＝ sin[3( x ＋12)] ，4所以将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度能够获得函数g( x)＝ sin3x 的图象，应选12B.[方法点拨 ]1.已知正弦型 (或余弦型 )函数的图象求其分析式时， 用待定系数法求解． 由图中的最大值或最小值确立A ，再由周期确立 ω，由图象上特别点的坐标来确立φ，只有限定 φ的取值范围，才能得出独一解，不然φ的值不确立，分析式也就不独一．将点的坐标代入分析式时，要注意选择的点属于“五点法 ”中的哪一个点．“第一点 ”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为 ωx＋0 φ＝ 0＋ 2k π(k ∈ Z ) ，其余挨次类推即可．2．解答相关平移伸缩变换的题目时，向左(或右 )平移 m 个单位时，用 x ＋ m(或 x － m)取代 x ，向下 (或上 )平移 n 个单位时，用y ＋ n(或 y － n)取代 y ，横 (或纵 )坐标伸长或缩短到原来的 k 倍，用 x 取代 x(或 y取代 y)，即可获解．kk10，则 tan2α＝ () 4． (文 )已知 α∈ R ， sin α＋ 2cos α＝ 24 3A. 3B.434C ．－ 4D ．－ 3[答案] C[分析 ]此题考察三角函数同角间的基本关系．将 sin α＋ 2cos α＝10两边平方可得，22 2α＝ 5 ， sinα＋ 4sin αcos α＋4cos223∴ 4sin αcos α＋ 3cos α＝2.将左侧分子分母同除以cos 2α得，3＋ 4tanα 3，解得 tanα＝3 或 tanα＝－1，2＝3 1＋ tanα2∴ tan2α＝2tanα32＝－. 1－ tan α4(理 )(2015唐·山市一模 )已知 2sin2α＝ 1＋ cos2α，则 tan2α＝()4 4A．－3 B.3C．－4或0 D.4或 0 33[答案 ]Dsin2α＝4[分析 ]2sin2α＝1＋ cos2αsin2α＝ 05∵sin22α＋ cos22α＝ 1，∴或3cos2α＝－ 1，cos2α＝54∴ tan2α＝ 0 或 tan2α＝ .35． (2015 安·徽理， 10)已知函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数 )的最小正周2π)期为π，当 x＝时，函数 f(x)获得最小值，则以下结论正确的选项是(3A． f(2)＜ f(－ 2)＜ f(0)B．f(0)＜f(2) ＜f(－2)C．f(－ 2)＜ f(0)＜ f(2)D． f(2)＜ f(0)＜ f(－ 2)[答案]A[分析 ]考察三角函数的图象与应用及函数值的大小比较．2π 2π解法 1：由题意，f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ>0) ，T＝＝＝π，所以ω＝2，|ω|ω则 f(x)＝ Asin(2x＋φ)，而当x＝2π2π3ππ时， 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，解得φ＝＋ 2kπ， k∈Z，3326ππ ππ所以 f(x)＝ Asin(2x＋ )(A>0) ，则当2x＋＝＋ 2nπ， n∈Z，即 x＝＋ nπ，时， n∈Z， f( x)取6626得最大值．要比较 f(2)，f(－ 2)，f(0)的大小，只需判断 2，－ 2,0与近来的最高点处对称轴的π5π距离大小，距离越大，值越小，易知0,2 与6比较近，－ 2 与－6比较近，所以，当k＝0 时，πππ时， x＝－5π(－5πx＝，此时|0－ |＝ 0.52，|2－ |＝ 1.47，当 k＝－ 1，此时 |－ 2－6)|＝0.6，所6666以 f(2)< f( －2)<f(0)，应选 A.解法 2：∵ f(x) 的最小正周期为2π2π π ππ，且在 x＝时 f(x)取最小值，∴在 x＝－＝时取到3326π 2π最大值 f(－ 2)＝ f(－2＋ π)，∵ f(x)在 [ ， ]上单一递减，∴ f( π－ 2)> f(2)，即 f(－ 2)> f(2)，又 π 63π π ， f(x)图象的一条对称轴方程为π ，即 f(－ 2)< f(0)，－2－> －0x ＝ ，∴ f( π－ 2)< f(0)6 66∴ f(2)< f(－ 2)< f(0) ．π π6． (文 )函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)( A>0， ω>0，|φ|<2)的图象对于直线 对称，它的最小x ＝ 3正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是 ( )ππA ．( ， 1)B ． (， 0)312 5ππ， 0)D ． (－ ，0)C ．( 12 12[答案 ] B[分析 ]由题意知 T ＝π，∴ ω＝ 2，π π π π 由函数图象对于直线 x ＝ 对称，得2× ＋ φ＝ ＋ k π(k ∈ Z )，即 φ＝－ ＋ k π(k ∈ Z )．3326π π又 |φ|< ，∴ φ＝－ ，26π∴ f(x)＝Asin(2 x －)，6π π令 2x － ＝ k π(k ∈ Z )，则 x ＝ ＋ kπ(k ∈ Z )．6122∴一个对称中心为( π， 0)，应选 B.122(理 )已知函数 f(x)＝ cosxsin x ，以下结论中错误的选项是 ( )B ．f(x)最大值是 1πC ．f(x)的图象对于点 (， 0)对称2D ． f(x)的图象对于直线 x ＝ π对称 [答案 ] B[分析 ]f( － x)＝ cos(－ x)sin 2 (－ x)＝ cosxsin 2x ＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数． f(x ＋ 2π)＝cos(x ＋222 32π )sin(x ＋ 2π)＝cosxsin x ，∴ 2π是 f(x)一个周期，故 A 选项正确． f( x)＝cosxsin x ＝－ cos x＋ c osx ，令 t ＝ cosx 则 t ∈ [－ 1,1] ，g(t)＝－ t 3＋ t ， g ′(t)＝－ 3t 2＋ 1令 g ′(t)＝ 0，则 t ＝± 3，易知 f(x)在区间 [ － 1，－3)上单一递减，在 (－ 3， 3 )上单一33 33 递加，在 (3， 1]上单一递减， g( － 1)＝ 0， g( 3 )＝ 2 3，∴ g(t)max ＝2 3≠1，故 B 项错误．3 3 997． (文 )给出以下四个命题：π k π 3π ① f(x)＝sin(2 x － )的对称轴为x ＝2 ＋ ， k ∈ Z ；48 ②函数 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx 最大值为2；③函数 f(x)＝ sinxcosx － 1 的周期为 2π；π π π④函数 f(x)＝ sin(x ＋)在 [－， ] 上是增函数．422此中正确命题的个数是 ( )A ． 1B ． 2C ．3D ． 4[答案 ] B[分析 ]π π①由 2x － ＝ k π＋ ， k ∈ Z ，4 2得 x ＝ k π 3π2＋8 (k ∈ Z )，π k π 3π即 f(x) ＝sin(2x － )的对称轴为 x ＝＋， k ∈ Z ，正确；42 8π②由 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx ＝2sin( x ＋3)知， 函数的最大值为 2，正确；1③ f(x)＝sinxcosx － 1＝2sin2x － 1，函数的周期为 π，故③错误；ππ④函数 f(x)＝ sin(x ＋)的图象是由 f(x)＝ sinx 的图象向左平移4 个单位获得的， 故④错误．4π π π (理 )若 f( x)＝ 2sin(ωx＋ φ)＋ m ，对随意实数 t 都有 f( ＋ t)＝ f( － t)，且 f()＝－ 3，则实数888m 的值等于 ()A ．－ 1B ． ±5C ．－5或－1D ．5或1[答案 ]Cππ[分析 ] 依题意得，函数 对称，于是x ＝ 时，函数 f(x)获得最f(x) 的图象对于直线 x ＝88值，所以有 ±2＋ m ＝－ 3，∴ m ＝－ 5 或 m ＝－ 1，选 C.8． (文 )在△ ABC 中，若 tanAtanB ＝ tanA ＋ tanB ＋ 1，则 cosC 的值是 ()22 A ．－ 3B. 21 1C.2D ．－ 2[答案 ]B[分析 ]由 tanA ·tanB ＝tanA ＋ tanB ＋ 1，可得 tanA ＋ tanB ＝－ 1，即 tan(A ＋ B)＝－ 1，所1－ tanA ·tanB以 A ＋B ＝3π π 2，应选 B.4，则 C ＝ ， cosC ＝24π π 1＋ sin β(理 )(2014 新·课标Ⅰ理， 8)设 α∈ (0，2) ，β∈ (0， 2)，且 tan α＝ cos β ，则 ()π π A ． 3α－ β＝ 2B ． 3α＋ β＝2ππ C ．2α－β＝ 2 D ． 2α＋ β＝2[答案 ]C[分析 ]此题考察了引诱公式以及三角恒等变换．运用考证法．π π解法 1：当 2α－ β＝2时， β＝2α－2，1＋ πα－2 1－ cos2α 2·sin 2α 所以π ＝ sin2α ＝ sin2α＝ tan α.α－ 2sin α 1＋ sin β 解法 2：∵ tan α＝＝，cos αcos βπ ∴ sin(α－ β)＝cos α＝ sin( － α)，2∵ α、 β∈ππ π π π ππ (0， )，∴ α－ β∈ (－ ， )， － α∈ (0， 2 )，∴ α－β＝ － α，∴ 2 α－ β＝ .2 2 2 2 22 9． (2015 石·家庄市二模 )在平面直角坐标系中，角 α的极点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点πππ＝ ()P sin ，cos，则 sin 2α－128833A. 2B ．－ 21 1C.2D ．－ 2[答案 ] A[分析 ]因为角 α的终边经过点ππ3π 3πP(sin， cos )，即P(cos ， sin)，88883π∴ α＝ 2k π＋ 8 ， k ∈ Z .∴ sin(2α－ π3π π－12)＝ sin(4 k π＋ 4 12)2π3，应选 A.＝ sin ＝2310． (文 )(2015 河·南六市联考 ) 函数 y ＝ cos(ωx＋ φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如下图， A 、 B 分别为最高点与最低点，而且两点间的距离为2 2，则该函数图象的一条对称轴为 ()2πA ． x ＝ πB ． x ＝ 2C ．x ＝ 1D ． x ＝ 2[答案] C[分析 ]∵ y ＝ cos(ωx＋φ)为奇函数，∴其图象过原点，∴ cos φ＝0，π ∵ 0<φ<π，∴ φ＝ ，2πT 2 ＋[1 －( －1)] 2 ＝ (2 2)2， ∴ y ＝ cos(ωx＋ )＝－ sin ωx，设周期为T ，则由条件知 ( )22∴ T ＝4.∴ ω＝2π πT＝ ，2π∴函数为 y ＝－ sin(x)．2π π令 x ＝ k π＋ (k ∈ Z )得 x ＝ 2k ＋ 1，∴ x ＝ 1 为其一条对称轴．22(理 )(2015 陕·西理， 3) 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似知足函数y ＝π3sin 6x ＋ φ＋ k.据此函数可知，这段时间水深(单位： m)的最大值为 ()A ． 5C ．8B ． 6D ． 10[答案 ]C[分析 ]由图象知，最小值为2，∴－ 3＋k ＝ 2，∴ k ＝ 5，∴最大值为3＋ k ＝ 8.应选 C.二、填空题11． (2015·芦岛市一模葫)已知函数πf( x)＝ cosx ·sin x ＋ 3 －3cos 2x ＋3， x ∈R4则f(x)在π π闭区间 － 4， 4 上的最大值和最小值分别为________．[答案 ]1、－ 142[分析 ]f(x) ＝1sinxcosx＋3c os2x－3cos2x＋3＝1s in2x －3(cos2x ＋ 1) ＋3＝1 2244442sin 2x－π，当 x∈π ππ5π π3－，时， 2x－∈ －，，44366π1∴ sin2x－3∈－1，2 .11∴ f(x)∈ －，.π12． (文 )(2014 陕·西文， 13)设 0<θ<2，向量a＝(sin2θ，cosθ)， b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则 tanθ＝________.[答案 ]1 2[分析 ]此题考察向量垂直、向量坐标运算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.π又 0<θ<2，∴ cosθ≠0，1∴ 2sinθ＝ cosθ，∴ tanθ＝2.(理 )假如两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出以下四个函数：①f(x)＝sinx＋ cosx；②f(x)＝ 2(sinx＋ cosx)；③ f(x)＝sinx；④f(x)＝ 2sinx＋ 2.此中为“互为生成”函数的是________( 填序号)．[答案 ]①④[分析 ]第一化简题中的四个分析式可得：①f( x)＝π2sin(x＋ 4)，②πf( x)＝ 2sin(x＋ 4)，③f(x)＝ sinx，④ f(x)＝2sinx＋2，可知③ f( x)＝ sinx 的图象要与其余的函数图象重合，纯真经过平移不可以达成，一定经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝ sinx 不可以与其余函数成为“互为ππ生成”函数，同理① f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象与② f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象也一定经过伸缩变换44才能重合，而④ f(x)＝ 2sinx＋ 2的图象向左平移π2个单位即可获得个单位，再向下平移4π①f(x)＝2sin(x＋4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．三、解答题2ωx13． (文 )(2014 甘·肃三诊 )已知 f(x)＝ 3sin ωx－ 2sin2 (ω>0) 的最小正周期为 3π.π 3π(1)当 x ∈ [ ，4] 时，求函数 f(x)的最小值；2(2)在△ ABC 中，若 f(C)＝ 1，且 2sin2B ＝cosB ＋ cos(A － C)，求 sinA 的值．1－ c ωx[分析 ] ∵ f(x)＝ 3sin( ωx )－ 2·2π＝ 3sin(ωx )＋ cos(ωx )－ 1＝ 2sin(ωx＋ 6)－ 1，由2π22 πω ＝ 3π得 ω＝ ，∴ f(x)＝ 2sin( x ＋)－ 1.336π3π π 2π 2π(1)由 ≤x ≤ 得 ≤≤ ，242 3x ＋ 6 32 π3 时， f(x) min ＝2× 3－ 1. ∴当 sin( x ＋6 )＝2 －1＝3 322 π(2)由 f(C)＝2sin( 3C ＋ 6)－ 1 及 f(C)＝ 1，得sin(2 π C ＋ )＝ 1，3 6而 π 2 π 5π 2 π π π≤ C ＋ ≤ ，所以C ＋ ＝ ，解得 C ＝ .6 36 6 3 6 2 2π 在 Rt △ABC 中，∵ A ＋ B ＝ 2， 2sin 2 B ＝ cosB ＋cos(A － C)， ∴ 2cos 2A －sinA － sinA ＝ 0，－1± 5∴ sin 2A ＋ sinA － 1＝ 0，解得 sinA ＝ .2∵ 0<sinA<1，∴ sinA ＝5－1.221(理 )已知函数 f(x)＝ (2cos x － 1)sin2x ＋ 2cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及最大值；π2，求 α的值．(2)若 α∈ ， π，且 f(α)＝22[分析 ](1)因为21f(x)＝(2cos x －1)sin2 x ＋ 2cos4x＝ cos2xsin2x ＋ 1cos4x21＝ 2(sin4x ＋ cos4x)2π＝ 2 sin(4x ＋4)所以 f(x)的最小正周期为π2，最大值为2.2(2)因为 f(α)＝ 2 ，所以 sin(4 π2 α＋ )＝ 1.4π因为 α∈ ( ，π)，2π9π 17π所以 4α＋4∈ ( 4 ，4 )，π 5π9π所以 4α＋ ＝，故 α＝4216.5π5π 25π14．已知函数 f(x)＝ 2sin( x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－2cos (x ＋24)＋ 1. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的单一递加区间．5π5π 25π[分析 ] (1)∵ f(x)＝ 2sin(x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－ 2cos (x ＋ 24)＋ 1＝ sin(2x ＋5π5π 12)－ cos(2x ＋ 12)＝ 2[sin(2 x ＋5π π 5π π) ·cos － cos(2x ＋12 ) ·sin ]12445π π＝2sin[(2 x ＋ 12)－4]π＝ 2sin(2x ＋6)．2π ∴ f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2π(2)由 (1) 可知 f( x)＝ 2sin(2x ＋ 6)．ππ π当－ ＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π(k ∈ Z )，26 2 π π即 k π－ ≤x ≤k π＋ (k ∈ Z )时，36函数 f(x)＝π2sin(2 x ＋)是增函数，3∴函数 f(x)的单一递加区间是π π[k π－ ， k π＋ ]( k ∈ Z )．36[方法点拨 ]1.解答三角函数性质 ( 单一性、周期性、最值等 )问题时，往常是利用三角函数的相关公式，经过将三角函数化为只含一个函数名称且角度独一，最高次数为一次 (一角一函 )的形式，再依正 ( 余)弦型函数挨次对所求问题作出解答．2．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦 (余弦 ) 型函数y ＝ asin ωx＋ bcos ωx 型引入协助角化为一角一函．(2)化为对于 sinx(或 cosx)的二次函数．15．设函数 f(x)＝2cos 2 x ＋2 3sinxcosx ＋m(x ∈ R ) ．(1)化简函数 f(x)的表达式，并求函数f( x)的最小正周期；πm ，使函数 f(x)的值域恰为 [ 1，7]？若存在，恳求出 m 的(2)若 x ∈ [0，]，能否存在实数22 2值；若不存在，请说明原因．[ 分析 ] (1) ∵ f(x)＝ 2cos 2x ＋ 2π3sinxcosx ＋ m ＝ 1＋ cos2x ＋ 3sin2x ＋ m ＝ 2sin(2x ＋ 6)＋ m＋1，∴函数 f(x)的最小正周期T ＝ π.(2)假定存在实数 m ，切合题意．πππ 7π∵ x ∈ [0，2]，∴ 6≤2x ＋6≤6 ，π1 则 sin(2x ＋ 6)∈ [－ 2， 1]，π∴ f(x)＝2sin(2 x ＋ 6)＋m ＋ 1∈[m,3＋m]．1 ， 71又∵ f(x)的值域为 [2 ]，解得 m ＝ .22∴存在实数 m ＝ 1，使函数 f(x) 的值域恰为 [ 1，7]．22 2[方法点拨 ] 1.求值题一般先将三角函数式化简，再求值．2．议论三角函数的性质 (求单一区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依照正弦型或余弦型函数的性质进行议论．3．三角变换的基本策略：(1)1 的变换； (2) 切化弦； (3)起落次； (4)引入协助角； (5) 角的变换与项的分拆．16． (文 )(2015 广·东文， 16)已知 tan α＝ 2.(1)求 tan α＋π的值；42 sin 2α的值．(2)求 sin α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1[剖析 ] 考察： 1.两角和的正切公式； 2.特别角的三角函数值； 3.二倍角的正、 余弦公式；4.同角三角函数的基本关系．π(1)由两角和的正切公式睁开，代入数值， 即可得 tan α＋ 4 的值； (2) 先利用二倍角的正、余弦公式变形，而后化切求解．π[分析 ](1) tan α＋π＝ tan α＋ tan 44π1－ tan αtan 4＝tan α＋ 1＝ 2＋1＝－ 3，1－ tan α 1－2sin 2α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－1＝ 2 sin αcos α22sin α＋ sin αcos α－α－－ 1＝ 2sin αcos αsin 2α＋ sin αcos α－2cos 2α＝ 2tan αtan 2α＋tan α－ 2＝ 2×222 ＋2－2 ＝ 1.x x2x.(理 )(2015 福·建文， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin cos2 ＋ 10cos22(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后获得函数g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2.(ⅰ )求函数 g(x)的分析式；(ⅱ )证明：存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g( x 0)>0.[分析 ]x x ＋ 10cos 2x (1)因为 f(x)＝10 3sin cos222 ＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5π＝ 10sin x ＋6 ＋ 5.所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝ 2π.π (2)(i) 将 f(x)的图象向右平移个单位长度后获得 y ＝ 10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a(a>0)6个单位长度后获得g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13.所以 g(x)＝ 10sin x － 8.(ii) 要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g(x 0)>0 ，就是要证明存在无量多个4互不同样的正整数x 0，使得 10sin x 0－ 8>0 ，即 sin x 0>5.由430<απα＝4 5<知，存在，使得 sin5.20<30由正弦函数的性质可知，当x∈ (α，π－α400)时，均有sin x>5.因为 y＝sin x 的周期为2π，所以当 x∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z )时，均有因为对随意的整数k， (2kπ＋π－απ0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>3>1，4 sin x>5.所以对随意的正整数 k，都存在正整数4 x k∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得 sin x k> .5即，存在无量多个互不同样的正整数x0，使得 g(x0)>0.。
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题28 几何证明选讲课件
清．(2)将平面解析几何、平面几何、立体几何中的平行与向量
平行混淆，都是常见错误．
[解答] (1)∵CF∥AB，∴CF∥BD， ∵D、E 分别为 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC，∴DF∥BC， ∴四边形 BCFD 为平行四边形．∴CF 綊 BD． ∵D 为 AB 的中点，∴CF 綊 AD， ∴四边形 ADCF 为平行四边形，∴AF＝CD． ∵CF∥AB，∴AF＝BC，∴CD＝BC．
[ 解析 ]
(1) 如图所示， 因为 M ， N 分别是弦 AB ， CD 的中
点， 所 以 OM⊥AB ， ON⊥CD ． 即 ∠ OME ＝ 90°， ∠ ENO ＝
90°， ∠ OME ＋
∠ ENO ＝ 180°，又四边形的内角和等于
360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.
(2) 由 (1) 知， O ， M ， E ， N 四点共圆，故由割线定理即得
Rt△ABC中，先利用射影定理求AE，再在Rt△AEC中求∠ACE.
[解析] (1)连接AE，由已知得，
AE⊥BC，AC⊥AB， 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB， ∵∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴∠DEC＋∠OEB＝90°， ∴∠OED＝90°，∴DE是圆O的切线．
(1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2)FE·FN＝FM·FO.
[ 立意与点拨 ]
考查圆内接四边形的判定与圆的割线定
理．考查推理论证能力． (i) 首先根据垂径定理可得∠ OME ＝
90° ，∠ENO＝90°，再由四边形的内角和即可得证； (ii)由
(i)中的结论可得O，M，E，N四点共圆，再由割线定理即可得 证．