2019山西中考数学一轮课件第18讲等腰三角形
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1.如图,△ABC的面积为8 cm2,AP垂直∠B的平分线BP于P,连接CP,则△PBC 的面积为 ( C )
A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2
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2.如图,在一张长为8 cm,宽为6 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的
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变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题; (2)解答(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如 果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的 取值范围.
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解析 (1)若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°;
易错题 (2018· 玉林)如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB
方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在 直线的位置关系是 ( A )
A.平行 C.垂直 B.相交 D.平行、相交或垂直
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解析 ∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB,∠OAB=
(4)是轴对称图形,有3条对称轴.
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3.等边三角形的判定
(1)三边相等的三角形是等边三角形; (2)两个角是60°的三角形是等边三角形; (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
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1.(2018· 长春)如图,在△ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧, 交AC的延长线于点D,连接BD.若∠A=32°,则∠CDB的大小为37度.
∠ABO=60°. ①当点C在线段OB上时,如图1, ∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD,
OA BA, 在△AOC和△ABD中, OAC BAD,∴△AOC≌△ABD,∴∠AOC=∠ABD= AC AD,
60°,
∴∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB,∴BD∥OA;
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第18讲
等腰三角形
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考点一 等腰三角形的性质与判定(5年4考)
1.定义:有两边相等的三角形是等腰三角形.
2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两底角①相等; (2)底边上的高线、中线及顶角的平分线重合,简称②三线合一; (3)是轴对称图形,有1条对称轴,对称轴是底边上中线所在的直线;
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答案 A
错解 D 错误鉴定 系. 分情况讨论后没有给出证明就猜想是一种情况对应一种位置关
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(2018· 绍兴)数学课上,张老师举了下面的例题: 例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°) 例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
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2.(2018· 吉林)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰
1 三角形的“特征值”,记作k,若k= ,则该等腰三角形的顶角为36度. 2
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学法提点
已知等腰三角形,利用等腰三角形的性质寻找解题突破口.
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类型 等腰三角形的性质
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②当点C在线段OB的延长线上时,如图2,
∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°,∴∠OAC=∠BAD,
OA BA, 在△AOC和△ABD中, OAC BAD,∴△AOC≌△ABD,∴∠AOC=∠ABD= AC AD,
60°,
∴∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB,∴BD∥OA,故选A.
180 x ≠180-2x≠x时, 2
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180-2x)°; 若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°.当
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即x≠60时,∠B有三个不同的度数.
综上所述,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两
25 2 个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为 2 或5 6 或10cm .
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试真题·练易
命题点 等腰三角形的性质
1.(2016· 山西,15,3分)如图,已知点C为线段AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连 接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD
(4)两腰上的高线③相等,两腰上的中线④相等,两底角平分线⑤相等.
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3.等腰三角形的判定
(1)⑥两边相等的三角形是等腰三角形; (2)⑦两个角相等的三角形是等腰三角形.
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考点二
等边三角形的性质与判定(近5年未考查)
1.定义:三边相等的三角形是等边三角形.
2.等边三角形的性质 (1)三边相等; (2)三个内角相等,且都等于60°; (3)三线合一;
5. 于点H,则HG的长为3-
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2.(2014· 山西,16,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,AD是BC边上的中
1 3 -1. 线,∠ACE= ∠BAC,CE交AB于点E,交AD于点F,若BC=2,则EF的长为 2
探难疑·知易
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探难疑·知易
例(2017· 山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到△ABD和△BCD,其中 ∠ADB=∠BCD=90°,∠A=60°,∠CBD=45°.E为AB的中点,过点E作EF⊥CD于
2 + 6 cm. 点F.若AD=4 cm,则EF的长为
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命题亮点
以学生熟悉的一副三角板为背景结合中点和垂线求线段的长度,看似简单实 则不易,是考查能力的一道好题. 解题思路 利用等腰三-2×80°=20°; 若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°,故∠B=50°或20°或80°. (2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A只能为顶角, ∴∠B的度数只有一个;
②当0<x<90时,若∠A为顶角,则∠B= 180 x °; 2
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《等腰三角形》教学PPT课件【初中数学】公开课
B
C
D
B
A
E
D
F
C
“三线合一”的操作
1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X） （X） （√） （X） （√）
角的度数．
A
A
A
BD
CB
F
CB
如图，作△ABC
如图， 作△ABC
的中线AD.
的高AF.
E
C
如图，作顶角
的平分线AE.
议一议：
说说为什么在添加辅助线时，作顶角平分线，底边中线， 底边上的高都能使分成的两个三角形全等？
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合。（等腰三角形“三线合一”）
13.3.1 等腰三角形（1）
B
A
AB=AC
等腰三角形
C
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？
B
A
D
C
等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB与AC
∠B 与∠C.
BD与CD
思考：有其他方法吗？
方法二： 作底边BC的高AD
A
方法三： 作顶角∠BAC的平分线AD
A
12
B
DC
B
`
C
D
归纳结论
数学中考第18课时 三角形和等腰三角形ppt课件
【点拨】①3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、4，此时能 组成三角形，所以周长＝3＋3＋4＝10；②3 是底边长时，三角 形的三边分别为 3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3＋4 ＋4＝11.
14．【2020·台州】如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E， F 是边 BC 上的三等分点．分别过点 E，F 沿着平行于 BA， CA 方向各剪一刀，则剪下的△ DEF 的周长是________．
a＋b a－b A. 2 B. 2 C．a－b D．b－a
【答案】C
18．【创新题】如图，把△ ABC 剪成三部分，边 AB，BC，AC 放 在同一直线上，点 O 都落在直线 MN 上，直线 MN∥AB.在 △ ABC 中，若∠AOB＝125°，则∠ACB 的度数为( A )
A．70° B．65° C．60° D．85°
3. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠α 等于( C ) A．45° B．60° C．75° D．105°
4．如图，在△ ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝30°， ∠ADC＝70°，则∠C 的度数是( C ) A．50° B．60° C．70° D．80°
5．在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则 AB 的值是( C ) A．12 B．8 C．6 D．3
11．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC ＝AD，则∠A＝___3_6____度．
12．已知等边三角形 ABC 的周长为 18，则△ ABC 的面积为 __9___3___．
13．【2020·齐齐哈尔】等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则 这个等腰三角形的周长是__1_0_或__1_1_．
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°， ∵AB＝AC，D 是 BC 边上的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
14．【2020·台州】如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E， F 是边 BC 上的三等分点．分别过点 E，F 沿着平行于 BA， CA 方向各剪一刀，则剪下的△ DEF 的周长是________．
a＋b a－b A. 2 B. 2 C．a－b D．b－a
【答案】C
18．【创新题】如图，把△ ABC 剪成三部分，边 AB，BC，AC 放 在同一直线上，点 O 都落在直线 MN 上，直线 MN∥AB.在 △ ABC 中，若∠AOB＝125°，则∠ACB 的度数为( A )
A．70° B．65° C．60° D．85°
3. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠α 等于( C ) A．45° B．60° C．75° D．105°
4．如图，在△ ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝30°， ∠ADC＝70°，则∠C 的度数是( C ) A．50° B．60° C．70° D．80°
5．在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则 AB 的值是( C ) A．12 B．8 C．6 D．3
11．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC ＝AD，则∠A＝___3_6____度．
12．已知等边三角形 ABC 的周长为 18，则△ ABC 的面积为 __9___3___．
13．【2020·齐齐哈尔】等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则 这个等腰三角形的周长是__1_0_或__1_1_．
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°， ∵AB＝AC，D 是 BC 边上的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
课件《等腰三角形》优质PPT课件_人教版1
∴BF=CF（三线合一）
抓住图形对称性,巧妙作出垂线段,构造三线合一定理的基体图形,使得整个证明十分简捷.
射线AB的像是射线AC 射线AC的像是射线 AB
∴BF=CF（三线合一）
C BD F E
分析 :
∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
• 抓住图形对称性,巧 从而AD是底边ＢＣ上的 高 ，
为______ __。 由于射线ＤB的像是射线ＤC 射线ＤC的像 ⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
2.3 等腰三角形
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶
腰
角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角.
想一想:
等腰三角形ABC，其中 AB=AC 作
Δ ABC顶角的平分线AD并以AD对折
你会发现什么? 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
10 cm 或 11 cm
AB＝AC 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
10 cm 或 11 cm
∠B ＝ ∠C.
抓住图形对称性,巧妙作出垂线段,构造三线合一定理的基体图形,使得整个证明十分简捷.
10 cm 或 11 cm
BD＝CD ∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
10 cm 或 11 cm 1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
A
A
A
角平 分线 1 2
高线
中线
B D CB D C B D C
三条边都相等的三角形 叫做等边三角
形；它是特殊的等腰三角形 Ａ
Ｂ
Ｃ
初中数学 等腰三角形19 人教版精品公开课件
总之，在整个教学过程中贯彻“以学生的发展 为本”的科学教育观，以启发学生，挖掘学生潜力， 让他们通过实践、思考、探索、交流，获得知识， 形成技能，发展思维，学会学习，形成自己对数学 知识的理解和有效的学习策略，从而最大限度发现 自己的潜能，进而使学生获得对数学理解的同时， 在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步 和发展。
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
通过开放题目，进一步体现数学来源于实践，又应用于实践，
过程分析
六、板书设计(展现过程，突出重点)
§10。3。1 等腰三角形
一、等腰三角形 的定义：两边相 等的三角形叫做 等腰三角形。
三、等腰三角形 四、例题（强化
的性质：
目标）
学生实验结果：
二 、 等 腰 三 角 形 性 质 1 - 等 边 对 等 五、作业：
1.等腰三角形定义:两边相等的三角形是等腰三角形。 2 . 独 立 作 图 : 请 学 生 动 手 作 等 腰 三 角 形 ABC， 使
AB=AC。 3.等腰三角形的有关概念：等腰三角形三边三角的名
称。(形象定义) 4.展示图片：欣赏与等腰三角形有关的图片, 让学生加
深对等腰三角形的形象认识，感受了数学中图形的 美。
八、教学设计说明
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全 面、持续、和谐地发展。因此本节课我不仅考虑数学自身的 特点，更遵循学生学习数学的心理规律，从学生已有的图形 生活经验出发，利用多媒体创设具有启发性的、学生感兴趣 的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、 思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合 作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展,针 对学生的个体差异，在各个环节实施分层施教，特别对于习 题的设计，不同层次的学生根据自身特点选择不同的习题， 达到因材施教的目的。
等腰三角形ppt课件
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
新课讲解
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
G
新课讲解
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
新课讲解
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）A．40° B．30° C．70° D．50°
CD
新课讲解
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
为什么不一样?
新课讲解
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
随堂即练
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
随堂即练
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °∴x+2x+2x=180 °.
重合的线段
重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
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性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
G
新课讲解
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
新课讲解
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）A．40° B．30° C．70° D．50°
CD
新课讲解
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
为什么不一样?
新课讲解
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
随堂即练
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
随堂即练
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °∴x+2x+2x=180 °.
等腰三角形ppt课件
THANKS
感谢观看
工程绘图
在工程绘图中，等边三角形 可用于表示某些特定的角度 或距离关系，简化绘图过程 。
标志设计
由于等边三角形具有对称性 和稳定性，因此在标志设计 中常被用作基本图形元素， 如交通标志中的警告标志。
数学教育
在数学教育中，等边三角形 常被用作教学工具，帮助学 生理解几何形状、角度和边 长关系等基本概念。
如果一个三角形有两个角相等 ，那么这两个角所对的边也相
等。
等腰三角形性质总结
性质1
等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相 重合，简称“三线合一”。
性质3
等腰三角形的对称轴是底边的 垂直平分线。
性质4
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。
02 等腰三角形面积 与周长计算
06 课件总结与回顾
关键知识点总结
定义
两边相等的三角形称为等腰三角 形。
性质
等腰三角形的两个底角相等；底 边上的中线、高线和顶角的平分 线三线合一。
关键知识点总结
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角 对等边）。
推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
特点
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 底边的垂直平分线。
等腰三角形判定定理
01
02
03
04
边边边定理
如果两个三角形的三边分别相 等，则这两个三角形全等。
边角边定理
如果两个三角形有两边和夹角 分别相等，则这两个三角形全
等。
角边角定理
如果两个三角形有两个角和夹 边分别相等，则这两个三角形
中考数学复习 第一部分 考点研究 第四单元 三角形 第18课时 等腰三角形课件
判
定
(pànd ìng)
2.13__三__个__角___都相等的三角形是等边三角形
3.有一个角是60°的___1_4__等__腰__三__角__形是等边三角形
面积计算公式：S= 1ah＝ a23，h=
a,a为等边三角形的边
3
长，h为边a上的高 2
4
2
第六页，共十七页。
重难点突破
等腰三角形的相关计算(易错)
两相底等角的平分线⑤________，等腰相三等角形顶角的外角平分线
推 与底边(dǐ biān)⑥_________
平行
论
(tuīl
2.等腰三角形底边(或其延长线)上一点到两腰的距离和(或差)等
ùn) 于一腰上的⑦________
高
1.两边相等的三角形是等腰三角形
2.⑧___两__个__角___相等的三角形是等腰三角形
1
2
E F ＝2，∴FC＝6，设BD＝x，则DE＝x，
∴F DC F＝24，－x－6＝18－x，
∴x2＝(18－x)2＋122，
解得：x＝13，则BD＝13.
第十六页，共十七页。
练习(liànxí)4题解图
内容 总结 (nèiróng)
No 第一部分(bù fen) 考点研究。1.两底角相等，即∠B=∠C。4.“三线合一”（即顶角的②________、底
腰，另外一边叫做底
1.两底角相等，即∠B=∠C
2.两腰相等，即AB=AC
性 3.它是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在直线
质
(xìngz hì)
4.“三线合一”（即顶角(dǐnɡ jiǎo)的②_角__平__分__线_、底边上的中线
和底边上的高互相重合）
(中考全景透视)中考数学一轮复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形课件
2．判定 (1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成：等角对等边)．
温馨提示： 等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的 重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.
考点三 1．性质
等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角 都等于 60° . 2．判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1) 上 述 三 个 条 件 中 ， 由 哪 两 个 条 件 可 以 判 定 △ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 【点拨】本题以开放题的形式考查等腰三角形的 判定．
解：(1)①②；①③ (2)选①②证明如下： 在△BOE 和△COD 中， ∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD， ∴△BOE≌△COD.
考点一
等腰三角形的性质
例 1(2014· 南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
A．30° C．40°
B．36° D．45°
【点拨】 ∵AB＝AC， CD＝AD， AB＝BD， ∴∠B＝∠C ＝∠CAD，∠BAD＝∠BDA.又∵∠BDA 是△ADC 的外角， ∴∠BDA＝∠C＋∠CAD＝2∠C.设∠B＝x° ，则∠BDA＝ ∠BAD＝2x° ，根据题意，得 x° ＋2x° ＋2x° ＝180° ，解得 x＝ 36，即∠B＝36° .故选 B. 【答案】 B
方法总结： 等腰三角形有两个性质：1“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；2“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于90° 、计算线段长度和角的 大小等.