微分方程在经济中的应用论文 (1)
一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文
阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。
微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如般)”的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1・1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1・1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy)(1-2)其中c任意常数。
例1求方程£=pa)y的通解，其中P(X)是X的连续函数。
解将变量分离，得到—=p(x)dx y两边积分，即得In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有lyl y=g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx求解方程生一¥ dx y将变量分离，得到y d y=・x d x,两边积分，即得因而，通解为这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解y=dy y | . y例3求解方程〒=-+tan- dx X Xy dy du解这是齐次微分方程，以・二u及子二X —+U代入，则原方程变为K dx dxdu IA+u=u+anudu tan udx X将上式分离变量，即有cot udu =—x两边积分，得到n I sm U1 = n I xl +c,这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为例4 求方程X+2jxy=y (x<0)y 以一P及二曙X半+ (LI代入，则原方程变为dx临甥P(1-3)分离变量，du dx两边积分，得到(1-3)的通解Jp- = In(-x) + c 于是p = In(-x) + c .2(In (・x)+c>0)其中c是任意常数。
浅析数学在金融经济分析中的应用论文.doc
浅析数学在金融经济分析中的应用论文金融业具有指标性、垄断性、高风险性、效益依赖性和高负债经营性的特点。
下面是我为你带来的浅析数学在金融经济分析中的应用论文，欢迎阅读。
【摘要】文章首先针对金融数学的概念和应用进行分析，而后进一步在此基础之上，对于确定性数学方法和不确定性数学方法的应用特征展开分析，能够帮助实现对金融领域数学学科应用状况的简要了解。
【关键词】数学；金融；经济；分析金融市场的存在与发展历史悠久，但是与其他自然学科相比，在对数学的运用方面，一直都进展缓慢。
这种滞后的进展来源于多个方面，但最为主要的方面在于，金融交易活动中存在的大量不确定因素，其中人的因素占据了大部分，诸如心理因素等，都造成了金融工作环境中的复杂特征，进一步妨碍了金融领域中数学参与的进展。
一、金融数学的概念与应用随着金融体系自身的发展，现代金融理论已经不同以往而成为一个独立学科。
与传统的金融体系相比，现代金融学开始将诸多学科包容到这一体系中来，其中不仅仅有经济学和数学，也包括了诸如心理行为学和社会学等，在重视人的心理以及行为变化的基础上，开始采用数学的方法展开对于金融学的分析。
而所有这一切，都在20世纪后期不断涌现出来，一方面，更多的适当的数学方法开始应用在金融问题的解决方案中；另一方面，这些金融问题也向数学和统计学提出了实践环境中极具价值的研究方向。
这样的推动力量，促成了金融学和数学的融合，并且逐步形成新的学科，即金融数学。
在这个新的学科领域中，现代数学工具的大量应用成为不容忽视的特征，并且进一步推动着金融与数学的融合，并且数学的相关理论与方法，为金融学的发展提供了不容置疑的支持。
从广义的角度看，金融数学是指应用数学理论和方法，研究金融经济运行规律的一门新兴学科，而从狭义而言，其主要作用于不确定条件下的证券组合选择和资产定价理论。
从应用特征和方法的角度看，金融数学通过随机控制、分析、微分、规划、统计、非线性与线性分析等方法，来处理金融环境中收益优化以及风险控制等方面的问题，并且用于处理在金融市场存在失衡特征的情况之下，实现金融风险的综合管理。
常微分方程与其在实际中的应用
常微分方程与其在实际中的应用常微分方程是描述自然现象和物理现象最基本的数学工具之一。
对于任何数学专业的学生来说，只有精通常微分方程，才能够真正掌握数学的精华和应用。
尽管很多人会认为，微分方程只是一种抽象的数学概念，但实际上它在我们的日常生活中扮演了重要的角色。
本文将围绕着常微分方程，探讨它在实际中的应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是研究函数的微分方程。
它包括两部分：一个是未知函数，另一个是关于该函数的导数。
通常，常微分方程包含一个独立变量和一个未知函数，其中这个未知函数是随着独立变量的改变而变化的。
在数学领域中，常微分方程可以用于求解需要改变的过程，并且它在各种物理学和其他科学领域的应用中也很重要。
二、常微分方程在经济中的应用在经济学领域中，常微分方程有广泛的应用。
例如，宏观经济学中的萨缪尔森模型就是一个关于经济增长的常微分方程模型。
此外，在经济学中另一个重要的应用是价格变化的方程。
价格经常依赖供求关系，而这种供求关系可以用常微分方程来描述。
我们可以通过模拟这种微分方程，来预测未来的价格趋势。
因此，常微分方程在经济学中被广泛应用。
三、常微分方程在物理学中的应用物理学是应用最广泛的领域之一，因此，常微分方程在物理学中的应用也是最广泛的之一。
物理学中有许多关于运动和力学运动的问题需要解决，这些问题都可以用常微分方程来描述。
例如，牛顿定律是经典物理学中最基本的定律之一，它可以用常微分方程的形式来表示。
此外，常微分方程还在许多其他领域中被广泛应用，如电学、光学、热学等。
四、常微分方程在生物学中的应用在生物学中，常微分方程也有广泛的应用。
生物学领域中的一些问题，例如种群增长和动态平衡，可以用常微分方程来描述。
此外，有些分子生物学问题也涉及到微分方程。
例如，细胞内生物化学反应非常复杂，它们可以用常微分方程来描述各种生物分子之间的相互作用。
五、总结因此，在各种学科领域中，包括经济学、物理学和生物学，常微分方程的应用都是不可忽视的。
“微积分”在经济中的一些应用举例
“微积分”在经济中的一些应用举例◎李萍【摘要】【摘要】现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中.下面列举微积分在经济中的一些应用：(1)导数在边际和弹性理论中的应用；(2)导数在利润最大化问题中的应用；(3)积分在利润最大化问题中的应用；(4)微分方程在经济中的应用.【期刊名称】数学学习与研究：教研版【年(卷),期】2016(000)017【总页数】2【关键词】【关键词】微积分；经济；应用数学是各个学科得以发展的基础，也是各个学科进行理性、抽象和科学分析问题的重要工具.由于数学高度的抽象性、严谨的逻辑性，造成学生学习的困难.久而久之，就产生了“学数学有什么用”的困惑，所以有必要经过训练和熏陶，使他们建立学习数学的兴趣，树立学习数学的信心[1].微积分是高等数学的一个重要分支，是进行数学分析的重要基础理论.现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中，微积分思想的引入给经济问题的分析和解决带来了诸多便利.一、导数在边际和弹性理论中的应用1.函数变化率——边际函数设函数y=f(x)可导，则导函数f′(x)称为边际函数，它的含义是：当x=x0时，当自变量x产生一个单位的改变时，y近似改变f′(x0)个单位.在西方经济学中，有边际成本、边际收入、边际利润等.例1 设某产品成本函数C=C(Q)(C为总成本，Q为产量)，其变化率C′=C′(Q)称为边际成本，C′(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是：当产量达到为Q0时，生产Q0前最后一个单位产品所增添的成本.例2 设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R(Q)，则R′=R′(Q)称为销售量为Q单位时的边际收入.其经济含义是：在销售量为Q单位时，再增加一单位产品销售总收入所增量.例3 设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L(Q)，则L′=L′(Q)称为销售量为Q单位时的边际利润.2.导数与弹性函数我们先来看一个例子：经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况,因此先引入下面定义：定义1[2] 设函数y=f(x)可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比,称为函数f(x)从x到x+Δx两点间的弹性(或相对变化率).而极限称为函数f(x)在点x的弹性(或相对变化率),记为.注:函数f(x)在点x的弹性反映随x的变化f(x)变化幅度的大小,即f(x)对x变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上,f(x)表示f(x)在点x处,当x产生1%的改变时,函数f(x)近似地改变f(x)%,在应用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似”二字.定义2[2] 设需求函数Q=f(P),这里P表示产品的价格，于是,可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下:.注:一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价格的提高而减少(当ΔP>0时,ΔQ<0),故需求弹性一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反映的强烈程度(灵敏度).用需求弹性分析总收益的变化：总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即R=P·Q=P·Q(P),由=Q(p)(1+η)=Q(p)(1-|η|).知：(1)若|η|<1,需求变动的幅度小于价格变动的幅度.R′>0,R递增.即价格上涨,总收益增加;价格下跌,总收益减少.(2)若|η|>1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R′<0,R递减.即价格上涨,总收益减少;价格下跌,总收益增加.(3)若|η|=1,需求变动的幅度等于价格变动的幅度.R′=0,R取得最大值.综上所述,总收益的变化受需求弹性的制约,随商品需求弹性的变化而变化.二、导数在利润最大化问题中的应用在微分学中，通过对已知的函数进行求导后，就可以得到原函数的导数，即边际函数.而在经济学之中，边际概念通常表示经济变量的变化率.在经济领域中，企业家经常会遇到如何才能使产品成本最低化、利润最大等问题.这些问题都可以转化为最大值和最小值进而用微积分的方法来解决.例4 一个企业的总收益函数是R=4000Q-33Q2，总成本函数是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利润L.解利润函数为L=R-C=4000Q-33Q2-(2Q3-3Q2+400Q+500)=-2Q3-30Q2+3600Q-500.对L求一阶导数，并令其等于零，即L′=-6Q2-60Q+3600=-6(Q+30)(Q-20)=0.得驻点为Q1=20,Q2=-30(舍去).对L求二阶导数，L″=-12Q-60，L″(20)=-12×20-60=-300<0，所以当Q=20时，利润有最大值，其值为L(20)=-2×(20)3-30×(20)2+3600×20-500=43500.故当产量为20时，利润最大为43500.三、积分在利润最大化问题中的应用例5 设某种商品明天生产x单位时固定成本为20元，边际成本函数为C′(x)=0.4x+2(元/单位)，求总成本函数C(x).如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L(x)，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.解因为变上线的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是边际成本函数在[0,x]上的定积分，又已知固定成本为20元，即C(0)=20，所以每天生产x多少单位时总成本函数为.设销售x单位商品得到的总收益为R(x)，根据题意有R(x)=18x,所以总利润函数L(x)=R(x)-C(x)=18x-(0.2x2+2x+20)=-0.2x2+16x-20.由L′(x)=-0.4x+16=0，得x=40，而L″(40)=-0.4<0，所以每天生产40单位时才能获最大利润，最大利润为L(40)=300(元).四、微分方程在经济中的应用例6 某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200(即当P=0时，Q=1200)，求需求量Q对价格P的函数关系.解根据弹性公式得，，化简得，两边积分得.Q=e-Pln3+C1=eln3-P+C1=eC1eln3-P=eC13-P=C3-P.其中，C=eC1，由初始条件P=0时，Q=1200，得C=1200，所以，需求量Q对价格P的函数关系Q=1200×3-P.结语在当今学科交叉研究越来越深入的趋势下，微积分思想与经济学的研究也更加紧密地结合了起来，通过本文可以看出，利用微积分知识可以简捷、方便地解决许多经济问题.希望通过本文的研究能够帮助人们了解微积分思想在经济中的重要作用.【参考文献】[1]张柳霞，朱志辉，方小萍.数学建模思想在高等数学教学改革中的作用[J].中华女子学院学报，2011(3)：124-128.[2]曾令武,刘晓燕.经济应用数学简明教程[M].广州：华南理工大学出版社，2012:67-74.。
随机微分方程在数理金融中的应用硕士学位论文
摘要复杂数据主要表如今相依、非线性、维数高与不完全观测等，在股市、基因序列和经济等领域中经常出现。
为解决巨型数据集合问题，数据挖掘的理论、方法和技术已应运而生。
而针对诸如怎样同时检验成千上万个基因中哪些基因的表达程度有显著性差异之类的高维统计推断问题，以错误发现率为主要特征的非参数估计方法无疑为其提供了一个有效的解决途径。
本文主要研究考察错误发现率的在各种参数模型和非参数模型下的控制检验方法，全文共分为四章。
文章首先介绍了所选取课题的背景和意义，以及国内外在该方向的研究现状。
在多重假设检验的背景下，给出了错误发现率的定义，提出利用p值进展假设检验，并在假设检验独立和相依的情形下对错误发现率的控制方法进展了讨论。
在研究错误发现率的控制方法时，发如今处理多重假设检验问题时，核心的问题是如何估计真实零假设的个数，因此本文采用经历贝叶斯估计来估计它的值。
在参数混合模型和非参数混合模型中研究真实零假设的估计问题是本文的核心内容。
针对正态混合分布模型和Beta混合分布模型两种参数混合模型，文章采用矩估计方法和基于p值的最小二乘估计方法进展研究；在研究非参数混合模型时，分别介绍了最小二乘估计方法、Beta分布拟合模型和Beinstein 多项式拟合模型的方法。
文章的最后以Hedenfalk报告的一组乳腺癌患者的基因数据为例进展仿真研究，发现错误发现率为微阵列数据的多重假设检验提供了适宜的错误控制指标。
关键词：错误发现率；多重假设检验；p值；非参数估计；微阵列数据AbstractComplex data always appear in the stock market, gene sequences, economic and other fields, which mainly show the characteristic of dependent, nonlinear, high dimension and incomplete observations. In order to solve the problem of huge data collection, the theories, methods and techniques of data mining are proposed. While how to examine the high-dimensional statistical inference problem, such as the significant differences of expression levels in thousands of genes, the non-parametric estimation of false discovery rate provide an effective solution.This paper mainly investigate the test method based on the false discovery rate of various parametric model and non-parametric model, which is divided into four chapters. Firstly, this paper introduce the background and significance of the topic, and the current studies in this direction at home and abroad. Under the background of multiple hypotheses testing, the paper describe the definition of the false discovery rate, propose using the p-value to test the hypothesis testing, and discuss the controlling method of the false discovery rate when the hypotheses testing is independent or dependent. When we investigate the controlling method of the false discovery rate and studied the multiple hypothesis testing problem, we find that the central problem is how to estimate the number of true null hypothesis, so this paper use the empirical Bayes estimation to estimate its value. Investigating the estimation of true null hypothesis in the mixing parametric model and non-parametric model is core of the dissertation. Aiming at the mixed normal distribution model and Beta mixture distribution model, This paper use the method of moment estimation and least squares estimation method based on the p-value to estimate its value; On studying thenon-parametric mixture model, the paper introduce the least square estimation method, Beta distribution fitting model method and the Beinstein polynomial fitting model method. Finally, the paper conduct the simulation research based on a group of patients with breast cancer gene data by Hedenfalk, and find that the false discovery rate is able to provide a suitable error control targets for the multiple hypothesis testing of microarray data.Keywords: false discovery rate, multiple hypotheses testing, p-value, non-parametric estimation, microarray data目 录摘 要 ..................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................... I I第1章 绪 论 (1)1.1 课题研究的背景及意义 (1)1.2 国内外在该方向的研究现状 (1)1.2.1 国外对错误发现率的研究现状 (1)1.2.2 国内研究现状 (3)1.3 本文拟研究的主要内容 (3)1.4 创新点 (3)第2章 错误发现率的多重检验方法 (5)2.1 多重假设检验的错误测度 (5)2.2 P 值的定义、性质和计算方法 (6)2.3 独立情形下基于FDR 控制的检验方法 (7)2.4 相依情形下基于FDR 控制的检验方法 (8)2.5 真实零假设的个数0m 或比值0π的估计 (9)2.5.1 -λ估计 (9)2.5.2 经历贝叶斯估计 (11)2.6 本章小结 (12)第3章 参数混合模型和非参数混合模型的估计 (13)3.1 引言 (13)3.2 正态分布混合模型 (13)3.3 Beta 分布混合模型 (17)3.4 非参数混合模型的估计 (21)3.4.1 最小二乘估计 (22)Beta 分布拟合模型 (23)Beinstein 多项式拟合模型 (25)3.5 本章小结 (26)第4章 错误发现率的估计方法的应用 (27)4.1 引言 (27)4.2 微阵列数据实例研究 (27)4.3 本章小结 (29)结论 (30)参考文献 (31)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 (34)致谢 (35)第1章绪论1.1 课题研究的背景及意义复杂数据主要表如今相依、维数高、非线性与不完全观测等，经常出如今股市、基因序列和经济等领域中。
微分方程在经济模型中的应用
微分方程在经济模型中的应用引言：微分方程是数学中的一种重要工具，它描述了变化率与变量之间的关系。
在经济学中，微分方程被广泛应用于各种经济模型的建立和分析中。
本文将探讨微分方程在经济模型中的应用，并介绍其中的一些经典案例。
一、经济增长模型中的微分方程经济增长是一个国家或地区经济长期发展的过程，而微分方程能够帮助我们理解和预测经济增长的规律。
一个经典的经济增长模型是索洛模型，它描述了资本积累和技术进步对经济增长的影响。
该模型可以用如下的微分方程表示：dK/dt = sY - δK其中，K表示资本积累，Y表示产出，s表示储蓄率，δ表示资本耗损率。
该方程描述了资本积累的变化率与产出、储蓄率和资本耗损率之间的关系。
通过求解这个微分方程，我们可以得到资本积累随时间的变化情况，从而分析经济增长的趋势和速度。
二、消费函数模型中的微分方程消费函数是描述个人或家庭消费行为的数学模型。
在经济学中，消费函数通常被表示为一个微分方程。
一个经典的消费函数模型是凯恩斯消费函数，它描述了个人消费与收入之间的关系。
该模型可以用如下的微分方程表示：dy/dt = c - bY其中，Y表示个人收入，c表示消费的固定部分，b表示边际消费倾向。
该方程描述了个人收入的变化率与消费、收入和边际消费倾向之间的关系。
通过求解这个微分方程，我们可以得到个人收入随时间的变化情况，从而分析个人消费的趋势和规律。
三、货币供应模型中的微分方程货币供应是一个国家或地区货币总量的变化情况，而微分方程可以帮助我们建立货币供应模型并进行分析。
一个经典的货币供应模型是弗里德曼-斯图尔特模型，它描述了货币供应与货币基础、货币乘数和其他因素之间的关系。
该模型可以用如下的微分方程表示：dM/dt = m(dB/dt)其中，M表示货币供应，B表示货币基础，m表示货币乘数。
该方程描述了货币供应的变化率与货币基础的变化率和货币乘数之间的关系。
通过求解这个微分方程，我们可以得到货币供应随时间的变化情况，从而分析货币政策的效果和稳定性。
谈高等数学理论在经济领域中的应用
谈高等数学理论在经济领域中的应用【摘要】高等数学理论在经济领域中的应用是当前经济学研究中不可或缺的重要组成部分。
数理经济学模型的建立需要借助高等数学理论，微积分在经济学中的应用帮助我们更好地理解经济现象的变化规律，线性代数在经济学中的应用帮助我们分析复杂的经济关系，概率论与统计学则可以帮助经济学家做出准确的经济预测和决策。
偏微分方程在经济学中的应用也发挥着重要作用，帮助我们解决一些复杂的经济问题。
高等数学理论对经济学领域的推动作用不可小觑，为经济学研究提供了强有力的理论支持和分析工具。
【关键词】高等数学、经济学、数理经济学模型、微积分、线性代数、概率论、统计学、偏微分方程、推动作用1. 引言1.1 高等数学在经济学中的重要性高等数学在经济学中扮演着至关重要的角色，其理论和方法的应用对于经济领域的研究和发展具有深远的影响。
经济学作为社会科学的一个分支，旨在研究资源的配置和利用以及人们在满足他们无限需求时所做的选择。
而高等数学的应用为经济学提供了严密的数学工具和分析方法，帮助经济学家更准确地理解和解释经济现象。
在实际经济问题的分析中，数理经济学模型的建立是至关重要的一环。
通过高等数学的方法，经济学家可以建立各种数学模型来描述和预测经济系统的运行规律。
微积分在经济学中的应用则可以帮助经济学家对各种经济变量之间的关系进行精确的定量分析，为经济政策的制定提供依据。
线性代数在经济学中的应用则可以帮助经济学家对多变量经济模型进行求解和优化，提高了经济研究的效率和精度。
概率论与统计学在经济学中的应用则可以帮助经济学家对经济现象的不确定性进行量化和分析，为决策提供科学依据。
偏微分方程在经济学中的应用则可以帮助经济学家对动态经济系统进行建模和分析，预测经济的长期发展趋势。
高等数学的理论和方法在经济学领域中的应用具有举足轻重的地位，为经济研究提供了强有力的工具和支持。
它不仅推动了经济学理论的发展，也促进了经济政策的制定和实施，对于实现经济社会的可持续发展具有重要意义。
高等数学小论文—微分在生活中的应用
微分在生活中的应用1.计算利率和复利：在金融领域，微分可以用来计算利率和复利。
在实际应用中，微分被用于计算连续复利。
假设本金为P，年利率为r，投资时间为t年，那么根据微分的思想，t年后本金和利息之和可以表示为P(1+rt)。
这个公式可以方便快捷地计算出投资在一段时间后的增长倍数，为我们进行投资决策提供了依据。
2.预测未来走势：在经济学中，微分被用来描述变量之间的关系，如价格和需求量之间的关系、成本和产量之间的关系等。
这种关系通常被表达为微分方程或差分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到变量随时间变化的规律，从而预测未来的走势。
例如，在商品市场中，价格和需求量之间的关系可以通过微分方程来表示。
通过对这个方程的求解，我们可以预测在未来一段时间内，价格会如何变化，需求量会如何变化，从而制定出更加合理的经济政策。
3.优化生产过程：在工业生产中，微分可以帮助我们优化生产过程。
具体来说，通过对生产过程中的各种变量进行微分分析，可以找出哪些变量对生产效率有影响。
然后，我们可以通过调整这些变量的参数来优化生产过程，提高生产效率。
例如，在生产汽车零部件时，通过对生产过程的微分分析，可以找出对生产效率影响较大的环节，如刀具磨损、模具寿命等，并采取措施来优化这些环节，从而提高生产效率。
4.医学成像：在医学领域，微分也被广泛应用于医学成像。
例如，在CT扫描中，微分被用来重建图像。
具体来说，CT扫描是通过测量人体不同部位在不同时间点的辐射量来重建图像的。
而微分则可以用来分析和处理这些测量数据，以重建出更准确的图像。
在这个过程中，微分可以帮助我们更好地理解图像的形成过程和人体内部的结构特征，为医生的诊断和治疗提供依据。
5.计算机科学：在计算机科学中，微分被广泛应用于机器学习和人工智能领域。
例如，深度学习模型中的反向传播算法就使用了微分。
通过微分，我们可以计算出模型参数的更新量，从而优化模型的性能。
6.自然科学研究：在自然科学领域，微分被广泛应用于物理、化学、生物学等学科的研究。
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哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：微分方程在经济中的应用院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名赵忠媛学号******** 指导教师姜秀英职称副教授2013年05月03日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章微分方程的基本理论 (3)1.1微分方程的概念 (3)1.2微分方程的解 (4)第二章微分方程的经济模型 (8)2.1 经济增长模型 (8)2.2供需均衡的价格调整模型 (9)2.3索洛新古典经济增长模型 (10)2.4公司资产函数模型 (11)2.5新产品的推广模型 (12)2.6人才分配模型 (13)2.7价格调整模型 (14)第三章微分方程在经济中的应用举例 (16)3.1商品的需求量(供应量)问题 (16)3.2产量、收入、成本及利润问题 (18)3.3国民收入问题 (20)3.4国民债务问题 (21)3.5流动的收入、消费和投资问题 (21)3.6商品存储过程中的腐败问题 (22)3.7汽车中的经济问题 (22)参考文献 (25)后记 (26)摘要本文首先把微分方程的基本理论进行了概述，通过对微分方程概念和解的介绍，给下文的微分方程在经济中的应用做了很好的铺垫，在介绍微分方程基本理论的基础上，介绍了微分方程的七种经济模型，并通过对经济模型的求解，解释了相应经济量的意义或规律，结合具体的社会经济实际意义进行了分析和推断。
把微分方程应用到社会经济领域中，列举了微分方程在经济中的七个方面的应用。
关键词: 微分方程；数学模型；经济增长；应用举例；ABSTRACTIn this paper,the basic theory of differential equations are summarized .Based on the differential equations to introduce the concept of reconciliation .Application to differential equation below in the economy have made the very good upholstery.After introducing the basic concepts ,seven kinds of mathematical economic models are also presented.To explain the economic quantity corresponding meaning or laws through the solution. then explaining and counting the differential equations.analysis and deduce the concrete reality meaning of social economy.Then the differential equation is applied to the field of social economy and the seven aspects in the economy of the differential equation.Key words:Differential equation;Mathematic model;Economic growth;Examples of application第一章 微分方程的基本理论微分方程是伴随着微积分发展起来的，微积分是它的本体，生产生活实践是它的源泉。
300年来，微分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。
微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。
随着社会的发展，数学与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识和接受。
作为高等数学基础内容之一的微分学，它在经济领域中的应用日益广泛，也是经济工作者和决策者进行实践和研究的重要工具之一。
1、1 微分方程的概念什么是微分方程？在经济应用中能用到哪些关于微分方程的知识？早在一百多年前，马克思就研究了这些问题，那么现在我们是怎样给它定义的呢？ 定义1 含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程．定义2 未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元 函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，叫做偏微分方程。
如222220x y z z yz xz a x y∂∂-==∂∂、就是偏微分方程。
定义3 微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分方程的阶。
定义4 若一个微分方程的阶为n ，则称这个微分方程为n 阶微分方程。
如2dy xy dx =是一阶微分方程，22320d y dyy dx dx-+=是二阶微分方程。
定义5 如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等，则称此函数为 微分方程的解。
定义6 求微分方程解的过程，叫做解微分方程。
若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称为通解。
当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，这是微分方程的特解。
例如2y x C =+是2y x '=的通解，又如212x x y C e C e =+（ 1 2C C 是任意常数）是22320d y dyy dx dx-+=的通解，而21 122+=+=x y x y 都是2y x '=的特解。
通常，特解都是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这里用来确定特解的条件，叫做初始条件。
一般地，一阶微分方程的初始条件为：00x x y y -=；二阶微分方程的初始条件为：00x x y y -= 00x x y y -''=对于形如()()n y f x =的微分方程，只要通过逐次积分（n 次），便可得到通解 例1 求微分方程1y x '''=+的通解. 解 将所给方程两边积分一次，得()121211C x x C dx x y ++=++=''⎰两边再积分，得212312216121C x C x x dx C x x y +++=⎪⎭⎫⎝⎛++='⎰第三次积分，得32213421232612412161C x C x C x x dx C x C x x y ++++=⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰因此所求的微分方程的通解为432123112462C y x x x C x C =++++ ()123 C C C 为常数1、2 微分方程的解微分方程通过结构的不同，大致可以分为以下几类：根据经济中所涉及到的微分方程，我们可以给出微分方程不同的解法。
()1可分离变量微分方程如果一个一阶微分方程(),,0F x y y '=能写成()()g y dy f x dx =的形式，那么原方程(),,0F x y y '=就称为可分离变量微分方程。
()()g y dy f x dx =称为变量已分离方程。
例如()()()22221111,11dy dy x y xy x y dy x dx dx dx y =+++⇒=++⇒=++是可分离变 量方程。
设()0g y ≠，则方程可写成变量已分离的方程()()dyf x dxg y =，若函数f 与g 连续，则两边分别对x 和y 积分，得()()dyf x dx cg y =+⎰⎰，就为变量可分离方程的通解，其中c 为任意常数。
()2齐次微分方程 如果一阶微分方程可写成dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式，则称原方程为齐次微分方程。
例如()220dy x yx y dx xydy dx y x+-=⇒=+是齐次方程。
引入新的变换，yu x=，即y ux =就可将齐次方程化为变量可分离方程，因为+dy du x u dx dx =，所以()du x u f u dx +=分离变量，得()1du dx f u u x=-于是得到dufu ux ce-⎰=，将变量还原，便可得原方程的通解。
()3一阶线性微分方程形如()()y p x y q x '+=的方程称为一阶线性方程。
如果()0q x ≡，则方程称为一阶线性齐次方程，否则方程称为一阶线性非齐次方程。
例如()1202dy dy x y y dx dx x -=⇒-=-是一阶线性齐次方程。
22335505x x y y x x ''+-=⇒=+是一阶线性非齐次方程。
对于一阶线性齐次微分方程方程()0y p x y '+=是变量可分离的方程，其通解为()p x dxy ce -⎰=其中c 为任意常数。
对于一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=是齐次方程的一般情况，我们可以设想线性非齐次微分方程有形如()()p x dx y c x e -⎰=的解，但其中c 为x 的待定函数，()()()()()p x dx p x dxy c x e c x e p x --⎰⎰''=-⋅将y 与y '代入方程 ()()y p x y q x '+= 并整理得()()()p x dxc x q x e ⎰'=，两端积分，得()()()p x dxc x q x e dx c ⎰=+⎰。
于是,一阶线性非齐次微分方程的通解为 ()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰。
()4二阶常系数线性微分方程形如()y py qy f x '''++=其中p 和q 为常数，这样的方程称为二阶常系数线性微分方程。
如果()0f x ≡，则上述方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，否则方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程。
例如 250y y y '''-+=是二阶常系数线性齐次微分方程； 2331y y y x '''--=+是二阶常系数线性非齐次微分方程。
求二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解的步骤为：第一步：写出微分方程的特征方程20r pr q ++=； 第二步：求出特征方程的两个根 1 2r r ；第三步：据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解。
二阶常系数线性非齐次微分方程的通解是对应的齐次方程的通解()y Y x =与非齐次方程本身的一个特解()y y x =*之和：()()y Y x y x =+* 。