第六章变异指标

10
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距 用最大组的上限减去最小组的下限
组距
f
150~156
3
156~162
9
162~168
25
168~174
34
174~180
20
180~186
7
186~192
1
192~198
1
合计
100
运用上 述方法计 算左边数 列的全距
11
对于开口组： 最高组的上限＝最高组的下限＋邻组的组距 最低组的下限＝最低组的上限－邻组的组距
N
5
＝
X2 (
X )2
27151
365
2
10.06
N
N
5 5
X
(X X)
(X X )2
72
-1
1
81
8
64
86
13
169
69
-4
16
57
-16
256
365
标准差是方差的正平方根。 方差和标准差即克服平均差带有绝 对值的缺点，又保留其综合平均的优点。
23
一、总体方差和标准差
• 1. 对于未分组资科
(X X )2
N
XHale Waihona Puke (X )2NN
24
求72、81、86、69、57这些数字的标准差。
X X 365 73.0
N5
(X X )2 506 10.06
平均差是离差绝对值的算术平均数 （mean deviation)。
15
1.对于未分组资料 A ·D= X X
N
2.对于分组资料
A
·D=
f X
f
X
3.平均差的性质
在受抽样变动、极端值影响，处理不确定组
距方面均同于算术平均数；不适于代数运算，其 理论意义不易阐述。
16
[例1] 试分别以算术平均数为基准， 求85，69，69，74，87，91，74这 些数字的平均差。
Q • D Q3 Q1 2
求下组成绩的四分位差：
请大家
计算一下， 看能否算对
78 80 82 85 89 87 90 86 79 88 84 81
14
三、 平均差(Mean absolute deviation)
要测定变量值的离中趋势，尤其是要测 定各变量值相对于平均数的差异情况，一 个很自然的想法就是计算各变量值与算术 平均数的离差。
• 变异指标 用以反映总体各单位标志值的变
动范围或参差程度，与平均指标相对应，从 另一个侧面反映了总体的特征。
5
例如有A、B、C、D四组学生各5人的成 绩如下：
A组：60 ，60，60，60，60 B组：58，59，60，61，62 C组：40，50，60，70，80 D组：80，80，80，80，80
7
二、标志变异指标的作用
• 1.标志变异指标是评价平均数代表性的依据。 • 2.标志变异指标可用来反映社会经济活动过
程的均衡性和稳定性。标志变异指标值小， 说明社会经济活动过程的均衡性和稳定性 好，反之则差。 • 3.标志变异指标还是抽样调查中计算抽样误 差和抽样数目的依据。
8
第二节 极差、分位差、平均差和异众比率
19
• 1. 变异系数 绝对离势统计量与其算术平均数的比
率，用V表示。变异系数是最具有代表性的 相对离势。
20
• 全距系数
全距系数是众数据的 全距与其算术平均数之 比，其计算公式是
VR
R X
• 平均差系数
平均差系数是众数据 的平均差与其算术平均 数之比，其计算公式是
VAD
R X
21
2. 异众比率
所谓异众比率，是指非众数的频数与总体单位 数的比值，用V·R来表示
其中：fM o
V R V fMo N
为众数的频数；N
是总体单位数
异众比率能表明众数所不能代表的 那一部分变量值在总体中的比重。
22
第三节 方差和标准差（standard deviation)
方差是各变量值对其算术平均数的离 差平方的算术平均数。
第六章离中趋势—— 标志变异指标
1
学习目的：
理解标志变异指标的意义和作用；掌握 各种标志变异指标的性质和计算方法。
2
•主要内容： •第一节：变异指标的意义和作用 •第二节：极差、分位差、平均差和异众比率 •第三节：方差和标准差 •第四节：偏度与峰度
3
第一节 变异指标的意义和作用
一、标志变异的概念 • 标志变异指标也称标志变动度，是反映总体各单
x 78.4
• X X ＝7.9 N
17
[例2] 试以算术平均数为基准，求下表所示数据 的平均差。
组距
f
150~156
3
156~162
9
162~168
25
168~174
34
174~180
20
180~186
7
186~192
1
192~198
1
合计
100
计算左 边数列的 平均差
18
四、异众比率
上述各种反映离中趋势的变异指标，都 具有和原资料相同的计算单位，称绝对离 势。但欲比较具有不同单位的资料的参差 程度，或比较单位虽相同而均值不相同的 资料的参差程度，离势的绝对指标则很可 能导致某些错误结论。所以，我们还得了 解和学习相对离势。
12
极差优缺点：
优点：
计算简单、 直观。
缺点：
（1）受极端值影响大； （2） 没有量度中间各个单位间 的差异性，数据利用率 低，信息丧
失严重；
（3）受抽样变动影响大，大样 本全距比小样本全距大。
13
二、四分位差(Quartile deviation) 第三四分位数和第一四分位数的半距。
避免全距受极端值影响大的缺点。
一、极差(Range)
极差（R）：最大值和最小值之差。 也叫全距。全距越大，表示变动越大。
R =Xmax– Xmin
9
[例] 求74，84，69，91，87，74，69这些 数字
的全距。 [解] 把数字按顺序重新排列：69，69，
74， 74，84，87，91，显然有
R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22
数据显示：平均数相同，离势可能不同； 平均数不同，离势可能相同。
6
变异指标如按数量关系来分有以下两类； • 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势;
主要有极差、平均差、四分位差、 标准差等。
• 凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势; 主要有异众比率、标准差系数、平均差 系数和一些常用的偏态系数。
位标志值之间差异程度的综合指标。 • 平均指标把总体各单位数量标志值间的差异抽象
化了，反映现象的一般水平，表明事物的集中趋 势。但被抽象化了的各单位标志值之间的差异究 竟有多大，平均指标的代表性又如何，这需要计 算标志变异指标来测定。
4
• 所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间 的差距和离散程度。
• 离势小，平均数的代表性高； • 离势大，平均数代表性低。