(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题（第六讲）§2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。
定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为.0 ),(u ),(u 0,,0u ,0u 0, l,0 ,0t0022222l x x x t t x xu a t u t t l x x ≤≤==>==><<∂∂=∂∂====ψϕ分析：1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。
启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。
由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：)()(),(t T x X t x u =的非零解。
将),(t x u 代入方程，可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。
因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。
设为λ-，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒-==.0)()(,0)()()()()()( ''2''2''''x X x X t T a t T x T a x T x X x X λλλ将边界条件代入),(t x u 得,0)()()()0(==t T l X t T X此时，必有,0)()0(==l X X这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量目标：分离变量形式的解)()(),(t T x X t x u =结果：得到函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程，.0)()0(,0)()(''===+l X X x X x X λ条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的现在我们求解函数)(x X 满足的常微分方程定解问题。
我们发现：方程中含有待定常数λ，定解条件是齐次边界条件，与一般的常微分方程的初值问题不同：并非对任一的λ，都有既满足齐次方程有满足边界条件的非零解；只有当λ取某些特定值时，才有既满足方程又满足边界条件的非零解。
有非零解的λ称为该问题的特征值 相应的非零解称特征函数而)(x X 满足的常微分方程的定解问题称特征值问题。
第二步：求解特征值问题1) 若0<λ，方程的通解形式为xxBe Aex X λλ---+=)(由定解条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。
2) 若0=λ，方程的通解形式为B Ax x X +=)(由边界条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。
3) 若0>λ，方程的通解形式为x B x A x X λλsin cos )(+=代入边界条件得⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧==,...3,2,1 ,)(,00sin ,02n l n A l B A πλλ 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====,...3,2,1 ,sin )(,...3,2,1 ,)(2n x l n B x X n ln n n n ππλ 第三步：求特解，并叠加出一般解求解了特征值问题后，将每特征值n λ代入函数)(t T 满足的方程可得出相应的解,...3,2,1 ,sin cos)(''=+=n at ln D at l n C t T n n n ππ 因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的特解,...)3,2,1( ,sin )sin cos (),(=+=n x ln at l n D at l n C t x u n n n πππ注：这样的特解有无穷多个每个特解都满足齐次方程和齐次边界条件一般来说，单独任何一个特解不可能恰好满足定解问题的初始条件，即无法找到n n D C ,满足)(sin ),(sinx x ln l a n D x x l n C n n ψππϕπ==。
把全部特解叠加起来,sin )sin cos(),(1∑∞=+=n n n x ln at l n D at l n C t x u πππ 我们知，只要级数收敛，并且二次可微，则),(t x u 也满足齐次边值问题。
下面选择合适的n n D C ,使),(t x u 满足初始条件，即∑∑∞=∞===11).(sin ),(sinn nn n x x ln l a n D x x ln C ψππϕπ第四步：运用特征值函数的正交性定叠加系数 事实上，我们知道⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒==⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰∞=∞=dx l n x a n D dx l n x l C xdx l m x xdx l m x l n l a n D dx l m x xdx l m x l n C l n l n l n l n l n l n 00010010sin )(2,sin )(2.sin )(sin sin,sin )(sin sin πψππϕπψππππϕππ补充内容：f(x)的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n lx n b l x n a a x f ππ其中⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰--l l n l ln n dx l xn x f l b n dx l x n x f l a )2,1,0(,sin )(1)2,1,0(,cos )(1 ππ总结：利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤： 第一步：分离变量这一步所以能够实现，先决条件使偏微分方程和边界条件都是齐次的。
而分离变量的结果是得到含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条件，即特征值问题； 第二步：求解特征值问题；第三步：求出全部特解，并进一步叠加出一般解（形式解）； 第四步：利用特征函数的正交性确定叠加系数。
（第七讲）严格来说，上面得到的还是形式解，对于具体问题，还必须验证：1) 这样得到的),(t x u 是否满足偏微分方程，换句话说，级数解是否可以逐项求二阶导数；2) 是否满足边界条件，即是否连续； 3) 确定系数时，逐项积分是否合理。
关于上三个问题，都涉及到级数解的收敛性，由于系数n n D C ,都是由)( )(x x ψϕ决定的，因而)( )(x x ψϕ的性质就决定了上三个问题的回答。
可以证明若 )(x ϕ三次可微，)( x ψ二次可微，0)()0()()0()()0(''''======l l l ψψϕϕϕϕ，则问题解存在，且此解可用上面的级数形式给出（见复旦大学《数学物理方程》）。
从理论上讲，分离变量法之所以成功，要取决于下列几个条件： 1) 特征值问题有解；2) 定解问题的解一定可以按照特征值函数展开，也既是说，特征值函数是完备的；3) 特征值函数一定具有正交性。
以后适当回答这些问题。
解的物理意义 先看特解xln t A x ln at l n D at l n C t x u n n n n n n πθωπππsin )cos( sin )sin cos(),(-=+=其中nn n nn C D l an D C A arctan , ,n n 22==+=θπω。
),(t x u n 代表一个驻波驻波：频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。
波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。
x ln A n πsin表示弦上各点的振幅分布n ω是振动的固有频率，称为弦的固有频率或特征（本征）频率n θ为初相位，由初始条件决定在n m nlmx lm a n ,...2,1,0 ,===即ππ的各点上，振动振幅恒为零，称为波节（节点），包含两个端点共有1+n 个节点在1,...2,1,0 212l ,212－＋即＋n m nm x m l a n ===ππ的各点上，振幅绝对值恒为最大，称为波峰（腹点），共有n 个满足定解问题的级数解则是这些驻波的叠加，因此也称分离变量法为驻波法就两端点固定的弦来说，固有频率中有一最小值，即l aπω=1，称为基频，其他频率都是其倍数，称为倍频。
实际例子：● 弦的基频决定了声音的音调。
在弦乐器中，当弦的质料一定时，可以通过改变弦的绷紧程度，调解1ω的大小。
● n n D C ,的相对大小，决定了声音的频谱分布，即决定了音色。
● 和数∑+][222n n D C n 与弦的能量成正比，决定了声音的强度。
分离变量法举例例题 1. 有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为1000)10()(x x x -=ϕ，求弦作微小横振动的位移。
解：设位移为),(t x u ，它的定解问题.100 ,0u ,1000)10(u 0,,0u ,0u 0, ,010 ,0t010022222≤≤=-=>==><<∂∂=∂∂====x x x t t x xu a t u t t x x的解。
给定100002=a ，显然，这个问题的傅立叶级数解可由sin )sin cos(),(1∑∞=+=n n n x ln at l n D at l n C t x u πππ 给出，其系数为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-===⎰⎰为奇数。
，当为偶数，当n 54n0, )cos 1(52sin 5000)10(sin )(2,033331000πππππϕn n n xdxln x x dx x l n x l C D l n n因此，所求的解为10)12(sin )12(10cos 12154),(033∑∞=+++=n x n t n n t x u πππ）（例题2. 解定解问题.0 ,0u ,2u 0,,0x u,0u 0, ,0 ,0t20022222l x lx x t t l x x u a t u t t lx x ≤≤=-=>=∂∂=><<∂∂=∂∂====解：运用分离变量可得)()(,0)()(''2''=+=+x X x X t T a t T λλ将边界条件代入可得.0)( ,0)0('==l X X相应的特征值问题.0)( ,0)0(,0)()('''===+l X X x X x X λ重复前面的解法，知当0>λ时，特征值问题有解，此时通解形式为x B x A x X λλsin cos )(+=代入边界条件得⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛+==⇒⎩⎨⎧==,...)2,1,0( ,212,00cos ,02n l n A l B A πλλλ 从而求得一系列特征值和特征函数,...)2,1,0( ,212sin )(,...)2,1,0( ,2122=+==⎪⎭⎫⎝⎛+=n x ln B x X n l n n n n ππλ与这些特征值相对应得0)()(2''=+t T a t T λ的通解表示为at ln D at l n C t T n n n 2)12(sin 2)12(cos )(''ππ+++= 于是，所求定解问题的形式解可表示为,2)12(sin )2)12(sin 2)12(cos(),(0∑∞=++++=n n n x ln at l n D at l n C t x u πππ 利用初始条件确定其中的系数得,)12(322)12(sin )2(2033202ππ+-=+-==⎰n l xdx l n lx x l C D l n n故所求的解为,2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0332∑∞=+++-=n x l n at l n n l t x u πππ（第八讲）§2.2 有限杆上的热传导定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。
《数学物理方程》第2章 分离变量法
1) 分离变量 偏→常 常 设定解问题有形如 u(x,t)=X(x)T(t) 的非零解
代入DE得 代入 得 X ( x)T ′′(t ) = a 2 X ′′( x)T (t )
u( 0, t ) = X ( 0 )T ( t ) = 0 代入BC得 代入 得 u( l , t ) = X ( l )T ( t ) = 0 X ′′( x) T ′′(t ) ∴ = 2 = λ(常数) X满足 X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0(*) 满足 X ( x ) a T (t ) X ( 0) = X ( l ) = 0 T 满足 T ′′( t ) + a 2 λ T ( t ) = 0 (**)
双曲型方程－ 一 双曲型方程－有界弦的自由振动
utt = a 2uxx (t > 0, 0 < x < l ) 1 定解问题 u(0, t ) = 0, u(l , t ) = 0 (t ≥ 0) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x) (0 ≤ x ≤ l )
2 求解步骤
第2章 分离变量法 章
椭型的混合问题和边值 混合问题和边值问题 适用于 双 抛 椭型的混合问题和边值问题 非齐DE非齐 非齐BC 非齐DE齐次 齐次BC 非齐 非齐 令u( x , t ) = v( x , t ) + w( x , t ) 非齐 齐次
utt = a 2 uxx + f ( x, t ) u(0, t ) = u1 (t ) u(l , t ) = u2 (t ) u( x,0) = ( x) ut ( x,0) = ψ( x)
2 n
注 由2.6节Sturm Liouville 理论 , 特征值问题的特征函
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
数学物理方法分离变量法
21
由傅里叶正弦级数式展系开数公式可求出
A n2 l 0 l(x22lx )si(n 2n2 l1)xd x(2n3 1 l)2 233
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
8
(3) 0
X (x)C 1cosxC 2sinx
X(0) 0 X(l) 0
6、 分离变量法概要：
（3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
u(x,t) x00
ut0 x22lx
(0xl,t0)
u x xl 0 u t t0 0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x,t)X(x)T(t)
Bnsinl
)sin l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
nx
sin l
故 An和 Bnnla分别 (x为 )和 (x)的傅里叶正式 弦系 级数
BnAnn22la0l0l(x()xs)isninnlnxl xddxx
Bn0
故定解问题的最终解为
u (x ,t) 3 l 3 22 n 1 (2 n 1 1 )3 c( o 2 n 2 s l 1 )a ts i( n 2 n 2 l1 ) π x
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第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲）§2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。
定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为.0 ),(u ),(u 0,,0u ,0u 0, l,0 ,0t0022222l x x x t t x xu a t u t t l x x ≤≤==>==><<∂∂=∂∂====ψϕ分析：1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。
启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。
由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：)()(),(t T x X t x u =的非零解。
将),(t x u 代入方程，可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。
因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。
数学物理方程--- 2 分离变量法
n1
n1
比较系数有
Tn(t) a2nTn (t) fn (t)
由
u(x,t)
Tn (t) X n (x)
n1
Tn (t)sin
n1
n
l
x
(5)
令t=0，有
u(x,0)
(x)
Tn (0) X n (x)
n1
n
n1
sin
n
l
x
比较系数，有
Tn (0) n , n 1
同理
ut (x,0)
下面讨论二阶
线性微分算子
A
d2 dx2
的特征值问题。边界条件 X (0) X (l) 0 ，设 X (x) 是A
的特征函数，即 X (x) 0 且满足
AX (x) X (x)
等价于
X (x) X (x) 0,0 x l
X
(0)
X
(l)
0
(7)
对此特征值问题求解。
首先 非负。
Tn(t) a2nTn (t) 0
其通解为
Tn
(t
)
c1
cos
n
l
a
t
c2
sin
n
l
a
t
c1 y1 c2 y2
对应的非齐次方程
Tn(t) a2nTn (t) fn (t)
利用常数变易法，其解具有这样的形式
Tn (t) c1y1 c2 y2 y1
t 0
y2 y1
fn ( )
y2
d
证因明 为
X (x)X (x) X 2(x) 0
积分得
l
X (x) X (x)dx
l X 2 (x)dx 0
数学物理方程第二章 分离变量
⑶设 λ > 0 ，不妨令 λ =
由边界条件式（２.１.１２）得
⎧ A=0 ⎨ ⎩ B sin βl = 0
由 X ( x) ≠ 0 ，得 B ≠ 0 ，即
sin βl = 0
所以
βn =
且方程的通解为
nπ l
（ n = 1,2, L ）
X n ( x) = Bn sin
nπ x l
这样，我们称
λn = (
式中， a n = Bn C n , bn = Bn Dn 是任意常数． 由初始条件式（２.１.３）中的 ϕ ( x),ψ ( x) 是任意给定的，一般情况下，式（２.１. １３）中的任何一个特解都不会满足初始条件式（２.１.３） ．因为式（２.１.１）是线性 齐次的，根据叠加原理，级数
u ( x, t ) = ∑ u n ( x, t ) = ∑ (a n cos
的形式．这种形式的特点是：二元函数 u ( x, t ) 是只含有变量 x 与只含有变量 t 的两个一元函 数的乘积，即两个变量被分离了． 弦的振动也是波，它应该具有上述的特点，因此，我们不妨设泛定方程（２.１.１）的 解为
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
（2.1.４）
由于定解问题是适定的，因此方程的解存在并且唯一，若通过这种假设求出问题的解， 则此定解问题就解决了； 若无法求出 X ( x), T (t ) 的表达式， 则该假设不合适， 只能另想办法． 将式（2.1.４）代入定解
植也为常数．这样，我们记该常数为 − λ ，则有
X " ( x) T " (t ) = = −λ X ( x) a 2T (t )
即得
T " (t ) + λa 2T (t ) = 0
数学物理方程分离变量法 (2)精品
) 1, 2,3,L
)
特征值与 特征函数
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
x=x0时：
un (x0,t)
x2
2lx,
u(x, 0) t
0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
l 长，由此可见驻波的波长 2l / n。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n 1的驻波除两端x 0和x l外没有其他节点，它的波长2l在所有 本征振动中是最长的；相应地，它的频率a / 2l在所有本征振动中是 最低的。这个驻波叫做基波。n 1的各个驻波分别叫做n次谐波。 n次谐波的波长2l / n是基波的1/ n,频率na / 2l则是基波的n倍。
数学物理方程-2
x
为偶函数。
2 l n bn f ( x) sin xdx, (n 1,2,3,) 0 l l
an 0, (n 0,1,2,)
正弦级数为 f ( x)
n bn sin x l n 1
第2-1节 有界弦的自由振动
（4）当 f ( x) 为偶函数时， n n f ( x) cos x为偶函数，f ( x) sin l
1 l n a n f ( x) cos xdx, (n 0,1,2,) l l l 1 l n bn f ( x) sin xdx, (n 1,2,3,) l l l
其中
第2-1节 有界弦的自由振动
（3）当 f ( x) 为奇函数时， n n f ( x) cos x为奇函数，f ( x) sin l
2 l n bn ( x ) sin xdx na 0 l
2 l n a n ( x) sin xdx l 0 l
na bn l 分别是函数
第2-1节 有界弦的自由振动
取级数的一般项，并作如下变形：
na na n u n ( x, t ) a n cos t bn sin t sin x l l l n N n sin( n t n ) sin x l
2 a 2 t x u (0, t ) u (l , t ) 0 u u ( x,0) ( x ), |t 0 ( x) t
( x), ( x)均为已知函数。 式中，
第2-1节 有界弦的自由振动
这个定解问题的特点是：泛定 方程是线性齐次的，边界条件 也是齐次的。求解这样的问题， 可以运用叠加原理。如果能够 找到泛定方程足够个数的特解， 则可以利用它们的线性组合去 求定解问题的解。
数学物理方程第二章分离变量法
X ( x ) X ( x) 0
(2.6)
要 求非 零解 u( x , t ) 0, T ( t ) 0, X (0) X ( l ) 0
X ( x ) X ( x) 0 x (0) x (l ) 0
第二步 求固有（值）函数
通解形式
r1 r2
r1 r2
r α iβ
y( x) Ae
r1x
Be
r2 x
y( x) Axer1x Ber1x
y ( x) ex ( A cos βx B sin βx)
X ( x ) X ( x ) 0
(1) 0
X ( x) Ae
即 在 固 有 值 已 知 情 况求 下解 另 一 个 常 微 分 方的 程通 解
第 四 步 合 成 偏 微 分 方 程 的 通并 解求 满 足 初 始 条 件 的解 定
说 明 关 于 求 固 有 值 的题 问： 1)固 有 值 是 否 存 在 ？ 2)固 有 函 数 系 是 否 正 交 ？ 3)函 数 是 否 可 以 按 固 有 数 函系 展 开 ？
X ( x ) T ( t ) 2 X ( x ) a T (t ) (2.5)
X ( x )T (t ) a 2 X ( x )T (t )
u ( x , t ) X ( x )T ( t ) T (t ) a T (t ) 0 (2.7) x 由条件 u x (0, t ) X (0)T (t ) 0, u x ( l , t ) X (l )T (t ) 0,
nat nat nx un ( x, t ) X n ( x )Tn (t ) ( En cos Fn sin ) sin l l l
数学物理方程第二章分离变量法word版范文
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题（第六讲）§2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。
定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为.0 ),(u ),(u 0,,0u ,0u 0, l,0 ,0t0022222l x x x t t x xu a t u t t l x x ≤≤==>==><<∂∂=∂∂====ψϕ分析：1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。
启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。
由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：)()(),(t T x X t x u =的非零解。
将),(t x u 代入方程，可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。
因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。