中心极限定理应用举例
分布，当ｎ充分大时，ｎ个相互独立的随机变量的和是一个服从正态分
布的随机变量，而由这些独立的随机变量组成的样本，其样本的平均 值也是一个服从正态分布的随机变量。
例 ２ 已知男性婴儿头围的标准差σ ＝１．３９（ｃｍ），今抽取 １５２ 名男 性婴儿测得平均头围为４２．９（ｃｍ），试以置信度０．９５估计总体均数μ的
参考文献 ［１］魏宗舒等．概率论与数理统计教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社． １９８２． ［２］林士美． 应用数理统计［Ｍ］．北京：中国医药科技出版社．１９９６． ［３］王孝玲． 教育统计学［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社．１９９３．
－４７－
２．３ 总体率的区间估计［３］ （１） ｎ 次独立重复试验中某事件出现的次数 Ｘ 服从二项分布， 由中心极限定理知，当 ｎ充分大时，二项分布以正态分布为极限，即 总体 Ｘ 近似服从 Ｎ（ｎｐ，ｎｐｑ）。
小结
在参数区间估计中， 特别是对不是正态分布的一般分布，当样 本容量足够大时， 就可利用中心极限定理转化为正态分布来处理， 进 而求出参数的置信区间；另外在求数列极限时，也可应用中心极限 定理。
置信区间。 解：本例是在一般总体，若已知总体方差且在大样本的情况下
对总体均值μ的区间估μ得区间估计 －４６－
例 ３ 在一批中药片剂中随机抽取 ２５ 片检查称得片重为 ０．５ｇ， 标准差为０．０８ｇ，已知片剂的重量服从正态分布，试求此中药平均片 重的置信度为 ９ ９ ％ 的置信区间。
２． 常见的几种应用
２．１ σ ２ 已知时，总体均值μ得区间估计
例 １ 调查了１４４ 名吸烟的人吸烟量的平均值为１２（支），假设吸烟 人中的吸烟量服从正态分布 Ｎ （μ，４ ２ ），试估计总体均值μ的 置信度为 ９９％ 的置信区间。
１． 引言及预备知识
解：本例是在已知总体方差的情况下对总体均值μ的估计。利 用上式可得。
解：本例是在已知总体方差的情况下对总体均值μ的估计。 利用上式可得。
例 ４ 今调查了 ３５０ 名健康成年女性的血红蛋白含量（ｇ％）的 其均值为 １１．７（ｇ％），标准差为 １．５（ｇ％），试估计健康成年女性的总体 均值μ的置信度为 ９ ９ ％ 的置信区间。
解：本例是在总体方差未知的情况下对总体均值μ的估 计。
基础及前沿研究 中国科技信息 ２００９ 年第 １６ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ａｕｇ．２００９
中心极限定理应用举例
周德华１ 袁书娟 ２ １，山东万杰医学院数学教研室 ２５５２１３；２，河北理工大学轻工学院 ０６３０００
Ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｂｏｕｔ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｅｎｔｒａｌ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｅｍ Ｚｈｏｕ Ｄｅｈｕａ１ Ｙｕａｎ Ｓｈｕｊｕａｎ２
众所周知， 中心极限定理是概率论中最重要最基本的一个定理。
基于中心极限定理在经济生活中有很多的应用，笔者仅就中心极限定
理在参数区间估计及求数列极限过程中的应用通过举例做一些粗浅 讨论。
１．１ Ｌｅｖｙ－Ｌｉｎｄｅｂｅｒｇ 定理［１：］
（２） 对一般总体若已知总体方差在大样本情况下仍可用公式对 总体均值μ做区间估计，依中心极限定理可知，不是正态分布的一般
１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｗａｎｊｉｅ Ｍｅｄｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｚｉｂｏ ２５５１３ ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｌｉｇｈｔ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ， Ｈｅｂｅｉ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ， Ｔａｎｇｓｈａｎ ０６３０００；
摘 要 本文通过举例讨论了中心极限定理在参数区间估计及求数列极限中的 应用。 关键词 置信区间；显著性水平；中心极限定理 中图分类号：Ｏ ２ １ ２ 文献标识码：Ａ Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｅｎｔｒａｌ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｄｕｒｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｂｔａｉｎ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｆｒｏｍ ｓｅｖｅｒａｌ ａｓｐｅｃｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ；ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｌｅｖｅｌ；ｃｅｎｔｒａｌ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｅｍ
第二节-中心极限定理要点
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
中心极限定理课件
X ~ b( 200, 0.6),
X ~ b( 200, 0.6),
现在的问题是: 现在的问题是: 求满足 P { X ≤ N } ≥ 0.999 的最小 的 N. 由定理 2
X − np 近似服从 N (0, 1), 这里 np(1 − p ) np = 120, np(1 − p ) =0 个, 已知该型号 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 的概率 个螺丝钉的重量, 解 设 X i 为第 i 个螺丝钉的重量, i = 1,2,L,100, 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量 且它们之间独立同分布, 为X=
棣莫佛—拉普拉斯定理是林德伯格 拉普拉斯定理是林德伯格—勒维定理 注： 棣莫佛 拉普拉斯定理是林德伯格 勒维定理 它是历史上最早的中心极限定理. 它是历史上最早的中心极限定理 的一个重要特例， 的一个重要特例，
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近 下面的图形表明 正态分布是二项分布的逼近. 正态分布是二项分布的逼近
E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 , i = 1,2,L, n,L
则
n ∑ X i − nµ x 1 −t2 i =1 lim P ≤ x = ∫ e 2 dt. −∞ n →∞ σ n 2π
注：定理表明 当 n 充分大时， n 个具有期望和方 定理表明: 充分大时， 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布. 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布 虽然在一般情况下， 虽然在一般情况下，我们很难求出 X 1+ X 2 + L + X n
中心极限定理在社会生活和军事问题中的应用
中心极限定理在社会生活和军事问题中的应用
作者：秦信念沈林
来源：《旅游纵览·行业版》 2013年第8期
中心极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，有着广泛的实际应用背景，其理论成果也比较完美。
本文主要通过对社会生活问题和军事问题中具体实例的引用，展现了中心极限定理的实际应用，化抽象的理论概念为具体的实际例子。
例1（社会生活问题）由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调，政府部门已经慢慢开始采取各种各样的措施进行预防.在这之前，对新生婴幼儿的性别进行判断和统计是很有必要的，而中心极限定理在这方面就能体现出它独特的作用.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩数目不少于男孩数目的概率为多少？
例2（军事问题）炮弹、火箭发射过程中会受到各种各样不可预料因素的影响，这些因素非常之多，然而这却又几乎无法单独预估，但是如果放任不管，一丝一毫的差错都将可能会造成灾难性的后果.而为了有效控制这些因素的影响，就需要使用到中心极限定理.下面简单举例说明.
用中心极限定理说明在正常的射击条件下，炮弹的射程服从或近似服从正态分布.
（作者单位：黄淮学院数学科学系）。
中心极限定理例题讲解
中心极限定理的例题一、定义与前提中心极限定理是概率论中的一类重要定理，它指出当样本量足够大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
二、例题例题1：车间里有200台同型号的车床，每台车床开动需用电力10千瓦。
由于工艺关系，每台车床开停可理解为处于随机状态且相互独立，开的概率为0.7。
问至少应供应这批车床多少电力，才能保证有95%的可能性这批车床都能正常工作？解答：1. 记为第i台车床使用电力情况的随机变量，取值为0或10（0表示车床未开动，10表示车床开动）。
2. 令表示这批车床用电总和的随机变量，则。
3. 根据中心极限定理，当n（即车床数量）足够大时，近似服从正态分布。
4. 计算期望和方差：期望：每台车床开动的概率为0.7，所以=200×10×0.7=1400（千瓦）。
方差：由于车床开停是相互独立的，所以方差可以相加，即=200×(10^2)×(0.7×(1-0.7))=4200（千瓦^2）。
5. 标准化随机变量：令，则近似服从标准正态分布。
6. 根据95%的置信水平，查找标准正态分布表，得到临界值z=1.96（或根据对称性，使用-1.96也可）。
7. 解不等式：，得到。
8. 将z值代入上述不等式，得到，即。
9. 计算所需电力：=1400+1.96×√4200≈1483.72（千瓦）。
所以，为了保证这批车床有95%的可能性正常开动，应供应至少1483.72千瓦电力。
例题2：一个一百万人口的城市，统计每人因急病需用救护车的概率为二万分之一。
问这个城市急救中心需配备多少救护车，才能保证有99%的可能性能及时叫到救护车？解答（简化过程，主要展示中心极限定理的应用）：1. 记第i个人需使用救护车为事件Ai，不需使用为。
2. 根据题意，每个人需使用救护车的概率为p=1/20000。
3. 令X表示这个城市在同一时刻需使用救护车的人数，则X服从二项分布B(1000000,1/20000)。
503列维-林德伯格中心极限定理
概率论与数理统计（理工）
列维-林德伯格中心极限定理
列维-林德伯格中心极限定理
内容提要
列维-林德伯格中心极限定理
教学要求
熟练掌握列维-林德伯格中心极限定理的应用。
一、列维-林德伯格中心极限定理
定理(列维-林德伯格): , ⋯ , , ⋯是独立同分布
随机变量列, 且∀ ∈ ℕ+ , = , = ,
则 � 的标准化变量 =
=
∑= − ∑=
∑=
所求概率为 >
= −
−
≤
= − ≤
−
≈
.
.−
.
� −
/
∑
=
的极限分布是标准正态分布.
, .
�
, / .
3. 当充分大时, � 近似服从 , , 从而对
=
任意的 < ,有
< � <
∑= −
lim = lim
的分布函数 →∞
≤
→∞
=�
−∞
−
= .
1. =
2. =
∑
= − ∑=
解: 记第袋味精的重量为 , 可以认为 , ⋯ ,
是独立同分布的随机变量. = , = .
记总重量为 = + ⋯ + ,
chapter4中心极限定理
1.一个螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是 50 克，标准差是 5 克，求一盒 （100 个）同型号螺丝钉的重量超过 5100 克的概率。
解：
令 X i = “第 i 个螺丝钉的重量”
则 E( X i ) = 50 ， D( X i ) = 52 ， i = 1,2,3,L,100
100
∴ P(∑ X i > 5100) = P(X > 51) i =1 ≈ 1 − Φ(51 − 50) = 0.0228 0.5
100
∴ P(180 ≤ ∑ X i ≤ 220) = P(1.8 ≤ X ≤ 2.2) i =1
≈ Φ( 2.2 − 2) − Φ(1.8 − 2)
0.13
0.13
= Φ(1.538) − Φ(−1.538) = 0.87
3.在进行加法运算时，为简便起见，每个加数取整数（按四舍五入取最为接近它 的整数）。可以认为各个加数的取整误差是相互独立的，并且它们都服从[–0.5，0.5] 上的均匀分布。求
4.设有 30 个电子器件，它们的使用寿命 T1,T2 ,L,T30 都服从 λ = 0.1 (单位：(小
时)-1)的指数分布。其使用情况是第一个损坏，第二个立即使用，第二个损坏，第三个
立即使用等等，令 T 为 30 个器件使用的总计时间，计算 T 超过 360 小时的概率。
解：
令 Ti = “第 i 个器件的使用寿命” 则 E(Ti ) = 10 ， D(Ti ) = 100 ， i = 1,2,3,L,30
的频率在 0.68 到 0.72 之间的概率不少于 0.90，问至少要进行多少次试验？ (1) 用切比雪夫不等式估计； （2）用中心极限定理计算。 解：
（1） P(0.68 ≤ μn ≤ 0.72) n
概率论中的极限理论应用案例
概率论中的极限理论应用案例概率论是数学的一个分支，研究随机现象和随机事件出现的规律。
在概率论的学习中，极限理论是一个重要的内容，它涉及到概率的收敛性与极限的性质。
本文将介绍几个概率论中极限理论的应用案例。
一、中心极限定理的应用案例中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了独立同分布随机变量的和的极限分布。
这个定理在统计学和实际生活中有广泛的应用。
案例一：酒吧内人数统计假设有一家酒吧，每天的客人人数是一个随机变量，服从某个分布。
我们希望了解每天酒吧内的平均客人人数。
由于酒吧客人人数是一个随机变量，我们可以通过中心极限定理来进行估计。
首先，随机选择多个不同的日期，每天记录酒吧内的客人人数。
然后，计算这些日期的客人人数的平均值。
重复进行多次实验，每次记录平均值。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，这些平均值将近似服从正态分布。
通过计算这些样本的平均值，我们可以得到酒吧内平均客人数的一个置信区间。
这个置信区间可以为酒吧经营者提供参考，帮助他们评估酒吧的经营情况。
案例二：商品质量控制假设一个工厂生产一种产品，产品的重量是一个随机变量，服从某个分布。
工厂希望了解每个产品的平均重量是否符合要求。
为了进行质量控制，工厂在每个生产周期中随机选择一些产品进行称重。
然后，计算这些产品的平均重量。
重复进行多次实验，每次记录平均重量。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，这些平均重量将近似服从正态分布。
通过计算这些样本的平均重量，我们可以得到产品平均重量的一个置信区间。
这个置信区间可以帮助工厂评估产品的质量，及时采取措施进行调整和改进。
二、大数定律的应用案例大数定律是概率论中另一个重要的定理，它描述了大样本情况下，随机变量的平均值接近其期望值的概率。
大数定律在实际生活中有许多应用。
案例三：投掷硬币概率假设我们有一枚均匀的硬币，我们想知道它朝上的概率是多少。
我们可以进行多次投掷实验，每次记录硬币朝上的次数，并计算这些次数的平均值。
中心极限定理理解
中心极限定理理解一、啥是中心极限定理呢？咱就把它想象成一个很神奇的魔法。
比如说啊，有一堆乱七八糟的数据，它们单个看起来可能毫无规律，但是呢，当这些数据的数量变得超级多的时候，它们就会像被施了魔法一样，变得有规律起来。
这个规律就是会趋近于一种特定的分布，一般就是正态分布啦。
就好像一群调皮的小孩子，一开始各自乱跑乱跳，但是当人足够多的时候，就会慢慢形成一种像是排队一样的整齐状态。
这就是中心极限定理大概在做的事情，它让那些看起来杂乱无章的数据在大量的情况下有了一种秩序感。
二、中心极限定理的例子你看啊，假如我们去统计一个学校里每个学生每天的零花钱。
每个学生的零花钱肯定是各种各样的，有的多有的少，完全没个准儿。
但是如果我们把全校学生的零花钱都统计起来，而且这个学校的学生数量还特别大的话，那这个零花钱的总数或者平均数就会符合中心极限定理。
它就会趋近于正态分布。
这就好比每个学生的零花钱是一颗小珠子，一开始这些珠子散落在各处，但是当珠子的数量超级多的时候，它们就会堆成一个类似正态分布的形状。
再比如说掷骰子，掷一次骰子，结果是1到6中的任意一个数，完全随机。
但是如果我们掷很多很多次骰子，然后统计每次掷骰子结果的总和或者平均值，这个结果也会遵循中心极限定理，慢慢地靠近正态分布。
三、中心极限定理为啥重要呢？这可太重要啦！在实际生活中，它的应用超级广泛。
比如说在做市场调查的时候，我们要调查人们对某个产品的满意度。
每个被调查者的满意度是不同的，但是当调查的人数足够多的时候，我们就可以根据中心极限定理来对整体的满意度进行一个比较准确的估计。
还有在质量检测方面，如果一个工厂生产很多产品，每个产品的某个指标可能会有波动，但是当产品数量很大的时候，就可以用中心极限定理来判断这个生产过程是不是稳定。
要是没有这个定理，我们就很难从那些杂乱的数据中找到规律，就像在黑暗中摸瞎一样，不知道该怎么去处理那些大量的数据。
所以说啊，中心极限定理就像是我们在数据海洋里的一盏明灯，给我们指引方向，让我们能够对那些看似无序的数据进行有效的分析和处理呢。
举例说明中心极限定理
举例说明中心极限定理
中心极限定理（Central Limit Theorem）是数理统计中一种重要的定理，舍罕－拉瓦锡在19世纪末提出的，它指出：当样本数目足够大时，其样本统计量的某些类型的分布比较接近正态分布。
换言之，即使母
体分布非正态，某些拥有一定数量样本时，其统计量也接近正态分布。
中心极限定理是统计学中重要的定理，它所指出的是许多概率模型中
的性质以及它们的变异情况是怎样的：当一个分布的假定的母体的样
本量越大时，它也拥有更多的样本中心越来越接近期望值，即比期望
值偏离得越小，样本越来越接近正态分布，即偏离正态分布得越小，
而样本标准偏差大小则回落迅速，而方差则不变。
举个例子，比如要考察100个人100米冲刺的完成时间，此时这100米冲刺的完成时间服从一种独特的概率分布，但是根据中心极限定理，
当100个人参加100米冲刺的完成时间的样本量够大时，那这些完成
时间的分布就会越来越接近正态分布，而无论最初所采样的概率分布
如何。
总结一下，中心极限定理是指，多样本（sample size足够大）情况下，即使假定母体分布极不正态，但是采样样本总体的分布仍然会趋向于
正态分布，即只要样本数量足够大，正态分布是任何概率分布的密切
逼近。
这个定理的十分重要，因为它为许多重要的统计抽样技术和显
著性统计检验提供了基础理论，也为计算机中的Monte Carlo模拟法（Monte Carlo Simulation）的应用铺平了道路。
中心极限定理应用[五篇范例]
中心极限定理应用[五篇范例]第一篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若ξk1，=a,ξ2，…是一列独立同分布的随机变量，且EξDξk=kσ⎰x2(σ2>0),k=1,2,…则有limp(k=1n→∞∑ξn-na≤x)=σnn12π-∞e-t22dt。
当n充分大时，∑ξk=1k-naσn~N（0,1），k=1∑ξnk~N（na,nσ）22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 错误！未μ找到引用源。
为n次试验中事件A出现的次数,则limp(n→∞n-npnpq≤x)=⎰2π1x-∞e-t22dt其中q=1-p。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。
同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。