z变换的基本知识.
_2第二章z变换
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
Z变换理论
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。
拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。
拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。
Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。
Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
Z变换
返回§2.1
二.收敛域
1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即： x(n) z
n
n
M
返回§2.1
三.常用序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 x ( n) z ，在 z z ( 0) 收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
a ( x A)
k
或
ax b ( x Ax B)
2 k
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。
返回§2.2
通常，X(z)可 表成有理分式形式：
X ( z)
B( z ) A( z )
bi z
i 0 N i 1
M
i
1 ai z
i
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
M N
X ( z)
B z
n n 0
n
N r
Ak
1
k 1 1 z k z
r
Ck
1 k
k 1 (1 zi z )
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：
X ( z) z
n 1
z
n 1
(4 z )( z
n 1
1 4
)
1）当n≥-1时,z 不会构成极点，所以这时 C内只有一个一阶极点 z 1 因此
数学Z变换学习
10.3 Z-反变换
The Inverse Z-Transform
一.Z-反变换：
X (re j ) x(n)r ne jn n
x(n)r n 1 X (re j )e jnd
2 2
x(n) 1 X (re j )r ne jnd
2 2 令 z re，j则 dz jre j d jzd
第10页/共86页
三. X 的(z)几何表示——零极点图：
如果 X是(z)有理函数，将其分子多项式与分母 多项式分别因式分解可以得到：
X (z) N (z) M
(z zi )
i
D(z) (z zp )
p
由其全部的零、极点即可确定出 X (z，) 最多
相差一个常数因子 M 。
第11页/共86页
第28页/共86页
例2
已知
X
(z)
(z
z 1)2
, z 1 求x(n)。
解：由收敛域 z 1 可知原函数为左边序列
要展成Z的正幂级数，即
0
X (z) x(n)zn x(0)z0 x(1)z x(2)z2
n
将X(z)的分子、分母升幂排列
X
(
z
)
1
z 2z
z2
第29页/共86页
将X(z)的分子、分母升幂排列
原点为中心的圆环。
第8页/共86页
结 论：
1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X (z) 收敛。
2）仅仅由 X (z)的表达式不能唯一地确定一个信 号，只有X (z)连同相应的ROC一道，才能与信 号x(n) 建立一一对应的关系。
3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中 心的环形区域。
Z变换知识点
Z变换知识点咱今儿就来好好唠唠 Z 变换这个听起来有点玄乎的玩意儿。
先来说说啥是 Z 变换。
你就想象啊，有一堆数字信号，就像一群调皮的小精灵，在时间轴上蹦跶来蹦跶去。
Z 变换呢，就是给这些小精灵穿上一件神奇的魔法袍，让我们能更清楚地看清它们的规律和特点。
比如说，有个简单的序列 x(n) ＝｛1, 2, 3, 4, 5} ，通过 Z 变换，就能把它变成一个数学表达式，方便我们去分析和处理。
那 Z 变换咋算呢？这就像是解一道有点复杂的数学谜题。
咱得先找到一个公式，就像找到了一把神奇的钥匙。
常见的 Z 变换公式就像一个万能的解题模板，把序列往里一套，就能得出结果。
我记得有一次，我给学生讲 Z 变换的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这 Z 变换到底有啥用啊？”我就跟他说：“你想想，你要预测未来几天的气温变化，是不是得先找到气温变化的规律？Z 变换就是帮我们找到数字信号里的规律，这样就能做出更准确的预测啦！”那孩子听了，眼睛一下子亮了起来。
再来说说 Z 变换的性质。
这就好比是小精灵们的各种特殊技能。
比如线性性质，就像是把几个小精灵的力量加起来，变得更强大；位移性质呢，就像是让小精灵们集体向前或者向后移动一步，看看有啥变化。
还有 Z 变换的逆变换。
这就像是把穿上魔法袍的小精灵再变回原来的样子。
通过一些特定的方法和技巧，我们就能把经过 Z 变换后的表达式，变回原来的数字序列。
在实际应用中，Z 变换可是大有用处。
比如说在通信系统里，它能帮助我们优化信号的传输，让信息传递得更清晰、更准确；在控制系统中，它能让我们更好地设计控制器，让系统运行得更稳定、更高效。
总之啊，Z 变换虽然听起来有点复杂，但只要咱静下心来，一步一步去理解，就会发现它其实就像我们身边的好朋友，能帮我们解决好多数字信号处理的难题。
希望大家都能跟 Z 变换成为好朋友，让它为我们的学习和工作助力！。
z变换的基本知识
4）终值定理
假定 的z变换为 ，并假定函数 在z平面的单位圆上或圆外没有极点，则
（20）
证明考虑2个有限序列
（21）
和
（22）
假定对于 时所有的 ，因此在式（3-34）中 ，比较式（22）和式（21），式（22）可写成
（23）
令z趋于1时，式（21）与式（23）差取极限，得
（2）左位移（超前）定理
若 ，则
（15）
证明根据定义有
令 ，则
当 时，即在零初始条件下，则超前定理成为
（16）
2）复域位移定理
若函数 有z变换 ，则
（17）
式中 是常数。
证明根据z变换定义有
令 ，则上式可写成
代入 ，得
3）初值定理
如果函数 的z变换为 ，并存在极限 ，则
（18）
或者写成
（19）
证明根据z变换定义， 可写成
在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式
（5）
或 的有理分式
（6）
其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）
（7）
2求z变换的方法
1）级数求和法
根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。
例1求指数函数 的z变换。
换句话说，z反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。
2）z反变换的求法
（1）幂级数展开法（长除法）
根据z变换的定义，若z变换式用幂级数表示，则 前的加权系数即为采样时刻的值 ，即
对应的采样函数为
例4已知 ，求 。
解利用长除法
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工程上最常用的方法是查表法，若 较复杂，则首先必须进行部分分式展开，以使展开式的各项能从表中查到。经常碰到z变换式 是z的有理分式，对此，可以将 展开成部分分式，然后各项乘以z，再查表。这样做是因为绝大部分z变换式的分子中均含有一个z因子。
首先假定 的所有极点是一阶非重极点，则展开式如下
当z趋于无穷时，上式的两端取极限，得
4）终值定理
假定 的z变换为 ，并假定函数 在z平面的单位圆上或圆外没有极点，则
（20）
证明考虑2个有限序列
（21）
和
（22）
假定对于 时所有的 ，因此在式（3-34）中 ，比较式（22）和式（21），式（22）可写成
（23）
令z趋于1时，式（21）与式（23）差取极限，得
连续信号 通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号 的表达式为
（1）
对式（1）作拉普拉斯变换
（2）
从式（2）可以看出， 是 的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z”，令
（3）
代入式（2）并令 ，得
（4）
式（4）定义为采样信号 的z变换，它是变量z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以表示。
解连续函数 的采样信号表达式为
对应的z变换式为
上式为等比级数，当公比 时，级数收敛，可写出和式为
。
例2求单位脉冲函数 的z变换。
解因为采样信号的表达式为
对 函数，它意味着 仅由一项组成，即 ，且 。所以
2）部分分式展开法
最实用的求z变换的方法是利用时域函数 或其对应的拉普拉斯变换式 查z变换表（见教材附录），对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应的拉普拉斯变换式 进行部分分式分解后再查表。
线性
实微分（实超前位移）
实积分
—
复微分
复积分
实延迟
位移
复位移
初值
终值
比例尺
变换
实卷积
求和
—
1）实域位移定理
（1）右位移（延迟）定理
若 ，则
（14）
式中 是正整数。
证明根据定义
令 ，则
根据物理可实现性， 时 为零，所以上式成为
位移定理的时域描述如图1所示。
图1位移定理的时域图形描述
从图中可以看出，采样信号经过一个 的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动 步；经过一个 的纯滞后环节，相当于时间特性向后移动 步。
在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式
（5）
或 的有理分式
（6）
其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）
（7）
2求z变换的方法
1）级数求和法
根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。
例1求指数函数 的z变换。
换句话说，z反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。
2）z反变换的求法
（1）幂级数展开法（长除法）
根据z变换的定义，若z变换式用幂级数表示，则 前的加权系数即为采样时刻的值 ，即
对应的采样函数为
例4已知 ，求 。
解利用长除法
由此得采样函数为
用长除法求z反变换的缺点是计算较繁，难于得到 的通式；优点则是计算并无难度，用计算机编程实现也不复杂，而且工程上也只需计算有限项数即可。
与实际情况相矛盾。这是因为函数 不满足终值定理的条件所致。
4z反变换
1）定义
求与z变换相对应的采样函数 的过程称为z反变换，并表示成
（27）
注意：z反变换的结果只包含了采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系，即
（28）
如图2所示，3种不同的连续信号对应着同一个采样信号序列。
图2采样信号与连续信号的关系
（24）
在式（24）中取 时的极限，得
（25）
在该式右端改变取极限的次序，且因上式方括号中当 时，两者的级数和均为 ，由此得
终值定理的另一种常用形式是
（26）
必须注意，终值定理成立的条件是， 在单位圆上和圆外没有极点，即脉冲函数序列应当是收敛的，否则求出的终值是错误的。如函数 ，其对应的脉冲序列函数为 ，当 时是发散的，而直接应用终值定理得
解用 直接查z变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式可分解为
其中
将诸常数代入部分分式中，有
对照z变换表，查得
（13）
3 z变换的基本定理
z变换的基本定理和拉普拉斯变换很相似，见表1。这些定理一般均可用z变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。
表1拉普拉斯变换和z变换特性
拉普拉斯变换
Z变换
z变换基本知识
1 z变换定义
连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号 的拉普拉斯变换 是复变量 的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为 的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。
（2）左位移（超前）定理
若 ，则
（15）
证明根据定义有
令 ，则
当 时，即在零初始条件下，则超前定理成为
（16）
2）复域位移定理
若函数 有z变换 ，则
（17）
式中 是常数。
证明根据z变换定义有
令 ，则上式可写成
代入 ，得
3）初值定理
如果函数 的z变换为 ，并存在极限 ，则
（18）
或者写成
（19）
证明根据z变换定义， 可写成
的一般式为
（8）
（1）当 无重根，则 可写为 个分式之和，即
（9）
系数 可按下式求得，即
（10）
（2）当 有重根，设 为 阶重根， 为单根，则 可展成如下部分分式之和，即
（11）
式（11）中 为单根部分分式的待定系数，可按式（10）计算。而重根项待定系数 的计算公式如下
（12）
例3已知 ，求其相应采样函数的z变换 。
由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作 的变量置换。
的z变换的符号写法有多种，如
等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。
式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、 域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是 ，并且时域中的 域中的 及z域中的 均表示信号延迟了 拍，体现了信号的定时关系。
（29）
式中 是 的极点，系数 可由下式求出