2020年八年级下册数学培优第一讲 二次根式专题
第一讲 二次根式专题复习
一 、 知识要点
1、二次根式的概念:一般地,形如a 的式子叫做二次根式.
注意:这里被开方数a 可以是数,也可以是单项式,多项式,分式等代数式. 2、二次根式a 有意义: ,二次根式无意义: .
3、二次根式的性质:
(1)a . (2)
()2
a = .(3)
=2a .
4、乘法法则:ab b a =.(0,0≥≥b a ),即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘.
要点诠释:
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a 、b 都必须是非负数;(在本章中, 如果没有特别说明,所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:
)0,0,0(21321321≥???≥≥?????=?????n n n a a a a a a a a a a a ;
若二次根式相乘的结果能写成2a 的形式,则应化简,如416=.
5、除法法则:
a a
b b
=(a ≥0,b >0).即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除. (1)在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意,0≥a ,0>b ,因为b 在分母上,故b 不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号.
6、最简二次根式
概念:①被开方数不含 .②被开方数中不含 的二次根式. 要点诠释:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)根号下不含分母,分母中不含根号. 两者必须同时满足.
分母有理化:把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化.
分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式)0()(2≥=a a a 有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就称这两个代数式互为有理化因式。 一般常见的互为有理化因式有如下几种类型:
①a m 与 ;②b a +与 ;③b a +与 ;④b n a m +与 . 7、同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式后,它们的 相同,这些二次根式就称为同类二次根式.
说明:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
8、互为有理化因式:互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式22))((b a b a b a -=-+,同时它们的积是有理数,不含有二次根式.
二 、典型类型
(1)二次根式有意义的条件
1.写出使二次根式有意义的x 的取值范围 (1)x -3 (2
(3)x x -++83
(4)x x -+-22 (5)
122+-x x (6)
x x -1 (7)1
3
+-x x (2)二次根式的性质
2. 已知y 2,则x y 的值为 .
练1 若y x +y 的值为 .
3. 若2a -4a 4,则2a -2b = .
练2 (1=0,则x -y 的值为 ;
(2)若|3b -80,则a b = .
练3 若2y +4y +40,则y x 的值为 . 4 . 计算:
(1)2)15.0( (2)2)72(- (3)2)62
3
(-
(4 (5
5. 已知a =2的值.
6.已知a 满足|2013﹣a |+a -2014=a ,则a ﹣20132的值是( ) .A 2012
.B 2013 .C 2014 .D 2015
7.若0<a <1,则(a +1
a )2-4﹣
(a -1
a )2+4的值为( )
.A 2a
.B 2a
.C ﹣2a
.D ﹣4
8.设m >0m 的值是 (用m 表示)
.
(3)二次根式的乘除 1.观察下列各式: (1)计算: ①4×9=__________,4×9=__________.②16×25=__________,16×25=__________.
③
1
121
×36=__________,1
121
×36=__________. 请你猜测一下:当a 、b 均为非负数时,a ×b 与ab 大小关系是:__________. (2)请按找到的规律计算:
①5×20
②
123
×935
.
2.
(1;;(4.
请你猜测一下:当a 、b 均为正数时,
b a
与b
a 大小关系是:__________ 3.计算3232+?-的结果为 .
.4.将xy 3-根号外的因式移到根号内,正确的是( ) .
A
xy 9
.B xy 9- .C xy 3 .D xy 3-
.5把x -1
x 根号外的因数移到根号内,结果是( ) .A x
.B -x
.C ﹣-x
.D ﹣x
.6.将式子(a ﹣1)1
1-a
中根号外的因式移入根号内的为( ) .A 1-a
.B
a -1
.C -1-a
.D -a -1
.7.若0>a )
.A
.B - .C
.D 总结:二次根式的乘除:系数与系数 被开方数与被开方数 最后化成 (4)最简二次根式及分母有理化
.1下列二次根式是最简二次根式的是 ①a
1
②5.0 ③22 ④24 ⑤
3
2
⑥
a 2
⑦ab ⑧b a 2 ⑨1+a
⑩12+a
发散32a a +是最简二次根式吗?
2.分母有理化:(1)
=2
31 ; (2)
12
1= ; (3)
=5
210
牛刀小试
.1.下列式子中,属于最简二次根式的是( ) .A 9
.B 7 .C 20 .
D 3
2 2.计算:
(1)
2
12
(2)
6
3 (3)
18
33 (4)x
28
3.把下列各式化成最简二次根式 (1)32
(2)
3
2 (3)5
41
(4)322b a (5)
1
2
-a
.4把下列各式的分母有理化
(1)151-; (2)3
21
+ ; (3)
2
62-;
(5)二次根式的乘除混合运算 1.计算: (1)112÷1
6
; (2)-227÷33; (3)﹣6
313÷12512
.
(4)xy 3÷(-
1
2y
x )×(x 22-); (5)312x ×123xy ÷(-3418
xy 3
).
(.6)二次根式的加减
.1 )
.A B C D .2计算:
(1)()()
323232-+- (2)6
8
1
2)2124(--+
(3)80﹣75+27﹣45+48.
(4)x x 6416+ (5
.3 化简:
(1)(a 1
a +4
b )﹣(a 4﹣b 1b ). (2)5x 5+1220x +54x 4
5x
.
(.7) 二次根式的乘方
1.计算:(1))53)(65(-+ (2))710)(710(-+
2.计算:(1)2)23(+ (2)2)37(- (3)2)26(+
3. 阅读下面的解题过程:
化简:324324-++ 解法一:
原式=13231323+-+++
=132)3(2+++132)3(2+-
=2)13(++2)13(-
=1313-++ =32 解法二:
设x =324324-++,则0>x , 则有2x =3243243242324-+-?+++
=48+ =12
所以x =32请你用上面的方法(任选一种),解答下列的问题: 化简:3232-++
拓展 复合二次根式 化简(1)625- (2)1528+
(.8)二次根式的大小比较 【例1】 比较下列各式的大小(填“>”“<”或“=”)
① 3 ② -
③
④
常见方法:
1. 根号外因式内移法,如比较67和76的大小;
2. 平方法,如比较713+和317+的大小;
3. 分母有理化法,如比较
7
31-和
5
71-的大小; 4. 求差法,如比较63-和26-的大小;
5. 倒数法,如本讲中的④ ;
6. 求商法,如比较23-和1415-的大小。
(9) 二次根式的计算
1.已知25-x 2-15-x 2=2,则25-x 2+15-x 2的值为( ) .A 3
.B 4 .C 5 .D 6
2.已知15+x 2-19-x 2=2,则19-x 2+215+x 2=_______. 3.化简求值:已知:x =2
3-1
,求x 2﹣x +1的值.
4.已知x =
13-2,y =1
3+2
, 求下列式子的值(1)x 2﹣xy +y 2. (2)y
x
x y +
5.已知x =2+1
2-1,y =2-12+1,求x -y x 2+y 2的值. 6.已知()1
401a a a +=<<的值.
7.计算: (1)1n +1+n
(n 为正整数)的值. (2)11+2+12+3+13+4+…+198+99+1
99+100.
8.在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如53
,23,23+1一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:53
=
5×33×3=5
3
3,23
=2×33×3=63,2
3+1=2(3-1)(3+1)(3-1)
=3-1,以上这种化简的方法叫做分母有理化.23+1还可以用以下方法化简:2
3+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1
=3-1,
(1)用不同的方式化简310+7 (2)化简:13+1+15+3+17+5+…+1
2n +1+2n -1.
9.已知a 1-b 2+b 1-a 2=1,试确定a 、b 的关系.
10.设r ≥4,a =1r -1r +1,b =1r -1r +1,c =1
r (r +r +1),则下列各式一定成立的是( )
.A a >b >c
.B b >c >a
.C c >a >b .D c >b >a
三、课外作业
1.若实数a 满足|a ﹣8|+a -10=a ,则a =_______.
2.已知a 2-16+b -4
a -4
=0,则a -b =_______.
3.已知x ,y 为实数,且满足02)2(1=---+y y x ,则x ﹣y =_______.
4.已知19-x 2+17-x 2=2,则x =_______.
5.若化简16812+---x x x 的结果为52-x ,则x 的取值范围是( ) .A x 为任意实数 .B 41≤≤x .C 1≥x
.D 4≤x
6.无论x 取任何实数,代数式x 2-6x +m 都有意义,则m 的取值范围是( )
.A m ≥6
.B m ≥8 .C m ≥9 .D m ≥12
7.已知:1<x <3,则1-2x +x 2-x 2-8x +16=( )
.A ﹣3
.B 3 .C 2x ﹣5 .D 5﹣2x
8.化简二次根式-a 3,结果是( ) .A ﹣a a
.B ﹣a -a .C a -a
.D a a
9.若b <0,化简-ab 3的结果是( )
.A -b ab .B b -ab
.C -b
-ab
.D b ab
10. 下列各数中,与32--的积为有理数的是( )
.A 32+
.B 32- .C 32--
.D 3
11. 若5=a ,17=b ,则85.0的值用a 、b 可以表示为( ) .A 2b a + .B 10a b - .C 10ab .D a b
12.当a >0时,化简-xa 3结果正确的是( )
.A a ax
.B a -ax .C ﹣a ax .D ﹣a -ax 13.若xy >0,则二次根式x -y
x
2化为最简二次根式正确的是( )
.A y .B -y .C ﹣y .D ﹣-y 14.化简-18
a
的结果是( )
.A 3-2a .B 3-2a a .C -32
a .D -3-2a a
15.已知ab >0,bc <0,化简:-a 3c 3
b
3的结果为( )
.A ac b 2abc .B ac b 2-abc .C -ac b 2-abc .D ﹣ac
b 2ab
c 16.化简:1
2-3
的结果为( )
.A 2+ 3
.B 2﹣ 3 .C ﹣2+ 3 .D ﹣2﹣ 3 17.13-2+1
3+2
的值是( )
.A 2 2
.B 2 .C 0 .D 2 3 18.若x ﹣x 2-1=1
M
,则M 等于( )
.A x 2+x 2-1 .B x +x 2-1 .C x 2﹣x 2-1 .D x ﹣x 2-1 19.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( )
.A 12与12 .B 18与27 .C 3与1
3
.D 45与54 20.在下列各组二次根式中,不是可以合并的二次根式的一组是( )
.A 3ab 2和3ab 2c .B 12ab 3和3ab .C ab 和a 3b 5 .D b a 和a
b
21.化简:23-2﹣332-23-5
23-2
=( )
.A 0 .B 1 .C 2 .D 3
22.甲、乙两位同学对代数式a -b
a +b
(a >0,b >0),分别作了如下变形:
甲:a -b a +b =(a -b )(a -b )(a +b )(a -b )=a -b ; 乙:a -b a +b =(a +b )(a -b )
a +b
=a -b .关于这两种变
形过程的说法正确的是( ) .A 甲、乙都正确 .B 甲、乙都不正确 .C 只有甲正确 .D 只有乙正确
23.化简:a +1+a a +1-a -a +1-a
a +1+a =( )
.A 2a +2 .B 4a +2 .C 4a 2+a
.D ﹣4a 2+a
24.计算:
(1)1
23÷
1
12×27; (2)12×68
; (3)615÷3
1
5×223
.
(4)5+20﹣45;
(5)38+218﹣50; (6)2
3
9x +6
x 4
﹣2x 1x
.
25.计算:
(1)(1)24+12-6.
(2)
12
+18
+1
32
. (3)32x ﹣58x +718x .
(4)23x
9x ﹣x 2
1
x 3
+6x x
16
. (5)27x 3+6x x 3
-x 23
x
(x >0).
《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式:形如...a (其中a ______ )的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ;⑵被开方数中不含______ ;⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式: 二次根式化成______________ 后,若 ___________ 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质: (1)G.-/a )= ____ (其中a ___ )( 2)a2 = _______ (其中a ___ ) 5. 二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号;如果被开方数是代数和的形式,则先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面。 (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数。 JOb= _________ (其中a^_ b ______ );J a= ______________ (其中a—一b ____ ). \ b (4)分母有理化:把分母中的根号化去,就叫分母有理化,方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式,两个根式相乘后不再含有根式,这样的两个根式就叫互为有理化因式,如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ,b 的有理化因式就是需- Ub . (5)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式,都适用于二次根式的运算. (6)二次根式的加减乘除运算,最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简: 二次根号里又含有二次根式,称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是: 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b,贝U a 2、 b = (x y) 2、_ xy = C、x)2(、._ y)22 xy = (、x .. y)2
培优专题:二次根式
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地,我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式,其中0 a≥。 根据二次根式的定义,我们知道:被开方数a的取值范围是0 a≥,由此我们判断下列式子有意义的条件: 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出: (0) a a =≥,在此我们可将其拓展为: a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () (1)、根据二次根式的这个性质进行化简: ①数轴上表示数a 的点在原点的左边,化简 2a ②化简求值: 1 a a= 1 5 ③已知, 1 3 2 m -<< ,化简2m ④______ =; ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-,则x的取值范围是___________. ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二.二次根式a的双重非负性质:①被开方数a是非负数,即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数,即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1 <x ≤3 例2(1)化简x x -+-11=_______. (2) x +y )2,则x -y 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a 、b 为实数,且满足│a -2│+2b -=0,则b -a 的值为( ) A .2 B .0 C .-2 D .以上都不是 (2)已知y x ,是实数,且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数,求实数x y 的倒数。 三,如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识,这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数,根号前的符号不会发生改变;如果根号外的式子为负值,那么要先将根号前的符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内: ①- ②(a -(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例:(1)1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab —b 2的值。 (2)若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 (3 a ,小数部分为 b ,求a 2+b 2 的值。 (4)若________a a b a b ==是的小数部分,则。 5a a b -(的整数部分为a ,小数部分为b ,求的值。 2、巧变已知,求多项式的值。 32351 x x x x = +-+(1)、若的值。
2020年八年级下册数学培优第一讲二次根式专题
第一讲二次根式专题复习 一、知识要点 1、二次根式的概念:一般地,形如 a 的式子叫做二次根式. 注意:这里被开方数 a 可以是数,也可以是单项式,多项式,分式等代数式. 2 、二次根式 a 有意义:,二次根式无意义:. 3、二次根式的性质: ( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2. 4 、乘法法则: a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘. 要点诠释: ( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中 a 、 b 都必须是非负数;( 在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数). ( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0); 若二次根式相乘的结果能写成a2的形式,则应化简,如16 4 . 5、除法法则:a b a( a≥0,b>0).即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除. ( 1 )在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意, a 0, b 0,因为b在分 母上,故 b 不能为0. ( 2 ) 运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号. 6 、最简二次根式 概念:①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式.要点诠释: ( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; ( 2 )根号下不含分母,分母中不含根号. 两者必须同时满足. 分母有理化:把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型: ① m a 与;② a b 与;③ a b 与;④ m a n b 与. 7 、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式. 说明:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 22 8、互为有理化因式:互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2,同时它
二次根式培优习题
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性:二次根式a 中被开方数a ≥0,且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ; . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a 《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算