高中数学 含参不等式恒成立问题的求解策略论文

高中数学含参不等式恒成立问题的求解策略论文
含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数
)
,0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩
⎨
⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.0
⎩
⎨
⎧<∆<⇔a 例1．已知函数]
)1(lg[22
a x a x y +-+=的定义域为R ，求实
数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0
)1(22
>+-+a x a x
对
R
x ∈恒成立，即有0
4)
1(22
<--=∆a a 解得3
11>-<a a 或。

所以实数a 的取值范围为),3
1()1,(+∞--∞ 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根
的分布解决问题。

例2．设2
2)(2
+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

解：设m
mx x
x F -+-=22)(2
，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成
立
当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；
当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-≤--≥-≥∆1
220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。

二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min
)(x f a <⇔
2）a x f <)(恒成立max
)(x f a >⇔
O x
y
-
例3．已知x
x x x g a x x
x f 4042)(,287)(232
-+=--=，当]3,3[-∈x 时，
)
()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

解：设c
x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23
，
则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立
令0
1266)(2
'
=++-=x x
x F ，得21=-=x x 或
而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴0
45)
(max
≤-=a x F
∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。

例4．函数
)
,1[,2)(2+∞∈++=x x
a
x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0
)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，
即对),1[+∞∈x ，
2)(2>++=x
a x x x f 恒成立，
考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需0
22
>++a x x
在
)
,1[+∞∈x 时恒成立而得
而抛物线
a
x x x g ++=2)(2在
)
,1[+∞∈x 的最小值
3)1()(min >+==a g x g 得3->a
注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=x
a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。

三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

一般地有：
1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max
)()(x f a g >⇔
2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max
)()(x f a g <⇔
实际上，上题就可利用此法解决。

略解：0
22
>++a x x
在),1[+∞∈x 时恒成立，只要
x x a 22-->在),1[+∞∈x 时恒成立。

而易求得二次函数x
x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。

例5．已知函数]
4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，
求实数a 的取值范围。

解： 将问题转化为x
x x a 2
4-<
对]4,0(∈x 恒成立。

令x
x x x g 2
4)(-=，则min
)(x g a <
由144)(2
-=
-=x
x
x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，
故0
)4()
(min
==g x g
∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使
问题顺利得到解决。

四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式0
24)4(2
>-+-+a x a x 恒成立，
求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式0
44)2(2
>+-+-x x
a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

解：令4
4)2()(2
+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0
)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。

当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。

当2≠x 时，应有
⎩⎨
⎧>->0
)1(0
)1(f f 解之得31><x x 或。

故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。

注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上
恒有0)(>x f 的充要条件为
⎩⎨
⎧>>0
)(0
)(βαf f 。

四、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形
缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。

我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；
2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。

例7．设
x
x x f 4)(2--= , a x x g -+=13
4)(,若恒有)
()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g 的
图象
如图所示，)(x f 的图象是半圆)
0(4)2(2
2
≥=++y y x
)
(x g 的图象是平行的直线系03334=-+-a y x 。

要使)()(x g x f ≤恒成立，
则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离
满足 25
338≥-+-=a
d 解得3
55≥-≤a a 或（舍去) x --4 y
-4
由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。