公共课数值计算教案
《计算方法》教案
课题1 ：§1.1 数值分析研究对象与特点
§1.2 数值计算的误差§1.3 误差定性分析与避免误差危害
一、教学目的
掌握以下内容：绝对误差、误差限、相对误差和有效数字的概念。
能确定具体实数的有效数字位数。
懂得推导相对误差与有效数字的相互关系。
能够推导算术运算中绝对误差限与相对误差限的估计式。
二、教学重点
绝对误差、误差限、相对误差和有效数字的概念，熟悉相对误差和有效数字的关系。
三、教学难点
相对误差和有效数字的关系
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、介绍课程的重要性、课程的安排（约5分钟）
2、介绍计算方法发展的历史（约10分钟）
3、计算机数值方法的研究对象与特点（约5分钟）
4、数值问题与数值算法的基本概念（约10分钟）
5、误差的种类及来源（约10分钟）
6、误差和误差限的概念及计算方法（约20分钟）
7、有效数字的计算（约20分钟）
8、数值运算的误差估计（约10分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业： 2 3 4
课题2 ：§2.1 二分法§2.2 迭代法
一、教学目的：
1.懂得如何隔离方程的根。
2.懂得用二分法求方程的根。
3.熟悉二分法的优缺点。
4.了解迭代法的基本思想。
5.掌握迭代法收敛与发散的定义。
6.懂得迭代法收敛的一个充分条件。
二、教学重点：懂得根的隔离与二分法求方程的根的过程
将方程的一般形式化为迭代格式、迭代法收敛性的一个定理
三、教学难点：二分法的计算误差、理解不同的迭代格式具有不同的收敛性
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。
六、教学过程：
1.回顾上堂课内容。（约5分钟）
2.简介新的一章方程求根所要解决的主要问题。（约5分钟）
3.复习连续函数的性质，介绍二分法的基本思想。（约 15 分钟）
4.介绍二分法的求解过程。（约 5 分钟）
5.推导第二分法第k 步产生的误差，及如何根据给定的误差计算二分次数。（约 10 分钟）
6.分析二分法适用的条件，及优缺点（如收敛速度慢等）（约10分钟）
7.通过例子，介绍迭代法的基本思想。（约10分钟）
8.演示例题，给出迭代法收敛以及发散的定义。（约10分钟）
9.分析例题，说明同一方程式用不同的迭代格式，具有不同的收敛性结果。（约10分钟）
10.证明关于迭代函数收敛的一个充分条件的定理（约 10 分钟）
七、课题小结：（约5 分钟）
八、作业：1 3 9
课题3：§2.3 迭代法的收敛性
一、教学目的：
1.能够推导并证明迭代法局部收敛的条件。
2.了解迭代法收敛阶数的定义。
3.掌握掌握求收敛阶数的方法。
二、教学重点：迭代法的收敛性条件，判定收敛的阶数
三、教学难点：迭代法的收敛性条件、迭代法局部与全局收敛的条件
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。
六、教学过程：
0、回顾上堂课内容。（约5分钟）
1、讲解作业。（约15分钟）
2、引导学生思考什么形式的迭代法能够收敛呢?（约5分钟）
3、进一步推广上堂课的定理，给出局部收敛性的定义（约10分钟）
4、讲解例题，巩固上述知识点（约10分钟）
5、定义收敛的阶数，重点分析一阶和二阶收敛。（约15分钟）
6、回顾泰勒展开式，介绍如何确定收敛的阶数的方法。（约15分钟）
7、例题分析。（约10分钟）
七、课题小结：（约5 分钟）
八、作业： 6 8
课题4 ：§2.4 牛顿迭代法
一、教学目的：
1.熟悉牛顿法和近似牛顿法的具体迭代格式以及证明其收敛性。
2.掌握牛顿法的收敛阶数。
3.能够利用牛顿法解方程。
二、教学重点：牛顿法的迭代格式、牛顿法的收敛阶数
三、教学难点：牛顿法的收敛阶数、牛顿法的特点
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。
六、教学过程：
0、回顾上堂课内容。（约5分钟）
1、讲解作业。（约10分钟）
2、推导牛顿法的迭代格式（约15分钟）
3、用图示说明牛顿法的几何原理。（约10分钟）
4、举例说明用Newton迭代法求方程根的过程。（约10分钟）
5、分析牛顿法的局部收敛性，及收敛阶数，重点说明单根和重根的不同情况。（约20分钟）
6、分析牛顿法的特点，提醒学生注意收敛性依赖于初值的选取。（约5分钟）
7、讲解例题：如何利用牛顿法求一个数的平方根。（约10分钟）
七、课题小结：（约5 分钟）
八、作业：13 14
课题5：§3.1 高斯消去法
一、教学目的：
1.掌握应用高斯消去法求解线性方程组
2.了解高斯消元无需换行即可进行的充要条件
3.了解列主元消去法
4.了解全主元消去法
二、教学重点：高斯消去法、列主元消去法、主元消去法
三、教学难点：顺序主子式、高斯消元无需换行即可进行到底的充要条件
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。
六、教学过程：
0、回顾上堂课内容。（约5分钟）
1、介绍消去法、消元与回代计算，。（约 10 分钟）
2、通过实例介绍高斯消去法的过程。（约 10 分钟）
3、引入顺序主子式定义。（约 10 分钟）
4、根据顺序主子式的性质，分析高斯消元无需换行即可进行到底的充要条件。（约15 分钟）
5、进一步分析上述条件不满足时高斯消去法的过程。简要分析Gauss消去法的运算量（约 20 分
钟）
6、通过实例说明小主元可能导致计算失败。进一步介绍全主元消去法的概念，和计算中的注意事
项。（约 10分钟）
7、介绍列主元消去法，以及与全主元消去法的异同（如没有全主元法稳定）（约 5分钟）
七、课题小结：（约5 分钟）
八、作业： 1
课题6：§3.2 三角分解法
一、教学目的：
1.掌握矩阵的三角分解并能给出计算公式。
2.理解矩阵能进行三角分解的充要条件。
3.能够推导求解三对角阵为系数矩阵的线性方程组的“追赶法”的“追”与“赶” 的递推格式。
4.掌握利用追赶法解系数矩阵为三对角阵的线性方程组。
二、教学重点：三角分解的计算公式、追赶法
三、教学难点：推导三角分解的计算公式、追赶法
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。
六、教学过程：
0、回顾上堂课内容，引入矩阵三角分解的方法；。（约5分钟）
1、通过实例，分析不带行交换的Gauss 消去法的消元过程,产生一个单位下三角矩阵L和一个上三
角矩阵U，引入矩阵三角分解的定义（约 20 分钟）
2、讲解矩阵能进行三角分解的充要条件：A的所有顺序主子式均不为0。（约 10 分钟）
3、分析将线性方程组系数矩阵分解后的求解思路。（约 10 分钟）
4、介绍Doolittle和Crout分解的异同。（约5 分钟）
5、介绍LU 分解的紧凑格式（约5 分钟）
6、通过实例，推导求解三对角阵为系数矩阵的线性方程组的“追赶法”的“追”与“赶” 的递推格
式。例题分析。（约 20分钟）
7、讨论追赶法可解以 A 为系数矩阵的方程组的一个充分条件（约 10分钟）
七、课题小结：（约5 分钟）
八、作业： 4,8,10
课题7：§3.3 平方根法 3.4 范式
一、教学目的：
1.能够推导求解对称正定阵为系数矩阵的线性方程组的平方根法的计算公式。
2.掌握向量与矩阵的范数；
3.能够进行线性方程组的误差分析
二、教学重点：平方根法的计算公式、矩阵的条件数
三、教学难点：平方根法计算公式的推导、平方根法是数值稳定的
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。
六、教学过程：
0、回顾上堂课内容。简要说明，分解过程中，矩阵元素不会过分增大，算法保证稳定。（约5分钟）
1、给出一个矩阵A称为正定阵的定义，回顾对称正定阵的几个重要性质（约 10 分钟）
2、利用正定阵的性质的性质。推导求解对称正定阵为系数矩阵的线性方程组的平方根法的计算公式。
（约 15分钟）
3、考虑改变分解方式，简要介绍平方根法是数值稳定的（约 10 分钟）
4、定义向量的范数，以及向量的范数的三个基本性质。（约 10 分钟）
5、定义矩阵范数，列举常用矩阵范数：介绍算子范数的概念，常用算子范数（约 10 分钟）
6、通过回顾矩阵的特征根，引入谱半径的概念（约 10 分钟）
7、线性方程组的误差分析，常数项与系数矩阵的扰动对方重组的影响。引入矩阵的条件数，与病态
的概念。（约 15 分钟）
七、课题小结：（约5 分钟）
八、作业： 6,9 ,11,17,18,20
课题8：§3.5 概述
§3.6 线性方程组的迭代法§3.7 迭代法的收敛性
一、教学目的：
1.了解引入迭代法的基本思想
2.掌握迭代法收敛与发散的定义
3.能够构造Jacobi迭代格式并进行求解线性方程组
4.能够构造Gauss-Seidel迭代格式并进行求解线性方程组
5.能够构造超松弛法迭代格式并进行求解线性方程组
6.了解迭代格式收敛的充要条件
7.了解迭代格式收敛性相关的结论。
二、教学重点：迭代法收敛与发散的定义、Jacobi与Gauss-Seidel迭代格式
逐次超松弛法、迭代格式收敛的充要条件
三、教学难点：迭代法收敛与发散的定义、Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵
对角占优阵、代格式收敛的充要条件、松弛因子
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学。
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助设备。
六、教学过程：
0.回顾上堂课内容。（约 5 分钟）
1.讲解习题。（约 10 分钟）
2.通过实例引入迭代法的概念，以及迭代法收敛与发散的定义。（约 15 分钟）
3.介绍Jacobi迭代法，推导Jacobi迭代法的迭代矩阵。例题分析。（约 20 分钟）
4.介绍Gauss-Seidel迭代法，推导Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵。例题分析。
（约 20 分钟）
5.通过具体实例，比较Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛速度。（约 15 分钟）
七、课题小结：（约5 分钟）
八、作业：2 7
课题9 ：§4.1引言§4.2拉格朗日插值
一、教学目的
掌握在近似计算中应该注意的一些原则。
掌握并会运用插值多项式的存在唯一性定理。
能够推导Lagrange插值多项式的表达式。
二、教学重点
推导Lagrange插值多项式的表达式。
三、教学难点
掌握并会运用插值多项式的存在唯一性定理。
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、复习上节课的内容（约5分钟）
2、讲评作业（约10分钟）
3、据一个计算定积分的例子，用两种方法计算（约10分钟）
4、由以上例子引入计算公式不同，计算效果也将不同（约10分钟）
5、四则运算中的稳定性问题（约15分钟）
6、提高算法效率问题（约5分钟）
7、介绍插值问题的作用（约5分钟）
8、推导线性插值和抛物插值的公式，引出基函数的概念（约15分钟）
9、由低次插值引出n次插值的基函数公式，得出拉格朗日插值的公式（约10分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业： 2 3
课题10：§4.2 拉格朗日插值§4.3 均差与牛顿插值公式
一、教学目的
能够推导Lagrange插值多项式的表达式及误差式。
熟悉差商的定义及性质
懂得推导Newton插值多项式的表达式及误差式。
二、教学重点
差商的定义及性质
推导Newton插值多项式的表达式及误差式。
三、教学难点
推导Newton插值多项式的表达式及误差式。
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、复习上节课的内容（约5分钟）
2、作业讲评（约10分钟）
3、介绍拉格朗日插值的缺点，引出均差（约5分钟）
4、由插值多项式引出均差的定义（约10分钟）
5、由一阶及二阶均差的定义引出k阶均差（约10分钟）
6、均差的性质（约15分钟）
7、由均差的定义引出牛顿插值多项式（约15分钟）
8、讲解牛顿插值多项式的误差（约10分钟）
9、拉格朗日插值与牛顿插值的比较（约5分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业：13 14
课题11 ：§4.4分段低次插值§4.5三次样条插值一、教学目的
懂得应用分段插值解决相关的函数逼近问题。
二、教学重点
懂得推导分段插值及具有不同边界条件的三次样条插值表达式。
三、教学难点
懂得推导分段插值及具有不同边界条件的三次样条插值表达式。
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、复习上节课的内容（约5分钟）
2、作业讲评（约10分钟）
3、举例说明高次插值的病态性质：龙格现象（约5分钟）
4、分段线性插值的构造（约15分钟）
5、分段线性插值的误差估计（约15分钟）
6、三次样条、三次样条函数、三次样条插值函数的定义（约10分钟）
7、介绍在三次样条中三种不同的边界条件（约10分钟）
8、由三对角方程组求得三次样条插值（约20分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业： 17 18 19
课题12 ：§4.6曲线拟合的最小二乘法
一、教学目的
掌握用最小二乘法对曲线进行拟合的方法
二、教学重点
最小二乘法的计算
三、教学难点
掌握用最小二乘法对曲线进行拟合的方法
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、复习上节课的内容（约5分钟）
2、作业讲评（约10分钟）
3、介绍一般的最小二乘法的相关概念（约10分钟）
4、讲解如何利用法方程求解S(x) （约10分钟）
5、介绍基函数、基函数的内积等概念（约15分钟）
6、举例一说明如何利用画图的方式辅助求解（约15分钟）
7、举例二例三说明如何用最小二乘法对曲线进行拟合（约20分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业：11 13
课题13 ：§5.1引言
一、教学目的
熟悉代数精度的概念，懂得验证一个具体求积公式的代数精度的阶。
熟悉插值型求积公式的一般表示形式及特点。
能够推导出梯形公式、矩形公式、Simpson公式的具体形式和误差余项表达式以及它们的代数精度的阶。
二、教学重点
推导具有不同边界条件的三次样条插值表达式
插值型求积公式的一般表示形式及特点
三、教学难点
推导具有不同边界条件的三次样条插值表达式
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、复习上节课的内容（约5分钟）
2、作业讲评（约10分钟）
9、介绍数值求积的必要性（约5分钟）
10、给出代数精度的定义，并推导如何求出公式的代数精度（约10分钟）
3、求积公式的收敛性与稳定性的判断（约10分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业： 1(1)(2)(3), 2(1)(2)
课题14：§5.2 牛顿-科特斯公式
一、教学目的
能够推导Newton-cotes公式。
能计算几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项
二、教学重点
能够推导Newton-cotes公式。
能计算几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项
三、教学难点
能够推导Newton-cotes公式。
能计算几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、复习上节课的内容（约5分钟）
2、作业讲评（约10分钟）
3、柯特斯系数的推导与计算（约15分钟）
4、偶阶求积公式的代数精度（约20分钟）
5、几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项：梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式（约20分钟）
6、牛顿-柯特斯公式的稳定性(舍入误差) （约15分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业： 2(3)(4)(用辛普森公式计算)， 3， 4
课题15：§5.4 复化求积公式 5.4龙贝格求积公式
一、教学目的
懂得如何应用复化梯形公式、复化Simpson公式、复化cotes公式求解具体的定积分问题。掌握梯形法的递推化
二、教学重点
应用复化梯形公式、复化Simpson公式、复化cotes公式求解具体的定积分问题。
三、教学难点
应用复化梯形公式、复化Simpson公式、复化cotes公式求解具体的定积分问题。
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、复习上节课的内容（约5分钟）
2、作业讲评（约10分钟）
3、复化求积公式的必要性（约10分钟）
4、推导复化梯形公式（约10分钟）
5、推导复化Simpson公式（约10分钟）
6、推导复化cotes公式（约10分钟）
7、复化求积公式的余项和收敛的阶（约15分钟）
9、梯形法的递推化（约10分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业：6 7
课题16：§5.4龙贝格求积公式§4.5高斯求积公式
一、教学目的
能利用各种复化求积公式的递推化公式和误差余项推导出Romberg公式。
熟悉Gauss求积公式的特点
二、教学重点
能利用各种复化求积公式的递推化公式和误差余项推导出Romberg公式。
三、教学难点
能利用各种复化求积公式的递推化公式和误差余项推导出Romberg公式。
四、教学方法：利用黑板、CAI课件等教学
五、教学用具：黑板、CAI课件及其辅助用具
六、教学过程：
1、复习上节课的内容（约5分钟）
2、作业讲评（约10分钟）
3、根据复化梯形公式的余项表达式及梯形的递推化公式求得龙贝格公式（约30分钟）
4、理查德森外推加速法（约25分钟）
5、分析牛顿-科特斯公式的特点引出高斯公式，并分析其特点（约15分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
八、作业： 8 11
课题17：§6.1引言，§6.2欧拉法
一、教学目的：掌握求解常微分方程的欧拉公式
二、教学重点：欧拉公式的应用
三、教学难点：欧拉公式的图解
四、教学方法：利用黑板进行教学。
五、教学用具：黑板及其辅助设备。
六、教学过程：
1.对前一章内容进行简短复习。（约5分钟）
2.讲评作业。（约10分钟）
3.通过引例介绍常微分方程的特点及形式。（约10分钟）
4.介绍数值求解常微分方程的基本思想。（约10分钟）
5.给出欧拉方法的图解。（约15分钟）
6.由图示导出欧拉方法的标准形式即一般形式的欧拉公式。（约10分钟）
7.举例说明用欧拉公式求解常微分方程具体过程。（约10分钟）
8.分析欧拉公式的局部截断误差。（约15分钟）
七、课题小结：（约5 分钟）
八、作业： 5 13
课题18：§6.3龙格－库塔方法，复习
一、教学目的：
推出龙格－库塔方法的具体形式
二、教学重点：推出龙格－库塔方法的具体形式
三、教学难点：推出龙格－库塔方法的具体形式
四、教学方法：利用黑板进行教学。
五、教学用具：黑板及其辅助设备。
六、教学过程：
1.复习上节课内容。（约5分钟）
2.作业讲评（约10分钟）
3.将不同形式的欧拉方法总结为一个一般性式，从而进一步解释显式和隐式的概念与区别。（约15
分钟）
4.推出龙格－库塔方法的具体形式。（约15分钟）
5.对本学期所学内容的知识点进行复习。（约40分钟）
七、课题小结：（约5分钟）
数值计算方法教学大纲
《数值计算方法》教学大纲 课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课 适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数 集成电路设计与集成系统 开课学期：Y3开课院系：微电子学院 一、课程的教学目标与任务 目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。 任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。 二、本课程与其它课程的联系和分工 本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。 三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时） 具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求 （1）了解算法基本概念。 （2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点 重点：误差产生的原因和误差的传播。 难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时） 具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求 （1）了解插值概念。 （2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。 （3）掌握牛顿插值公式。 （4）掌握分段低次插值的意义及方法。
（5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点 重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。 难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时） 具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求 （1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。 （2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。 （3）掌握高斯求积公式的用法。 （4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点 重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。 难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时） 具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求 （1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。 （2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。 （3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点 重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。 难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时） 具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求 （1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。 （2）熟练掌握牛顿法。 （3）掌握弦截法。 2.重点、难点 重点：迭代法，牛顿法。
数值计算实验课题目
数值实验课试题 本次数值实验课结课作业，请按题目要求内容写一篇文章。按题目要求 人数自由组合，每组所选题目不得相同(有特别注明的题目除外)。试题如下： 1）解线性方程组的Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法(2人)/*张思珍，巩艳华*/ 用C 语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下列84阶的方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 1681684 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 2）解线性方程组的平方根法(4人)/*朱春成、黄锐奇、张重威、章杰*/ 用C 语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组b Ax =，其中 (1)b 随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵 ?????? ???? ? ? ?101 1101 1101 1101 1101110 ； (2)系数矩阵为40阶的Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j 列元素为 1 1-+= j i a ij ，向量b 的第i 个分量为∑=-+ = n j i j i b 1 1 1. 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编
3.《数值分析简明教程》，王能超编 3）三对角线方程组的追赶法(3人)/*黄佳礼、唐伟、韦锡倍*/ 用C 语言将三对角线方程组的追赶法法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解如下84阶三对角线方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 16816 84 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值分析简明教程》，王能超编 4）线性方程组的Jacobi 迭代法(3人)/*周桂宇、杨飞、李文军*/ 用C 语言将Jacobi 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组， 精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?-149012 2111221 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 5）线性方程组的Gauss-Seidel 迭代法(3人)/*张玉超、范守平、周红春*/ 用C 语言将Gauss-Seidel 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组，精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?--39721 1111112 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 6）解线性方程组的最速下降法法(2人)/*赵育辉、阿热孜古丽*/ 用C 语言将最速下降法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
数值分析教案 ShandongUniversity
数值分析教案土建学院 工程力学系 2014年2月
一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 1 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 2 A 算法 B误差 典型例题
曲线拟合的数值计算方法实验
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在
数值计算实验报告
2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名：安元龙 学号：2012060501 成绩：
数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至___2015 第 1 学期 2014年 10月26日课程名称:__数值计算方法与算法 __ 专业:信息与计算科学 12级5班实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师__孙峪怀姓名：安元龙学号： 2012060501 实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)/(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp/*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)*/ Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. #include
数值计算方法试题及答案
【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
数值计算方法教案5
§3 最佳平方逼近 3．1法方程 设已知],[)(b a C x f ∈，且选择一函数类{ })(,),(),(10x x x Span S n ???Λ=，其中],[)(b a C x i ∈?且设{})(,),(0x x n ??Λ在],[b a 上线性无关（例如取n H S =或 {}nx nx x x S cos ,sin ,,cos ,sin ,1Λ=等）。 研究最佳平方逼近问题：寻求S x P n ∈)(* dx x P x f x dx x P x f x n b a b a S x P 2*2)())()(()())()(()(min -=-??∈ωω （3．1） 或写为 2 2* 22 )(min x p f p f n S P -=-∈ 这里我们主要研究],[)(b a C x f ∈最佳平方逼近函数)(*x P n 存在性，唯一性，计算等问题。 设有S x P n ∈)(* ，即∑== n j j j n x a x P 0 **)()(? 使（3．1）式成立，来考查{}*j a 应满足什么条件。 对于任一S x P ∈)(，即有∑== n j j j x a x P 0 )()(? ，于是 dx x P x f x P f b a 22 2))()(()(-=-?ω dx x a x f x n j j j b a 2 ))()(()(∑?=-= ?ω ),,,(10n a a a I Λ= (3.2) dx x P x f x P f n b a n 2*2 2 *))()(()(-=-?ω dx x a x f x n j j b a j 20 * ))()(()(∑?=-= ? ω ),,,(* **10n a a a I Λ= (3.2)式说明均方误差是),,(10n a a a Λ多元函数（为二次函数），由设存在)(* x P n 是极值问题 （3.1）解，即说明存在),,(* **10n a a a Λ使 ),,(),,,(min 1010***=n n a a a a I a a a I i ΛΛ实数 由多元函数取极值的必要条件，则有
数值分析实验报告1
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
太原理工大学数值计算方法实验报告
本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日
y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"
心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。
线性方程组AX=B的数值计算方法实验
线性方程组A X=B的数值计算方法实验 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
线性方程组AX=B的数值计算方法实验 学号：姓名：梁哲豪 一、实验描述 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。 关于线性方程组的数值解法一般有两类： 直接法：若在计算过程中没有舍入误差，经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法。 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题。 上三角线性方程组的求解： 基本算法： 高斯消元法：将原方程组化为三角形方阵的方程组： l ll=l ll/l ll l ll=l ll?l ll?l ll （k=1,2,…,n-1; i=k+1,k+2, …,n ;j=k+1,k+2, …,n+1）
由回代过程求得原方程组的解： l l=l ll+1/l ll l l=(l ll+1?∑l ll l l)/l ll LU分解法： 将系数矩阵A转化为A=L*U，L为单位下三角矩阵，U为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b，u*x=y,来求解x。 二、实验内容 1、许多科学应用包含的矩阵带有很多零。在实际情况中很重要的三角形线性方程组有如下形式： …… 构造一个程序求解三角形线性方程组。可假定不需要变换。而且可用第k行消去第k+1行的 x。 k 核心代码： #include
数值计算方法试题
数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, ,
5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、
5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题
数值计算方法实验5
实验报告 学院（系）名称： 主程序部分列选主元部分
实验结果： 一．列主元消去法 输入各个数据，最终使用列选主元法，得到结果为：x1=x2=x3=1二．高斯-赛德尔迭代法 输入各个数据，输出每一步迭代数据，最终结果为：x1=0.285716，附录（源程序及运行结果） 一．列主元高斯消去法 #include 贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称： 数值分析 班级：数学专业2班 实验日期： 2013年 9月 26 日 学 号： 姓名： 指导教师： 杨 一 都 实验成绩： 一、实验名称 实验二: Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法 二、实验目的及要求 1.让学生掌握Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法 2.让学生能够用这些方法解决一些实际问题 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 题1: 对函数211)(x x f += ,取n+1个等距分布的插值节点,取不同的n ,作n 次Lagrange 插值,把)(x f 和插值多项式的图象绘制在同一张图上进行比较. 题 曲线拟合较好?为什么?你能找出更好的拟合曲线吗? 提示:用残差平方的大小来判断拟合的优劣,越小越好. 五、算法描述及实验步骤 1. （1）算法描述： 画出2 11)(x x f +=的原函数图像与它的Lagrange 多项式插值图像在同一 图上进行比较。 （2）实验步骤： ①.在M-file 编辑窗口编辑Lagrange 插值M 文件； ②.画出f(x)原函数图像； ③.在命令窗口调用Lagrange 插值取n=10画拟合图像； ④.观察比较两个图像。 2. （1）利用最小二乘法对给定数据点分别画一次，二次和三次多项式拟合曲线。 （2）实验步骤： a.输入数据点； b.建立一个划分为四个部分的图像窗口； c.画一次多项式拟合图像在第一部分； d.画二次多项式拟合图像在第二部分； 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = 1.7.2 三次样条插值的基本原理 三次样条插值也是一种分段插值方法，用分段的三次多项式构造成一个整体上具有函数、一阶和二阶导函数连续的函数，近似地替代已知函数)(x f ，“样条”一词源于过去绘图员使用的一种绘图工具样条，它是用于富于弹性、能弯曲的木条（或塑料）制成的软尺，把它弯折靠近所有的基点用画笔沿着样条就可以画出连续基点的光滑曲线。 假设已知函数)(x f 在区间],[b a 上的)1(+n 个节点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 及其对应的函数值 i i y x f =)(,),,2,1,0(n i =，即给出)1(+n 组样本点数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x ，可以构造一个定义在],[b a 上的函数)(x S ， 满足下述条件。 ① i i y x S =)(,),,2,1,0(n i = ② )(x S 在每个小区间],[1+i i x x )1,,2,1,0(-=n i 上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x S i i i i i +++= （1-42） ③ )(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。 可见，)(x S 是一个光滑的分段函数，这样的函数称为三次样条（Spline ）插值函数。 构造的函数)(x S 是由n 个小区间上的分段函数组成，根据条件②，每个小区间上构造出一个三次多项式，第 i 个小区间上的三次多项式为 332210)(x a x a x a a x S i i i i i +++=，共有n 个多项式，每个多项式有4个待定系数。要确定这n 个多项式，就需要确定 4 n 个系数 1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2; 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 数值计算方法教学大纲(本) 本着“崇术重用、服务地方”的办学理念和我校“高素质应用型人才”的培养目标，特制定了适合我校工科专业本科生的新教学大纲。 一、课程计划 课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Method 课程定位：数学基础课 开课单位：理学院 课程类型：专业选修课 开设学期：第七学期 讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时 学时安排：课堂教学40学时+实验教学20学时 适用专业：计算机、电科、机械等工科专业本科生 教学方式：讲授（多媒体为主）+上机 考核方式：考试60%+上机实验30%+平时成绩10% 学分：3学分 与其它课程的联系 预修课程：线性代数、微积分、常微分方程、计算机高级语言等。 后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。 二、课程介绍 数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。 数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、常微分方程数值解以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 科学计算是21世纪高层次人才知识结构中不可缺少的一部分，它潜移默化地影响着人们的思维方式和思想方法，并提升一个人的综合素质。数值计算实验二报告
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