Z变换的定义与收敛域
有限长序列的z变换收敛域
有限长序列的z变换收敛域在信号与系统理论中，有限长序列（Finite-Length Sequence）是指信号的长度为有限值的序列。
这些序列可以在数字信号处理中得到广泛的应用，因此对于它们的分析和处理是非常必要的。
而z变换则是一种广泛应用于数字信号的工具，通过对序列进行z变换可以得到序列的频域信息，从而进行频域分析。
但是，在进行z变换的过程中，我们需要考虑到收敛域的问题。
本文将会介绍有限长序列的z变换收敛域，以及如何确定它。
一、z变换的定义与性质z变换通常用于对离散时间序列进行频域分析，是一种广泛使用的变换方法。
它的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}$$其中，x(n)表示离散时间序列，z表示复平面上的一个变量。
z变换将x(n)映射到X(z)上，其中z通常被看作是一个变量，而X(z)可以被看作是一个函数。
因此，z变换可以把一个序列从时域中转换到z域中，从而得到序列的频域信息。
z变换的性质如下：线性性： z变换具有线性性质，即a1X1(z) + a2X2(z) = X(a1x1(n) + a2x2(n))时移性： z变换具有时移性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，那么x(n - k)的z变换为z^{-k}X(z)因果性： z变换具有因果性质，当要进行z变换的序列x(n)是一个因果序列时，那么它的收敛域位于频域中心以外的复平面上。
在有限长的序列中，x(n)在某个时刻后就变成了零。
因此，收敛域可以看成是有限的，而不像无限长序列那样需要考虑到无穷远的范围。
因此，有限长序列的z变换收敛域被定义为在复平面上的一个圆环区域。
这个圆环区域的半径由序列长度决定。
对于有限长序列，可以将其表示为一个单位脉冲函数叠加的形式：其中，N表示序列的长度，$x(k)$表示序列的值。
因此，有限长序列的z变换为：可以看出，有限长序列的z变换实际上是一个多项式。
这个多项式的根描述了序列的频率特性。
z变换收敛域
z变换收敛域z变换收敛域是一种数字图像处理中应用非常广泛的技术。
它是一种快速而有效的方法，可以转换图像中的信号，从而实现对图像进行处理。
z变换收敛域也称为变换收敛域(TFD)，它是从z变换出发的一种重要概念。
z变换收敛域是将一个时域信号转换成频域的一种方法，它能够将时域信号的特性转换到频域，从而使得处理者可以更好地理解信号的特性，而不用去考虑其时间特性。
z变换收敛域也可以被用来分析信号的频率响应特性，以及信号的振幅和相位响应特性。
z变换收敛域能够帮助我们了解信号的细节，并更好地掌握信号的特性。
z变换收敛域的定义如下：当一个时域信号作用于z 变换之后，即[Z (n)] = [F (n)] X [H (z)]，其中[F (n)] 是信号的时域表达式，[H (z)] 是信号的z变换表达式，则[Z (n)] 的收敛域就是所有可能的[F (n)] 和[H (z)] 的组合，它们能够使[Z (n)] 收敛到有界值∞。
z变换收敛域也可以看作是一种“传递函数”，它可以描述信号在每一个时刻都是如何传播的，和信号受到外部影响时会有什么样的变化。
z变换收敛域的传递函数可以用来描述信号的延迟、增益、衰减、抑制等特性，从而帮助我们更好地理解信号的特性。
z变换收敛域的收敛域是一个多元函数，它由一个或多个维度组成，每个维度都代表一种特定的属性，例如，收敛域的一维可以表示信号在不同频率上的振幅响应，收敛域的二维可以表示信号在不同频率上的相位响应，三维可以表示信号在不同频率上的衰减响应等等。
z变换收敛域的应用非常广泛，它能够帮助我们更好地理解信号的特性，并帮助我们更好地处理信号。
它能够检测和分析信号的特性，并且能够提供信号的实时反馈和诊断，从而为信号的处理和控制提供依据，以及帮助我们更好地处理和控制信号。
此外，z变换收敛域还可以用来检测和控制信号的相位和频率响应，以及检测和控制信号的延迟、衰减和抑制等特性。
总之，z变换收敛域是一种非常有效的技术，它可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且能够提供有效的信号处理和控制的依据，从而使我们能够更好地处理信号。
z变换
半径和以|z2|为半径的两个圆之间的环状区域。
(5) 不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边Z变换不是 一一对应的。序列的双边Z变换连同收敛域一起与序列才是一 一对应的。
第 4 章 Z变换
ZT的ROC及其零极点
(1) ROC不包含任何极点； (2) 右边序列ZT的ROC 是以模最大的有限极点的模为半径的圆 外区域（不包括圆周）。
z
1
z
1
α<|z|<∞
f (k ) F ( z )
f (0) lim F ( z )
第 4 章 Z变换
4.3 Z 逆 变 换
4.3.1 双边Z逆变换的定义
1 k 1 f (k ) F ( z ) z dz C 2j
第 4 章 Z变换
4.3.2 双边Z逆变换的计算
(k m) z
k
z
m
第 4 章 Z变换 (3) f (k ) u (k ).
F ( z)
(4) f (k ) u(k 1).
k
u (k ) z
k
z z 1
k
|z|>1
F ( z)
k
[u(k 1)]z a u (k ) z
第 4 章 Z变换 3. 序列乘ak(Z域尺度变换)
若f (k ) F ( z), a z , 则
z a f (k ) F a
k
aa z a
a0
式中，a为常数（实数、虚数、复数），
第 4 章 Z变换 4. 序列域卷积 若
f1 (k ) F1 ( z ) f 2 (k ) F2 ( z )
第六节 Z 变 换
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
02-z变换的定义及收敛域课件
解： F(z)
1
(bz1 )k
k
(b 1 z )m
m1
lim
N
b1z (b1z)N 1 1 b1z
b-1z<1，即z<b时，其z变换存在，
jIm[z]
bk (k
1)
z zb
收敛域为|z|< |b|
|b|
o
Re[z]
结论三：反因果序列的收敛域是某个圆的圆内。
通信原理
6.1 z变换
例4：
收敛域为 z > 0
由于序列是有限长的，则F(z)是有限项级数和，所以F(z) 除了在 0和∞处外都收敛，有时在0和∞处也收敛。
结论一：有限长序列的收敛域是 0 z ，要讨论 0和∞两点。
通信原理
z变换
例2： 因果序列
f
(k)
ak
(k
)
0, ak ,
k0 k0
解： F (z) ak (k)zk ak zk
通信原理
Z变换的定义及收敛域
主讲人：王宏伟 通信与信息工程学院
11通信原理z变定义一、从拉氏变换到z变换
对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到:
取样信号 fS (t ) f (t )T (t ) f (kT ) (t kT ) k 两边取双边拉普拉斯变换，得
FSb (s)
f (kT ) ekTs
k
k0
lim
N
N
(az1 )k
k0
lim
N
1 (az1 )N 1 1 az1
z >a 时，其z变换存在。
ak (k) F(z) z
za
jIm[z]
|a|
o
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域
在 处收敛的z变换，
j Im[ z ]
其序列必为因果序列
R
x
R e[ z ]
0
2019/2/9
数字信号处理
包 括 z 处
3）左边序列
0 nn 2 x (n ) (n ) nn x 2
n n 其 z 变 换 ： X ( z ) x ( n ) z x ( n ) z n n 1 0 n 2
2019/2/9 数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2019/2/9 数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
n X () z Z T [() x n ] x () n z n
极 点 ： z 0 （ N 1 ） 阶
0
R e[ z ]
R o c : 0 z
2019/2/9
数字信号处理
n 例 2 ： 求 x ( n ) a u ( n ) 的 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X ( z ) = x ( n ) z = a u ( n ) z = a z
当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x 当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x
2019/2/9 数字信号处理
R
x
R e[ z ]
n1 0
0
包 括 z 处
因果序列
n1 0 的右边序列，
Roc: R z x 因果序列的z变换必在 处收敛
z变换的定义和收敛域PPT课件
第二章 离散系统的变换域分析
——电子信息工程
u( t ) 0
f
t
——电子信息工程
主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
——电子信息工程
2.1 z变换与z逆变换
n0
n
若有 | a || b |
X(z) z z za zb
| a || z || b |
——电子信息工程
3.典型序列z变换
(1) x(n) (n) 1, 任意z
(2)
x(n)
u(n)
1
1 z 1
,
|z|1
(3)
x(n)
u(n
1)
1
1 z 1
,
|z|1
(4)
x(n)
a n u(n)
x(n) 0
——电子信息工程
例： 求序列 x(n) bnu(n 1) 的 z 变换及收敛域
1
解： X (z) x(n)zn bnzn bnzn 1 bnzn
n
n
n1
n0
当 | z |时1，级数 b
收b 敛n z n
n0
X (z)
1
n0
bnzn
1
1 1 b1z
z zb
| z || b |
注意： 左边序列和右边序列具有相同的z变换形式， 但收敛域不同。
——电子信息工程
（4）.双边序列
双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
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j Im( z )
z 1，
z z 1
ROC: z 1
收敛域： 右边序列圆外的区域
1 0
Re( z )
3、指数序列
x( n) a u( n)
n
n
右边 序列
X (z) a z
n 0
n n
z , | z || a | za
z a
左边 序列
x n a u n 1
右边序列 左边序列
x1 ( n ) 0, n 0; x1 ( n ) x ( n ), n 0 x 2 ( n ) 0, n 1, x 2 ( n ) x ( n ), n 1
n n x ( n ) z X1(z) X 2 (z) 1
x( n) a n u n 1
n 1
n2 = -1
Rx 2 1 1 | a | n limn | x( n) | limn | a | n
n
z X z za
RO C ：| z | | a |
例3
Rx 2
n2 0 x ( n ) 1 n n2 2
双边序列的 ROC 是 Rx1< |z| < Rx2 的圆环。 ROC 内不包含任何极点（以极点为边界） ；
（三） 典型序列的z变换
1、 单位样值函数的z变换
1 ( n) 0
X (z)
( n)
1 1 0 1
n
n0 n0
n
n
( n) z
(0) z 0 1
ROC:整个 z 平面
ZT[ (n m)] z
m
2、单位阶跃序列的z变换
1 u( n) 0
X (z)
u( n)
n0 n0
1 10 1 2 3
L
n
n
n n u ( n ) z z n 0
X ( z ) 1 z 1 z 2 z 3 L
对 xs ( t ) 取拉氏变换
n 0
n 0
X s ( s ) Lxs (t ) L x ( nT ) (t nT ) n 0
X s s L[ x(nT ) (t nT )] x(nT ) e
n 0 n 0
snT
5、 X(z) 零 极点 及其与收敛域的关系
零点
使X(z)取值为0的z
极点
使X(z)取值为无穷大的z
极点均落在收敛域之外
总
结
有限长序列的 ROC 为整个 z 平面（可能除去 z=0 和 z=） ；
n1<0 右边序列的 ROC 在半径为 Rx1 的圆外(可能除去 z=， ） ； n2>0 左边序列的 ROC 在半径为 Rx2 的圆内(可能除去 z=0） ；
第6章 z变换, 离散系统 的z域分析
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算 机的研究和实践，推动了z变换的发展； •20世纪70年代引入大学课程； •主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理 等问题。
n1 < 0, n2 ≤ 0
0≤ |z| < ∞
0 < |z| < ∞
n2 3 n1 ≥ 0, n2 > 0
n2 3 n n1 n 2
n1 < 0, n2 > 0
0 < |z| ≤ ∞
n n = 0 n ≤ |z| ≤ ∞ xn X ( z) (1 n= )z0, 2 x ( n) z 0
n0 n0
1 Rx 1 , Rx 2 2 3
j Im(z )
1 z 2 ROC: 3
1/3 2
0
Re(z )
4、 单边 z变换的收敛域
X ( z ) x ( n) z n
n 0
∴ 单边z变换的ROC跟因果序列一样，为：
n | x ( n) | |z| >Rx1 lim n
x(n) 0, n n1
X (z)
n n1 n x ( n ) z
利用根值判定法
若 l imn | x( n) z n | 1 成立，则X(z)收敛
n
| z | l i mn | x( n) | R x 1
n
n1 < 0, Rx1< |z| < ∞ n1 ≥ 0, Rx1 < |z|
n 0
单边z变换 对任一信号x ( n )的（双边）z变换式为
X (z)
n n x ( n ) z
双边z变换
（一） z 变换的定义
任一信号x(n) 的z变换定义为：
X (z)
n x ( n ) z ZT[ x( n)]
n
双边z变换
X ( z ) x ( n) z
n2ห้องสมุดไป่ตู้
令：m = - n
X (z)
m n2
x(m)z
变量替换
m
X (z)
n n2
n x ( n ) z
1 | z | Rx 2 n lim | x( n) |
n
n2 ≤ 0, |z| < Rx2 n2 > 0, 0 < |z| <Rx2
左边序列的收敛域是半径为 Rx2 的圆内部分
x(nT )e snT (0)dt x(nT )e snT
n 0 0 n 0
X s ( s ) x ( nT )e snT
n 0
其中
s σ jω
引入复变量
z e sT ， 为连续变量 ，将x nT 表示为x n
X s ( s ) |z e sT x ( n ) z n X ( z )
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义
z 变换的收敛域
典型序列的z 变换
《信号与系统》
BUPT EE
§6.1
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义——两种定义方式：
借助抽样信号的拉氏变换引出
直接对离散时间信号给出z变换定义
z变换的导出
抽样信号的拉氏变换→离散信号的z 变换
x( t ) xs ( t )
n n
X (z)
n
x ( n) z n
，
n
x ( n) z n
n a lim n 令： n
则： <1：收敛 >1：发散 =1：可能收敛也可能发散
3、 几类序列收敛域情况讨论
1．有限长序列的收敛域
x ( n ),
n
n1 n n2
n 0
n
单边z变换
ze
sT
z 为复数: z＝Re(z)+jIm(z)= |z| ejarg(z)
（二） z变换的收敛域
1、收敛域的定义
对于任意给定的有界序列 x(n)，能使级数X ( z ) x( n) z n
n
收敛的所有 z 值之集合。即满足下式的区域：
n
A/ D
x k (n) 数字滤 波器
x n
g k ( n)
g( t )
D/ A
p( t )
xs t x nT t nT
O
T 2T
t
O
1 2
n
x s ( t ) x ( t ) T ( t ) x (t ) (t nT ) x ( nT ) (t nT )
证明： (略) X s ( s ) [ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
改变积分与求和顺序 x(nT ) (t nT )e st dt
n 0 0
x(nT ) (0)e snT dt
n 0 0
n2 n n1
x(n),
n x ( n ) z
n1 n n2
0≤ |z| < ∞ 0 < |z| < ∞ 0 < |z| ≤ ∞
n1
n2
n1
n2
n1 = 0, n2 = 0
0 ≤ |z| ≤ ∞
n1
n2
有限长序列的收敛域至少为 0 < |z|n1 < ∞。 n2
例
n1 2,
X ( z ) x ( n )z n
n 0
X1(z)的ROC：|z| >Rx1 X2(z)的ROC：|z| < Rx2
X(z)的ROC：Rx1<|z|< Rx2
前提
双边序列的收敛域是内径为 Rx1,外径为 Rx2 的环形部分
例8-4
1 n ( 3 ) x ( n) n 1 2
z , | z || a | za
( a )z
n
1
n
[ (az ) 1] (a 1 z ) n 1
1 n n n 0
0
1 z X 2 ( z ) ( )1 , 1 1 a z za
(z a)
不同序列，可能对应于相同的 z 变换，但具有不同的收敛域， 故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
x ( 2) z 2 x ( 1) z 1 x (0) z 0