人教A版高中数学必修四高考理数一轮复习第六章三角函数的图像与性质[配套]课件
第3讲 三角函数的图像与性质
1．三角函数和其他函数一样，重点研究它的解析式、六条 性质、图像、应用．这是整个复习过程的一条主线．这六条性 质是：定义域、__值__域___、单调性、__奇__偶__性___、周期性、对称性．
2．研究三角函数问题的基本数学思想方法． 转化：例如将函数 y＝Asin(ωx＋φ)问题转化为___正__弦__函__数_问 题． 类比：三角函数是函数，注意用普通的函数的思想方法解 决三角函数问题．另外，要注意一些基本方法的类比． 数形结合：用好三角函数的图像、三角函数线，有利于问 题的快速解决．
＝( 3，1)，其中 θ∈0，π2. (1)若 a∥b，求 sinθ 和 cosθ 的值； (2)若 f(θ)＝( a＋b)2，求 f(θ)的值域.
解：(1)∵ a∥b，∴sinθ·1－ 3cosθ＝0，得 tanθ＝ 3. 又∵θ∈0，π2，∴θ＝π3，sinθ＝ 23，cosθ＝12. (2)f(θ)＝(sinθ＋ 3)2＋(cosθ＋1)2＝2 3sinθ＋2cosθ＋5＝ 4sinθ＋π6＋5，又∵θ∈0，π2，θ＋π6∈π6，23π，∴12<sinθ＋π6 ≤1，7<f(θ)≤9，即函数 f(θ)的值域为(7,9]．
(1)求电流 I 的最小正周期 T 和频率 f； (2)设 t≥0，求电流 I 的最大值和最小值，并指出 I 第一次 达到最大值和最小值时的 t 值．
解析：∵I＝I1＋I2＝ 3sin100πt＋π3＋sin100πt－π6 ＝ 312sin100πt＋ 23cos100πt＋ 23sin100πt－21cos100πt ＝ 3sin100πt＋cos100πt＝2sin100πt＋π6， ∴电流 I 的最小正周期 T＝120π0π＝510，频率 f＝T1＝50. (2)由(1)当 100πt＋π6＝π2＋2kπ， 即 t＝5k0＋3100，k∈N 时，Imax＝2；
解：(1)∵t＝sinx＋cosx＝ 2sinx＋π4，∴－ 2≤t≤ 2. ∵t2＝1＋2sinxcosx，∴2sinxcosx＝t2－1. ∴y＝t2－1－2t＋a2＝(t－1)2＋a2－2. ∵－ 2≤t≤ 2， ∴当 t＝1 时，函数 y 取得最小值 a2－2. (2)∵a2－2＝1，∴a＝± 3.
1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各 类函数的研究都离不开图像，很多函数的性质都是通过观察图 像而得到的．
2．作函数的图像时，首先要确定函数的定义域． 3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图像时只要 作出一个周期的图像，就可根据周期性作出整个函数的图像．
(2)依题意得a2a>＋0 a2＋a＝4 或a－<20a＋a2＋a＝4 .
解得
a＝1
或
a＝1－2
17 .
∴a
的取值为
a＝1
或
a＝1－2
17 .
【互动探究】
3．f(x)＝ 2(sinxcosx＋cos2x－12)，0≤x≤π，当方程 f(x)＝a 有两个不相等实根 x1、x2 时，求实数 a 的取值范围．
当 100πt＋π6＝32π＋2kπ， 即 t＝5k0＋715，k∈N 时，Imin＝－2. 而 t≥0，∴I 第一次达到最大值时，t＝3100； I 第一次达到最小值时，t＝715.
点评：通过学习在物理情景下的三角函数问题， 能更好地理解三角函数的意义.
【互动探究】 4．(2010 年惠州第二次调研Байду номын сангаас已知向量 a ＝(sinθ，cosθ)与 b
如果函数 f(x)＝sin(x＋θ)是偶函数，则常数 θ 的值为 _k_π_＋__π2_(_k_∈__Z_) ．
5．如图 6－3－1，已知函数 y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和 直线 y＝2 围成一个封闭的平面图形(阴影部分)，现向长方形
1 ABCD 内任投一个质点，则此质点落在阴影部分的概率为_2__.
2．函数 y＝sin2x的图像的一条对称轴的方程是( C )
A．x＝0
B．x＝π2
C．x＝π
D．x＝2π
3．函数 y＝cosx 的一个单调递增区间为( D )
A.－π2，π2
B．(0，π)
C.π2，32π
D．(π，2π)
4．如果函数 f(x)＝sin(x＋θ)是奇函数，则常数 θ 的值为 _k_π_(_k_∈__Z_)_；
图 6－3－2
方程有解问题，一般转化为根的分布问题、函 数图像问题、函数的值域问题．
【互动探究】 2．如图 6－3－3，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线 近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．
图 6－3－3
解：(1)由图像可知，这段时间的最大温差是 30 ℃－10 ℃ ＝20 ℃.
错源：忽略对参数的讨论
例 3：已知函数 f(x)＝2acos2x＋ 3asin2x＋a2(a∈R，a≠0 为常数)．
(1)若 x∈R，求 f(x)的最小正周期； (2)若 x∈R 时，f(x)的最大值等于 4，求 a 的值．
误解分析：忽略对参数的讨论．
正解：f(x)＝a(1＋cos2x)＋ 3asin2x＋a2 ＝2asin2x＋π6＋a2＋a， ∴最小正周期为 π.
研究函数的性质问题，先要把函数解析式化简为 正弦型或余弦型函数，通过正弦型或余弦型函数来解决问题．
【互动探究】 1．已知函数 y＝2sinxcosx－2(sinx＋cosx)＋a2. (1)设 t＝sinx＋cosx，t 为何值时，函数 y 取得最小值； (2)若函数 y 的最小值为 1，试求 a 的值．
图 6－3－1
考点 1 三角函数的性质 例 1：已知函数 f(x)＝sinx＋sinx＋2π，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最大值和最小值； (3)若 f(α)＝34，求 sin2α 的值．
解题思路：将函数表达式化简为 f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k 的形 式，应用 f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k 的图像和性质解决问题．
(2)图中从 6 时至 14 时的图像是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的 半个周期的图像，∴12×2ωπ＝14－6，ω＝π8，
A＝12(30－10)＝10, b＝12(30＋10)＝20， 这时 y＝10sinπ8x＋φ＋20， 将 x＝6，y＝10 代入，取 φ＝34π， ∴y＝10sinπ8x＋34π＋20，x∈[6,14].
解析：f(x)＝sinx＋sinx＋π2 ＝sinx＋cosx＝ 2sinx＋4π. (1)f(x)的最小正周期为 T＝21π＝2π. (2)f(x)的最大值为 2，此时，x＝2kπ＋π4(k∈Z)； 最小值为－ 2，此时，x＝2kπ－34π(k∈Z) . (3)因为 f(α)＝34，即 sinα＋cosα＝34⇒2sinαcosα＝－176， 即 sin2α＝－176.
解 ： f(x) ＝
2 12sin2x＋1＋c2os2x－12 ＝
2 2
(sin2x
＋
cos2x)
＝
sin2x＋4π，在同一坐标系内作出 y＝sin2x＋4π，与 y＝a 的图像
知：当
f(x)＝a
有两不等实根时
a∈－1，
22∪
22，1.
例 4：(2010 年广东六校三模)设有同频率的两个正弦电流 I1 ＝ 3sin100πt＋π3，I2＝sin100πt－π6，把它们合成后，得到电 流 I＝I1＋I2.
考点 2 三角函数的图像 例 2：关于 x 的方程 3sin2x＋cos2x＝k 在0，π2内有两个不 同的实数根，求实数 k 取值范围．
解题思路：转化为函数 y＝ 3sin2x＋cos2x 和函数 y＝k 的 图像有两个公共点问题．
解析：函数 y＝ 3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，设 2x＋π6＝t， ∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤76π，则转化为函数 y＝2sintπ6≤t≤76π 与函数 y＝k 的图像有两个公共点问题，如图 6－3－2 观察它们 的图像得，k 的取值范围为 1≤k＜2.
3.五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图时，设 X＝ωx＋φ，则 X 通常 取_0_、__π2_、__π_、__3_2π_、__2_π_五个值．
4．研究函数 y＝Asinx＋Bcosx 的性质时，先要进行的变换 是 Asinx＋Bcosx＝ A2＋B2sin(x＋θ)(tanθ＝BA)．
1．函数 y＝cosπ2－2x是( D ) A．最小正周期为 2π 的偶函数 B．最小正周期为 2π 的奇函数 C．最小正周期为 π 的偶函数 D．最小正周期为 π 的奇函数
1．三角函数和其他函数一样，重点研究它的解析式、六条 性质、图像、应用．这是整个复习过程的一条主线．这六条性 质是：定义域、__值__域___、单调性、__奇__偶__性___、周期性、对称性．
2．研究三角函数问题的基本数学思想方法． 转化：例如将函数 y＝Asin(ωx＋φ)问题转化为___正__弦__函__数_问 题． 类比：三角函数是函数，注意用普通的函数的思想方法解 决三角函数问题．另外，要注意一些基本方法的类比． 数形结合：用好三角函数的图像、三角函数线，有利于问 题的快速解决．
＝( 3，1)，其中 θ∈0，π2. (1)若 a∥b，求 sinθ 和 cosθ 的值； (2)若 f(θ)＝( a＋b)2，求 f(θ)的值域.
解：(1)∵ a∥b，∴sinθ·1－ 3cosθ＝0，得 tanθ＝ 3. 又∵θ∈0，π2，∴θ＝π3，sinθ＝ 23，cosθ＝12. (2)f(θ)＝(sinθ＋ 3)2＋(cosθ＋1)2＝2 3sinθ＋2cosθ＋5＝ 4sinθ＋π6＋5，又∵θ∈0，π2，θ＋π6∈π6，23π，∴12<sinθ＋π6 ≤1，7<f(θ)≤9，即函数 f(θ)的值域为(7,9]．
(1)求电流 I 的最小正周期 T 和频率 f； (2)设 t≥0，求电流 I 的最大值和最小值，并指出 I 第一次 达到最大值和最小值时的 t 值．
解析：∵I＝I1＋I2＝ 3sin100πt＋π3＋sin100πt－π6 ＝ 312sin100πt＋ 23cos100πt＋ 23sin100πt－21cos100πt ＝ 3sin100πt＋cos100πt＝2sin100πt＋π6， ∴电流 I 的最小正周期 T＝120π0π＝510，频率 f＝T1＝50. (2)由(1)当 100πt＋π6＝π2＋2kπ， 即 t＝5k0＋3100，k∈N 时，Imax＝2；
解：(1)∵t＝sinx＋cosx＝ 2sinx＋π4，∴－ 2≤t≤ 2. ∵t2＝1＋2sinxcosx，∴2sinxcosx＝t2－1. ∴y＝t2－1－2t＋a2＝(t－1)2＋a2－2. ∵－ 2≤t≤ 2， ∴当 t＝1 时，函数 y 取得最小值 a2－2. (2)∵a2－2＝1，∴a＝± 3.
1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各 类函数的研究都离不开图像，很多函数的性质都是通过观察图 像而得到的．
2．作函数的图像时，首先要确定函数的定义域． 3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图像时只要 作出一个周期的图像，就可根据周期性作出整个函数的图像．
(2)依题意得a2a>＋0 a2＋a＝4 或a－<20a＋a2＋a＝4 .
解得
a＝1
或
a＝1－2
17 .
∴a
的取值为
a＝1
或
a＝1－2
17 .
【互动探究】
3．f(x)＝ 2(sinxcosx＋cos2x－12)，0≤x≤π，当方程 f(x)＝a 有两个不相等实根 x1、x2 时，求实数 a 的取值范围．
当 100πt＋π6＝32π＋2kπ， 即 t＝5k0＋715，k∈N 时，Imin＝－2. 而 t≥0，∴I 第一次达到最大值时，t＝3100； I 第一次达到最小值时，t＝715.
点评：通过学习在物理情景下的三角函数问题， 能更好地理解三角函数的意义.
【互动探究】 4．(2010 年惠州第二次调研Байду номын сангаас已知向量 a ＝(sinθ，cosθ)与 b
如果函数 f(x)＝sin(x＋θ)是偶函数，则常数 θ 的值为 _k_π_＋__π2_(_k_∈__Z_) ．
5．如图 6－3－1，已知函数 y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和 直线 y＝2 围成一个封闭的平面图形(阴影部分)，现向长方形
1 ABCD 内任投一个质点，则此质点落在阴影部分的概率为_2__.
2．函数 y＝sin2x的图像的一条对称轴的方程是( C )
A．x＝0
B．x＝π2
C．x＝π
D．x＝2π
3．函数 y＝cosx 的一个单调递增区间为( D )
A.－π2，π2
B．(0，π)
C.π2，32π
D．(π，2π)
4．如果函数 f(x)＝sin(x＋θ)是奇函数，则常数 θ 的值为 _k_π_(_k_∈__Z_)_；
图 6－3－2
方程有解问题，一般转化为根的分布问题、函 数图像问题、函数的值域问题．
【互动探究】 2．如图 6－3－3，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线 近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．
图 6－3－3
解：(1)由图像可知，这段时间的最大温差是 30 ℃－10 ℃ ＝20 ℃.
错源：忽略对参数的讨论
例 3：已知函数 f(x)＝2acos2x＋ 3asin2x＋a2(a∈R，a≠0 为常数)．
(1)若 x∈R，求 f(x)的最小正周期； (2)若 x∈R 时，f(x)的最大值等于 4，求 a 的值．
误解分析：忽略对参数的讨论．
正解：f(x)＝a(1＋cos2x)＋ 3asin2x＋a2 ＝2asin2x＋π6＋a2＋a， ∴最小正周期为 π.
研究函数的性质问题，先要把函数解析式化简为 正弦型或余弦型函数，通过正弦型或余弦型函数来解决问题．
【互动探究】 1．已知函数 y＝2sinxcosx－2(sinx＋cosx)＋a2. (1)设 t＝sinx＋cosx，t 为何值时，函数 y 取得最小值； (2)若函数 y 的最小值为 1，试求 a 的值．
图 6－3－1
考点 1 三角函数的性质 例 1：已知函数 f(x)＝sinx＋sinx＋2π，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最大值和最小值； (3)若 f(α)＝34，求 sin2α 的值．
解题思路：将函数表达式化简为 f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k 的形 式，应用 f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k 的图像和性质解决问题．
(2)图中从 6 时至 14 时的图像是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的 半个周期的图像，∴12×2ωπ＝14－6，ω＝π8，
A＝12(30－10)＝10, b＝12(30＋10)＝20， 这时 y＝10sinπ8x＋φ＋20， 将 x＝6，y＝10 代入，取 φ＝34π， ∴y＝10sinπ8x＋34π＋20，x∈[6,14].
解析：f(x)＝sinx＋sinx＋π2 ＝sinx＋cosx＝ 2sinx＋4π. (1)f(x)的最小正周期为 T＝21π＝2π. (2)f(x)的最大值为 2，此时，x＝2kπ＋π4(k∈Z)； 最小值为－ 2，此时，x＝2kπ－34π(k∈Z) . (3)因为 f(α)＝34，即 sinα＋cosα＝34⇒2sinαcosα＝－176， 即 sin2α＝－176.
解 ： f(x) ＝
2 12sin2x＋1＋c2os2x－12 ＝
2 2
(sin2x
＋
cos2x)
＝
sin2x＋4π，在同一坐标系内作出 y＝sin2x＋4π，与 y＝a 的图像
知：当
f(x)＝a
有两不等实根时
a∈－1，
22∪
22，1.
例 4：(2010 年广东六校三模)设有同频率的两个正弦电流 I1 ＝ 3sin100πt＋π3，I2＝sin100πt－π6，把它们合成后，得到电 流 I＝I1＋I2.
考点 2 三角函数的图像 例 2：关于 x 的方程 3sin2x＋cos2x＝k 在0，π2内有两个不 同的实数根，求实数 k 取值范围．
解题思路：转化为函数 y＝ 3sin2x＋cos2x 和函数 y＝k 的 图像有两个公共点问题．
解析：函数 y＝ 3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，设 2x＋π6＝t， ∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤76π，则转化为函数 y＝2sintπ6≤t≤76π 与函数 y＝k 的图像有两个公共点问题，如图 6－3－2 观察它们 的图像得，k 的取值范围为 1≤k＜2.
3.五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图时，设 X＝ωx＋φ，则 X 通常 取_0_、__π2_、__π_、__3_2π_、__2_π_五个值．
4．研究函数 y＝Asinx＋Bcosx 的性质时，先要进行的变换 是 Asinx＋Bcosx＝ A2＋B2sin(x＋θ)(tanθ＝BA)．
1．函数 y＝cosπ2－2x是( D ) A．最小正周期为 2π 的偶函数 B．最小正周期为 2π 的奇函数 C．最小正周期为 π 的偶函数 D．最小正周期为 π 的奇函数
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人教A版高中数学必修四必修4三角函数复习课件
则同时具有以下两个性质的函数是( A )
①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对 称.
2. 关 于 函 数 f(x)= ２ sin(3x-3π/4 ） ， 有 下 列
命题： ①其最小正周期是2π/3； ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位 得到； ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)； ④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数.
成立的 x 取值范围是（C）
(
A)(
4
,
2
)
(
,
5
4
)(
B)(
4
,
)
2、（(C00)(年4 ）, 54函)(数D)y(
4
,x c)os x(的54部, 3分2 )图
象是（ D ）
y
y
y
y
0x
( A)
0x
(B)
0x
(C )
0x
(D)
例9、(98年)关于函数 f (x) 4sin(2x )(x R)有
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
方法指导：此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有 一解. (2)已知一个角的某三角函数值，但不知角所在象限， 有两解.
一、诱导公式
sin( k 2 ) sin
诱导公式一 cos( k 2 ) cos
数学：《三角函数的图像性质》课件(新人教A版必修4)
余弦函数的图象 y
1 -4 -3 -2 -
余弦曲线
2 3 4 5 6
o
-1
x
y
y cos x
-
x [0, 2 ]
1-
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： (0,1) (2 ,1) 最低点：
-1
1
y=1+sinx，x[0, 2]
2
2
o
y=sinx，x[0, 2] 1 注：函数y=1+sinx，x∈[0,2π]的图象可由
3 2
2
步骤： 1.列表 2.描点 3.连线 x
函数y=sinx ，x∈[0,2π]图象向上平移一个单位得到。
例2 作出函数 y= -cosx,x∈[0,2π]的简图.
y
P
1
C(
3
, sin
3
)
x
M
O
-1
正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法 作三角函数图象
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
p1/
-
1P 1
6
(3) 平移 (4) 连线
2
-
-
-
o1
M1 -1
A
o
-1 -
6
解:
按五个关键点列表求值
0
1 -1
2
描点连线
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
高中数学人教版必修四《三角函数图像与性》课件
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级 x[0，2 ] 的图象沿 x 轴向左、右平移2 ， 4 ，…，
• 三级就可得到 y＝cos x的图象.
• 四级
• 五级 y
1-
6π
4π
2
o
-1 -
2π
4π
6π
x
-
-
2023/9/17
14
单击此处二、编余弦辑函母数的版性标质 题样式 (1) 余弦函数的值域
,0) 3
(
2
( ,0) 2
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
人教版 高中数学
三角函数图 像与性质
单击此处编正辑弦母、版余标弦题函数样的式图象
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
2023/9/17
2
单正弦击、此余处弦编函辑数母的版图标象题样式
三角函数
• 单击此处编辑母版文本样s式in=MP
• 二级
正弦函数
• 三级
• 四级 余弦函数
3
2
2 y=sinx，x[0, 2]
2023/9/17
19
单击此处编辑母版标题样式 例 2 求使函数 y＝2＋sin x 取最大值、最小值 的 x 的集合，并求出这个函数的最大值，
最小值和周期 T .
• 单击此处解编辑母版文本样式y
• 二级
• 二级 x[0，2 ] 的图象沿 x 轴向左、右平移2 ， 4 ，…，
• 三级就可得到 y＝cos x的图象.
• 四级
• 五级 y
1-
6π
4π
2
o
-1 -
2π
4π
6π
x
-
-
2023/9/17
14
单击此处二、编余弦辑函母数的版性标质 题样式 (1) 余弦函数的值域
,0) 3
(
2
( ,0) 2
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
人教版 高中数学
三角函数图 像与性质
单击此处编正辑弦母、版余标弦题函数样的式图象
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2023/9/17
2
单正弦击、此余处弦编函辑数母的版图标象题样式
三角函数
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正弦函数
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• 四级 余弦函数
3
2
2 y=sinx，x[0, 2]
2023/9/17
19
单击此处编辑母版标题样式 例 2 求使函数 y＝2＋sin x 取最大值、最小值 的 x 的集合，并求出这个函数的最大值，
最小值和周期 T .
• 单击此处解编辑母版文本样式y
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人教版高中数学必修四三角函数的图像和性质优质课件
3
3
1
01
21-
2o
2
- 1-
3
3
4
3 2
2
7
10x
3
3
3
返回目录
3. 由y = sinx 到y = Asin(ωx +)的图象变换步骤
步骤1 步骤2
画出y = sinx在0，2π上的简图
横坐标沿向x轴左 (>0平) 或行向移右动(<0) 平移 || 个单位 得到y = sin(x +)在某周期内的简图
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心:
对称轴：
(k , 0)(k z) 对称中心:
x k , k Z 对称轴：
2
(k , 0)(k z)对称中心:
2
( k , 0)(k z)
2
x k ,k Z
无对称轴 返回目录
三、解三角不等式（数形结合）
经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解: (1)y= 12cos2x+ 23sinxcosx+1= 14cos2x+
43sin2x+
5 4
=
1 2
sin(2x+
6)+
54.
当且仅当 2x+ 6=2k+ 2(kZ), 即 x=k+ 6(kZ) 时,
函数 y 取得最大值.
故当 y 取得最大值时, 自变量 x 的集合是:
y=sinx
y=sin2x
O
2π
x
y=sin
1 2
x图象由y=sinx图象（纵标不变），
人教A版高中数学必修4课件三角函数的图像与性质课件
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对 应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦 函数；同样y= cosx也是一个函数，称为 余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？
知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π ．
y
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π ]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π ] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y = A sin(wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ω x＋φ )的周期是多少？
理论迁移
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （3） y = 2 sin(x - p ) ， x∈R ； （4）y=|sinx|2 x∈6 R.
高中数学必修四《三角函数的图象与性质》复习课PPT
即2cosx－1cosx－1≤0， －6<x<6.
也即cosx≥12， －6<x<6.
解得－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπk∈Z， －6<x<6.
取 k＝－1,0,1，可分别得到 x∈(－6，－53π]或 x∈[－π3，π3]或 x∈[53π，6)． 即所求的定义域为 (－6，－53π]∪[－π3，π3]∪[53π，6)．
∴该函数的定义域为{x|2kπ＋π2<x<2kπ＋34π，k∈Z}．
【方法小结】 (1)三角函数的定义域是研究其他一 切性质的前提． (2)三角函数的定义域要求同其他函数中对自变量的 限制一样，另外 y＝tanx 中 x≠kπ＋π2，k∈Z. (3)求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等
式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
D．最小正周期为π2的偶函数
答案：A
2．函数 f(x)＝sinx－cosx 的最大值为( )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
答案：B
3．M，N 是曲线 y＝πsinx 与曲线 y＝πcosx 的两个
不同的交点，则|MN|的最小值为( )
A．π
B. 2π
C. 3π
D．2π
答案：C
4．(教材习题改编)y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图像 与y＝0的交点的个数为________．
解：(1)f(x)＝sinπ4xcosπ6－cosπ4xsinπ6－cosπ4x＝ 23sinπ4x －32cosπ4x＝ 3sin(π4x－π3)， 故 f(x)的最小正周期为 T＝2ππ＝8.
4 (2)法一：在 y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，它 关于 x＝1 的对称点为(2－x，g(x))．由题设条件，点 (2－x，g(x))在 y＝f(x)的图像上．
高中数学一轮复习课件：三角函数的图像和性质
解：(1)f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x＝cos2x－sin2x＝ 2 π cos(2x＋4)． 列表： π π π 3 9 π 2π 2x＋4 4 2 2π 4π π 3 5 7 x 0 π π π π 8 8 8 8 f(x) 1 0 － 2 0 2 1
• 图象如下图：
【例 3】 (2009· 福建卷)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)．其中 π ω>0，|φ|<2. π 3π (1)若 cos4cosφ－sin 4 sinφ＝0，求 φ 的值； (2)在(1)的条件下， 若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之 π 间的距离等于3，求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m， 使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函 数．
3π π 思路分析：(1)把 sin 变换成 sin ，然后利用两角和的余 4 4 弦公式解决；(2)正弦函数图象两相邻对称轴之间的距离是半 个周期，根据这点求出 ω，也就确定了函数 f(x)的解析式，若 要平移函数图象使其为偶函数， 则只保证 y 轴为这个函数图象 的一条对称轴即可．
π 3π 解：(1)由 cos cosφ－sin sinφ＝0 得 4 4 π π cos4cosφ－sin4sinφ＝0， π 即 cos( ＋φ)＝0. 4 π π 又|φ|<2，∴φ＝4.
2
sin2x＋cos2x 1 (2)化简可得 f(x)＝ 2 ＋2tanx＋1＝ ＋2tanx cos x cos2x ＋1＝tan2x＋1＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1， π π 因为 x∈[－ ， ]，tanx∈[－ 3，1]．显然，当 tanx＝ 3 4 π －1，即 x＝－ 时，函数有最小值 1；当 tanx＝1，即 x＝ 4 π 时，函数有最大值 5. 4
人教版高中数学必修四：《三角函数的图象和性质》课件
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2021/4/302021/4/302021/4/304/30/2021 3:16:36 PM
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11、人总是珍惜为得到。2021/4/302021/4/302021/4/30Apr-2130-Apr-21
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12、人乱于心，不宽余请。2021/4/302021/4/302021/4/30Fri day, April 30, 2021
2
,0)、( ,-1)、( 3 2
,0)、(2, 1)
y
1●
o
●
2 -1
●
●
3
2
x
2
●
例：画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx， x [0, 2 ]
(2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表：y=1+sinx x∈[0,2π]
x
0
2
3 2
2
sinx 0 1 0 -1 0
1
●
0
2
-1
●
3
2
●
●
2
x
练习：用“五点画图法”画出正弦函数
y=sinx x∈ [0, 2 ]的图象
一、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+
2
)= cosx
y
y=sinx的图象
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
y=cosx的图象
6 x
余弦函数的“五点画图法”
(0,1)、(
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2021/4/302021/4/302021/4/302021/4/304/30/2021
最新人教版高中数学必修四三角函数图像性质 优质课件
)
2，2 .
y t t2 1 1 t2 t 1 1 (t 1)2 1. 2 2 22
函数的值域为 1,
1 2
2
.
题型二：三角函数的单调性 范例解析
例2 (1)求y sin(3 2x)的单调递减区间．
解：函数可化为：y
=
-
sin
2x
3
,
由题意可得2k - 2x 2k , k z.
1.考纲要求:
理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2的 性质
(如单调性、最大值和最小值与轴的交点等).
理解正切函数在区间
的单调性.
了解三角函数的周期性. , 2 2
2.教学重点:
三角函数性质的应用
函数 图象
y sin x
y
1
0
1
2 x
y cos x
y
1
0
1
2 x
y tan x
y
2
3 2
例3
解：原函数可化为：y=-sin
2x
3
由2k - 2x 2k , k z得
2
3
2
k - x k 5 , k z
12
12
原函数的单调递减区间为 N
k - ，k 5 , k z .
12
12
题型一：求三角函数的值域和最值
例1 求y sin x cos x sin x cos x的最值，
图象的两相邻对称轴间的距离为 （1）求f ( )的值；
2
(2008山东卷17)
8
（2）将函数y
f
(x)的图象向右平移
6
个单位后，再将得到的图象上
各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）,得到函数y g(x)的