高三数学,一轮复习北师大版, 空间角、空间距离 , 课件

2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面 所成的二面角为( ) A．45° B．135° C．45° 或 135° D．90°
1 2 m· n 解析：cos〈m，n〉＝ ＝ ＝ ， |m||n| 1· 2 2 即〈m，n〉＝45° ，其补角为 135° 。 ∴两平面所成二面角为 45° 或 135° 。 答案：C
4．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1 的底面边长 π 为 2，侧棱长为 2 2，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________ 。 6
解析：以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标： A(2,0,0)，C1(0,0,2 2)。 3 3 点 C1 在侧面 ABB1A1 内的射影为点 C2 ， ，2 2。 2 2 1 3 → → 所以AC1＝(－2,0,2 2)，AC2＝－ ， ，2 2， 2 2 设直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 θ， →· → 1＋0＋8 AC 3 1 AC2 则 cosθ＝ ＝ ＝2。 → → 2 3 × 3 |AC1||AC2| π π 0 ， 又 θ∈ 2，所以 θ＝6。
解析：(1)错误。两直线的方向向量所成的角应是两直线所成的角 或其补角。 (2)错误。若直线的方向向量和平面的法向量所成的角为 θ，直线 与平面所成的角为 α，则 sinα＝|cosθ|。 (3)错误。两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其 补角。 (4)正确。由异面直线所成的角、线面角及二面角的定义可知，两 π π 异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二 面角的范围是[0，π]。
2.直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ| |e· n| ＝③________ |e||n| 。
3．二面角的求法 (1)如图①， AB， CD 是二面角 α－l－β 两个半平面内与棱 l 垂直的 → ，CD →〉 直线，则二面角的大小 θ＝〈AB 。
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→ → ＋A → → ＋AE →· → ＋AE →· →| |A CB BF CB BF 1A· 1 A· ＝ 3 |2×2×cos60° ＋2×1×cos120° ＋1×2×cos120° ＋1×1×1| ＝ 3 1 ＝3 。
[知识重温] 一、必记 4●个知识点 1．异面直线所成角的求法 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则 a 与 b 的夹角 β l1 与 l2 所成的角 π θ 0， 范围 [0，π] ①________ 2 |a· b| a· b 求法 cosθ＝|cosβ|＝②________ cosβ＝ |a||b| |a||b|
① ② ③ (2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的 法向量，则二面角的大小 θ 满足 cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉 。
4．空间距离的求法 → |2＝AB →· → 可以求空间中有向线段的长度。 (1)利用|AB AB (2)点面距离的求法。
考纲要求 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹 角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用 2.能用向量法解决空间的距离问题
考情分析 1.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所 成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容 2．命题以解答题为主，解题要求有较强的运算能力，广泛应用函 数与方程的思想，转化与化归思想
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→ |＝|BF → |＝2cos60° → → → |AE ＝1，A 1E＝A1A＋AE， → ＝CB → ＋BF → ，设两平面夹角为 α，则 CF → → · → ＋BF → | → → | |A A ＋ AE CB |A E · CF 1 1 cosα＝ ＝ 3 → → |A E||CF|
已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到 →· | AB n| → |＝|AB → ||cos〈AB → ，n〉|＝ 平面 α 的距离为|BO 。 |n|
[小题热身] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角。( × ) (2) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角。( × ) π (4)两异面直线夹角的范围是 0，2，直线与平面所成角的范围是 π 0， ，二面角的范围是[0，π]。( √ ) 2
5．已知一个平行六面体的各棱长都等于 2，并且以顶点 A 为端点 的各棱间的夹角都等于 60° ，则该平行六面体中平面 ABB1A1 与平面 1 ABCD 夹角的余弦值为________。 3
解析： 如图所示， 在平面 AB1 内作 A1E⊥AB 于 E， 在平面 AC 内， 作 CF⊥AB，交 AB 延长线于点 F，则 → → |＝2sin60° |A E|＝|CF ＝ 3，
3．已知正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE、SD 所成的角的余弦值为( C ) 1 2 3 2 A.3 B. 3 C. 3 D.3
解析：如图，建立空间直角坐标系 O－xyz，令正四棱锥的棱长为 1 1 2 2，则 A(1，－1,0 )，D(－1，－1,0)，S(0,0， 2)，E ， ， ， 2 2 2 1 3 2 → → AE＝－ ， ， ，SD＝(－1，－1，－ 2)。 2 2 2 →· → AE SD 3 → ，SD → 〉＝ ∴cos〈AE ＝－ 3 。 → ||SD →| |AE 3 ∴AE、SD 所成的角的余弦值为 3 。