高一数学衔接班第8课——与平面几何有关的定理与..
数学联赛高一全国数学联赛暑期班讲义第8讲平面几何一学生版
36 | 高一·数学·第8讲·联赛班·学生版 |知识点拨毕达哥拉斯（二）令毕达格拉斯学派引以为傲的应该是“毕达哥拉斯定理”的发现，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方——我国称为“勾股定理”．毕达哥拉斯定理可谓数学史上的第一块里程碑，它揭示了三角形边长的数量和形状的关系，后来成为解析几何的“距离公式”，并在高维空间的数学中有着重要作用，因此被人们誉为数学大厦的“拱心石”．毕达哥拉斯定理已有4000多年的历史，它的证明方法多达400余种，这中间有著名画家达·芬奇的杰作，也有一位盲童的贡献，甚至爱因斯坦也和毕氏定理有过邂逅．有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕氏定理得内容，而未讲任何证明．他的侄儿理解所涉及的关系，并感到基于一种理由可推导出来．．．．．．．这个小孩在三个星期中用其全部的思维力量去证明这一定理．他专注到三角形的相似性（从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线）得到了一个证明．为此他久久地激动不已！这虽然仅涉及一个非常古老的著名定理，他却经历了发现者的首次快乐．据说毕氏学派为了纪念这一发现，要杀掉一百头牛来庆贺．但是，他们却没有想到，由毕达哥拉斯定理引发的关于无理数的发现，却使毕达哥拉斯学派陷入困境．根据“毕达哥拉斯定理”，单位正方形对角线的长应为2，那么2是什么性质的数呢？名人名言第八讲平面几何技巧（一）三点共线是平面几何中典型的问题，证明点共线的思路：1．从角考虑：证得以中间一点为顶点，两侧两点所在射线所成的角为平角；证得以中间一点为顶点且作一直线，其余两点所在射线构成对顶角；证得以一点为顶点且作一射线，其余两点所在射线与前一条射线所成的两个角相等．2．从线考虑：证第三点在过另两点的直线上；证得三点两两连线与同一直线垂直或平行；证得三点两两连结的线段有和或差关系．3．从形考虑：证得三点所成的三角形面积为零；证得以一点为位似中心，其余两点为位似变换的一对对应点．4．从有关结论考虑：注意到梅涅劳斯等．5．从方法上考虑：可考虑反证法、同一法、面积法等．【例1】 如图，在直角三角形ABC 中，CH 为斜边AB 上的高，以A 为圆心，AC 为半径作圆A ，过B作圆A 的任一割线交圆A 于D ，E ，交CH 于F （D 在B ，F 之间）；又作ABG ABD ∠=∠，G 在圆周上，G 与D 在AB 两侧．求证：E ，H ，G 三点共线． G HD FE CBA【例2】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，点E 在ABC △的外接圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE EC >．连接EC并延长至点F ，使得EAC CAF ∠=∠，连接BF 交圆Γ于点D ，连接ED ，记DEF △的外心为O ．求证：A C O ，，三点共线．【例3】 H 是ABC △垂心，P 是任一点，由H 向PA ，PB ，PC 引垂线HL ，HM ，HN 与BC ，CA ，BA 的延长线相交于X ，Y ，Z ．证明：X ，Y ，Z 三点共线．例题精讲ΓF E D CB A O36 | 高一·数学·第8讲·联赛班·学生版 |HZYX NMLP C B A【例4】 设A ，B ，C ，D 是平面上四点，如果对平面上任何点P 都满足不等式：PA PD PB PC ++≥，那么B ，C ，A ，D 四点共线．【例5】 如图，设四边形ABCD 外切于圆O ，对角线AC 和BD 中点分别为M ，N ．试证：M ，N ，O 三点共线． N M ODCB A【例6】 如图，设AC ，CE 是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点M ，N 分别内分AC ，CE ，使33AM CN AC CE ==，求证：B ，M ，N 共线．N MFED C B A【例7】 已知,C D 是以AB 为直径的半圆O 上的两个点，弦,AD BC 交于点E ，,F G 分别是,AC BD 延长线上的点，且满足AF BG AE BE ⋅=⋅，若,AEF BEG ∆∆的垂心分别为12,H H ， 证明⑴12,AH BH 的交点K 在圆O 上；⑵,,F K G 三点共线．1． 锐角ABC △中，B C ∠=∠，O H 、分别是其外心、垂心，求证：BOH △的外心在直线AB 上．大显身手36 | 高一·数学·第8讲·联赛班·学生版 |2． 如图，作ABC △的外接圆，连接弧AC ︵中点与AB ︵和BC ︵中点的弦，分别与AB 边交于D ，与BC 边交于E ．证明：D ，E ，三角形内心共线． I E DMN LC BA。
平面几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行.符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线.符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
高一数学平面几何知识点归纳
高一数学平面几何知识点归纳数学是一门基础学科，对于学生来说，数学学习是必不可少的一部分。
而数学中的平面几何则是数学中的一个重要分支，它与我们的日常生活息息相关。
通过对高一数学平面几何知识点的归纳，可以使学生更好地理解和掌握这门学科。
一、点、线、面和公理系统1. 点、线、面的概念：点是几何最基本的对象，线是由点构成的无限细长的对象，面是由线构成的具有一定厚度的对象。
2. 公理系统：平面几何的推理是建立在一套公理系统之上的，公理是基本假设，不能从其他命题中推导出来。
二、直线和角的性质1. 平行线：两条直线在平面上没有交点，则这两条直线是平行线。
2. 垂线：与平行线相交的直线称为垂线。
3. 角的概念和性质：两条射线共同端点，称为角，分为锐角、直角、钝角和平角。
三、三角形的性质1. 三角形的分类：根据边长和角度分类，可以得到等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
2. 三角形的内角和：三角形的三个内角的和是180度。
3. 三角形的外角和：三角形的一个内角的外角等于其余两个内角的和。
四、相似三角形和勾股定理1. 相似三角形：有相同形状但是尺寸不同的三角形称为相似三角形。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
3. 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
五、圆的性质和圆的应用1. 圆的概念和性质：圆是平面上一点到另一点距离等于定值的所有点的轨迹。
圆的半径、直径、弧长、扇形和面积都是圆的重要性质。
2. 切线和弦：过圆外一点可以作一条且只有一条直线既切这个圆，这条直线称为这个圆在该点的切线。
两个圆的交点与两圆心连线组成的线段称为圆的弦。
六、平行四边形和梯形的性质1. 平行四边形：两对对边分别平行的四边形称为平行四边形。
平行四边形的性质包括对角线等分、相邻角互补等。
2. 梯形：有一对对边平行的四边形称为梯形。
梯形的性质包括底角和顶角互补等。
通过对高一数学平面几何知识点的归纳，我们可以发现几何学是一个非常有趣的学科。
高中数学 平面几何常用的定理及其应用
平面几何常用的定理及其应用一、正弦定理、余弦定理已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ． 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=，2222cos a c b bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-．二、定差幂线定理定差幂线定理：PM ⊥AB 的充要条件是：AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2．推论Ⅰ（定差幂线轨迹定理）已知两点A 和B ，则满足AM^2一BM^2=k^2(k 为常数)的点P 的轨迹是垂直于AB 的一条直线．推论Ⅱ(斯坦纳定理)在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是三边BC 、CA 、AB 上的点，分别过点D 、E 、F 作所在边的垂线，则这三条垂线共点的充要条件是222222BD CE AF DC EA FB ++=++．等角线的定义：在△ABC 中，在线段BC 上取P 、Q ，使得∠BAP=∠CAQ ，则称AP 、AQ 为△ABC 中的等角线．等角线的性质：对于△ABC ，和线段BC 上两点P 、Q ，若AP 、AQ 为△ABC 中的等角线，则有22AB PB QBAC PC QC⨯=⨯．（面积法）中线长（巴布斯定理）：设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+．证明：用两次余弦定理．角平分线长（斯库顿定理）：在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,则AD ^2+BD·DC=AB·AC ．证明:延长∠BAC 的平分线AD 交⊙ABC 于E,连结BE ． ∴∠E=∠C,∠BAE=∠DAC,即△ABE ∽△ADC∴AB/AE=AD/AC,化简得AD(AD+DE)=AB·AC ．即AD~2+AD·DE=AB·AC, 由相交弦定理得AD·DE=BD·DC, 因此AD ^2+BD·DC=AB·AC ．例1 如图，点P 为ABC △内部一点，PL PM PN 、、分别垂直于BC CA AB 、、，且AM AN =，BN BL =．求证：CL CM =． 证明：由定差幂线定理： PN AB ⊥⇔2222PA PB NA NB -=-；PL BC ⊥⇔2222PB PC LB LC -=-； PM CA ⊥2222PC PA MC MA ⇔-=-．上述三式相加，结合AM AN =及BN BL =，得CL CM =．BP CN例2 如图，在ABC △中，CD AB ⊥，BE AC ⊥，D 、E 是垂足，CD 与BE 交于点H ． 证明：AH BC ⊥．证明：在凹四边形ACBH 中，由CH AB ⊥得2222AC BH BC AH +=+．在凹四边形ABCH 中，由BH AC ⊥得2222AB CH BC AH +=+． 于是，在凹四边形ABHC 中，得到2222AB CH AC BH +=+，则AH BC ⊥． 由此题可得ABC △垂线H 的一个性质：222222AB CH BC AH AC BH +=+=+．例3 若点P 在ABC △三边BC 、CA 、AB 所在直线上的射影分别为X 、Y 、Z ． 证明：自YZ 、ZX 、XY 的中点分别向BC 、CA 、AB 所作的垂线共点．证明：由三角形中线长公式，有22221()42a mbc a =+-．由DX BC'⊥，EY CA '⊥，FZ AB '⊥， 则2222X B X C BD CD ''-=-22211()24BZ BY YZ =+-22211()24CY CZ YZ ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦22221()2BY BZ CY CZ =+--．同理， 2222221()2Y C Y A CZ CX AZ AX ''-=+--2222221()2Z A Z B AX AY BX BY ''-=+--．以上三式相加，得222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+-2222221()2XC XB YA YC ZB ZA =-+-+-．因为，由定差幂线定理可得：以上三式相加得所以222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+-=0（*） 设与交于M 点，则由定差幂线定理可得，代入（*）得即所以M 在过引AB 的垂线上，所以、、三线共点．M Z'Y'F ED Y Z BP A B C D HE例4 锐角△ABC 的一边AC 为直径作圆，分别与AB 、BC 交于点K 、L ，CK 、AL 分别与△ABC 的外接圆交于点F 、D (F ≠C ，D ≠A )，E 为劣弧AC 上一点，BE 与AC 交于点N ． 若AF 2+BD 2+CE 2=AE 2+CD 2+BF 2． 求证：KNB BNL =∠∠．证明：如图，由于以AC 为直径的圆分别与AB 、BC 交于点K ，L ，则CK AB ⊥，AL BC ⊥．设CK 与AL 交于点H ，则H 为ABC △的垂心，故点H 与F 关于AB 对称，点H 与D 关于BC 对称． 从而，AF AH =，CD CH =，BD BH BF ==． 由222222AF BD CE AE CD BF ++=++，有 2222AH CE AE CH +=+．即2222AH CH AE CE -=-． 由定差幂线定理知，HE AC ⊥． 又注意到H 为垂心，有BH AC ⊥． 故知B 、H 、E 三点共线． 因为N 为边AC 与BH 的交点，则BN AC ⊥． 故KNB BNL =∠∠．三、共边比例定理、分角定理与张角定理1．共边比例定理（燕尾定理）：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，有S △AOB ∶S △AOC =BD ∶CD S △AOB ∶S △COB =AE ∶CE S △BOC ∶S △AOC =BF ∶AF2．分角定理：在△ABC 中，D 是边BC 上异于B,C 或其延长线上的一点，连结AD ，则有BD/CD=(sin ∠BAD/sin ∠CAD)*(AB/AC) ． 证明：面积法3．张角定理：在△ABC 中，D 是BC 上的一点，连结AD ．那么sin ∠BAD/AC+sin ∠CAD/AB=sin ∠BAC/AD ． 逆定理： 如果sin sin sin BAD DAC BACAC AB AD∠∠∠+=， 那么B,D,C 三点共线．证明：面积法，同一法HNFDK LABCE4．斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①或 2222PC BP BP PCAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅． ② 证明 如图所示，不失一般性，不妨设90APC <︒∠，则由余弦定理，有 2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠， 2222cos(180)AB AP BP AP BP APC =+-⋅⋅︒-∠ 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠．对上述两式分别乘以BP ，PC 后相加整理，得①式或②式．斯特瓦尔特定理的逆定理：设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点，若 22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，或2222PC BP BP PCAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅， 则B ，P ，C 三点共线．证明：令1BPA θ=∠，2APC θ=∠，对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理，有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅，22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅．将上述两式分别乘以PC ，BP 后相加，再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=，由此推出12180θθ=︒-，即证．斯特瓦尔特定理的推广：（1）设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=-⋅+⋅+⋅⋅． ③ （2）设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅-⋅+⋅⋅． ④ 注：若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点，则22AP AB BP PC =-⋅．注：此推论也可视为以A 为圆心，AB 为半径的圆中的圆幂定理．推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线，则2222111224AP AB AC BC =+-．推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线，则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅． 推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线，则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅． 推论5 在ABC △中，若P 分线段BC 满足BPBCλ=，则2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅． 注：若BPk PC =，则()222221111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++．例1 已知O 是ABC △的内切圆，D 、E 、N 分别为、、上的切点，连结并延长交于点，连结并延长交于点． 求证：是的中点．证明:如图，联结OD ，OE ，由O 、D 、B 、N 及O 、N 、C 、E 分别四点共圆有KOD B ∠∠=，KOE C ∠=∠． 由共边比例定理，有sin sin ODK OKE S DK OD OK DOK KE S OE OK KOE ⋅⋅∠==⋅⋅∠△△sin sin sin sin DOK B ACKOE C AB∠===∠， 及sin sin ADK AEK S DK DAK KE S EAK∠==∠△△． 于是，sin sin ABM ACM S BM AB BAM MC S AC CAM ⋅∠==⋅∠△△sin sin AB DAK AC EAK ⋅∠=⋅∠AB DK AC KE =⋅1AB ACAC AB =⋅=．故M 是BC 的中点．例2 在等腰△ABC 中，∠A ＜90°，从边AB 上点D 引AB 的垂线，交边AC 于E ，交边BC 的延长线于F ． 求证：AD =CF 当且仅当△ADE 面积是△CEF 面积的两倍．证明：连接BE ，则EA 外分BED ∠． 设βα=∠=∠AEB AED ,，作BC EM ⊥． 由分角定理得：BEDEAB AD :sin sin =βα ① 在BEF ∆中，EC 内分BEF ∠，由分角定理得：BEEFBC CF :sin sin =βα ② 由①=②且CF AD =，得EF ABBCDE ⋅=． 设θ=∠ABC ，在等腰ABC ∆中，有θcos 2=ABBC． ∴θcos 2⋅=EF DE ，∴EM DE 2=，∴CEF ADE S S ∆∆=2．以上过程均可逆．AB AC BC NO DE K AK BC M M BC KEDOBCEABCFDK DENOBC例3 如图，在线段AB 上取内分点M ，使，分别以MA ，MB 为边，在AB 的同侧作正方形和MBEF ，和分别是这两个正方形的外接圆，两圆交于M ，． 求证：B ，，三点共线．证明：连MD ，ME ，NE ，ND ，NM ，则90DNM ENM ==︒∠∠，则D ，N ，E 三点共线，注意454590DME =︒+︒=︒∠．设DMN NEM α==∠∠，P ，Q 的半径分别为1r ，2r ，则MC =，2MB =，12cos MN r α=⋅= 22sin r α⋅． 对视点M ，考察点B ，C ，N 所在的三角形△MBN ． 由22sin sin sin 902sin CMB CMN MN MB r α︒+=+=∠∠()2111sin cos sin cos sin cos 2cos 2cos r r αααααααα+⋅-+⋅==⋅11cos sin 2r αα+===sin 9045sin NMBMC α︒+︒-==∠．由张角定理可知B ，C ，N 三点共线．例4 在ABC △中，60A =︒∠，AB AC >，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM CN =，求MH NHOH+的值．（2002年全国高中联赛题）解析：延长BE 交O 于L ，由三角形垂心性质，知L 为H 关于AC 的对称点，则LC CH =． 设O 的半径为R ，OH d =，CH x =，BH y =，由60CLB A =︒∠=∠，知LH LC CH x ===．延长OH 两端交O 于T ，S ，如图所示，由相交弦定理有TH HS BH HL ⋅=⋅， 得()()R d R d x y +-=⋅，即22R d xy =+．在△BCL 及边BL 上的点H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin BC R A =⋅=∠ ，可得222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，即)()()222x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+，亦即 ()22213R x xy y =++．于是，有()22213x xy y d xy ++=+．亦即 ()223x y d -=，即x y d -= 而当AB AC >时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-=-， 故x yMH NH OH d-+==AM BM ≤AMCD P Q N C NL ST图43四、Menelaus 、Ceva 、Pascal 定理1．梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点， 并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线 分别交于,,P Q R ，则1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=． 其他证明方法：面积法，作平行线导边． 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立 （用同一法证明）梅涅劳斯定理逆定理：P Q R ABC BC CA AB P Q R ABC BP 021P Q R PC CQ ARQA RB ∆∆⋅⋅=设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且、、三点中，位于边上的点的个数为或，若，则、、三点共线；''''''''''1BP BP 11PC PC 02,PQ AB R CQ AR CQ AR AR AR QA R BQA RB R B RBP Q R ABC R R AB AB R R AB R R AR AR ⋅⋅=⋅⋅=∆>证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设 '''''',,AR AR AR AR AB AR AB AR BR BR BR BR BR BR-<-<>这时即于是可得这与＝矛盾''R R AB R R P Q R 类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；利用面积转换，可得出如下两个角元形式： 第一角元形式：1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠FCBACFEBA CBE DAC BAD第二角元形式：1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠FOBAOFEOA COE DOC BOD（O 为不在三边所在直线上的任意一点）例1 已知AD 为锐角三角形ABC 的一条高，K 为AD 上任一点，BK 、CK 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ． 求证：∠EDK ＝∠FDK ．证明：过点A 作MN ∥BC ，与DE 、DF 的延长线分别交，于点M 、N ．由于AF FB ·BD DC ·CEEA=1．而AF FB ＝AN BD ，CE EA ＝DC AM ． ，ANAM ＝1，AN ＝AM ，即DA 是等腰三角形DMN 的底边上的高， 从而∠EDA ＝∠FDA ．例2 （完全四边形的性质）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 所在直线交于点E ，AD 与BC 所在直线交于点F ，BD 与EF 所在直线交于点H ，AC 与EF 所在直线交于点G ． 求证：HE FG HF EG ⋅=⋅．证明：考虑AEF ∆被直线HBD 截，应用梅涅劳斯定理可知1=⋅⋅DAFD HF EH BE AB ① 考虑AEG ∆被直线BCF 截，同理可得1=⋅⋅CAGC FG EF BE AB ②考虑AGF ∆被直线ECD 截，同理可得1=⋅⋅DAFDEF GE CG AC ③ ②×③÷①可得1=⋅EHHFFG GE ，所以原命题成立CBAFDDB CA EFK DBCA EFK MN2．赛瓦（Ceva)定理及其逆定理设点P 不在ABC ∆三边所在直线上，直线AP ，BP ，CP 分别与BC ，CA ，AB 交于点D ，E ，F ，则1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ，反之，若三角形三边所在直线上的点使得上述等式成立，则AD ，BE ，CF 交于一点或互相平行．证明：面积法，同一法 Ceva 定理角元形式：为了方便，我们可以从某个角开始，把六个角顺时针（或逆时针）标记为1∠至6∠，则16sin 5sin 4sin 3sin 2sin 1sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠．或者改为判断过ABC ∆的顶点的三条直线AX ，BY ，CZ 是否共点， 等价于1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠YBACBYZCB ACZ XAC BAX例3 在锐角ABC △中，AD 是A ∠的内角平分线，D 在边BC 上，过D 作DE AC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，连结BE ，CF ，它们相交于点H ，求证：AH BC ⊥．分析：“过A 作BC AK ⊥于K 点，只须证：1=⋅⋅EA CEKC BK FB AF 即可HE FDABC证明：由题意知K D F A ,,,四点共圆，则BK BD BA BF ⋅=⋅K D E A ,,,四点共圆，则CA CE CD CK ⋅=⋅所以CA CE BA BF CK BK CD BD ⋅⋅=⋅又因为AD 平分BAC ∠ 所以AC AB CD BD =所以CEBFCK BK =又因为AF =AE ，所以1=⋅⋅EAAFBF CE CK BK ．所以由赛瓦定理逆定理知原命题成立．例4 四边形BCEF 内接于圆O ，其边CE 与BF 的延长线交于点A ，由点A 作圆O 的两条切线AP 和AQ ，切点分别为P ，Q ，BE 与CF 的交点为H ，求证：P ，H ，Q 三点共线．分析：考虑连结FQ ，QB ，只须说明H 是FBQ ∆的赛瓦点即可 证明：设M CF BQ L BE FQ K PQ BF === ,,则BQ PB FQ PF S S KB FK PBQ FPQ ⋅⋅==∆∆；CQFQ BCFB S S MQ BM FQC FBC ⋅⋅==∆∆； FBEF QBEQ S S LF QL EFB EQB ⋅⋅==∆∆ 所以EFBCCQ EQ PB PF LF QL MQ BM KB FK ⋅⋅=⋅⋅（*） 因为APF ∆~ABP ∆，AQE ∆~ACQ ∆，AFE ∆~ACB ∆所以AF ACEF BC AC AQ CQ EQ AB AP PB PF ===,,所以（*）可化为12=⋅AFAB AP （圆幂定理） 所以由赛瓦定理逆定理可知H 在PQ 上，所以P ，H ，Q 三点共线．HEFPQBAC3．Pascal 定理圆O 上六点654321,,,,,A A A A A A ，则164365325421,,,,,A A A A A A A A A A A A 的交点X ，Y ，Z 共线．考虑63ZA A ∆三顶点引出的直线5623,,A A ZX A A 与两边所成角的正弦值4114545612412366536563232sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin XZA XZA A A A Z A A A A A A A A XZA XZA Z A A A A A A A A Z A A ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=∠∠⋅∠∠⋅∠∠（*）定理（角元形式）运用中，对点在Ceva X Z A A 41∆1sin sin sin sin sin sin 14441141=∠⋅∠∠⋅∠∠A XA ZXA XZA XZA Z XA A XA所以（*）为1，由Ceva 定理（角元形式）逆定理知原命题成立．注：结论与六个点在圆上的次序无关． 六个点中相邻两个点若重合，则对应两点连线变为该点的切线，从而六边形可以变为五边形或者四边形甚至三角形．例5 △ABC 内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过K ，P ，C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ，连结BD 交圆Ω于点E ，连结PE 并延长与边AB 交于点F ，证明：2ABC FCB ∠=∠．F E D K OABCP分析：设CF 与圆Ω交于点S ，考虑圆Ω上六点形KPEDCS ，由Pascal 定理可知B ，K ，S 三点共线． 证明：设圆Ω与BC 交于点T ，连结KT ，则KBC ABC APC KPC KTC ∠=∠=∠=∠=∠2． 所以FCB SCB BKT KBC ∠=∠=∠=∠，所以FCB ABC ∠=∠2．例6 如图，ABC △的外心为O ，CD 为高线，M 为边AC 的中点，射线DM 与以AD 为直径的圆Γ的另一个交点为Y ，圆Γ与⊙O 的另一个交点为X ，直线DO 与AC 交于点Z ． 证明：X ，Y ，Z 三点共线．分析：设'Z 是XY ，AC 的交点，下面证明：D O Z ,,'共线即可．证明：设直线'XYZ 交圆O 于点L ，连结XD 并延长交圆O 于点P ，那么 90=∠=∠AXD AXP ， 从而P O A ,,三点共线，所以连结AOP ，因为'Z 是XY ，AC 的交点，即XL 与AC 的交点，而延长CD 交圆O 于点G ， 则D 点就是XP 和CG 的交点，此时考虑六点形CAPXLG ，只要能证明O 是AP 和LG 的交点即可由Pascal 定理证得． 所以下面证明：L ，O ，G 三点共线． 要证L ，O ，G 三点共线，只要证：BG LB ⊥因为YDA YXA LXA LBA ∠=∠=∠=∠，所以LB //MD ，所以只要证BG MD ⊥，这由DBG MCD MDC ∠=∠=∠可得． 证毕．五、Ptolemy 定理、三弦定理、Simson 定理1． 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
平面几何五大基本模型第8课
平面几何五大基本模型第8课一、引言在平面几何学中，有五个基本模型在许多重要的几何推理和证明中起着重要的作用。
本课将重点介绍这五大基本模型，分别是：点、直线、线段、射线和平面。
通过深入理解和掌握这些基本模型，我们将能够更好地解决平面几何中的问题。
二、点(Point)1. 点的定义•点是平面上的一个位置，没有长度、宽度和高度，通常用大写字母表示，如A、B等。
•点没有方向，只有位置。
2. 点的性质•任意两个点之间可以连成一条直线段。
•任意三个点不共线。
三、直线(Line)1. 直线的定义•直线是由无限多个点组成的，它是宽度和厚度都为零的轨迹，一般用小写字母表示，如l、m等。
2. 直线的性质•直线上的两点确定一条直线。
•直线上的任意一点与该直线上任意一点之间的距离为零。
•一条直线上的两点与另一条直线上的两点不共线。
四、线段(Segment)1. 线段的定义•线段是由两个端点和它们之间的所有点组成的有限部分，一般用大写字母表示，如AB、CD等。
2. 线段的性质•线段的长度是有限的，可以用数值表示。
•线段是直线上的连续部分。
五、射线(Ray)1. 射线的定义•射线是由一个起点和从该起点出发的所有点组成的部分，一般用大写字母表示，如AE、BF等。
2. 射线的性质•射线的长度是无限的，但它只有一个起点。
•射线是直线上的连续部分。
六、平面(Plane)1. 平面的定义•平面是由无限多个点和与这些点的每两个都符合条件的直线组成的，一般用大写字母表示，如P、Q等。
2. 平面的性质•平面上的任意两点可以连成一条直线。
•平面上的任意三点不共线。
七、总结通过学习平面几何中的五大基本模型，我们能够更好地理解和应用几何学中的基本概念和定理。
点、直线、线段、射线和平面是构成平面几何学的基础，它们之间相互联系，共同构成了几何学的重要组成部分。
掌握好这些基本模型，能够更好地解决问题，进一步提高我们在平面几何学中的应用能力。
八、参考书目•高等数学平面几何第8章第2节，XX大学出版社•平面几何教程，XXX出版社•平面几何基础课程教材，XXX大学出版社。
高中平面几何常用定理总结及高中平面解析几何知识点总结(直线、圆、椭圆、曲线)
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b ma -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a+=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IKKI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M ．35． 塞瓦定理的逆定理：（略）36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．38． 西摩松（Simson ）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line ）．39． 西摩松定理的逆定理：（略）40． 关于西摩松线的定理1：△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B 和E、C和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC 和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．高中平面解析几何知识点总结一.直线部分1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y .2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B Ak -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且； ② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式： （1）已知两点坐标111(,)P x y 、222(,)P x y ，则两点间距离22122121)()(y y x x P P -+-=．（2）x 轴上两点间距离：AB x x AB -=．（3）线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离公式：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：的距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程： （1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x xB y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x xB y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除开2l)，其中λ是待定的系数．9．两条曲线的交点坐标：曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解． 10.平面和空间直线参数方程：① 平面直线方程以向量形式给出：nb y nax 21--=方向向量为()n n s 21，=→下面推导参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+===--tn b y tn a x tn b y na x 2121则有令：② 空间直线方程也以向量形式给出：nb z nb y nax 321---==方向向量为()n n n s 321,，=→下面推导参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+====---t n c z t n b y t n a x t nc z nb y na x 321321则有令：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。
根据高中数学平面几何定理总结
根据高中数学平面几何定理总结在高中数学中，平面几何是一个重要的分支，它涉及到平面内点、直线、角等基本概念，以及相关的定理和公式。
这些定理和公式帮助我们理解和解决平面几何问题。
以下是一些高中数学平面几何定理的总结：1. 直线的性质和定理1.1 垂直定理垂直定理：如果两条直线互相垂直，则它们的斜率乘积为-1。
即若直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1。
1.2 平行定理平行定理：如果两条直线的斜率相等且不等于无穷大，则它们是平行的。
1.3 夹角定理夹角定理：如果两条直线互相垂直，则它们的夹角为90度。
1.4 同位角定理同位角定理：当两条直线被一条截线相交时，相对应角相等。
即对应角相等。
2. 三角形的性质和定理2.1 内角和定理内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180度。
2.2 直角三角形定理直角三角形定理：一个三角形有一个角是90度的直角，则它是直角三角形。
2.3 相似三角形定理相似三角形定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2.4 三角形的边长关系三角形的边长关系：在一个三角形中，两边之和大于第三边，任意一边的长度小于其他两边之和。
3. 圆的性质和定理3.1 圆心角定理圆心角定理：一个圆的圆心角是其所对弧的两倍。
3.2 弧长定理弧长定理：一个圆的弧长等于圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长。
以上是一些高中数学平面几何的重要定理和性质。
通过掌握这些定理和公式，我们能够更好地理解和解决平面几何问题，提高数学应用能力。
_注意：以上内容是对高中数学平面几何定理的总结，我们根据教材内容进行总结，但请在使用时自行核实教材或教师的讲解。
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初升高数学衔接班第8讲——与平面几何有关的定理与...
一、学习目标：1、了解三角形中的相关定理：如平行线分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形射影定理，并能用它们处理一些简单的数学问题2、了解与圆有关的定理，如垂径定理、相交弦定理、切割线定理，同时掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法二、学习重点：熟悉与三角形及圆有关的常用定理，为进一步学习做准备三、新课讲解：知识点一：与比例线段有关的定理平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。
在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。
在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2''3A B AB B C BC ==。
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
例1、如图，123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF 的长度。
思路导航：利用平行线分线段成比例定理和比例的性质可求解：1232,,3AB DE l l l BC EF ∴== ∥∥ 28312,235235DE DF EF DF ====++。
点津：平行线分线段成比例定理往往要与比例的性质相结合例2、如图，在ABC ∆中，若DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2，若ABC ∆的面积为32，CDE ∆的面积为2，则CFG ∆的面积S 等于__________思路导航：由DE ∥AB ∥FG 知，这三个三角形相似，要求CFG ∆的面积S 只需求出它们的相似比解： DE ∥AB ∥FG ∴CDE ∆∽CFG ∆∽ABC ∆∴CD CA1,4==13,44CD AC AD AC==又FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2，∴12FD FA = ∴11131,33344FD FD AD AC ACAD ===⨯=∴22111,,224CDE CFG S CD CD FD DC CF S CF ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△ ∴CFG ∆的面积S 等于8点津：相似三角形面积比等于对应边之比的平方知识点二：三角形内角与外角平分线性质定理1、三角形内角平分线性质定理——三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
高中立体几何八大定理知识讲解
l m βααba 线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言：符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭I ∥∥ 作用：线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行n m A αaαb a BA l βαaβα五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言：符号语言： ,a m a n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言： //a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭作用：线面垂直⇒线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
图形语言：符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭注：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：lAB ABAB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I作用：面面垂直⇒线面垂直。
高中数学中的平面几何定理总结
高中数学中的平面几何定理总结平面几何是数学中重要的一个分支，它研究的是二维空间中的图形和形状。
在高中数学中，我们学习了许多关于平面几何的定理和性质。
这些定理不仅仅是为了应对考试，更是为了培养我们的逻辑思维和空间想象能力。
在本文中，我将总结一些高中数学中的平面几何定理。
1. 相似三角形定理相似三角形定理是平面几何中非常重要的一个定理。
根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角相等，那么它们的对应边的比例也相等。
这个定理在解决一些几何问题时非常有用，比如求解两个图形的比例尺。
2. 直角三角形定理直角三角形定理是我们在初中就学过的定理，它指出：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用来解决一些与直角三角形相关的问题，比如求解未知边长或角度。
3. 圆的性质圆是平面几何中的重要图形，它有许多独特的性质。
其中一条重要的定理是：在一个圆中，半径垂直于切线。
这个定理可以用来解决一些与圆相关的问题，比如判断两条线段是否相切于同一个圆。
4. 直线与平行线的性质直线与平行线是我们在几何中经常遇到的概念。
其中一个重要的定理是：如果一条直线与两条平行线相交，那么它们之间的对应角相等。
这个定理可以用来解决一些与平行线相关的问题，比如判断两条直线是否平行。
5. 三角形的内角和定理三角形的内角和定理是平面几何中的基本定理之一。
它指出：一个三角形的三个内角的和等于180度。
根据这个定理，我们可以求解三角形中的未知角度，或者判断一个三角形是否合法。
6. 相交线的性质在平面几何中，我们经常遇到相交线的问题。
其中一个重要的定理是：如果两条直线相交，并且其中一条直线与一条平行线相交，那么另一条直线也与这条平行线相交，并且它们之间的对应角相等。
这个定理可以用来解决一些与相交线相关的问题，比如判断两条直线是否相交于同一个点。
7. 正方形的性质正方形是一个特殊的四边形，它有一些独特的性质。
其中一个重要的定理是：正方形的对角线相等且垂直。
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高一数学衔接班第8课——与平面几何有关的定理与圆有关的定理.一、学习目标：1、了解三角形中的相关定理：如平行线分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形射影定理，并能用它们处理一些简单的数学问题2、了解与圆有关的定理，如垂径定理、相交弦定理、切割线定理，同时掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法二、学习重点：熟悉与三角形及圆有关的常用定理，为进一步学习做准备三、新课讲解：知识点一：与比例线段有关的定理平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。
在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。
在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2''3A B AB B C BC ==。
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
例1、如图，123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF 的长度。
思路导航：利用平行线分线段成比例定理和比例的性质可求 解：1232,,3AB DE l l l BC EF ∴== ∥∥28312,235235DE DF EF DF ====++。
点津：平行线分线段成比例定理往往要与比例的性质相结合例2、如图，在ABC ∆中，若DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2，若ABC ∆的面积为32，CDE ∆的面积为2，则CFG ∆的面积S 等于__________思路导航：由DE ∥AB ∥FG 知，这三个三角形相似，要求CFG ∆的面积S 只需求出它们的相似比解： DE ∥AB ∥FG ∴CDE ∆∽CFG ∆∽ABC ∆∴CD CA1,4==13,44CD AC AD AC==又FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2，∴12FD FA =∴11131,33344FD FD AD AC ACAD ===⨯=∴22111,,224CDE CFG S CD CD FD DC CF S CF ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△ ∴CFG ∆的面积S 等于8点津：相似三角形面积比等于对应边之比的平方知识点二：三角形内角与外角平分线性质定理1、三角形内角平分线性质定理——三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
例3、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，点D 在线段BC 上，求证：AB BDAC DC =。
思路导航：考虑作AD 的平行线，从而运用平行线分线段成比例定理 证明：过C 作CE ∥AD ，交BA 延长线于E ，,BA BDAD CE AE DC ∴=∥。
又AD 平分,,BAC BAD DAC ∠∴∠=∠由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE ∠=∠∠=∠,E ACE AE AC ∴∠=∠=即 AB BD AC DC ∴=。
点津：利用平行线分线段成比例定理，可以将一条直线上的比例线段“移”到另一条直线上，这是解决有关比例线段问题的常用方法2、三角形外角平分线性质定理——三角形的外角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例知识点三：直角三角形射影定理例4、如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC 为直角，AD ⊥BC 于D 。
求证：（1）2AB BD BC =⋅，2AC CD CB =⋅； （2）2AD BD CD =⋅证明：（1）在Rt △BAC 与Rt △BDA 中，B B ∠=∠，BAC ∴△∽△BDA ， 2,BA BC AB BD BC BD BA ∴==⋅即。
同理可证得2AC CD CB =⋅。
（2）在Rt △ABD 与Rt △CAD 中，90oC CAD BAD ∠=-∠=∠，Rt ABD ∴△∽Rt △CAD ，2,AD DCAD BD DC BD AD ∴==⋅即。
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用。
例5、在△ABC 中，,,AD BC D DE AB E DF AC F ⊥⊥⊥于于于， 求证：AE AB AF AC ⋅=⋅。
证明：AD BC ⊥ ，∴ADB △为直角三角形，又DE AB ⊥，由射影定理，知2AD AE AB =⋅。
同理可得2AD AF AC =⋅。
AE AB AF AC ∴⋅=⋅。
知识点四：与圆有关的定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：（1）经过圆心；（2）垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：（1）平分弦，（2）平分弦所对的劣弧，（3）平分弦所对的优弧（如图所示）。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，若AB ∥CD ，则⋂⋂=BD AC注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的‘直径’”作为辅助线。
（如下图）例6、已知△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，⊙O 的半径等于6cm ，O 点到BC 的距离为2cm ，求AB 的长。
思路导航：因为不知道△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形（由已知分析，△ABC 不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC 为斜边，圆心O 在BC 上，这与O 点到BC 的距离为2cm 矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也有可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：（1）假若△ABC 是锐角三角形，如图甲，由AB ＝AC ，可知，，甲∴点A 是弧BAC 的中点，连结AO 并延长且交BC 于D ， 由垂径定理推论 可得AD ⊥BC ，且BD ＝CD ， 这样OD ＝2cm ，再连结OB ，由在Rt △OBD 中，OB ＝6cm ，可求出BD 的长， 则AD 长可求出，则在Rt △ABD 中可求出AB 的长。
（2）若△ABC 是钝角三角形，如图乙，连结AO 交BC 于D ，乙先证OD ⊥BC ，OD 平分BC ，再连结OB ，由OB ＝6cm ，OD ＝2cm ，求出BD 的长，然后求出AD 的长， 从而在Rt △ADB 中求出AB 的长。
略解：（1）连结AO 并延长交BC 于D ，连结OB ， ∵AB ＝AC ，∴，∴AD ⊥BC 且BD ＝CD ， ∴OD ＝2cm ，OB ＝6cm ，在Rt △OBD 中，由勾股定理得：BD cm ）， 在Rt △ADB 中，AD ＝OA ＋OD ＝8（cm ），由勾股定理可得：AB cm ）（2）同（1），添加辅助线求出BD ＝cm ）， 在Rt △ADB 中，AD ＝AO －OD ＝6－2＝4（cm ），由勾股定理可得：AB ==cm ），∴AB ＝或。
点津：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦上被交点分成的两条线段长的积相等。
（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过P 点任作圆的两割线PAB ，PCD 反切线PT ，则PA PB PC PD ⋅=⋅2PT =例7、两圆交于A 、B ，AC 、AD 切两圆于A ，交两圆于C 、D ，连CB ，延长交AD 于E ，交圆于F ，若BC ＝9，AE ＝6，DE ＝2，求AC 的长。
思路导航：对图形分析可得AC ∥DF ，从而转化为对应线段成比例，需要连接AB 、DF ，解：连接AB ，DF ∵ ∴ ∠1＝∠F ∵ AD 与⊙O 相切 ∴ ∠1＝∠C ∴ ∠C ＝∠F ∴ AC ∥DF∴，设BE ＝，EF ＝，则①由相交弦定理得② 由①、②解得：，由切割线定理得： ∴ AC ＝12点津：若从圆中求线段长，要有意识地寻找线段之间的数量关系，注意应用相交弦定理及切割线定理知识点五 ：直线与圆的位置关系思考：设有直线l 和圆心为O 且半径为r 的圆，怎样判断直线l 和圆O 的位置关系？（1）（2）（3）（1）当圆心到直线的距离d r >时，直线和圆相离 （2）当圆心到直线的距离d r =时，直线和圆相切（3）当圆心到直线的距离d r <时，直线和圆相交 常用结论：①在直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B 。
若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB 。
且在Rt △OMA 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有222()2AB r d =－。
②当直线与圆相切时，,PA PB 为圆O 的切线，可得PA PB =，OA PA ⊥，且在Rt△POA 中，222PO PA OA =+。
③PT 为圆O 的切线，PAB 为圆O 的割线，我们可以证得△PAT ∽△PTB ，因而2PT PA PB =⋅。
例8、如图，已知⊙O 的半径OB ＝5cm ，弦AB ＝6cm ，D 是⋂AB 的中点，求弦BD 的长度。
思路导航：涉及到圆内的弦时，应注意构造直角三角形 解：连结OD ，交AB 于点E 。
⋂⋂=AD BD ， O 是圆心，1,32OD AB BE AE AB cm ∴⊥===。
在Rt △BOE 中，OB ＝5cm ，BE ＝3cm ，4OE cm ∴==。
5,1OD cm DE cm =∴= 。
在Rt △BDE 中，BE ＝3cm ，DE ＝1cm ，BD ∴。
点津：在圆当中求弦长，常常借助勾股定理、相似三角形等相关内容，解题时应注意运用有关结论。
知识点六：圆和圆的位置关系设圆1O 与圆2O 的半径分别为,()R r R r ≥，它们可能有哪几种位置关系？（1）当12O O R r =-时，两圆内切 （2）当12O O R r =+时，两圆外切 （3）当12O O R r <-时，两圆内含（4）当12R r OOR r -<<+时，两圆相交 （5）当12O O R r >+时，两圆外离例9、设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O =，,A B 为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB 的长。
思路导航：按照求弦长问题的一般思路进行。
解：连接AB 交12O O 于C ，则12OOAB ⊥，且C 为AB 的中点，设AC x =，则12O C O C ==124O O ==，解得x =。