吉大高数作业及答案
1：
1.
3
2.
3.4
4.
2：
1.单调增加
2.单调减少
3.无最大值
4.无最小值
3：
1.
2.
3.
4.
4：
1.可去间断点
2.跳跃间断点
3.无穷间断点
4.非无穷型的第二类间断点
5：
1.
2.
3.
4.
6：
1.
2.
3.
4.
7：
1.
2.
3.
4.
8：下列函数中是隐函数的为（）1.
2.
3.
4.
9：
1.
2.
3.
4.
10：
1.
2.f(x)的间断点
3.
4.以上都不对窗体顶端
1：
正确错误2：
正确错误3：
正确错误
4：
正确错误5：
正确错误
6：
正确错误
7：
正确错误
8：
正确错误
9：
正确错误
10：
正确错误
窗体顶端
1：下列各种计算中，不正确的是（）1.
2.
3.
4.
2：
1.1
2.0
3.1/2
4.2
3：
1.
2.
3.
4.
4：
1.
2.
3.
4.
5：幂函数的原函数一定是（）。
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.幂函数或对数函数
6：
1.0
2.1
3.
4.2
7：
1.
2.
3.
4.
8：
1.1
2.0
3.3
4.
9：
1.
2.
3.
4. 10：
1.-1
2.1
3.0
4.
窗体顶端
1：
正确错误
2：
正确错误
3：
正确错误
4：
正确错误
5：初等函数可导。
( )
正确错误6：
正确错误7：
正确错误8：
正确错误9：
正确错误10：
正确错误
窗体顶端
1：
1.
2.
3.
4.
2：
1.
2.
3.
3：
1.
2.
3.
4.
4：
1.
2.
3.
4.0
5：下列各式中正确的是（）1.
2.
3.
4.
6：
1.0
2.1
3.2
7：
1.
2.
3.
4.
8：
1.单调增加的
2.先减后增
3.先增后减
4.单调减少的9：
1.
1
2.e
3.
4.
10：
1.0
2.1
3.-1
4.
窗体顶端
1：
正确错误
2：两个无穷大之和还是无穷大（）正确错误
3：
正确错误
4：
正确错误
5：
正确错误
6：
正确错误
7：
正确错误
8：
正确错误
9：
正确错误
10：
正确错误窗体顶端
1：
1.充要条件
2.充分条件
3.必要条件
4.无关的条件
2：
1.0
2.1
3.2
4.3
3：
1.
2.
3.
4.
4：
1.
2.
3.
4.
5：
1.
2.
3.
4.
6：
1.
2.
3.
4.
7：
1.无间断点
2.
3.
4.
8：
1.
2.
3.
4.
9：
1.奇函数
2.偶函数
3.非奇非偶函数
4.既是奇函数又是偶函数
10：下列各种计算中，不正确的是（）1.
2.
3.
4.
：
正确错误
2：
正确错误
3：
正确错误
4：常数与无穷大量的乘积仍为无穷大。
( )正确错误
5：0是一个无穷小量. ( )
正确错误
6：
正确错误
7：
正确错误
8：
正确错误
9：
正确错误
10：
正确错误
1：下列各种计算中，不正确的是（）1.
2.
3.
4.
2：
1.
2.
3.
4.
3：
1.单调增加
2.单调减少
3.无最大值
4.无最小值
4：
1.
2.
3.
4.
5：
1.
3
2.
3.4
4.
6：下列函数中是隐函数的为（）1.
2.
3.
4.
7：
1.
2.
3.
4.
8：
1.
2.e
3.
4.
9：
1.
2.
3.
4.极限不存在10：
1.
2.
3.
4.
窗体顶端
1：
正确错误2：
正确错误3：
正确错误
4：
正确错误
5：
正确错误
6：两个无穷大之和还是无穷大（）正确错误
7：
正确错误
8：
正确错误
9：
正确错误
10：
正确错误。
吉大20春学期《高等数学(理专)》在线作业二-0001参考答案
B.正确
正确答案:B
4.函数y=sinx没有拐点存在。（）
A.错误
B.正确
正确答案:A
5.复合函数求导时先从最内层开始求导。
A.错误
B.正确
正确答案:A
6.任何初等函数都是定义区间上的连续函数。
A.错误
B.正确
正确答案:B
7.闭区间上函数可积与函数可导之间既非充分也非必要条件
A.错误
B.正确
C.不是一阶齐次方程，是伯努利方程
D.既不是一阶齐次方程，也不是伯努利方程
正确答案:B
5.设f(x)=e^(2+x),则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→( )
A.△x
B.e2+△x
C.e2
D.0
正确答案:D
6.f(a)f(b)<0,是方程f(x)=0在（a,b）有解的（）
A.充分条件，非必要条件
6
超过660000元至960000元的部分
35
85920
7
超过960000元的部分
45
181920
个人所得税预扣率表二
（居民个人劳务报酬所得预扣预缴适用）
级数
预扣预缴应纳税所得额
预扣率（%）
速算扣除数
1
不超过20000元的
20
0
2
超过20000元至50000元的部分
30
2000
3
超过50000元的部分
正确答案:D
9.f(x)是给定的连续函数，t>0,则t∫f(tx)dx ,积分区间（0->s/t）的值（）
A.依赖于s，不依赖于t和x
B.依赖于s和t，不依赖于x
高数B1作业-吉林大学数学学院
高数B1作业-吉林大学数学学院高等数学作业BⅠ吉林大学数学中心2013年3月第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．以下各组中（）中()f x 与()g x 为同一函数．（A ）2()ln ,()2ln f x x g x x ==；（B ）22()sin ,()sin f x x g x x ==；（C ）2(),()f x x g x x ==；（D ）3(),()f x x g x x x ==．2．在)0,(-∞上，下列函数中无界的函数是( )．（A ）x y 2=；（B ）x y arctan =；（C ）112+=x y ；（D ）x y 1=． 3．下列函数中是奇函数的为( )．（A ）x x ||；（B ）21010xx -+；（C ）x x cos 3+；（D ）x x sin ．4．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( )．（A ）π；（B ）π32；（C ）π2；（D ）π6．5．设<≥=,0,,0,)(2x x x x x f 45)(-=x x g ，则)]0([g f = ( )．（A ）0；（B ）4-；（C ）16；（D ）16-．二、填空题1．设}4|{},53|{>=<<=x x B x x A ，则B A \= ． 2．设32)(+=x x f ，则]3)([-x f f = ． 3．将复合函数1sin2+=x a y 分解成简单函数为．4．函数12)(-=x x f 的反函数)(1x f -= ．5．已知)(x f 的定义域为[0, 1]，则)(ln x f 的定义域是．三、计算题1．设x x f cos 12sin +=??? ?，求)(cos x f ．2．讨论函数e e ()||e e x xx xf x x ---=+的奇偶性．四、证明题已知函数)()(R ∈x x f 的图形关于直线a x =与)(b a b x <=均对称，证明)(x f 是周期函数．第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．已知0)(>x f ，且k x f x =→)(lim γ，则必有( )．（A ）k ≥0；（B ）0>k ；（C ）0=k ；（D ）0<="">2．已知)]()([lim x g x f x +→γ存在，则)(lim x f x γ→与)(lim x g x γ→( )．（A ）均存在；（B ）均不存在；（C ）至少有一个存在；（D ）都存在或都不存在． 3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在且相等”是“)(lim 0x f x x →存在”的( )条件．（A ）充分；（B ）必要；（C ）充分且必要；（D ）非充分且非必要．4．当∞→x 时，x x y cos =是( )．（A ）无穷大；（B ）无界函数但不是无穷大；（C ）有界函数；（D ）无穷小． 5．已知011lim 2=--++∞→b ax x x x ，则( )．（A ）1==b a ；（B ）1-==b a ；（C ）1,1=-=b a ；（D ）1,1-==b a ．6．0=x 是x y 1arctan =的( )间断点．（A ）可去；（B ）跳跃；（C ）无穷；（D ）振荡．7．0=x 是函数xx x f )1ln()(+=的( )．（A ）连续点；（B ）跳跃间断点；（C ）无穷间断点；（D ）可去间断点．二、填空题1．设21e )1(lim =-→xx kx ，则k = ．2．-++++∞→nn n n n n n n n 11cos 1sin 1lim 23= ．3．??? ?-??? ??-??? ??-∞→22211311211lim n n = ．4．=+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ． 5．??? ?+++++++++∞→n n 2113211211lim = 6．当0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小．7．142e sin lim ||1e x n x x x →∞??+ ?+= ? ?+??． 8．设函数>+=<=,0,23,0,,0,2sin )(x x x a x x xx f 在0=x 点连续，则=a ． 9．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是．三、计算与解答题1．已知0→x 时，><+-=0,sin 0,)e 1(1e )(/1x x ax x xx f x x 有极限，求??? ??2πf ．2．求nnn n 1)321(lim ++∞四、证明题1．设 ,2,1,6,611=+==+n x x x n n ，证明n x x ∞→lim 存在，并求之．2．设)(x f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =，证明方程)()(x f a x f =+在],0[a 上至少有一个实根．第三次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．设22t x =，t y 2=，则==222d d t x y( )．（A ）41；（B ）81；（C ）641-；（D ）161-．2．设方程e e =+xy y 确定了y 是x 的函数，则='=0x y ( )．（A ）1；（B ）e1-；（C ）1-；（D ）e3．已知)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则)()4(x f 为( )．（A ）5)]([!4x f ；（B ）6)]([!4x f ；（C ）5)]([4x f ；（D ）5)]([x f ．4．设|1|ln x y -=，则='y ( )．（A ）|1|1x -；（B ）|1|1x --；（C ）x-11；（D ）x--11． 5．函数??=≠=,0,0,0,1arctan )(x x xx x f 则)(x f 在0=x 处( )．（A ）不连续；（B ）连续但不可导；（C ）可导但导数不连续；（D ）可导且导数连续．6．()()()f x x a x ?=-，且lim ()0,()1x ax a ??→==，则()f a '= ( )．（A ）0；（B ）a ；（C ）1；（D ）不存在．7．设)(x ?在a x =连续，)(||)(x a x x f ?-=，若)(x f 在a x =可导，则)(x ?应满足( )．（A ）0)(>a ?；（B ）0)(（D ）0)(=a ?．8．若)(x f 在a x =处左，右导数)(),(a f a f +-''都存在，但)()(a f a f +-'≠'，则)(x f 在a x =处( )．（A ）不连续；（B ）连续但不可导；（C ）可导；（D ）以上都不对．二、填空题1．曲线x x y e +=在0=x 处的切线方程是． 2．设)(2e x fy =，其中)(x f 可微，则=y d ．3．若)(x f 在0x x =处可导，并且3)(0='x f ，则=--→)()(lim000x f h x f hh ．4．设x a y -=，则=)(n y ．5．设3)(x x f =，则=')2(f ，[]=')2(f ． 6．已知x x f x 11d d =????????? ??，则=??'21f ． 7．≤>=0,00,1sin )(x x xx x f α)0(>α，则当α 时，)(x f 在0=x 连续；当α 时，)(x f 在0=x 可导；当α 时，)(x f '在0=x 连续．8．设函数()y f x =在点0x 可导，且则0()0f x '≠，则0d lim x y yx→?-=? ．三、计算题1．设)ln(22a x x xa y x +++=，)1,0(≠>a a ，求0='x y ．2．设241ln 2arctan 2x x x y +-=，求y ''．3．设x x y xsin e 1=，求y '．4．设)(x f ''存在，)(ln x f y =，求22d d xy．5．设()y f x =由方程e 1yy x -=所确定，求22d d x yx=．6．已知)(x f 在1=x 处具有连续的导数，且2)1(='f ，求)(cos d d lim0x f xx +→．四、证明题设函数)(x f 对任何实数b a ,有)()()(b f a f b a f ?=+，且1)0(='f ，试证：)()(x f x f ='．第四次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( )．（A ）]1,1[|,|-=x y ；（B ）],0[,sin πx y =；（C ）]e ,1[,ln x y =；（D ）]1,0[,arctan x y =． 2．)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f <，则( )．（A ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf ；（B ）不存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf ；（C ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(>'ξf ；（D ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(<'ξf ．3．设2)e 1()21ln()cos 1(tan lim 2=-+--+-→x x d x c x b x a ，其中022≠+c a ，则必有( )．（A ）d b 4=；（B ）d b 4-=；（C ）c a 4=；（D ）c a 4-=．4．=??-→x x x x 1sin 1cot lim 0( )．（A ）31；（B ）61；（C ）121；（D ）0．5．下列各极限都存在，能用洛必达法则求的是( )．（A ）xx x x sin 1sinlim20→；（B ）xx xx x sin cos lim+++∞→；（C ）xx x arccot 2arctan lim π-+∞→；（D ）xx xx x --+∞→+-e e e e lim ．二、填空题1．设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)(='x f 的实根个数为个，它们分别在区间．2．()xx x 11lim ++∞→= ．3．已知111e lim2=----→xb ax x x ，则=a ，=b ．4．当1≥x 时，≡+-xx 1arcsin1arctan2 ． 5．2()ln(1)f x x x =+，则()(0)n f = ，(2)n >．三、计算题1．利用泰勒公式求极限 6202c o s 2e e lim x x x x x x --+-→．2．求)cos 1(sin e e e e 2e lim 2230x x x x xx x x x x -++--→．3．求lim nn n→∞．四、证明题1．证明：|||arctanarctan|abab-≤-．2．)(x f 为],[b a 上正值连续函数，在),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a c ∈，使得)()()()()(lna b c f c f a f b f -'=．3．)(x f 在[0,3]上连续，在(0, 3)内可导，(0)1,(1)(2)(3)3f f f f =++=．证明至少存在一点(0,3)ξ∈，使得()0f ξ'=．第五次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．设))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点，则在该点处( )．（A ）0)(0=''x f ；（B ）曲线)(x f y =必有切线；（C ）0)(0='x f ；（D ）曲线)(x f y =可能没有切线． 2．曲线≠>-≤<<=2,1,2ln 10,e 0,e 1x x x xx x y x x 的垂直渐近线是( )．（A ）0,2==x x ；（B ）2=x ；（C ）1,2==x x ；（D ）1,0==x x ． 3．设)(x f 在[0, 1]上有二阶导数，且0)(>''x f ，则下列不等式中正确的是( )．（A ）)0()1()0()1(f f f f ->'>'；（B ）)0()0()1()1(f f f f '>->'；（C ）)0()1()0()1(f f f f '>'>-；（D ）)0()1()0()1(f f f f '>->'．4．)(x f 二阶可导 0)(>'x f ，()0f x ''<，则在点0x 处，当0x ?>时，有（）．（A ）d 0y y ?<<；（B ）0y y >?>d ；（C ）d 0y y ?>>；（D ）d 0y y5．设)(x f 有二阶连续的导数，且0)0(='f ，1)(lim 0=''→xx f x ，则( )．（A ）)0(f 是)(x f 的极大值；（B ）)0(f 是)(x f 的极小值；（C ）))0(,0(f 是)(x f y =的拐点；（D ）C B A ,,都不对．6．)(x f 在a x =的某邻域内连续，且1)()()(lim20-=--→a x a f x f x ，则)(x f 在a x =处( )．（A ）不可导；（B ）可导，且0)(≠'a f ；（C ）取得极小值；（D ）取得极大值．二、填空题1．x x x f -+=1)(的单调减少区间是．2．0)(0='x f 是可微函数)(x f 在0x 取得极值的条件．3．函数|e |x x y -=的极小值点为，极小值为，极大值4．函数c bx ax x y +++=23的图形上有一拐点)1,1(-，且在点0=x 处取极大值1，则=a ，=b ，=c ．5．曲线)1)(1()1sin(-+-=x x x y 的水平渐近线为，铅直渐近线为．-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 在π=t 处的曲率为．三、计算题1．求函数23()(2)(2)f x x x =-+的单调区间和极值．2．求函数22e )(x x x f -=)40(≤≤x 的最大值，最小值，凹凸区间和拐点．3．从南到北的铁路干线经过甲，乙两城，两个城市相距15(km)，位于乙城正西2(km)处有一工厂，现要把货物从甲城运往工厂，铁路运费为3元/km ，公路运费为5元/km ．为使货物从甲城运往工厂的运费最省，应该从铁路干线的何处修建一条公路到工厂？四、证明题证明：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++．阶段测试题学院班级姓名学号一、单项选择题（每小题3分，共24分）1．以下计算（）正确．（A ）sin lim1x xx→∞=（B ）sin lim1x xxπ→=（C ）1lim sin1x x x→∞=lim sin0x x x→∞= 2．设0lim (),lim (),lim ()x x x x x x f x g x h x A →→→=+∞=+∞=，则下列命题不正确的是（）（A ）[]0lim ()()x x f x g x →+=+∞（B ）[]0lim ()()x x f x h x →?=∞（C ）[]0lim ()()x x f x h x →+=+∞（D ）0lim ()()x x f x g x →?=+∞3．0x +→时，（）中两个函数为等价无穷小（A ）1cos x -与2x（B ）x x +与4x （C ）2e 1x -与ln(1)x +（D ）2x x +与2arctan x4．0x =为（）中函数的可去间断点（A ）31arctan ,0()0,0x x f x xx ?≠?=??=? （B ）31()arctanf x x = （C ）()||x f x x =（D ）1||1()1ex f x =+5．下列命题正确的是（）（A ）若()f x 在0x 连续，则|()|f x 在0x 连续．（B ）若|()|f x 在0x 连续，则()f x 在0x 连续．（C ）若()f x 在0x 不连续，则|()|f x 在0x 不连续．（D ）若|()|f x 在0x 不连续，则()f x 在0x 可能连续． 6．设(ln )y xf x =，()f u 可微，则d y =（）（A ）[(ln )(ln )]d f x xf x x + （B ）1(ln )d f x x x' （C ）[(ln )(ln )]dln xf x xf x x '+ （D ）[(ln )(ln )]d(ln )f x f x x '+7．下列命题正确的是（）（A ）如()f x '在0x 连续，则必有00lim ()lim ()x x x x f x f x →→''=（B ）如()f x 可导，则00()lim ()x x f x f x →''=（C ）如0()f x '不存在，则曲线()y f x =在0x x =必无切线（D ）如0()f x '不存在，则曲线()y f x =在0x x =可能有切线 8．设()f x 处处可导，则（）（A ）当-∞=-∞→)(lim x f x 时，必有-∞='-∞→)(lim x f x（B ）当-∞='-∞→)(lim x f x 时，必有-∞=-∞→)(lim x f x（C ）当+∞=+∞→)(lim x f x 时，必有+∞='+∞→)(lim x f x（D ）当+∞='+∞→)(lim x f x 时，必有+∞=+∞→)(lim x f x二、填空题（每小题3分，共21分） 1．2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++ ． 2．设)20(e2sin π<<=x y x，则=y d x 2sin d ．3．函数23()(2)||f x x x x x =---不可导点的个数是． 4．()f x 在0x =可导，则=--→xx f x f x )()(lim__________．5．若00()()f x x f x +?-与21x ?-为当0x ?→时的等价无穷小，则0()f x '=______．6．3214lim 1x x ax x x →---++有极限l ，则a =________，l =_________．7．()lim sin 1sin x x +-=________________．。
吉林大学高数BII作业答案.
高等数学作业答案BⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y→→=+（ D ）． （A ）32； （B ）0； （C ）65； （D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ C ）．（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ C ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．z =的定义域为2224,01y x x y ≤<+<． 2．00x y →→= 1/2 ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u =3232dx dy dzx y z-+-+．5．设yz x =，则2z x y∂=∂∂()11ln y x y x -+．三、计算题1．已知2)z f =+，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．将1,y z x ==代入，)12x f =+有)21fx =-解一：)))222423f=-+ ∴()243f t t t =-+解二：令2t =，则()22x t =-∴()()221f t t =--∴)22211z x =--=-2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，∴()0lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim 11x x y kx k x x xy k x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ． 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦解二：()()()()ln 1ln 1e ,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．5．设r =0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．222223xr x rr x r xr r-⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ ∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．证明函数(,)f x y =(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．（1）0ε∀>0=≤0ε-<ε<<取δ=，则当0δ<<0ε<，∴()()000lim ,lim00,0x x y y f x y f →→→→===（或：()00lim00,0x y f →→==），(),f x y =（2）()(),00,0,0x f x f =；()()0,0,0,00y f y f == （3）()()0,00,0x y z z f x f y =-⋅-=V V V V 考察：000limlimx x y y →→→→=V V V V 当(),p x y 沿直线y kx =趋于0（0，0）有00limlimx x y k x →→=⋅→=V V V V 与k 有关∴上式不存在，不可微第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ B ）． （A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----．2．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（ D ）．（A ）13F F '-'； （B ）13F F ''； （C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．3．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ C ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂； （B ）1x zz x∂∂=∂∂； （C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（ A ）．（A ）0C ∇=；（B ）()Cu C u ∇=∇； （C ）()u v u v ∇+=∇+∇；（D ）()uv v u u v ∇=∇+∇．5．()u f r =，而r =，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( B )．（A ）1()()f r f r r '''+； （B ）2()()f r f r r '''+；（C ）211()()f r f r r r '''+； （D ）212()()f r f r r r '''+．二、填空题1．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 192 ．2．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 d dy x +．3．r 在点（0, 0）处沿x 轴正向的方向导数为 1 ．4．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--． 三、计算与解答题 1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂．2．设32(32)x y z x y -=-，求d z ．解一：解二：,32,32vz u u x y v x y ==-=- ∴()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦3．设f ，ϕ是C (2)类函数，x y z yf x y x ϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（1）2220z z x y x x y ∂∂+=∂∂∂； （2）2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂． 证21z y y yf x f x y x x ϕϕϕϕ∂⎛⎫''''=⋅++⋅⋅-=+- ⎪∂⎝⎭4．设arctan yx，求22d d y x ．''2222x yy y x yx y x y+-=++∴ ()(),x yy x y x y y x y+''-=-+=-一阶：()()22222222112,ln arctan ,221x y y x x y x F x y x y F x x y x y y x -+=+-=⋅-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222211221y y y x x F y x y x y x-=⋅-=+++∴d d y Fx x y x y x Fy y x x y ++=-=-=-- 二阶：5．设e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u v x y ∂∂∂∂． ∴()()1sin cos d d d sin cos 1sin cos 1u D v vu x y D e v v eu v v ==--+-+ ∴()sin e sin cos 1u u v x v v ∂=∂-+ ∴()()()2u cos e d e sin d d e sin -cos 1u uv x v y D v D u v v -++==⎡⎤+⎣⎦∴()e sin e sin cos 1u u v vy u v v ∂+=∂-+ 6．设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===，其中求f ，ϕ是C (1)类函数，求d d ux． ∴''12''332e ,y x z Fx z Fyx Fz y Fz ϕϕϕϕ∂∂=-=--=-=--∂∂ 解二：全微分'''123'''123d d d d 2d e d d 0d cos d y u f x f y f z x x y z y x x ϕϕϕ⎧=⋅++⎪⋅+⋅⋅+=⎨⎪=⎩ 即'''231'''231d d d d e d d 2d d cos d yu f y f z f x y z x x y x x ϕϕϕ⎧--=⎪+=-⎨⎪=⎩代入消元解得：'sin ''''12123'32cos d cos d x x e x u f f x f x ϕϕϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭∴…… 7．求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数．∴()()()111,21111,2cos 1,2cos 32323zzx zy αβ∂=⋅+=⋅+⋅=∂l第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线( B )． （A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条； （D ）不存在．2．设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则( C )． （A ）d (0,0)3d d z x y =+；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}； （C ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3}；（D ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}．3．曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( D )． （A ）垂直于一定直线；（B ）平等于一定平面； （C ）与一定坐标面成定角；（D ）平行于一定直线．4．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( B )． （A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 二、填空题1．如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=，则切点M 的坐标是 （-1，2，-3） ．2．曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是 13x -10y -3z -6=0 ．3．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是12．4．函数u 在点(1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是13．三、计算题1．求曲线222226,x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程． 解一：22222yy zz x yy z x ''⎧+=-⎪⎨''-+=⎪⎩①②①+②：0z '=代入(),1,1,21xy y y''=-=- ∴()1,1,0s =-v切成：112110x y z ---==，即112x y z -=-⎧⎨=⎩解二：()()2221,,6,2,2,2,2,2,4F x y z x y z Fx x Fy y Fz z n =++-====u u v取()1121,1,2,n s n n ==⨯u v v u v u u v1s 切平面：()()()1111220260x y z x y z ⋅-+⋅-+-=+-=即+2s 切平面：()()()21212020x y z x y z -+---=--=即:2+2∴2602220x y z x y z ++-=⎧⎨+--=⎩2．过直线102227,0x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求其方程．解：设切点为0000(,,)M x y z ，切平面方程为：0003270x x y y z z +--=……① 过已知直线的平面束方程为()1022270x y z x y z λ+--++-= 即：()(10)2(2)270x y z λλλ++++---=……②当①②为同一平面时有：000103,2,2x y z λλλ+=+=--=-且222000327x y z +-=解得00000033117117x x y y z z ==-⎧⎧⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩或对应的切平面方程为：927091717270x y z x y z +--=+-+=3．证明曲面2/32/32/32/3(0)x y z a a ++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于2a ．.设000M x 0（,y ,z ）为曲面上任一点 切平面方程为：()()111333000000222()0333x x x y y y z z z ----+-+-=即：11123333000x x y y z z a --++= 令0y z ==得x 轴截距1233x n a = 同理121233332,Y z a Z z a ==∴222422223333()X Y Z x y z a a ++=++=4．求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值．.①令222(2)02ln 10x y f x y f x y y '⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩ ②得驻点10,e M ⎛⎫ ⎪⎝⎭③2212(2),4,2xx xy f y f xy fyy x y =+==+④M 处： AC-B 2>0，A>0，∴极小值110,f e e⎛⎫=-⎪⎝⎭5．求函数22(,)1216f x y x y x y =+-+在区域22{(,)|25}D x y x y =+≤上的最大值和最小值．2120621608fx x x fy y y =-==⎧⎧⎨⎨=+==-⎩⎩ 不在D 内，∴D 内无极值点 在边界2225x y +=上，(),251216f x y x y =-+12201620Lx x Ly y λλ=-+=⎧⎨=+=⎩ 解得3344x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ()3,475f -=- 最小()3,4125f -= 最大61的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大． 设切点为()()0000,,,,,1M x y z F x y zFn Fy ==)))0000x x y y z z -+--=1=令0y z==，得x轴截距X=x z==，得y轴截距Y=x y==，得z轴截距Z=令113 fx yz yzx xfy xz xzy yfz xy xyz z⎧===⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎨⎪=+==⎪====19x y z===即切点为111,,999⎛⎫⎪⎝⎭切平面为：13x y z++=第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =所围区域，则(,)f x y 等于( C )．（A ）xy ；（B ）2xy ；（C ）18xy +； （D ）1xy +．2．设D 是xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰等于( A )．（A ）12cos sin d d D x y x y ⎰⎰；（B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）；14cos sin )d d D xy x y x y +⎰⎰（ （D ）0．3．设平面区域22:14,(,)D x y f x y ≤+≤是在区域D 上的连续函数，则d d Df x y ⎰⎰等于 ( A )．（A ）212()d rf r r π⎰；（B ）21002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（C ）2212()d rf r r π⎰； （D ）2122002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰．4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:x y z R Ω++≤，0x ≥，0y ≥，0z ≥，则( C )．（A ）12d 4d x V x V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （B ）12d 4d y V y V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）12d 4d z V z V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）12d 4d xyz V xyz V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．积分2220d e d y x x y -=⎰⎰()-411e 2-． 2．交换积分次序：14012d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+=⎰⎰⎰⎰()2221d ,d y yy f x y x +-⎰⎰．3．设区域D 为||||1x y +≤，则(||||)d d Dx y x y +=⎰⎰43． 4．设区域D 为222x y R +≤，则2222d d Dx y x y a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰422114R a b π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．5．直角坐标中三次积分22110d (,,)d x y I x y f x y z z +-=⎰⎰⎰在柱面坐标中先z 再r 后θ顺序的三次积分是()221d d cos ,sin ,d r r f r r z r z πθθθ⎰⎰⎰三、计算题1．计算|cos()|d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由直线,0,2y x y x π===所围成的三角形区域．原式()()12cos d d cos d d D D x y x y x y x y =+-+⎰⎰⎰⎰=[][]240411cos 2cos 2122242y x ππππππ+++=- 2．计算sin d d Dx yx y y⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的区域． ①图交点，先x，②:01y x D y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩③21100sin sin d d d 22y y y y F f x y y y ⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭⎰⎰3．计算22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中{(,)|02,D x y x y =≤≤≤．①图，极坐标，方程②2cos 2:02r D θπθ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ ③22202cos d d I r r r πθθ=⋅⎰⎰4．计算23d xy z V Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =与平面,1y x x ==和0z =所围成的闭或区域．①图，投影域Dxy②0:001z xy y y x ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩③1230d d d x xyI x y sy z z =⎰⎰⎰5．计算d I xyz V Ω=⎰⎰⎰，其中222{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z Ω=++≤≥≥≥．①图，已求坐标r=1②01:0202r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪Ω≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩③1222d d sin cos sin sin cos sin d I x r r r r r ππϕϕθϕθϕϕ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰6．设()d F t fV Ω=⎰⎰⎰，其中2222:,()x y z t f t Ω++≤在0t =可导，且(0)0f =，求4()lim t F t tπ+→． ∴()()()()()()02043000040lim lim lim lim '040t t t t F t f t t f t f t f f t t t t πππ→→→→⋅-+====- 四、证明题设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且恒大于零，证明2d ()d ()()bbaaxf x x b a f x ≥-⎰⎰． 证明：设:a x bD a y b≤≤⎧⎨≤≤⎩∵2d d 0D x y ≥⎰⎰ 即：()()()()d d 2d d D Df x f y x y x y f y f x ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ∴()()()()()211d d d d 2b bb b aaa a f x x y f y y xb a f y f x +⋅≥-⎰⎰⎰⎰∴()()()212d d 2bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰∴()()()21d d bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d nL x y s +=⎰Ñ(D ) ．（A ）2n a π； （B ）12n a π+； （C ）22n a π； （D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰Ñ( A )．（A（B ）2+（C ）（D ）2+3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( D )． （A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰；（C 1300d d r r πθ⎰；（D 21300d d r r πθ⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有(C )． （A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰1d π1LS =⋅⎰．2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2tx t y t z t π==≤≤，则222()d xy z s Γ++=⎰332ππ23+． 4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰3a h π．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰36A ．三、计算题1．计算L s ⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：所以：原式=2（1-ae ）+4aπa e2．2d z s Γ⎰Ñ，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．（222d d d rrrx s y s z s ==⎰⎰⎰Q蜒?）3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。
吉大20年4月《高等数学(理专)》作业考核试题答案41259
答案：B
9.两个无穷大量的和仍是无穷大。 A.错误 B.正确 答案：A
10.所有初等函数及其复合得到的函数的导数如果存在，也是初等函数及其复合。（ ） A.错误 B.正确 答案：B
13.已知f(x)的一个原函数是e^(-x),则∫xf'(x)dx等于（） A.xe^(-x)+e^(-x)+C B.xe^(-x)-e^(-x)+C C.-xe^(-x)-e^(-x)+C D.-xe^(-x)+e^(-x)+C 答案：C
14.集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成 A.{3，6，...，3n} B.{±3，±6，...，±3n} C.{0，±3，±6，...，±3n...}
D.{0，±3，±6，...±3n} 答案：C
15.下列结论正确的是（） A.若|f(x)|在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续 B.若[f(x)]^2在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续 C.若[f(x)]^3在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续 D.若f(x)在x=a点处连续，则1/f(x)在x=a点也必处连续 答案：C
10.求极限lim_{n-无穷} n^2/(2n^2+1) = ( ) A.0 B.1 C.1/2 D.3 答案：C
11.函数f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|的不可导点的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C
12.微分方程ydx+xdy=0的通解是() A.xy=C B.xy=0 C.x+y=C D.x-y=0 答案：A
判断题 1.函数y=sinx没有拐点存在。（） A.错误 B.正确 答案：A
2.一元函数可导的充要条件是左右导数都存在且相等。 A.错误 B.正确 答案：B
吉林大学作业及答案-高数A1作业
高等数学作业AⅠ吉林大学数学中心2017年8月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列结论正确的是( )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数；（D ）4-22arccosπ=． 2．下列函数中不是奇函数的为( )．（A ）xx x x ee e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( )． （A ）π；（B ）π32；（C ）π2； （D ）π6．4．. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ=（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2．5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ ）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1=+∞→nn n a a 则( )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞→c a n n ；（C ）n n a ∞→lim 不存在； （D ）0lim =∞→n n a ． 二、填空题1．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→n n n n n 22241241141lim Λ ． 2．设⎩⎨⎧<+≥+=,0,2,0,12)(2x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ．3．函数1)(+=x xe e xf 的反函数)(1x f -= ．4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 条件. 5.=++--+++∞→])2()11(1sin[lim 1n n nn n n n n n ． 三、计算题 1．设633134)11(x x x f ++=+，求)(x f ．2．求nn n x 13)|1(lim |+∞→，3．设函数()f x 满足关系式22()(1)f x f x x +-=，求()f x 的表达式．四、证明题 设Λ,2,1,11,111=++==+n x x x x n nn ，证明n x x ∞→lim 存在，并求其值．第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．已知1)1)(lim21-=-→x x f x （，则下列结论正确的是( )．（A ）0)1(=f ；（B ）0)(lim 1<→x f x ；（C ）存在0>δ，当δ<-1x 时，0)(<x f ；（D ）存在0>δ，当δ<-<10x 时，0)(<x f ．2．已知0)(lim ≠=→A x f ax 存在，则下列结论不正确的是 ( )．（A ）若)(lim x g ax →不存在，且∞≠→)(lim x g ax .则)()(lim x g x f ax →不存在，且∞≠→)()(lim x g x f ax ；（B ）若∞=→)(lim x g ax ，则∞=→)()(lim x g x f ax ；（C ）若)(lim x g ax →不存在，则)()(lim x g x f ax →可能存在也可能不存在；（D ）．B x g ax =→)(lim ,则)()(lim x g x f ax →=AB.3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在”是“)(lim 0x f x x →存在”的( )条件．（A ）充分； （B ）必要； （C ）充分且必要； （D ）非充分且非必要．4．当+∞→x 时，x e y xsin =是( )．（A ）无穷大； （B ）无界函数但不是无穷大； （C ）有界函数但不是无穷小； （D ）无穷小． 5．（A ）当0→x 时，x x +是8x 的2阶无穷小；（B ）当0→x 时，8x 是x x +的2阶无穷小；（C ）当0→x 时，x x +是8x 的4阶无穷小；（D ）当0→x 时，8x 是x x +的4阶无穷小．上面结论正确的是 ( )．6．0=x 是函数( )的可去间断点． （A ）x x x f 1arctan )(2+=; （B ）xx f 1sin )(=； （C ）xx x f 2cos 1)(-=；（D ）xx x f 1sin)(3=． 7．0=x 是( )函数的跳跃间断点．（A ）xx x f 1)1)(+=（; （B ）2sin )(xxx f =； （C ）xx f 1cos)(=； （D ）xxxxee e e xf 1111)(--+-=．二、填空题1．设)(lim 1x f x →存在，且)(lim 2)(1`2x f x xx f x →+=则)(x f = ．2．已知xt xx t xt x f sin sin )sin sin (lim )(-→=，则)(x f =3．+∞→x lim )2(22x x x x +-+= . ． 4．已知当0→x 时,)(x f 与32x 是等价无穷小量,则=--+→11sin )(1lim2x x e x x f ．5．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>+=0,0,)21ln(1)(2tan x x a x xe xf x- 在0=x 点连续，则a = ．6．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是 ．三、计算与解答题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-=0)21ln()arctan(0sin tan )(3x x ax x x xx x f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求常数a ．2．求]1[lim 0x x x →．其中]1[x 是不超过x1的最大整数。
吉大 高起点 高中数学
吉林大学入学测试机考高起点高中数学模拟题1、题目B1-1：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C2、题目B1-2：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D3、题目B1-3：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C4、题目B1-4：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D5、题目B1-5：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A6、题目B1-6：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C7、题目B1-7：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C8、题目B1-8：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C9、题目B1-9：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B10、题目D1-1（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B11、题目B1-10：（2）（）A．AB．BC．C标准答案：C12、题目D1-2（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B13、题目B1-11：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C14、题目D1-3（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C15、题目D1-4（2）（）A．AC．CD．D标准答案：D16、题目D1-5（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C17、题目D1-6（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C18、题目D1-7（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C19、题目D1-8（2）（）A．AC．CD．D标准答案：C20、题目D1-9（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B21、题目D1-10（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B22、题目D1-11（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C23、题目D1-12（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A24、题目D1-13（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A25、题目D1-14（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C26、题目D1-15（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D27、题目D1-16（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D28、题目D1－17（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D29、题目D1-18（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A30、题目B1-12：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A31、题目B1-13：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B32、题目B1-14：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D33、题目B1-15：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A34、题目B2-1：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C35、题目B2-2：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A36、题目B2-3：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A37、题目B2-4：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C38、题目B2-5：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B39、题目B2-6：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A40、题目B2-7：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C41、题目B2-8：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C42、题目B2-9：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A43、题目B2-10：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A44、题目B2-11：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D45、题目B2-12：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D46、题目B2-13：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C47、题目B2-14：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B48、题目B2-15：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B49、题目B3-1：（2）（）A．AB．BC．C标准答案：B50、题目B3-2：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B51、题目B3-3：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A52、题目B3-4：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D53、题目B3-5：（2）（）A．AC．CD．D标准答案：A54、题目B3-6：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C55、题目B3-7：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B56、题目B3-8：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C57、题目B3-9：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B58、题目B3-10：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A59、题目B3-11：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C60、题目B3-12：（2）（）A．AB．BD．D标准答案：D61、题目B3-13：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D62、题目B3-14：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B63、题目B3-15：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D64、题目D3-6（2）（）A．AC．CD．D标准答案：D65、题目D3-7（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D66、题目D3-8（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B67、题目D3-9（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A68、题目D3-10（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A69、题目G1-1（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D70、题目G1-2（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A71、题目G1-3（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D72、题目G1-4（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B73、题目G1-5（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A74、题目G1-6（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C75、题目G1-7（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B76、题目G1-8（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A77、题目G1-9（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A78、题目G1-10（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B79、题目G1-11（2）（）A．AB．BC．C标准答案：B80、题目G1-12（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C81、题目G1-13（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A82、题目G1-14（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C83、题目G1-15（2）（）A．AB．BD．D标准答案：D84、题目G1-16（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D85、题目G1-17（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D86、题目G1-18（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A87、题目G1-19（2）（）A．AB．BD．D标准答案：C88、题目W1-1：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D89、题目W1-2：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A90、题目W1-3：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：B91、题目W1-4：（2）（）B．BC．CD．D标准答案：C92、题目W1-5：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D93、题目W1-6：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C94、题目W1-7：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C95、题目W1-8（2）（）B．BC．CD．D标准答案：C96、题目W1-9（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：A97、题目W1-10：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C98、题目W1-11：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：C99、题目W1-12：（2）（）B．BC．CD．D标准答案：B100、题目W1-13：（2）（）A．AB．BC．CD．D标准答案：D。
2020吉林大学奥鹏吉大20年4月《高等数学(理专)》作业考核试题参考答案
D A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合
【答案】：
B A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合|
7.微分方程y'+y=x+1的一个特解是（）
【选项】：
A x+y=0
B x-y=0
C x+y=1
D x-y=1
【答案】：
B x-y=0 |
8.对于函数f(x)=[(x^2-1)(x^2-4)]^(2/3),下列能满足罗尔定理条件的区间是（）
14.集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成
【选项】：
A {3，6，…，3n}
B {±3，±6，…，±3n}
C {0，±3，±6，…，±3n…}
D {0，±3，±6，…±3n}
【答案】：
C {0，±3，±6，…，±3n…} |
15.下列结论正确的是（）
【选项】：
A若|f(x)|在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续
23.一元函数可导的充要条件是左右导数都存在且相等。
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：
B正确|
24.两个无穷大量的和仍是无穷大。
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：
A错误|
25.所有初等函数及其复合得到的函数的导数如果存在，也是初等函数及其复合。（）
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：
B正确|
A错误
B正确
【答案】：
B正确|
20.闭区间上连续函数在该区间上可积。
【选项】：
A错误
B正确
【答案】：
B正确|
吉林大学2020年秋季《高等数学(理专)》在线作业一附满分答案
吉林大学2020年秋季《高等数学（理专）》在线作业一附满分答案试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 15 道试题,共 60 分)1.曲线y=x^2+x-2在点(1.5,1.75)处的切线方程为( )A.16x-4y-17=0B.16x+4y-31=0C.2x-8y+11=0D.2x+8y-17=0答案:A2.设X0是函数f(x)的可去间断点，则()A.f(x)在x0的某个去心领域有界B.f(x)在x0的任意去心领域有界C.f(x)在x0的某个去心领域无界D.f(x)在x0的任意去心领域无界答案:A更多加微boge30619,有惊喜！！！3.直线y=2x,y=x/2,x+y=2所围成图形的面积为()A.2/3B.3/2C.3/4D.4/3答案:A4.计算y= 3x^2在[0,1]上与x轴所围成平面图形的面积=（）A.0B.1C.2D.3答案:B5.f(x)={0 (当x=0)} {1(当x≠0)}则（）A.x->0,lim f(x)不存在B.x->0,lim [1/f(x)]不存在C.x->0,lim f(x)=1D.x->0,lim f(x)=0答案:C6.x=0是函数f(x)=x arctan(1/x)的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点答案:B7.设f(x)是可导函数，则（）A.∫f(x)dx=f'(x)+CB.∫[f'(x)+C]dx=f(x)C.[∫f(x)dx]'=f(x)D.[∫f(x)dx]'=f(x)+C答案:C8.已知y= 4x^3-5x^2+3x-2, 则x=0时的二阶导数y"=（）A.0B.10C.-10D.1答案:C9.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合答案:B10.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合答案:B11.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇( 0 ) = ( )A.0B.1C.3D.2答案:C12.已知z= 3sin(sin(xy)),则x=0,y=0时的全微分dz=（）A.dxB.dyC.dx+dyD.0答案:D13.下列结论正确的是（）A.若|f(x)|在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续B.若[f(x)]^2在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续C.若[f(x)]^3在x=a点处连续，则f(x)在x=a点也必处连续D.若f(x)在x=a点处连续，则1/f(x)在x=a点也必处连续答案:C14.设函数f(x-2)=x^2+1，则f(x+1)=( )A.x^2+2x+2B.x^2-2x+2C.x^2+6x+10D.x^2-6x+10答案:C15.设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]区间积分∫f(x)dx=∫g(x)dx，则（）A.f(x)在[a,b]上恒等于g(x)B.在[a,b]上至少有一个使f(x)≡g(x)的子区间C.在[a,b]上至少有一点x，使f(x)=g(x)D.在[a,b]上不一定存在x，使f(x)=g(x)答案:C二、判断题 (共 10 道试题,共 40 分)16.无穷小量是一种很小的量。
吉林大学高数b下作业答案
第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y →→=+（ D ）． （A ）32； （B ）0； （C ）65； （D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ C ）．（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ C ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．z =的定义域为2224,01y x x y ≤<+<． 2．00x y →→= 1/2 ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u =3232dx dy dzx y z-+-+．5．设yz x =，则2z x y∂=∂∂()11ln y x y x -+． 三、计算题1．已知2)z f =，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．将1,y z x ==代入，)12x f =+有)21fx =-解一：)))222423f=-+ ∴()243f t t t =-+解二：令2t =，则()22x t =-∴()()221f t t =--∴)22211z x =--=-2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时，222200limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x →→=→+==+ ∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim 11x x y kx k x x xy k x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦解二：()()()()ln 1ln 1e ,e ln 111y y xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e e xzyzt u dt dt =-+⎰⎰22x z e u z x ∂=-⋅∂ 22y e z u z y∂=⋅∂ 2222x y e e z z u x y z∂=-⋅+⋅∂5．设r =0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．r x x r ∂==∂ 222223xr x rr x r xr r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂6．证明函数(,)f x y =(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．（1）0ε∀>0=≤0ε-<ε<取δ=，则当0δ<<0ε<，∴()()000lim ,lim00,0x x y y f x y f →→→→===（或：()00lim00,0x y f →→==），(),f x y =（2）()(),00,0,0x f x f =；()()0,0,0,00y f y f == （3）()(),0,00,0x y z x y z f x f y x y =⋅-⋅-=⋅考察：()()()(22200limlimxx y y x yx yx x y →→→→⋅⋅=++当(),p x y 沿直线y kx =趋于0（0，0）有00limlim1x x y k x k→→=⋅→=+与k 有关∴上式不存在，不可微第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ B ）． （A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----．2．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（ D ）．（A ）13F F '-'； （B ）13F F ''； （C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．3．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ C ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂； （B ）1x zz x∂∂=∂∂； （C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（ A ）．（A ）0C ∇=；（B ）()Cu C u ∇=∇； （C ）()u v u v ∇+=∇+∇；（D ）()uv v u u v ∇=∇+∇．5．()u f r =，而r =，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( B )． （A ）1()()f r f r r '''+；（B ）2()()f r f r r '''+； （C ）211()()f r f r r r'''+；（D ）212()()f r f r r r '''+．二、填空题1．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 192 ．2．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 d dy x +．3．r 在点（0, 0）处沿x 轴正向的方向导数为 1 ． 4．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--三、计算与解答题 1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂．''''[1212e 2e 2xy xy zf y f x y f xf x∂=⋅⋅+⋅=+∂ ()()2''"''''''1111122122e e e e 22e 2xy xy xy xy xy z f y xf y f x f y x f x f y x y∂⎡⎤⎡⎤=+⋅⋅+⋅+⋅-+⋅⋅+⋅-⎣⎦⎣⎦∂∂ ()()'2"22""11112221e e 2e 4xy xy xy xy f xy f x y f xyf =+++-- 2．设32(32)x y z x y -=-，求d z ．解一：()()()()()()()d ln d 32ln 32,1d d 3x-2y ln 3232d ln 32z x y x y z x y x y x y z=-⋅-=⋅-+-⋅- ()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦解二：,32,32vz u u x y v x y ==-=- ()()3213332ln 321x yv x u x v x z z u z v v ux y x y --=⋅+⋅=⋅⋅=-⋅-+⎡⎤⎣⎦()()()321y 2232ln 321x yv u y v y z z u z v v u x y x y --=⋅+⋅=⋅⋅-=--⋅-+⎡⎤⎣⎦∴()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦3．设f ，ϕ是C (2)类函数，x y z yf x y x ϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（1）2220z z x y x x y ∂∂+=∂∂∂； （2）2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂． 证21z y y yf x f x y x x ϕϕϕϕ∂⎛⎫''''=⋅++⋅⋅-=+- ⎪∂⎝⎭222222311z y y y y y f f x y x x x x yx ϕϕϕϕ∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=⋅+⋅-+-⋅-=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭2222111z x y x yf f x y y x x x x y x ϕϕϕϕ⎛⎫∂''''''''''=⋅-+⋅--=-- ⎪∂∂⎝⎭21z x xf y f x f f y y x y ϕϕ⎛⎫∂''''=+⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭222222311z x x x x x f f f f y y y y y x y x ϕϕ⎛⎫⎛⎫∂'''''''''=⋅-+-⋅⋅-+⋅=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭4．设arctan yx，求22d d y x ．()''2222221122ln arctan ,221y x yyx y y x x y xx y y x -+⋅+=⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭''2222x yy y x yx y x y+-=++∴ ()(),x yy x y x y y x y+''-=-+=- ()()()()()()()()()()'''22"222321122x y x y y x y x y y x y y x y x y y x y x y x y x y ⎛⎫+⋅- ⎪+--+-⋅-+-⎝⎭====---- 一阶：()()22222222112,ln arctan ,221x yy x x y x F x y x y F x x y x y y x -+=+-=⋅-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222211221y y y x x F y x y x y x-=⋅-=+++∴d d y Fx x y x y x Fy y x x y ++=-=-=-- 二阶：()()()()222'2'""''"11/1,y x y x y yy y y x y y y x y x y+++-++⋅=+-==--()()()()()2222332x y x y x y x y x y +-++==--5．设e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u v x y ∂∂∂∂． ()1d cos e sin cos e sin cos 1,sin d cos d d sin e cos sin u uu x u v v u v D u v v D u v x u v y y u v v u v+⎡⎤==-+==-⎣⎦- ∴()()1sin cos d d d sin cos 1sin cos 1u D v vu x y D e v v eu v v ==--+-+ ∴()sin e sin cos 1u u v x v v ∂=∂-+ ()2e sin d e sin d e cos d e -cos d u u u u v x D v y v x v y+==+--∴()()()2u cos e d e sin d d e sin -cos 1u uv x v y D v D u v v -++==⎡⎤+⎣⎦∴()e sin e sin cos 1u u v vy u v v ∂+=∂-+ 6．设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===，其中求f ，ϕ是C (1)类函数，求d d ux． ()()22''''223,,,e ,2,e ,y z F x y z x xz Fx x Fy F ϕϕϕϕ==⋅== ∴''12''332e ,y x z Fx z Fyx Fz y Fz ϕϕϕϕ∂∂=-=--=-=--∂∂ '''''12123''332e d cos cos d y x u f f x f x x ϕϕϕϕ⎛⎫=+⋅+--⋅ ⎪⎝⎭()''''sin '12312cos 2e cos x f f x f x x ϕϕ=+⋅++解二：全微分'''123'''123d d d d 2d e d d 0d cos d y u f x f y f zx x y z y x xϕϕϕ⎧=⋅++⎪⋅+⋅⋅+=⎨⎪=⎩即'''231'''231d d d d e d d 2d d cos d y u f y f z f x y z x x y x x ϕϕϕ⎧--=⎪+=-⎨⎪=⎩代入消元解得：'sin ''''12123'32cos d cos d x x e x u f f x f x ϕϕϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭∴…… 7．求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数．()()111,,1,21,23zx zy zx zy x y x y ====++()''1,221tan 1y y y α=====121233,,,4444ππααπββπ====11cos cos cos4παβ===223cos cos cos4παβ=== ∴()()()111,21111,2cos 1,2cos 32323zzx zy αβ∂=⋅+=+⋅=∂()()()221,22111,2cos 1,2cos 33zzx zy αβ⎛⎛∂=⋅+=⋅+= ∂⎝⎭⎝⎭第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线( B )． （A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条； （D ）不存在．2．设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则( C )． （A ）d (0,0)3d d z x y =+；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}； （C ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3}；（D ）曲线(,),z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}．3．曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( D )． （A ）垂直于一定直线；（B ）平等于一定平面； （C ）与一定坐标面成定角；（D ）平行于一定直线．4．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( B )． （A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 二、填空题1．如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=，则切点M 的坐标是 （-1，2，-3） ．2．曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是 13x -10y -3z -6=0 ．3．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是12．4．函数u 在点(1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是13．三、计算题1．求曲线222226,x y z z x y ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程． 解一：22222yy zz x yy z x ''⎧+=-⎪⎨''-+=⎪⎩①② ①+②：0z '=代入(),1,1,21xy y y''=-=- ∴()1,1,0s =-切成：112110x y z ---==，即112x y z -=-⎧⎨=⎩ 解二：()()2221,,6,2,2,2,2,2,4F x y z x y z Fx x Fy y Fz z n =++-====取()1121,1,2,n s n n ==⨯()()222,,.2.2 1.2,2,1G x y z x y z Gx x Gy y n =+-===-=-1s 切平面：()()()1111220260x y z x y z ⋅-+⋅-+-=+-=即+2s 切平面：()()()21212020x y z x y z -+---=--=即:2+2∴2602220x y z x y z ++-=⎧⎨+--=⎩ 2．过直线102227,x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求其方程．解：设切点为0000(,,)M x y z ，切平面方程为：0003270x x y y z z +--=……① 过已知直线的平面束方程为()1022270x y z x y z λ+--++-= 即：()(10)2(2)270x y z λλλ++++---=……②当①②为同一平面时有：000103,2,2x y z λλλ+=+=--=-且222000327x y z +-=解得00000033117117x x y y z z ==-⎧⎧⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩或对应的切平面方程为：927091717270x y z x y z +--=+-+=3．证明曲面2/32/32/32/3(0)x y z a a ++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于2a ．.设000M x 0（,y ,z ）为曲面上任一点 切平面方程为：()()111333000000222()0333x x x y y y z z z ----+-+-=即：11123333000x x y y z z a --++= 令0y z ==得x 轴截距1233x n a = 同理121233332,Y z a Z z a ==∴222422223333()X Y Z x y z a a ++=++=4．求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值．.①令222(2)02ln 10x yf x y f x y y '⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩ ②得驻点10,e M ⎛⎫ ⎪⎝⎭③2212(2),4,2xx xy f y f xy fyy x y =+==+④M 处： AC-B 2>0，A>0，∴极小值110,f e e⎛⎫=-⎪⎝⎭5．求函数22(,)1216f x y x y x y =+-+在区域22{(,)|25}D x y x y =+≤上的最大值和最小值．2120621608fx x x fy y y =-==⎧⎧⎨⎨=+==-⎩⎩ 不在D 内，∴D 内无极值点 在边界2225x y +=上，(),251216f x y x y =-+()()22,25121625L x y x y x y λ=-+++-12201620Lx x Ly y λλ=-+=⎧⎨=+=⎩ 解得3344x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩2225x y +=()3,475f -=- 最小()3,4125f -= 最大61的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大． 设切点为()()0000,,,,,1M x y z F x y zFn Fy ==)))0000x x y y z z -+--=1=令0y z ==，得x轴截距X = 0x z ==，得y轴截距Y = 0x y ==，得z轴截距Z =XYZ ()),,1f x y z xyz λ=+令000113fx yz yzx x fy xz xzy y fz xy xyz z ⎧=+==⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎨⎪=+==⎪==== 19x y z === 即切点为111,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭切平面为：13x y z ++=第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =所围区域，则(,)f x y 等于( C )．（A ）xy ；（B ）2xy ；（C ）18xy +； （D ）1xy +．2．设D 是xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰等于( A )．（A ）12cos sin d d D x y x y ⎰⎰；（B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）；14cos sin )d d D xy x y x y +⎰⎰（ （D ）0．3．设平面区域22:14,(,)D x y f x y ≤+≤是在区域D 上的连续函数，则d d Df x y ⎰⎰等于 ( A )．（A ）212()d rf r r π⎰；（B ）21002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（C ）2212()d rf r r π⎰； （D ）2122002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰．4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:x y z R Ω++≤，0x ≥，0y ≥，0z ≥，则( C )．（A ）12d 4d x V x V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （B ）12d 4d y V y V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）12d 4d z V z V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）12d 4d xyz V xyz V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．积分2220d e d y x x y -=⎰⎰()-411e 2-． 2．交换积分次序：14012d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+=⎰⎰⎰⎰()2221d ,d y yy f x y x +-⎰⎰．3．设区域D 为||||1x y +≤，则(||||)d d Dx y x y +=⎰⎰43． 4．设区域D 为222x y R +≤，则2222d d Dx y x y a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰422114R a b π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．5．直角坐标中三次积分22110d (,,)d x y I x y f x y z z +-=⎰⎰⎰在柱面坐标中先z 再r 后θ顺序的三次积分是()221d d cos ,sin ,d r r f r r z r z πθθθ⎰⎰⎰三、计算题1．计算|cos()|d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由直线,0,2y x y x π===所围成的三角形区域．原式()()12cos d d cos d d D D x y x y x y x y =+-+⎰⎰⎰⎰()()42204d cos d d cos d yxyxx y x y x x x y y πππππ--=+-+⎰⎰⎰⎰()()422024sin d sin yxyx x y y x y πππππ--=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰4204sin sin 2d sin 2sin d 22y y x x πππππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=[][]240411cos 2cos 2122242y x ππππππ+++=- 2．计算sin d d Dx yx y y⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的区域． ①图交点，先x，②:01y x D y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩③21100sin sin d d d 22y y y y F f x y y y ⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭⎰⎰110011sin d sin d 22y y y y y =-⎰⎰()()111cos1cos1sin 22x =-+-()11sin12=-3．计算22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中{(,)|02,D x y x y =≤≤≤．①图，极坐标，方程②2cos 2:02r D θπθ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ ③22202cos d d I r r r πθθ=⋅⎰⎰()24422002cos d =41cos d 4r ππθθθθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰3135442242244πππππ=⋅-⋅⋅⋅=-=4．计算23d xy z V Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =与平面,1y x x ==和0z =所围成的闭或区域．①图，投影域Dxy②0:001z xy y y x ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩③1230d d d x xyI x y sy z z =⎰⎰⎰7115120001d d 728xy x x x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1112813364=⨯= 5．计算d I xyz V Ω=⎰⎰⎰，其中222{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z Ω=++≤≥≥≥．①图，已求坐标r=1②01:0202r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪Ω≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩③12220d d sin cos sin sin cos sin d I x r r r r r ππϕϕθϕθϕϕ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰135220sin cos d sin cos d d r r ππθθθϕϕϕ=⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰3220011111sin dsin sin d sin 662448ππθθϕϕ=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰6．设()d F t fV Ω=⎰⎰⎰，其中2222:,()x y z t f t Ω++≤在0t =可导，且(0)0f =，求4()lim t F t tπ+→． ()()2t20d d sin d F t f r r r ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰()2t20d sin d d f r r r ππθϕϕ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰()204d tf r r r π=⋅⋅⎰()()2'4F t f t t π=⋅⋅∴()()()()()()02043000040lim lim lim lim '040t t t t F t f t t f t f t f f t t t t πππ→→→→⋅-+====- 四、证明题设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且恒大于零，证明2d ()d ()()bbaaxf x x b a f x ≥-⎰⎰． 证明：设:a x bD a y b≤≤⎧⎨≤≤⎩∵2d d 0D x y ≥⎰⎰ 即：()()()()d d 2d d D Df x f y x y x y f y f x ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ∴()()()()()211d d d d 2b bb b aaa a f x x y f y y xb a f y f x +⋅≥-⎰⎰⎰⎰∴()()()212d d 2bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰∴()()()21d d bbaaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d n L x y s +=⎰(D ) ． （A ）2n a π；（B ）12n a π+；（C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰( A )．（A（B ）2+（C ）（D ）2+3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( D )． （A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰；（C 1300d d r r πθ⎰；（D 21300d d r r πθ⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有(C )． （A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰1d π1LS =⋅⎰．2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰．3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2t x t y t z t π==≤≤，则222()d x y z s Γ++=⎰332ππ23+． 4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰3a h π．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰36A ．三、计算题 1．计算22ed x y L s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：123222123:0,0::,02L L L L L y x a L x y a a L y x x =++=≤≤+==≤≤1e d e 1ax a L s x==-⎰⎰224a aL L as e ds e π==⎰⎰4aπ3e 1a L s x ==-⎰所以：原式=2（1-ae ）+4aπa e2．2d z s Γ⎰，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．（222d d d rrrx s y s z s ==⎰⎰⎰）2Γ222223d 1()d 31d 322π.33r r z sx y z s a s a a a π=++==⋅=⎰⎰⎰ 3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。
吉林大学作业及答案-高数A2作业答案
高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x xx ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分收敛的是（ D ） A ．0cos d x x +∞⎰B ．221d (1)x x -⎰C ．01d 1x x +∞+⎰D ．321d (21)x x +∞-∞+⎰3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d b af xg x x -⎰； （D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）402d S y y =⎰； （C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）402d S x x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小； （D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）π(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x -+-⎰；（B ）π(2()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰；（C ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x -+-⎰；（D ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长 8 ．3．2d 25x x +∞-∞=+⎰π5． 4．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线22,y x x y ==围成图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 3π10． 三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性：13sin d x x x+∞⎰解：33sin 1x xx≤Q而131x +∞⎰收敛． 13sin d xx x+∞∴⎰收敛．3．已知22lim 4e d xx a x x a x x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值． 解：()21e lim lim e e1xa ax a a x a x x a a a x a x x a a x ----→∞→∞⋅⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 222222222222222222224e d 2de 2e 4e d 2e 2de 2e 2e 2e d 2e 2e e (221)e .x xaaxx aaa xaa xx aaa a x aa x x x x x xa x a x xa a a a +∞+∞--+∞+∞--+∞--+∞+∞---+∞----=-=-+=-=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰⎰由已知222e (221)e a a a a --=++，即(1)0a a +=．所以0a =或1a =-．4．求连续曲线π2cos d x y t t -=⎰的弧长.解：由cos 0x ≥可知ππ22x -≤≤. 因此所求弧长为 π22π21d s y x -'=+⎰()π22021cos d x x =+⎰π2022cos d 42xx ==⎰.5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为0001()21Y y X x x -=--令0,0X Y ==，得002,1x y ==．2212211π12π(1)d 32πππ.362x V x xx x =⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．在第一象限内求曲线21y x =-+上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．解：设所求点为(,)x y ，则过此点的切线方程为2()Y y x X x -=-．由此得切线的x 轴截距为212x a x+=，y 轴截距为21b x =+．于是，所求面积为12031()(1)d 21112.4243S x ab x xx x x =--+=++-⎰令2211()32411130,4S x x x x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得驻点13x =．又因为3131126043x S x x =⎛⎫⎛⎫''=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13x =为极小值点，也是最小值点．故所求点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，而所求面积为12(233)93S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积． 解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1. 平面10x y z +--=与22230x y z +-+=的关系（ A ）． （A ）平行，但不重合； （B ）重合；（C ）垂直；（D ）斜交．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．曲面2222x y z a ++=与22(0)x y zax a +=>的交线在xoy 平面上的投影曲线是（ D ）．（A ）抛物线；（B ）双曲线；（C ）椭圆；（D ）圆．5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）π6； （B ）π4； （C ）π3； （D ）π2． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为π2． 2．设向量x 与向量2=-+a i j k 共线，且满足18⋅=-a x ，则=x (6,3,3)-- ．3．过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面是 340x y z --+= ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b 5，||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=． 6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．若直线L 平行于平面π：3260x y z +-+=，且与已知直线132:241x y zL -+==垂直，则L 的方向余弦(cos ,cos ,cos )αβγ为 65585,,25525⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离． 解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k ∴ 0||621||7d ⨯==S MM S3．求曲面220x y z +-=与平面10x z -+=的交线在Oxy 平面上的投影曲线． 解：因为曲线220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩ 在Oxy 平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy 平面的柱面与Oxy 平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z 的项，则可得到垂直于Oxy 平面的柱面方程．由220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩消去z ，得到关于Oxy 平面的投影柱面2210x y x +--=，于是得到在Oxy 平面上的投影曲线为2210,0.x y x z ⎧+--=⎨=⎩4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=． 即(42)(2)360x y z λλ++++-=． 由222|6|2(42)(2)3λλ-=++++得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面π:0x y +=，求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||41sin ||||2422θ⋅===⋅S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．向量a 与x 轴的负向及y 轴、z 轴的正向构成相等的锐角，求向量a 的方向余弦． 解：依题意知ππ,,02αθβθγθθ⎛⎫=-==<< ⎪⎝⎭， 因为222cos cos cos 1αβγ++=，即222cos ()cos cos 1πθθθ-++=， 所以23cos 1θ= 或 3cos 3θ=． 故333cos ,cos ,cos 333αβγ=-==.第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．()220lim ln x y xy x y →→+=（ B ）．（A ）1； （B ）0； （C ）12； （D ）不存在．2．二元函数()()()()()22,,0,0,,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点)0,0(处（ D ）．（A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ B ）. (A)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．0011limx y xyxy →→--= 1/2 ．2. 设函数44z x y =+，则(0,0)x z '= 0 .3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．设函数(,)()()()d x yx y u x y f x y f x y g t t +-=++-+⎰，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，则2222u ux y∂∂-=∂∂ 0 ．三、计算题1．设()0,1y z x x x =>≠，证明12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂． 证明：因为1,ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，所以 12ln y y x z zx x z y x x y∂∂+=+=∂∂. 2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim11x x y kx k x x xyk x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦ 4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e d e d xz yzt u t t =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂ 2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂ 5．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：22222r x xx rx y z ∂==∂++ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？解:（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,故函数在点(0,0)处偏导数存在. （2）当 (,)(0,0)x y ≠时， 222222222112(,)2sin()cos ()x x f x y x x y x y x y x y -'=++⋅+++2222221212sincos x x x y x y x y=-+++, 又 22222200121lim (,)lim(2sincos )x x x y y x f x y x x y x y x y→→→→'=-+++， 当(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，上式222121lim(2sincos )x y x x x x y →==-+ 不存在， 故偏导数(,)x f x y '在点(0,0)不连续.由函数关于变量,x y 的对称性可知，(,)y f x y '在点(0,0)不连续。