高等代数欧几里得空间习题

四. 正交矩阵 定义 设A是n阶实矩阵, 如果满足
ATA = AAT = E 则称A为正交矩阵 (orthogonal matrix) ．
.
正交矩阵性质
定理 设A, B都是n阶正交矩阵， 则
(1) ? A? = ?1; (2) A可逆, 且A－1 = AT; (3) AT(即A－1 )也是正交矩阵 ; (4) AB也是正交矩阵 .
空间V1上的内射影. .
§5 实对称矩阵的标准形
定理 实对称矩阵A的特征值都是实数。 引理 设A是对称变换(A是对称矩阵), 则属于A（A)的不同特征值的特征向量必 正交.
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定理 对于n 维欧氏空间V 上任意一个 对称变换A,都存在V的一组标准正交基, 使得A在该基下矩阵为对角矩阵。
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推论 对于任意一个n阶实对称矩阵A, 都存在一个n 阶正交矩阵T,使得
??
(?n ,?n )??
称A为基?1, ?2, …, ?n的度量矩阵．
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度量矩阵性质
（1）度量矩阵是对称矩阵 （2）设A为基?1，?? n的度量矩阵。
若? =x1?1+? +xn?n, ?=y1?1+? +yn?n,
则
(? , ?)=XTAY,
其中X,Y为? ,?的坐标列向量。 .
（3）度量矩阵是正定矩阵. 因为 关于? X?0,
?2
?L
?
(? j , ? j?1 ) (? j?1, ? j?1)
?
j?1
j ? 1,..., m
.
然后将正交向量组?1,?2,? ,?m单位化
即令
?i
?
?i ?i
,
(i ? 1,2,? , m)
则向量组?1, ?2, ? , ?m即为与向量组
? 1,? 2,? ,? m等价的正交单位向量组．
.
i=1,2,…,n
(2) (? , ? )=XTY=x1y1+x2y2+…+xnyn.。
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三. 求标准正交基的办法： Schmidt 正交化方法
定理 n维欧氏空间中任一个正交向量 组都能扩充成一组正交基 .
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定理 设? 1, ? 2, ? , ? m是欧氏空间
V中一组线性无关的向量 ,则一定存在
且等号成立当且仅当? 与? 线性相关。
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定义 在欧氏空间V中, 任意两个非零向量
? , ?之间的夹角定义为
?
??
?
,?
??
arccos
(? , ? ) ??
注(1) 显然有0? <? , ? > ?? ．
(2)由C-S不等式,上述定义有意义.
定义 设V是欧氏空间, 对? , ?? V, 如果 (? , ?) = 0
则 Rn是一个欧几里得空间, 仍用Rn来表示．
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内积的性质
(1) (? , k?)=(k?, ? )= k(? ,? )= k(? , ? ); (2) (? , ? + ?)= (? + ? ,? )= (? , ? ) + (? ,? );
= (? , ? ) + (? ,?); (3) (? , 0)=0.
则称? 与? 正交, 记作? ? ?.
零向量0与任何向量. 正交.
定理 在欧氏空间中，下述式子成立：
(1) 三角形不等式: ?? +??? ?? ?+???; (2) 勾股定理: 当? ⊥? 时, ?? +??2=?? ?2+???2.
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定理 在欧氏空间中勾股定理成立：
设? 1,? 2,…,? s两两正交，
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§4 子空间的正交补
一. 正交
定义 设V1,V2是欧氏空间V中两个子空
间.如果对于任意的? ? V1,?? V2,恒有 (? , ?)=0.
则称V1,V2是正交的,记为V1? V2.
对于向量? ? V，如果关于任意的
?? V1,恒有
(? , ?) =0.
则称? 与子空间V1正交. ,记为? ? V1.
.
注 V1 的唯一正交补记作V1? .显然有 dim V1 + dim V1? = dim V =n.
推论 V1? 恰由与V1 正交的向量组成, 即
V1? = {? ? V? ? ? V1}.
内射影 设
V= V1? V1?
则关于? ? ? V,
? =? 1+? 2, 其中? 1? V1, ? 2? V1? , 就称? 1为向量? 在子
性质
（1）若? ? V1, 且? ? V1, 则有? =0.
（2）若V1? V2,则V1∩V2={0} ; 定理 如果子空间V1,V2,…,VS两两正交, 那么和V1+V2+…+VS是直和.
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定义 子空间V2称为子空间V1的正交补, 如果V1? V2,并且V1+V2=V. 注 正交补的概念是相互的. 定理 n维欧氏空间V的每一个子空间 V1都有唯一的正交补.
有 ?A? ?=?? ?;
(3) A保持向量间的距离不变, 即
? ? ，? ? V,有 ?A(? )- A(?) ?=?? - ? ? ;
(4)若?1,?2,…,?n是标准正交基,则A?1,
A?2,…,A?n也是标准正交基;
(5) A在任一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.
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注: (1)因为正交矩阵可逆,故正交变换也 可逆.
(A? , ?)=(? , A?)
则称A是对称变换.
定理 n维欧氏空间V上的一个线性变换A 是对称变换的充分必要条件为:A在任何 （某）一组标准正交基下的矩阵都是 对称矩阵.
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定理 设A是n维欧氏空间 V的一个线性变 换。则下面几个命题相互等价：
(1) A是正交变换;
(2) A保持向量的长度不变, 即? ? ? V,
第9章 欧几里得空间习题课
?§1 定义与基本性质 ?§2 标准正交基的定义及求法 ?§3 正交变换，对称变换 ?§4 子空间的正交补 ?§5 实对称矩阵的标准形 ?§6 向量到子空间的距离
主讲人：
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§1 定义与基本性质
定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上 定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个
.
事实 向量组? 1, ? 2, …, ? s是一个
标准正交向量组 , 当且仅当
(?
i
,?
j
)
?
? ?
?
1 0
i ? j, i ? j.
.
定理 正交向量组是线性无关的． 推论 n维欧氏空间V中, 两两正交的非零 向量的个数不会超过n．
二. 正交基 定义 在n维欧氏空间中 , 由n个两两 正交的非零向量构成的向量组称为 正交基.
n
m
nm
? ? ?? (4) ( ki ? i , l j ? j ) ?
ki l j (? i , ? j ).
i?1
j?1
i?1 j?1
.
?二. 长度与夹角
?由于(? , ? )?0, 在欧氏空间可引进向量? 的
长度的概念．
定义 在欧氏空间中,非负实数 (? ,? )
称为向量? 的长度, 记作?? ?．
基， 则C是正交矩阵 , 当且仅当
? 1,? 2,…,? n是标准正交基。
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§4 正交变换，对称变换
一. 定义
定义 若A是欧氏空间V的线性变换, 如 果它保持向量的内积不变, 即
(A? , A?) = (? , ?) ? ? ,?? V,
则称A是正交变换.
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定义 设A是欧氏空间V上的一个线性变 换,如果满足
由单位向量组成的正交基称为 标准正交基 .
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一组基是标准正交基当且仅当它的度
量矩阵是单位矩阵.
定理 设? 1, ? 2,…, ? n是n维欧氏空间V的 一组标准正交基, 对? , ? ? V,设向量? ,?的
坐标分别是X=(x1,x2,…,xn)T, Y=(y1,y2,…,yn)T 则
(1) xi = (? , ? i )
由于(? , ? )?0,所以向量的长度一般
是非负数, 有且仅有零向量的长度才是零． 长度为１的向量称为单位向量.
.
如果? ? 0, 则
1? ?
是一个单位向量.
通常称此过程为把? 单位化．
定理(Cauchy-Schwarz 不等式)
设V是欧氏空间，则关于任意? , ? ? V，有
?(? , ?)?? ?? ???,
?
?
?
? ?
?1
O
? ? ?
? ? ?
?r
O
? ? ?
??
?r ??
必须注意：对角阵中 的顺序要与特征向量
??11,?,?22,,LL ,,??nn
的排列次序一致。
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二次型的语言
定理（主轴定理）：
任给二次型 总有正交变换
n
? f ? a ij xi x j ? X T AX, i , j?1
X ? CY,
.
其中? , ?, ?都是V中向量, k为任意实数. 则称(? , ?)为向量? 与?的内积 ．
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间．
例1 在线性空间Rn中，对于向量
? =(a1, a2, …, an)， ? = (b1, b2, …, bn) 定义 (? , ? ) = a1b1+a2b2+…+anbn
一个正交单位向量组 ?1, ?2, ? , ?m,
使得
? 1, ? 2, ? , ? i
与
?1, ?2, ? , ?i
等价( i = 1, 2, …, m )．
.
令?1=? 1, 若已构作出正交向量组?1,?2,? ,?j-1,
则令
?
j
?
?
j
?
(? j , ? 1 ) (?1, ?1)
?1
?
(? j , ? 2 ) (? 2,? 2)
使之化为标准形
f
?
? y2 11
?
? y2 22
?
?
?
? y2 nn
其中? ，? ，? ，? 是二次型
1
2
n
f
的对称
矩阵 A的全部特征值 .
.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f ? xT Ax,求出 A;
2. 求出A的所有特征值?1 ,? 2 ,? ,? n ;
3. 求出对应于特征值的特 征向量 ?1 ,? 2 ,? ,? n ;
(2)正交变换作为欧氏空间的自同构,其 乘积和逆也是正交变换.
(3)在标准正交基下,正交变换与正交矩 阵对应，对称变换与对称矩阵对应。
.
引理 设A是欧氏空间V上的一个对称 变换, W是A-子空间, 则W? 也是A-子 空间.
设A是欧氏空间V上的一个正交变换, W是A-子空间, 则W? 也是A-子空间.
的基础解系。
3的.特将征属向于量每先个正?交i化，再单位化。
.
这样共可得到n 个两两正交的单位特征向量
? 1,? 2 ,L ,? n
4.以 ? 1,? 2 ,L ,? n
为列向量构成正交阵
T ? (? 1,? 2,L ,? n )
有
T ? 1 AT
?
.
?
??1
?
? ?
O
? ?
?
即T ?1 ?AT
4. 将特征向量 ?1 , ? 2 ,? ,? n正交化 ,单位化 ,得
? 1 ,? 2 ,? ,? n ,记 C ? ?? 1 ,? 2 ,? ,? n ?;
5. 作正交变换 x ? Cy ,则得 f的标准形
f ? ? 1 y12 ? ? ? ? n yn2 .
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§6 向量到子空间的距离，最小二乘法
则 ?? 1+? 2+…+? s ?2 =?? 1?2+?? 2?2 +… + ?? s ?2
.
?三. 度量矩阵
?定义 设?1,?2,…,?n是n维欧氏空间V
的一组基, 作矩阵
?(?1,?1) (?1,?2) ?
A?
??(?2,?1)
??
(?2,?2)
?
?
??(?n,?1) (?n,?2) ?
(?1,?n )? (?2,?n )??
(? ,? )= XTAX>0.
（4）不同基的度量矩阵是合同的。 （5）每一个n阶正定矩阵都可作为Rn中 某个基的度量矩阵（见习题1）。ห้องสมุดไป่ตู้
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§2 标准正交基的定义与求法
一. 正交向量组
定义 设? 1,? 2,…,? s是一组非零实向量 ,
如果它们两两正交 ,则称为正交向量组; 如果其中每个向量的长度都是 1,则称 为正交单位向量组 (或标准正交向量组 ).
向量? , ?, 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(? , ?), 它满足如下性质:
(1)(? , ?)=(?, ? ); (2)(? +?, ?)= (? , ?) + (?, ?); (3) (k? , ?)= k(? , ? );
(4) (? , ? )?0, (? , ? )=0当且仅当? =0.
.
定理 n阶实矩阵A是正交矩阵的 充要条件是 , A的列(行)向量组为Rn的 正交单位向量组 (标准正交基 ).
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?定理 设?1,?2, …,?n与? 1,? 2,…,? n
是欧氏空间 V中两组基, 由基
?1,?2, …,?n到基? 1,? 2,…,? n的过渡矩
阵是C。若 ?1,?2, …,?n是标准正交
TTAT=T-1AT 成对角形.
.
利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实 对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 解特征方程 ? E ? A ? 0,
求出对称矩阵 A
的全部不同的特征值。
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2.对每个特征值 ? i ，
求出对应的特征向量，
即求齐次线性方程组 (?i E ? A)X ? 0