《第21章一元二次方程》小结与复习教案

第二十二章《一元二次方程》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
1、相关概念
（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．
一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程
整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程
*（4）有理方程高次方程：
分式方程
2、降次——解一元二次方程
（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:
①方程化为一般形式；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③化二次项系数为1；
④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，
从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；
⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。

（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•
将a、b、c代入求根公式x=
a2
ac 4
b
b2-
±
-
（b2-4ac≥0）就得到方程的根．
（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：
①通过移项将方程右边化为0；
②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式
（1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式。

（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：
①⊿=b 2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根；
②⊿=b 2－4ac =0 方程有两个相等实数根；
③⊿=b 2－4ac ＜0 方程没有实数根；
④⊿=b 2－4ac ≥0 方程有两个实数根。

（3）应用：
①不解方程，判别方程根的情况；
②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；
③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；
注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a ≠0。

*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）
（1）如果一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x ， 那么a
c x x a b x x =-=+2121, （2）应用：
①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；
③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；
④不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值，通常利用到：
2122122212)(x x x x x x -+=+
212212214)()(x x x x x x -+=-
()|
a |x x 4x x ||2122121∆=-+=-x x 当21x x +=0且21x x ≤0，两根互为相反数；
当⊿≥0且21x x =1，两根互为倒数。

（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a ≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）
⑩用公式法因式分解二次三项式ax 2+bx+c(a ≠0)：
ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2）其中21,x x 是方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根。

5、实际问题与一元二次方程
传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。

三、典型例题辨析
1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．
①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-
5x =0 2、当m 时,关于x 的方程(m+2)x |m|+3mx+1=0是一元二次方程.
3、方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
4、根据下列表格的对应值：
x
3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根x 的取值范围是________。

5、已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．
6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．
7、已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是_____．
8、已知2和1-是关于x 的方程022=++n mx x 的两个根，则m 的值为 ，n 的值为 .
9、已知方程的两根为，则的值为 。

10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．
11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______．
12、解下列方程：
⑴ 0642=--x x ⑵ x x 7322=+
⑶
0122
12=+-x x ⑷ ()()2523+=+x x x
13、若关于x 的一元二次方程0622=+-x ax 有两个实数根，求a 的取值范围.
14、已知方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两实根的平方和等于11,求k 的值。

15、k 为何值时，方程x 2-（k+1）x+(k-2)=0
（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.
16、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ •的面积为Rt △ACB 面积的一半．
B C A
Q P
17、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的
营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%）
18、在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m 2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（x 1=10，x 2=20）
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250元）
20、一辆汽车以20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间?
（2）•从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
（3）刹车后汽车滑行到15m 时约用了多少时间（精确到0.1s ）?
作业：必做：P23：1-10 选做：P24：11、12
教 学 反 思。