导数在经济中的应用

故 L( x ) 在 x = 5 (4 t ) 时取得最大值 . 2
(2)η ( x0 ) 的
意 是 : 在 x0
x
生 1% 的改
,
f ( x ) 就 会 产 生 η ( x 0 )% 的 改 变 ; 当η ( x0 ) > 0( < 0) 时, x 与 y 的变化方向相同( 相反 ) (3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关. 例35 当a、b、α为常数时, 求下列函数的弹性函数及在 点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义.
C ( x) = 1 2 x + 60 x + 2050 4
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求(1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量; (3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956.25(元) C(75)/75=106.08(元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量
f ′( x ) 解 (2)由 η ( x ) = x = α 故 η (1) = α f ( x)
的经济意义是: η(x)的经济意义是:
幂函数在任意一处的弹性均为常数α , 从而称之为不变弹性函数.
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例36 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的函数关系为 p (1)需求弹性函数(通常记作 ε p ). (2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.
C ( x ) = 9000 + 40 x + 0.001 x 2
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并 求出其最小平均成本和相应的边际成本.
C ( x ) 9000 = + 40 + 0.001 x x x
解 平均成本函数是 C ( x ) =
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C ′( x ) =
9000 + 0.001 2 x
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定义 若函数y =(x)在点 x0 ( ≠ 0) 的某邻域内有定义, 且 f ( x0 ) ≠ 0 则称 x 和 y 分别是 x 和 y 在点 x0 处的绝 对增量, 并称
x y f ( x0 + x ) f ( x 0 ) 与 = x0 y0 f ( x0 )
分别为自变量 x与(x)在点 x0 处的相对增量.
= R′( x0 ) C′( x0 ) = 0 L′′( x)
x = x0
= R′′( x0 ) C′′( x0 ) < 0
可见, 当产量水平 x = x0 使得边际收益等于边际 成本时, 可获得最大利润.
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例39 .某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7–0.2x (万元/吨), 且x为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税t (万元), 求该商家 获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大. 解 (1)当该商品的销售量为x时, 商品销售总收入为
y y0 lim 存在, 则称此 定义 设y =(x)当x → 0 时, 极限 x → 0 x x0
极限值为函数 f ( x ) 在点 x0 处的弹性 , 记为 η ( x0 ).
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由弹性定义可知(1)若 y = (x) 在点 x0 处可导. 则它 在 x0 处的弹性为
f ′( x 0 ) y x0 ) = x0 η ( x 0 ) = lim ( x → 0 x y0 f ( x0 )
当 x → 0 (即很小)时, 有
f ( x0 + x ) f ( x0 ) ≈ f ′( x 0 ) x
在经济学中, 通常取x =1, 就认为x达到很小(再小无意义). 故有 f ( x0 + x) f ( x0 ) ≈ f ′( x0 )
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实际问题中, 略去“近似”二字, 就得(x)在 x0 处的 边际值 f ′( x ) 的 0 经济意义: 经济意义 即当自变量 x 在 x 的基础上再增加一个 0 单位时, 函数y的改变量. 例33 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的 函数为
R = px = 7 x 0.2 x 2
设政府征的总税额为T, 则有T = t x, 且利润函数为
L = R T C = 0.2 x 2 + (4 t ) x 1
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L′( x ) = 0.4 x + 4 t = 0, 得驻点 x = 5 (4 t ) 2 5 而 L′′( x ) = 0.4 < 0, 且驻点 x = (4 t ) 唯一. 2
p=4.35
= 1, ε p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p=5
= 1.15.
易知: 任何需求函数对价格之弹性 ε p , 均满足 ε p < 0. 11
在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(p>0) 或降价(p<0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.
Q ′( p ) p dQ Q εp = p = Q ( p ) Q ( p ) dp
14 进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等.
二.函数最值在经济中的应用 在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定 获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结为 求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经 济上的应用. 1.平均成本最小 例38 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
C ′′( x ) =
1800 >0 3 x
令 C ′( x ) = 0 得 x = 3000. 从而驻点唯一
故 x = 3000是区间(0, +∞ )唯一的极小值点
当产量x = 3000件时, 平均成本达到最小, 且最小平均成本为
C (3000) = 46(元 / 件 )
而边际成本函数为 C ′( x ) = 40 + 0.002 x 故 x = 3000 时相应的边际成本为 C ′(3000) = 46(元 / 件). 显然, 最小平均成本等于其相应的边际成本 .
其经济意义: 其经济意义 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则 总利润可增加1元.当日产量为 250公斤时,再增加1公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时,再增加1公斤, 则反而亏损1元.
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结论: 结论 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 反而使企业无利可图. 零点时 ( L′( x ) = 0) ,反而使企业无利可图. 2.弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量 变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述 一个量对另一个量的相对变化率的一个量.
ε p = 0.92 < 1 (低弹性),
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此时降价使收益减少; 提价使收益增加;
当 p = 4.35 时, ε p = 1(单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响; 当 p = 5 时, ε p = 1.15 > 1 (高弹性), 此时降价使收益增加; 提价使收益减少. 例37 某商品的需求量为2660单位,需求价格弹性为–1.4. 若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变),问该商 品的需求量会降低多少? 解 设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为 Q=Q–2660 且 p p = 8%, ε p = 1.4 Q ≈ ε p Q = 1.4 8% 2660 = 298(单位) p p 课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等常用经济函数
(1) f ( x ) = ae bx
(2) f ( x ) = xα
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f ′( x ) x 解 (1)由 η ( x ) = x = bx abe bx = bx 故 η (1) = b f ( x ) ae
η(1)的经济意义是: 在x = 1处, 的经济意义是: 的经济意义是 当b > 0 时, x 增加(或减少)1%, (x)就增加(或减少) b% ; 当b < 0 时, x 增加(或减少)1%, (x)就减少(或增加) –b% .
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2.最大利润 设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中x为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数 为 L(x) = R(x) – C(x) 假设产量为 x0 时, 利润达到最大, 则由极值的 必要条件和极值的第二充分条件, L(x)必定满足:
L′( x)
x = x0
∴ 价 格 p的 微 小 变 化 (即 p 很 小 时 )而 引 起 的 需 求 量 的 改 变 为 dQ p dQ p p Q =εp Q Q ≈ dQ = p = dp Q dp p p Q p 需求量的相对改变量为 ≈εp Q p
销 售 收 入 R ( p ) = pQ 的 改 变 量 为
C C (90) C (75) = = 101.25(元 / 件 ) 90 75 x
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(3)当日产量为75件时的边际成本 1 ′ ( x ) = x + 60 ∴ C ′(75) = C ′( x ) QC 2
x = 75
= 97.5(元 )
注:当销售量为x, 总利润为 当销售量为 , 总利润为L=L(x)时, 称L′( x )为销售量 时 时的边际利润, 为x时的边际利润,它近似等于销售量为 时再多销售一 时的边际利润 它近似等于销售量为x时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润. 个单位产品所增加或减少的利润. 例34 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是 C ( x ) = 100 + 2 x + 0.02 x 2 和 R( x ) = 7 x + 0.01 x 2 . 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和 300公斤时的边际利润.并说明其经济意义.