高中数学优质教案 中心投影与平行投影-空间几何体的三视图(2)

1.2.1 中心投影与平行投影~1.2.2 空间几何体的三视图
知识一
中心投影与平行投影 [导入新知] 1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面． 2．中心投影与平行投影
投影 定义
特征 分类 中心投影 光由一点向外散射形成的投影 投影线交于一点
平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影
投影线互相平行
正投影和斜投影
[化解疑难]
平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别 (1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．
(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同． 知识二 三 视 图 [导入新知] 三视图 概念
规律
正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图 一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样
侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
[化解疑难]
1．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．
2．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示． 题型一
中心投影与平行投影 [例1] 下列说法中：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；
③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．
其中正确的个数为()
A．0B．1
C．2 D．3
【答案】B
[类题通法]
1．判定几何体投影形状的方法．
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
(2)对于平行投影，当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有以下性质：
①直线或线段的投影仍是直线或线段；
②平行直线的投影平行或重合；
③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
2．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．[活学活用]
如图所示，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的序号是________．
①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；
②四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影是菱形；
③四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影与在平面ABB′A内的投影是全等的平行四边形．
【答案】①③
题型二
画空间几何体的三视图
[例2]画出如右图所示的四棱锥的三视图．
[解]几何体的三视图如下：
[类题通法]
画三视图的注意事项
(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．
(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．
(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
[活学活用]
沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为()
【答案】B
题型三
由三视图还原空间几何体
[例3]如下图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．
(1)
(2)
(3)
[解](1)该三视图表示的是一个四棱台，如右图．
(2)由俯视图可知该几何体是多面体，结合正视图、侧视图可知该几何体是正六棱锥．如下图．
(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，所以该几何体的形状如右图所示．
[类题通法]
由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．
[活学活用]
如图①、图②、图③、图④为4个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
【答案】C
易错易误辨析
画几何体的三视图常见误区
[典例]某几何体及其俯视图如下图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是()
[解析]该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.
[答案] A
[易错防范]
1．易忽视该组合体的结构特征是由圆柱切割而得到，对正视方向与侧视方向的判断不正确而出错．
2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．
[成功破障]
沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如右图所示，它的俯视图是()
【答案】D
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1．4个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有()
【答案】A
2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()
【答案】D
3．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．
【答案】 2
4．如图甲所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．
【答案】(1)(2)(3)
5．如下图所示，画出下列组合体的三视图．
解：三视图如图①、图②所示．
6．某组合体的三视图如下图所示，试画图说明此组合体的结构特征．
解：该三视图表示的是组合体，如右图所示，是7个小正方体拼接而成的组合体．。