勾股定理(实际运用题)
勾股定理的实际应用(人教版)(含答案)
勾股定理的实际应用（人教版）一、单选题(共8道，每道10分)1.如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆,其边缘AB=CD=16,点E在CD上,CE=4,一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)A.15B.C. D.21答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题2.如图,圆柱底面半径为,高为9cm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且点A,B在同一母线上,用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点,则这根棉线的长度最短为( )A.12cmB.C.15cmD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题3.如图是一个三级台阶,它的每一级的长,宽和高分别为50寸,30寸和10寸,A和B是这个台阶的两个相对端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长是( )A.13寸B.40寸C.130寸D.169寸答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题4.如图,一只蚂蚁从长、宽都是6,高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长为( )A.20B.22C.28D.18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题5.如图,一个直径为8cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1cm.当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),若筷子顶端刚好触到杯口,则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm.A.8,7B.8.5,7.5C.9,8D.10,9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用6.如图,将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm,4cm,3cm的水箱中,能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm.A.13B.12C.15D.16答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用7.一辆卡车装满货物后宽3.2米,这辆卡车要通过如图所示的隧道(上方是一个半圆,下方是边长为4米的正方形),则装满货物后卡车的最大高度为( )米.A.5.2B.5.8C.7.6D.5.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题8.某工厂大门形状如图所示,其上部分为半圆,工厂门口的道路为双行道(双行道中间隔离带忽略不计).要想使宽为1.5米,高为3.1米的卡车安全通过,那么此大门的宽度至少应增加( )米.A.1.7B.2C.0.3D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．答案：20解题思路：试题难度：知识点：平面展开最短路径问题10.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm．答案：13解题思路：试题难度：知识点：平面展开最短路径问题。
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
勾股定理实际应用问题
勾股定理实际应用问题一．选择题（共6小题）1．（2015•临沂模拟）一辆拖拉机沿着公路l以20km/h的速度前行，幼儿园R距离公路l大约3km，拖拉机产生的噪音能够影响周围5km的区域，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为（ ）A．0.4h B．0.8h C．1.2h D．1.5h2．（2015春•沂水县期末）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）A．9m B．7m C．5m D．3m3．（2015秋•滕州市校级期末）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（ ）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．54．（2015秋•丹阳市校级月考）如图（1），一架梯子长为5m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙3m．如果梯子的顶端下滑了1m（如图（2）），那么梯子的底端在水平方向上滑动的距离为（ ）A．1m B．大于1mC．不大于1m D．介于0.5m和1m之间5．（2013•广东模拟）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）A．12秒B．16秒C．20秒D．30秒．6．（2012•杭州模拟）如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ ）A．B．C．D．二．解答题（共14小题）7．（2015秋•滕州市校级期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了3秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？8．（2015春•罗田县期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m 的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？9．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．10．（2016•陕西校级模拟）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）11．如图所示，某海军基地位于A处，在其正南方向100海里处有一重要目标B，在B的正东方向100海里处也有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从A出发，经B到C匀速航行，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰，已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果精确到0.1海里）？12．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的途度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km．（1）如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？13．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？14．据气象观测，某台风中心正位于城市A正南方向220km的B处，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现以15km/h的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则会受台风影响．（1）城市A是否会受这次台风的影响？请说明理由；（2）若城市A会受台风影响，则影响的持续时间会有多长？（3）城市A受到该台风影响的最大风力为几级？15．如图，一架梯子AB斜靠在一面墙上，梯子长25m，梯子底端B到墙面AC的距离是7m．（1）如果梯子的顶端A向下滑动距离为1，求梯子底端B在水平方向滑动的距离；（2）梯子的顶端A向下滑动距离可否等于梯子的底端B在水平方向滑动的距离？请分析说明；（3）当梯子顶端A向下滑动距离为多少时，△ACB的面积最大？求出面积的最大值．17．2011年第一季度，我国南方多省市遭遇特大干旱，为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测2012﹣01﹣03 18：36C处地下有水，为此C处需要爆破，已知C处与公路上的停靠站A的距离是300m，与公路上另一停靠站B的距离为400m，且CA垂直CB，为了安全，爆破点C周围250m的范围内禁止进入．问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？18．如图所示，一次缉毒行动中，警方获可靠信息，一运毒车将经过5号公路，但由于车上有爆炸装置，警方无法靠近，只能使用远程射击的方法，为了减少对周围的伤亡，警方选中一距离公路120m的隐蔽处P点，射程为200m，准备行动，此时发现，运毒车已经来到与P点的水平距离为300m处，若运毒车的车速为20m/s，那警察发现后要在几秒钟内对其进行射击？19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以6m的直角边的反向延长线方向，求扩充后等腰三角形绿地的周长．20．（2015春•无棣县期中）如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题(含答案)1.下列说法正确的是：C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A=90°，则a+b=c。
2.根据勾股定理，应该选B.a+b>c。
3.根据勾股定理，斜边长为√（k-1）²+（2k）²，即√（5k²-4）。
4.根据(a-b)(a+b-c)=0，可得a=b或a+b=c，所以它的形状为等腰三角形或直角三角形。
5.设另一直角边为x，则根据勾股定理得x²+9²=(x+1)²，解得x=40/9，周长为9+40/9+41/9=120/9=40/3，选C。
6.根据勾股定理得BC=√（13²-12²）=5，所以周长为15+13+5=33，选D。
7.根据勾股定理和中线长度公式得周长为2d+2√(d²-S)，选C。
8.根据勾股定理得OP的长度为√(3²+4²)=5，选C。
9.根据勾股定理和海伦公式得BC=√(26²-24²/25)=17，选A。
10.根据(a-6)+b-8+c-10²=0，可得a+b+c=24，所以它的形状为等边三角形。
11.根据勾股定理和面积公式得面积为(8*15)/2=60，选D。
12.根据等腰三角形的性质，顶角的平分线与底边中线重合，所以答案为底边中线，即6.5.13.根据勾股定理得斜边长为√200=10√2，选D。
14.根据三角形边长比的性质，10:8:6无法构成三角形，所以不是三角形。
15.一个三角形的三边比为5:12:13，周长为60，则其面积为多少？16.在直角三角形ABC中，斜边AB=4，则AB+BC+AC=多少？17.如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则该半圆的面积为多少？18.若三角形三个内角的比为1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则该三角形三个角度数分别为多少？另外一边的平方是多少？19.长方形的一边长为3cm，面积为12cm²，则其一条对角线长为多少？20.如图，一个高为4m、宽为3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求该木条的长度。
勾股定理练习题
勾股定理练习题一、线段长度计算1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为。
2、△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是。
3、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD 的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为。
4、如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．5、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是。
6、如图，在△ABC 中，AB=BC=4，AO=BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为 ．7、正方形ABCD 的边长是4，点P 是AD 边的中点，点E 是正方形边上的一点．若△PBE 是等腰三角形，则腰长为 ．8、在△ABC 中，AB=22，BC=1，∠ ABC=450，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD=900，连接CD ，则线段CD 的长为 ． 9、如图，▱ABCD 中，∠ABC=60°，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BC ，EF=，则AB 的长是 ．10、在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm ．（结果保留π）11、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 33l 2与l 3之间的距离为1．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC =BC ，AC 与直线l 2交于点D ，则BD 的长为______．Dl 3l 2l 1ABC11、如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若DE +DF =3，则△ABC 的周长为（ ）A ．6B ．63C ．8D ．43FACD EB12、太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B ，C 在EF 上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm ，AD=24cm ，BC=25cm ，EH=4cm ，则点A 到地面的距离是 cm ．二、勾股定理与实际运用1、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米．2、我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．3、如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．4、“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A 到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）5、如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB 的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．6、如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）7、如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B 向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．三、勾股定理综合运用1、如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．2、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．3、如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长．4、若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状。
初中数学专题练习：勾股定理实际应用(原卷版)
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
7．如图，高速公路上有 A、B 两点相距 10km，C、D 为两村庄，已知 DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB 于 A， CB⊥AB 于 B，现要在 AB 上建一个服务站 E，使得 C、D 两村庄到 E 站的距离相等，则 EB 的长是（ ） km
A．4
B．5
A．
B．
C．
D．
3．如图，有一个水池，水面是一边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如 果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10
B．12
C．13
D．14
4．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广 几何？”大意是说：如图，推开双门（AD 和 BC），门边缘 D，C 两点到门槛 AB 的距离为 1 尺（1 尺＝ 10 寸），双门间的缝隙 CD 为 2 寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB 为（ ）
C．6
D．
8．某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是 2.0 米，高 分别为 2.8 米，3.1 米，3.4 米，3.7 米，则能通过该工厂厂门的车辆数是（ ）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AC＝10km，BC＝24km，则 M、C 两点之间的距离为（ ）
22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 AB＝AC，由于某种 原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A、H、B 在同 一条直线上），并新修一条路 CH，测得 CB＝1.5 千米，CH＝1.2 千米，HB＝0.9 千米． （1）问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路 CH 比原路 CA 少多少千米？
第十七章 勾股定理题实际应用型归纳专题训练
第十七章勾股定理题实际应用型归纳专题训练题型一：梯子滑落问题1．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m.如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（）A．15m B．9m C．7m D．8m2．一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（）A．1m B．小于1m C．大于1m D．无法确定AO=，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也向右3．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得4m滑1m，则梯子AB的长度为________.4．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了_____米．5．如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE的长度为0.7米．(1)求梯子上端到墙底端E的距离；AC=米）则梯脚B往外移多少米？(2)如果梯子顶端A沿墙下滑0.4米，（即0.46．如图，某火车站内部墙面MN 上有破损处（看作点A ），现维修师傅需借助梯子DE 完成维修工作．梯子的长度为5m ，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E 离墙角N 处3m ，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D 距离墙面破损处1m ．(1)该火车站墙面破损处A 距离地面有多高？(2)如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m ．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？题型二：树木折断问题7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（）A ．3尺B ．3.2尺C ．3.6尺D ．4尺8．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈10=尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（）A ．()22310x x -=-B ．()22310x x +=-C ．()222310x x +=-D ．()222310x x -=-9．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?如图，设折断处距离地面a 尺，根据题意，则可列方程：__________．10．强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，则旗杆折断之前的高度是_______．11．如图，在距张大爷家房屋17米处有一棵大树．在一次强风中，这颗大树从距地面8米处折断倒下，量得倒下部分AC的长是17米．请你通过计算，判断这棵大树倒下时是否会砸到张大爷的房子．12．如图，一木杆长13m，在离地面的点B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的12m处．求木杆折断处离地面有多高？题型三：旗杆高度问题13．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．14．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B 离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B 距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．15．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．题型四：小鸟飞行距离16．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？17．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.7米，当人体进入感应器的感应范围内BC 米），感应门时，感应门就会自动打开．一个身高1.5米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.6米的地方时（ 1.6自动打开，AD为多少米？18．如图，有两根直杆隔河相对，杆CD高30m，杆AB高20m，两杆相距BC为50m，两杆顶各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，以同样的速度同时飞下来夺鱼，两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．两杆底部距鱼的距离BE，CE各是多少？题型五：最短路径问题19．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，地面直径为8m，在该仓库下地面A处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧外面中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是0.4m/min，那么蚂蚁吃到食物至少需要爬行（ 取3）（）A．32.5min B．minC．30min D．25.2min220．如图，圆柱形容器的高17cm，底面周长是24cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（）D．24cmA．20cm B．C21．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少要_______米22．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯______米．23．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？题型六：是否受台风影响问题24．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60 的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？(2)求A城受台风影响的时间有多长？25．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，该台风中心现在正以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向移动，若在距离台风中心130km 范围内都要受到影响．（结果精确到0.01） 2.236≈≈≈）(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？题型七：航海问题24．如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（）A ．40海里B ．32海里C ．24海里D ．20海里25．一艘渔船从港口A 沿北偏东60°方向航行60海里到达C 处时突然发生故障，位于港口A 正东方向的B 处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C 处所用的时间为（）A ．32小时B ．23小时C D26．在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距60海里．(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；(2)求救助船A、B分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．27．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东40︒航行，乙船向北偏东50︒航行，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若CB两岛相距40海里，∠的度数；(2)求乙船的航速是多少？(1)直接写出CAB题型八：水杯中筷子问题28．如图所示，将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度cm h ，则h 的取值范围是（）A ．17cmh ≤B ．8cm h ≥C ．15cm 16cm h ≤≤D ．7cm 16cm h ≤≤29．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm ，高为16cm ，现有一根长为25cm 的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）A ．6cmB ．5cmC ．9cmD ．(25cm -30．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A ．56a ≤≤B ．36a ≤≤C ．23a ≤≤D ．12a ≤≤题型九：汽车超速问题31．如图，一辆小汽车在一条限速70km/h 的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A 的正前方60m 处的C 点，过了5s 后，测得小汽车所在的B 点与车速检测仪A 之间的距离为100m ．(1)求B ，C 间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．32．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l 的距离为100m 的P 处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为3s ，并测得60APO ∠=︒，45BPO ∠=︒，(1)求AP 的长？(2)试判断此车是否超过了80km /h 1.732≈）题型十：河宽问题33．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C 移动到点E ，同时小船从点A 移动到点B ，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC ________BC CE +（填“>”“<”“=”）；(2)若5CF =米，12AF =米，4AB =米，求男孩需向右移动的距离CE （结果保留根号）．34．如图，某人从点A 划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 离欲到达点B 有45m ，已知他在水中实际划了75m ，求该河流的宽度AB ．。
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF 、GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）1） 题意分析：本题考查勾照定理及勾股定理的逆定理./2） 解题思踏；可利用勾照定理直接求出各也长，再进行判断.卜 解答过程：#ai^AEAF 中，AF=h AE=2,根据勾股定理，得。
跻=J 招己'十』十F = 姊同理 = 2思* QH. = 1 CD = 2^5计算发现（右尸十0招”=（雁沪t 即/费+寥=奇,根据 勾股定理的迎定理得到以AE 、EF 、GH 为也的三角形是直角三角形.故选 B. *解题后B0思考、1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此，解跑时一定要认真分析题目所蛤条件，看是否可用勾股定理来解n ，L 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 七”就是斜诳而.固执"地运用公式"二/十舛 其实，同样是四"6 NC 不一定就等于叩幻I 不一定就是斜遮，A ABC 不一定就是直角三痢 形.卜A. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GHB. AB 、EF 、GHD. AB 、CD EF3.直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从"形胡（一个三角形是直角三角形）到板'3’ =疽十瑟）的辿程，而直角三角形的判定是一个从W〔一个三角形的三满是L = ^+广的条件）到胃形'这个三弟形是直急三甬形）的过程.甘1在应用勾股定理解题时，要全面地毒虑问题.注意m题中存在的多种可能性，避免漏解。
/例2-如图'有一块直角三角形舐板幽G两直角边ACMkm, BWg 现博直甬边AC沿直线AD折叠,庾它落在斜辿AB上,且点C落到点E处, 则CD等于（EC 。
A. 2cmB. 3cm C 4an D 5cm*" iiEMraZJ VI :『n暴意分析，本题考查勾股定理的应用，：）解题思路；本题若直接在△XOQ中运用勾股定理是无法求得® ffi 长的，因为只知道一条迫应。
勾股定理与实际问题十大类型大题专练(分层培优30题)
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.4勾股定理与实际问题十大类型大题专练（分层培优30题）类型一、勾股定理与梯子问题1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙(BO)6米(1)此时梯子顶端A离地面多少米?(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?2．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、B、C 在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度．【答案】(1)墙高3米(2)竹竿的长2.5米【分析】（1）设墙高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方，联立即可得到答案；（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．【详解】（1）解：设墙高x米，∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠BCO=∠EFO=90°，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理可得，B O2=(x−0.6)2+0.72，O E2=(x−1)2+1.52，∵BO=OE，3．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？（2）梯子底部不是水平方向滑动了由题意得：A A′=4米，∴A′C=24−4=20米，∴B′C=252−202=15（米）类型二、勾股定理与旗杆高度问题4．（2022秋·山东济南·七年级校考期中）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到离底座最近时，摆锤离底座的垂直高度DE=4cm，当它来回摆动到离底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时，摆锤离底座的垂直高度BF=6cm，求钟摆AD的长度．【答案】15cm【分析】根据勾股定理可知A B2=A C2+B C2列方程即可请求解.【详解】解：设AB=x cm，依题意得：BC=8cm，CD=CE−DE=6−4=2(cm)，AC=AD−CD=(x−2)(cm)，∵∠ACB=90°，∴A B2=A C2+B C2，即(x−2)2+82=x2，解得：x=15答：钟摆AD的长15cm【点睛】本题考查了利勾股定理解决实际问题，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键．5．（2022秋·山东济宁·七年级校考期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．【答案】17m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x米，可得AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)，而BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x即可．【详解】解：如图，设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)，而BC=8m，在Rt△ABC中，A B2+B C2=A C2，即(x−2)2+82=x2，解得：x=17(m)，即旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．6．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激光测温仪，测温仪离地面的距离AB=2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC=0.8米），测温仪自动显示体温，求此时人头顶离测温仪的距离AD．∵AB=2.4米，BE=∴AE=AB−BE=2.4−1.8在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE2+DE2=类型三、勾股定理与大树折断问题7．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？【答案】24【分析】先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论．【详解】解：根据题意：大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，且折断部分是斜边，8．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB=4m．(1)求旗杆折断处C点距离地面的高度AC；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B′处，形成一个直角△AD B′，请求出A B′的长．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图9．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆距地面多高处折断（AC）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？因为点D距地面AD=3−1=2(m)类型四、勾股定理与筷子问题10．（2021春·云南红河·八年级校考期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，求h的取值范围【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确求出11．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？【答案】12尺【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【详解】解：设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺，根据勾股定理，得(h+ 1)2-h2=52解得h = 12，∴水深为12尺，故答案是：12尺．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．12．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【答案】26cm【分析】设杯子的高度是x cm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设杯子的高度是x cm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直径为20cm，∴杯子半径为10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍长26cm．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．类型五、勾股定理与航海问题13．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．(1)求M点与小岛P的距离；(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．14．（2022秋·江苏·八年级期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？【答案】此时游船移动的距离AD的长是9m15．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60°的方向航行100km到达B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到达C港口．(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)C港口在A港口的什么方向．类型六、勾股定理与宽度问题16．（2022春·安徽·八年级校联考期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E．732，结果精确到1米）？17．（2020秋·四川成都·八年级统考期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A,B，其中AB=AC，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，已知CB=CH=2千米，HB=1千米．（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求新路CH比原路CA少多少千米？（2）设AC=AB=x，∵BH=1千米，18．（2022春·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）去年某省将地处A，B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A，B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A，B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60度方向、B地的西偏北45度方向C处有一个半径为0.7km≈1.732）类型七、勾股定理与超速问题19．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路BC上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（BC⊥AC），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为100米，请问这辆小汽车是否超速？20．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，(1)求AP的长？(2)试判断此车是否超过了80km/h 1.732）【答案】(1)AP的长为200m(2)此车超过了80km/h的限制速度21．（2022春·福建福州·八年级福建省福州第八中学校考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？类型八、勾股定理与台风影响问题22．（2021秋·浙江嘉兴·八年级期中）如图，小明家位于笔直的公路MN一侧的点A处，且到公路MN的距离AB为600m，现有一广播车在公路MN上以250m/min的速度沿MN方向行驶，已知广播车周围1000m以内都能听到广播宣传，则小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出小明家共能听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．∴在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP=∵AB⊥PQ,AP=AQ，∴PQ=2BP=1600m．∴小明家共能听到广播宣传的时间为1600÷250=6.4min．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向移动，若在距离台风中心130km范围内都要受到影响．（结果精确到0.01）≈1.414 1.732 2.236）(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？在直角△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=AB=110km∴AD=12∵110<13024．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的目的地B处，经16小时的航行到达，到达后立即开始卸货，这时接到气象部门的通知，一台风中心正以40海里/小时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）都会受到影响．(1)问B处是否会受到台风的影响请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果保留根号）【答案】(1)会受台风影响，理由见解析；∵在Rt△ABD中，∠BACAB,∴BD=12∵AB=20×16=320∴BD=1AB=1×320=160在Rt△ADB中，AB=∴AD=1603海里，∵要使卸货不受台风影响，∴必须在点B距台风中心第一次为类型九、勾股定理与选址问题25．（2019春·山东济宁·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知，AB=2.5 km，CA=1.5 km，DB=1.0 km，试问，图书室E应该建在距点A多少km知处．才能使它到两所学校的距离相等？【答案】图书室E应该建在距A点1km处，才能使它到两所学校的距离相等【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可．【详解】由题意可得：设AE=x km，则EB=(2.5−x)km．∵A C2+A E2=E C2，B E2+D B2=E D2，EC=DE，∴A C2+A E2=B E2+D B2，∴ 1.52+x2=(2.5−x)2+12，解得：x=1．答：图书室E应该建在距A点1km处，才能使它到两所学校的距离相等．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，得出A C2+A E2=B E2+D B2是解题的关键．26．（2022秋·山东东营·七年级统考期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB=80km，AD=50km，BC=30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？【答案】30km【分析】设AE=x km，则BE=(80−x)km，根据勾股定理可得，D E2=A D2+A E2，C E2=B E2+B C2，结合DE=CE得到关于x的方程，求解即可．【详解】解：设AE=x km，则BE=(80−x)km，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴△ADE和△BCE都是直角三角形，在Rt△ADE中，D E2=A D2+A E2，在Rt△BCE中，C E2=B E2+B C2，∵AD=50km，BC=30km，DE=CE，∴502+x2=(80−x)2+302，解得x=30，答：信号塔应该建在距离A乡镇30km的地方．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．27．（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处?并判断此时ΔDEC的形状，请说明理由．【答案】市场E应建在距A的20千米处；ΔDEC是等腰直角三角形，理由见解析．【分析】可以设AE=x，则BE=50−x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE，根据CE=DE可以求得x的值，即可求得AE的值．【详解】解：设AE=x，则BE=50−x，在直角△ADE中，D E2=302+x2，在直角△BCE中，C E2=(50−x)2+202，∴302+x2=(50−x)2+202，解得：x=20，即AE=20km；∴市场E应建在距A的20千米处；∵AE=BC=20km，BE=50−20=30km，在△DAE和△EBC中，AE=BC∠DAE=∠EBC，AD=BE可得△DAE≌△EBC(SAS)，∴∠AED=∠BCE，又∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC+∠AED=90°，∴∠DEC=90∘又∵DE=EC，∴△DEC是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中根据D E2=302+x2和C E2=(50−x)2+202求x的值是解题的关键．类型十、勾股定理与最短路径28．（2022秋·陕西汉中·八年级校考期中）如图，一只蜘蛛从长方体的一个顶点A爬到另一顶点B，已知长方体的长、宽高分别是AC是8cm，CD是7cm，BD是8cm，求这只蜘蛛爬行的最短距离是多少？29．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）如图，一个圆柱体，高等于12cm，底面半径等于3cm，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是多少cm（π取3）【答案】15cm由题意可知：BC=12cm30．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：高线AB＋底面直径BC，如图a所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2．(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1的长度l1=，路线2的长度l2=；②所以选择哪条路线较短？试说明理由．。
勾股定理应用题型大汇总(经典)
勾股定理题型汇总一、用勾股定理解决实际问题 【经典例题】 1.水中芦苇问题在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
2.梯子滑动问题一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？【练一练】1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里，A 、B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？AA ′BA ′ O二、最短路径问题1、如图1，长方体的长为12cm ，宽为6cm ，高为5cm ，一只蚂蚁沿侧面从A 点向B 点爬行，问：爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？2、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?3：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？5、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)A B 5 316、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. ⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)⑵如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)7、如图，圆锥的侧面展开图是半径为22cm 的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行，问：（1）爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点C 的最近距离．8、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为三、面积问题1. 已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．AB CD E FGA ·B · A· B ·FE DABC2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．3．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______ ___． 4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．图① 图② 图③5．如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去…，记正方形ABCD 的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an ，根据上述规律，则第n 个正方形的边长an ＝___ _____记正方形AB －CD 的面积S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，……，S n (n 为正整数)，那么S n ＝____ ____．6.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．四、翻折问题1、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.2、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.3、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=求BF 的长．G AD A B C DAA B C D EG FF 4、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
通过复习勾股定理的过程，会熟练运 用勾股定理解决实际问题．
1、如图，在一棵树的10 米高的B处有2只猴 子，一只猴子爬下树走到离树பைடு நூலகம்0 米处的池 塘边A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A 处（假设它跃过的路线为直线），如果两 只猴子所经过的路程相等，求这棵树高．
2、如图，在笔直的某公路上有A、B两点相距 50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A， CB⊥AB于点B，已知DA=30km，CB=20km， 现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E， 使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站 E应建在离A点多远处？
3、观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．
(1)试找出它们的共同点，并说明你的结论； (2)当a＝21时，求b，c的值．
教师寄语 “信念――必胜，决定成败”
庄子说过：“志不强者，智不强”。成 功，须先有信念，继之以行动，最后 才能有成功的结果。期中考试在即， 无论你还有多少心理备考的焦虑，还 有多少知识备考的不足，一切都可以 暂且放下，但心中，一定要有信念 ―― “我能成功，我一定能成功”。 咬紧牙 关，坚持到最后的胜利，坚信自己有
3、如图，牧童在A处放牛，他的家在B
处，A、B到河岸l的距离分别为 AC=400米，BD=200米，CD=800米。 牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家， 所走的最短路程是多少？
C D l
B
A
4、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、 宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这 个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想 到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬 到B点的最短路程是多少？
有意思的题 1、如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、 C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长 是（ ）．正方形的面积是（ ）．
2、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示). 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3 ，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、 S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4为（ ）
勾股定理在生活中的应用十 分广泛，利用勾股定理解决问题， 关键是找出问题中隐藏的直角三 角形或自己构造合适的直角三角 形。
1、如图，高速公路的同一侧有A、B两个村庄， 它们到高速公路所在直线MN的垂直距离分别为 AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km，要在 高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A、B两 村庄到P的距离之和最短，这个最短距离为多少？
作业