课例函数的概念课堂实录

2.1.1函数的概念一、地位和作用函数是数学中重要的基础概念之一，函数也是中学数学中最重要的基本概念之一。

在初中，学生已经学习过函数概念．初中建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量．这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系．从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式．后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制．如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究．例如对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然．进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f（x）|x∈A叫做函数的值域．这个概念与初中概念相比更具有一般性．实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的．不同点在于，表述方式不同──高中明确了集合、对应的方法．初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点．与初中相比，高中引入了抽象的符号f（x）．f（x）指集合B中与x对应的那个数．当x确定时，f（x）也唯一确定．另外，初中并没有明确函数值域这个概念．函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：①两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应．②涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空；这里的关键词是“每一个”“唯一确定”．也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有．而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应．③函数概念中涉及的集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。

函数是中学数学的主体内容，几乎每一章都贯穿着函数的思想，可以说函数思想是整个高中数学的“纲”，是基础的数学语言，这一章涉及到的一些重要的思想方法，对学好高中数学起着重要的作用。

二、学情分析学生在初中已经学习过了函数的概念，也学习了一些初等函数，如正比例、反比例、一次函数、二次函数，但函数概念对学生来说很抽象，通过一次函数和二次函数的函数模型为载体，沟通初高中数学内在联系，实现由初中数学向高中数学的平稳过渡。

三、教学目标1知识目标（1）会用集合与对应的语言刻画函数；（2）会判断给定的对应是否是函数，会判断两个函数是否是同一函数。

2能力目标（1）通过实例的探究，让学生体会用集合与对应关系来刻画函数概念的作用；（2）通过大量实例，让学生用集合和对应语言概括函数的概念，培养学生抽象概括、分析总结的能力。

3情感目标通过师生、生生互动，让学生体会成功的喜悦，培养学生热爱数学的态度。

四、教学重点和难点重点：函数概念的理解难点：对函数符号y=f(x)的理解五、教学方法与教学手段教学方法：通过大量实例的探究，让学生体会函数概念的形成过程。

教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课容量，提高效率。

六、课堂教学实录（一）创设情境，激发学生学习动机问题1：初中已经学习过函数，请同学说说什么是函数?学生1:函数有解析法，图像法教师：她说的这个是什么？学生齐答函数的表示方法，请问函数还给你们留下了什么印象。

学生2：函数有两个变量：自变量，因变量。

学生3：学过一次函数、反比例函数、二次函数。

学生4:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值，相应地就能确定唯一的一个y值，那么我们称y 是x 的函数。

其中x是自变量，y是因变量。

（总结：初中函数的概念强调在变化过程中，是以运动变化的观点来描述变量之间的依赖关系。

）教师：同学生说的非常好，这些都是与函数有关系的知识，有函数的表示方法、有具体的函数、还有函数的概念。

（二）概念的形成请看下面这两个问题：（1）、设正方形的边长为x，写出面积y与边长x的关系。

（2）、设电路中电压Ｕ＝２２０Ｖ，写出电流Ｉ与电阻Ｒ之间的关系。

请问写出的这两个关系是函数关系吗？为什么？学生5：是函数关系，因为每给一个边长都能确定唯一一个面积；每给一个电流都能确定唯一的一个电阻。

教师：非常好，说明同学们对函数定义理解的很深刻，请看问题2问题2：中考刚刚结束，每位同学都有一个对应的数学成绩，请看下列表格，那么这种对应关系是函数关系吗？表一学生6：上面的对应关系不是函数，因为一个102有三个名字与之对应。

教师：真棒！可以看出刚才这位同学把数学成绩当做了自变量，名字当做了因变量；其他同学有不同看法吗？学生7：我觉得上面的对应关系是函数，把名字当做自变量，数学成绩当做因变量，就满足函数的对应关系。

学生8：我认为不是函数关系，因为函数概念中的两个变量必须是数值，而名字不是数值。

教师：同学们讨论的很激烈，那大家看看我们同意哪位同学的看法呢。

显然不是函数关系，其实我们生活中有很多这样的对应关系，两个变量不是数值，那我们能不能把不是数值的量加以数字化呢？如何数字化呢？学生9：我们可以把名字用考号来表示。

教师：太棒了，因此我们可以看出初中的函数概念有一定的局限性，我们有必要继续学生函数的概念，也就是我们这节课要学习的。

表二那么这个时候这种对应关系是函数吗？自变量都取了哪些值？函数值取了哪些值？学生10：这种对应关系是函数关系，自变量是同学的考号，函数值是学生的数学成绩。

教师：很好，那同学们请看下面的问题。

问题3：下面我们对函数关系作进一步的分析，以便用更为确切的语言来表达函数的概念。

示例1学生好奇心的指标随年龄增长的变化规律，下面这个图象给出了10—15岁每个年龄对应的好奇心指标，你能从这个图象观察到哪些信息？学生11：从图象中看出好奇心指标随着年龄的增长先增加后减小；学生12：从图象中看出年龄在10时好奇心指标最小，在12岁时好奇心指标最大。

教师：同学们观察的很认真，那老师问个问题吧，图象中涉及到几个变量，每给一个年龄对应几个好奇心指标，这种对应关系是函数关系吗？学生13：图象中涉及两个变量，可以把年龄当自变量，好奇心指标当因变量，每给一个年龄都有唯一一个好奇心指标与之对应，这种对应关系是函数关系。

教师：我们学习过集合的概念可以把年龄为元素构成的集合称为Ａ，把所有好奇心指标构成的集合称为Ｂ，我们用集合的语言描述这种对应关系，学生14：可以描述成对于两个集合Ａ（年龄的集合）与Ｂ（好奇心指标的集合），在Ａ中的任何一个元素x（年龄）在Ｂ中都有唯一确定的Y（好奇心指标）与它对应。

教师：我们在看看中考成绩那个表格，按照上述集合语言，我们把谁看成集合Ａ，谁是集合Ｂ，请用上面的集合语言叙述一遍。

学生15：把学生考号为元素，看成集合Ａ，数学成绩为元素看成集合Ｂ，集合Ａ中的任意一个元素（考号）在集合Ｂ中都有唯一确定的元素（成绩）与它对应。

A={1，2，3，4，5，6}B={102 ，110，109，105}教师：通过前面几个例子的分析，能构成函数的这几个对应关系有什么共同的特点吗？（1） 有两个集合A 、B ，而且非空数集；（2） A 中的任何一个元素x ，在B 中有唯一确定的数y 与它对应。

教师：由此可以看出，我们生活中存在很多量不是数值，但通过数字化，都可以用函数来研究，这就是高中要学习函数概念的必要性。

你能用集合和对应的语言从新刻画函数的概念吗？1、函数的定义：设A ，Ｂ是两个非空的数集，对于A 中的任意数x ， 按照某种对应关系f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数。

记作 注意：定义中的关键信息：非空数集；任意数x ；对应关系；唯一确定的数y ；对应关系就是对x 的作用方式。

(其实学生对f 不理解，太抽象了，举特殊例子说明)2、函数的表示方法：列表法；图象法；解析法（三）提取信息，准确应用定义1、下列表达方式可以看成函数有哪些？教师：根据函数的定义，如何判断给定的表达式是否是函数呢？学生：一给定两个非空数集；二按照某个对应关系，任给一个x 都有唯一的y 与之对应。

,y f x x A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=∈（1） （2） （3） （4）（5）学生：（1）、（3）、（4）是函数关系（2）（5）不是函数关系，因为任给一个x 会有两个y 与之对应了。

教师：非常好，观察仔细，定义把握准确。

（6）这种对应关系满足函数关系吗？学生：（6）不是函数关系，因为5没有找到值与之对应。

教师：很好，找的很准确。

（7） 学生：（7）不是函数关系，0<x<3根式没有意义,也就是集合A 中的元素有剩余，找不到数值与其对应。

教师：非常好，关注了函数的定义域。

（8） 学生：（8）不是函数关系，因为X 的取值范围是空集，而定义中两个集合是非空数集。

教师：回答的非常准确。

（9） ()0f x x =≥）()(0)f x x =>()f x =+()=1(R)f x x ∈学生：（9）是函数关系，是常数函数。

学生独立完成，学生讲解示范，教师点评。

2、 判断下列哪个函数与y=x 是同一函数（ ）学生：我认为答案应选（2），因为一直Y=X 是我们学习的正比例函数，定义域为全体实数，而（1）的定义域是自变量大于或等于零，（3）的自变量是全体实数，但它的值域是Ｙ大于或等于零；（４）的定义域Ｘ不等于零；所以选（２）教师：（３）的值域是大于或等于零，那已知函数的值域呢？已知函数值域是全体实数。

回答的太完美了，这里有掌声。

点评：要判断两个函数是否为同一函数，要看定义域和对应法则是否相同，如对应法则相同必能化简成同一解析式。

小结：本节课你学到了什么？学生：我从新认识了函数，用集合和对应的语言叙述，也了解了其实我们生活中很多事情通过数字化都可以看成函数的，也学习了函数的新的表达方式，不过还真够抽象的；也学会了利用定义来判断所给的表达式是否是函数，以及如何判断两个函数是否是同一函数。

(3)f(x)=(2)f(x)=2(1)f(x)=2(4)f(x)xx =。