第十五章网格划分方法

第十五章网格划分方法建立几何模型和选择单元类型以后，就应基于几何模型进行分网。

分网的工作量大，需要考虑的问题很多，网格形式直接影响结果精度和模型规模，因此分网是建模过程中最为关键的环节。

本节首先介绍网格划分的一般原则，然后介绍半自动和自动两种分网方法，并介绍自适应分网的基本概念和过程。

第一节网格划分原则划分网格时一般应考虑以下原则。

一、网格数量网格数量又称绝对网格密度，它通过网格的整体和局部尺寸控制。

网格数量的多少主要影响以下两个因素：1.结果精度网格数量增加，结果精度一般会随之提高。

这是因为：⑴网格边界能够更好地逼近几何模型的曲线或曲面边界；⑵单元插值函数能够更好地逼近实际函数；⑶在应力梯度较大的部位，能够更好地反映应力值的变化。

但应注意，当网格数量太大时，数值计算的累计误差反而会降低计算精度。

2.计算规模网格数量增加，将主要增加以下几个方面的计算时间。

⑴单元形成时间这部分时间与单元数量直接相关。

当单元为高阶单元时，由于计算单元刚度矩阵要进行高斯积分，所以单元形成要占相当大的比例。

⑵求解方程时间网格数量增加，节点数量会增加，有限元方程的数量增加，求解方程组的时间将大大增加。

⑶网格划分时间网格数量增加时，无论采用半自动还是自动方法，都会使网格划分更多的时间。

由于网格数量增加对结果精度和计算规模都将提高，所以应权衡两个因素综合考虑。

一般原则是：首先保证精度要求，当结构不太复杂时尽可能选用适当多的网格。

而当结构非常复杂时，为了不时计算精度而又不使网格太多，因采用其他措施降低模型规模，如子结构法、分布计算法等。

图15-1中的实线表示结构位移随网格数量收敛的一般曲线，虚线代表时间随网格数量的变化曲线。

可以看出，当网格数量较少时，增加网格数量可明显提高精度，而计算时间不会明显增加。

当网格数量增加到一定程度后（例如点P），继续增加网格对精度提高甚微，而计算时间却大幅度增加。

因此并不是网格分得越多越好，应该考虑网格增加的经济性。

实际应用时并不知道划分多少网格最合理、即不能事先确定点P的位置，这时可先试算一次，然后适当增加网格，再进行计算。

比较两次计算的结果，如果结果相差较大，则应继续增加网格；如果结果相差很小，则没必要继续增加。

结果精度与网格数量的关系因具体分析结构而异。

一些简单的结构在简单载荷作用下，变形非常简单，则用少量网格就可以得到很高的精度。

例如受集中载荷的等截面悬臂梁，即使用一个梁单元也可得到非常精确的结果。

但对一些复杂工况下的复杂结构，由于内部位移场分布很复杂，即使采用较多网格，也不一定能得到满意的结果。

在选择网格数量时还应考虑分析数据的类型和特点，一般可以遵循以下原则。

⑴静力分析时，如果仅仅是计算变形，则网格可以取得较少。

如果需要计算应力或应变，若保持相同精度，则应取相对多的网格。

例如，图15-2中的悬臂梁分别用图()a所示的三种网格离散，计算出的最大应力和最大变形如图()b所示。

可以看出在网格数量相同的条件下，位移计算精度高于应力精度，或者说在精度相当的条件下，应力计算的网格应该比位移计算多。

⑵在分析固有特性时，如果仅仅计算少数低阶模态，可以选择较少的网格。

如果需要计算高阶模态，由于高阶振型更复杂，所以应选择较多的网格。

计算的模态阶次越高，要求模型越详细。

此外，选择网格数量时更应考虑质量矩阵的形式。

由于一致质量矩阵的计算精度高于集中质量矩阵，所以在采用一致质量矩阵计算时可以划分较少的网格，而采用集中质量矩阵时则应选择相对较多的网格。

图15-3是一梁的固有频率随网格数量的变化，其中实线表示一致质量矩阵，虚线表示集中质量矩阵。

可以看出：①采用一致质量矩阵和集中质量矩阵时，随着网管数量增加，固有频率分别从精确值的上方和下方收敛。

②在相同网格数量的条件下，采用一致质量矩阵的计算精度高于集中质量。

③网格数量相同时，高阶频率的计算精度要比低阶频率低。

或者说，如果要保持各阶固有频率具有相同的计算精度，那么计算高阶频率时应选择更多的网格。

⑶在结构的响应分析中，如果仅仅是计算某些位置的位移响应，则网格数量可以少一些。

如果需要计算应力响应，则应选择相对较多的网格。

⑷在热传导分析中，结构内部的温度梯度趋于常数，不需要大量的内部单元，所以可以划分较少的网格。

但是如果热应变形和热应力计算采用同热传导分析的模型，则应根据应力和位移计算的特点选择网管数量。

二、网格疏密网格疏密是指结构不同部位采用不同大小的网格，又称相对网格密度。

实际应力场很少有均匀分布的，或多或少存在不同程度的应力集中。

为了反映应力场的局部特性和准确计算最大应力值，应力集中区域就应采用叫密集的网格。

而在其他非应力集中区域，由于应力变化梯度小，为减少网格数量，则可采用较稀疏的网格。

因此整个结构显示出疏密不同的网格划分。

图15-4是一中心带圆孔的方形板的1/4模型，其网格形式反映了上述原则。

即小孔附近存在应力集中，采用了较密的网格，而板的四周应力梯度小，网格相对较稀。

其中图()a网格疏密相差较小，模型共有132个单元。

而图()b网格疏密相差较大，只有84个单元。

但是通过两者计算出孔缘最大应力分别为300.60MPa和296.36MPa（理论值为300MPa），误差仅相差1％，而计算时间可减少36％.可见，采用疏密不同的网格划分，既可保持相当的精度，又可使网格数量减少。

该例说明，计算精度并不随着网格数量增加而绝对增加，网格数量应该增加到结构的关键部位，在次要部位增加网格是不经济的。

采用不同密度的网格划分时，应注意疏密网格之间的额过渡。

过渡的一般原则是使网格尺寸突然变化为最小，以避免出现畸形或者质量较差的网格。

过渡的常见方式有以下几种：1. 单元过渡单元过渡是用三角形网格过渡不同大小的四边形网格，或用四面体和五面体网格过渡不同大小的六面体网格。

图15-5是三角形网格过渡四边形网格情况，其中图()a 中的四边形网格相差不大，只用了一层三角形网格过渡。

而图()b 中的四边形网格相差较大，采用了两层三角形网格过渡。

2. 强制过渡强制过度是指用约束条件保持大小网格之间的位移连续性，这时大小网格的节点不可能完全重合，大小网格之间具有明显的界面，如图15-6()a 所示。

为保证过渡界面位移的连续性，必须对小网格在大网格边上的节点（即节点2、4、6、8）进行位移约束。

约束方式有两种：一是利用多点约束等式；一是：通过约束单元。

例如节点2，其位移22u υ、应满足约束等式1322u u u +=和 1322υυυ+= 3. 自然过渡 单元自然过渡和强制过度均适合于半自动分网方法，而对于自动分网，目前还不能完全按照人的意愿划分出图15-5或15-6()a 所示的网格形式，尽管这些形式并不复杂。

对于一定大小的平面区域或空间体积，目前的自动分网算法只能划分出具有相同形状和平滑过渡的疏密网格，如图15-6()b 所示，这种大小网格之间的平滑过渡称为自然过渡。

自然过渡将引起网格变形，从而降低网格质量。

网格尺寸越悬殊，过度距离越近，网格质量影响越严重。

划分疏密不同的网格主要用于应力分析，包括静应力和动应力。

而在固有特性分析时，则应采用比较均匀的网格，这时因为固有频率和振型仅与结构的质量分布和刚度分布有关，不存在类似应力集中的现象。

其次均匀网格可使刚度矩阵和质量矩阵的元素大小不致相差太大，可以减小数值计算误差。

例如，对于图15-7()a 所示的卡子，在计算其应力和固有频率时，就可以采用图15-7()b 和图15-7()c 两种不同的网格形式。

此外，计算温度场时也趋于采用均匀的网格。

实际建模中，有时并不能事先知道结构哪些部位存在应力集中，特别是热应力分布。

这时可以先用均匀的网格进行初算，在根据得到的应力等值线图来调整网格疏密。

等值线密集的部位说明应力梯度大，应增加网格密度。

等值线稀疏的部位应力梯度小，可以保持或减少网格密度，然后再作精确计算。

这种过程还可以重复进行，以逐步提高计算精度。

目前一些分析软件可以根据计算结果自动调整网格疏密。

三、 单元阶次很多单元都有低阶和高阶形式，采用高阶单元的目的是为了提高精度，这主要基于两点考虑。

一是利用高阶单元的曲线或曲面边界更好地逼近结构的边界曲线或曲面；二是利用高次插值函数更好地逼近复杂的实际函数。

但高阶单元的节点较多使用时也应权衡精度和规模综合考虑。

增加网格数量和单元阶次都可以提高结果精度，但在节点总数相同的情况下，增加阶次的效果更理想。

图15-8()a 中的两种单元总是自由度相同，根据式（12-1）可知，线性单元的应力计算误差为()02h ，二次单元的应力计算误差为()0h ，显然后者比前者的计算误差小。

而对于图15-8()b 所示的网格，二次单元不仅误差小，且节点数还比线性单元少一个。

图15-9是一悬臂梁分别用线性和二次三角形单元离散时，其顶端位移随网格数量的收敛情况，从该图不难看出以下几点：⑴当网格数量较少时，两种阶次单元的精度相差很大，这时采用低阶单元划分网格是不合适的。

⑵当网格数量较多时，两种阶次单元的精度相差很小，这时再采用高阶单元并不经济。

例如在离散结构细节时，由于细节处的网格分得很密，这时采用高阶单元的意义就不大了，采用密集的线性单元可能比稀松的高阶单元效果更好。

⑶在精度一定时，需要的高阶单元数要远远少于线性单元数。

因此在使用高阶单元时要选择适当的网格数量，太多的网格并不能带来明显的效益。

例如在计算齿轮根部应力时，采用了图15-10所示的二次单元图()a和线性单元图()b，尽管两者网格数量相差近115倍，但计算结果却非常相近。

有时为了兼顾进度和计算量，可以在不同部位采用不同借此的单元，即精度要求高的重要部位采用高阶单元，而精度要求低的次要部位采用低阶单元。

不同阶次单元之间应注意正确连接，以保证位移连续。

四、网格质量网格质量是指网格几何形状的合理性。

质量的好坏将直接影响结果的精度，质量太差的网格甚至会终止计算过程。

直观上看，若网格各边和各个内角相差不大，网格表面不过分扭曲，边角点位于边界等分点附近，则这类网格的质量较好。

网格质量可用一些具体指标定量表示。

网格划分之后，特别是自动划分的网格，应进行网格质量检查，并对质量差的网格（特别是重要部位的网格）进行修改，以保证计算精度和使数值计算结果顺利完成。

在有限元模型中，图15-11所示的几种网格是不允许的，它们将导致单元刚阵为零或负值，数值计算时将出现致命错误而中断，这些网格称为畸形网格。

其中图()a所示的网格节点交叉编号，节点必须按顺时针或逆时针统一编号。

图()b所示网格的内角大于或等于180°，图()c所示网格的两队节点重合，导致网格面积为零。

五、网格分界面和分界点划分网格时，结构中的一些特殊界面和特殊点应划分为网格边界或节点。