七年级数学最基本的图形点和线华东师大版知识精讲

七年级数学最基本的图形——点和线华东师大版【本讲教育信息】一、教学内容最基本的图形——点和线二、知识要点1. 知识点概要⑴在现实情境中理解点、线段、射线、直线等简单的平面图形。

⑵了解两点之间线段最短，两点确定一条直线的事实。

⑶会用度量的方法、叠合的方法比较两条线段的长短。

⑷理解线段中点的概念以及图形的几何意义。

2. 重点难点⑴重点：线段、射线、直线的相关概念及表示方法、有关性质。

⑵难点：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”在生活中的应用、线段中点的几何意义及其应用。

三、考点分析（一）直线的相关知识1. 生活中的形象：一根拉得很紧的线、笔直的铁路、纸的折痕等。

2. 直线的表示方法：⑴用表示它上面任意两点的两个大写字母表示。

如图可记为“直线AB”或“直线BA”；⑵用一个小写字母表示。

如图可记为“直线l”。

3. 直线的基本性质（公理）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

4. 直线性质的应用：木工师傅画线，日常生活中往墙上钉木条等。

5. 点与直线的位置关系：⑴点在直线上（或直线经过这个点）；⑵点不在直线上（或点在直线外，或直线不经过这个点）。

（二）射线的相关知识1. 生活中的形象：手电筒射出的一束光线、激光灯的光束。

2. 射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点。

3. 射线的表示方法：（1）用两个大写字母表示射线，射线端点的字母应写在前面，如图可记为“射线AB”；（2）用一个小写字母表示。

如射线l。

（三）线段的相关知识1. 生活中的形象：一根竹竿、一支铅笔、一段走廊等。

2. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。

3. 线段的表示方法：⑴用表示它的两个端点的两个大写字母表示。

如图可记为线段AB 或线段BA。

⑵用一个小写字母表示。

如“线段l”。

4. 线段的基本性质（公理）：两点之间，线段最短。

5. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点。

6. 线段性质的应用：晒衣绳，铺设水管。

线段的度量和比较：叠合法（即将两条线段叠合起来，这时两线段的一对端点应重合）和度量法（即用刻度尺分别量出线段的长度进而比较量数的大小）来比较大小的7. 两点间的距离：连结两点的线段的长度叫做两点间的距离。

（四）直线、射线、线段三者的联系和异同1. 三者的联系：直线和射线、线段是整体与部分的关系。

射线和线段都是直线的一部分。

线段向一方延长可得射线，向两方延长可得直线；射线反向延长可得直线。

在射线上取一点可得线段，在直线上取一点可得两条射线，取两点可得一条线段。

2. 相同点：它们都是由无数个点构成的，都是直的，都没有粗细。

3. 不同点：无论是表示线段、射线，还是直线，都要在字母前面注明“线段”、“射线”或“直线”；用两个大写字母表示线段或直线时，两个字母地位平等，可交换位置，而表示 线段 射线 直线 图形表示线段AB 射线AB 直线AB 几个端点2个 1个 0个 能否延伸不能 向一边无限延伸 向两边无限延伸 能否度量 能 不能 不能A B A B A B（五）常用知识点：1. 若直线l 上有n 个点，则可得2n 条射线；可得(1)2n n -条线段。

2. 平面上有n （n ≥2）个点（其中任三点不在同一直线上），则最多可确定(1)2n n -条直线；每两点连成一条线段，最多可连成(1)2n n -条；最多可确定(1)n n -条射线。

四、典例精析例1. 已知数轴的原点为O ，如图，点A 表示2，点B 表示－12。

⑴数轴是什么图形？⑵数轴在原点O 左边的部分（包括原点）是什么图形，怎样表示？⑶数轴上不小于－12，且不大于2的部分是什么图形，怎样表示？ 分析：图中只有点、线，故存在的图形应从直线、射线、线段考虑，结合这三者的特征分析，可解决问题。

解：⑴数轴是一条直线；⑵数轴在原点O左边的部分（包括原点）是一条射线，表示为射线OB；⑶轴数上不小于－12，且不大于2的部分是一条线段，表示为线段AB或线段BA。

例2.读句画图：如图所示，已知平面上五个点。

⑴画直线AB、DE⑵画线段AC、BE⑶画射线AD、DC、CE；⑷如图，其中能用图中字母表示的线段有_____条，分别是，射线有___ 条，分别是。

分析：直线向两边无限延伸，射线从端点向一边无限延伸，线段不延伸。

解：⑴、⑵、⑶如右图所示，⑷ 7，线段AB、AD、AC、DE、CE、CD、BE，7，射线AB、BA、AD、ED、DE、DC、CE。

例3.下列说法正确的是（）A. 线段AB是A、B两点的距离；B. 两点的距离是一个正数，也是一个图形；C. 在所有连接两点的线中距离最短；D. 在连接两点的所有线中，最短的一条的长度就是两点的距离。

分析：线段AB是图形，A、B两点间的距离是量，因此A不正确；两点的距离不是图形，因此B是错误的；线和距离不能比较，因而C也不正确；在联接两点的所有线中，最短的一条是连结这两点的线段，连结两点的线段的长度就是这两点的距离。

解：D例4. 线段AB＝8cm，BC＝5cm，那么线段AC的长度是（）A.13cmB.3cmC.3cm或13cmD.无法确定分析：求线段的和或差，这两条线段必须放在同一条直线上，本题中线段AB和线段BC 是否在同一条直线上不确定，因此，线段AC不一定是线段AB和线段BC的和或差。

解：D。

例5.（2008，巴中市）如图，“吋”是电视机常用尺寸，1吋约为大拇指第一节的长，则7吋长相当于（）A. 一支粉笔的长度B. 课桌的长度C. 黑板的宽度D. 数学课本的宽度分析：可用尺量出图中1吋的长度，再算出7吋的大致长度，最后对照题中实物，与7吋的大致长度较接近的，便是合适的选项。

解：D。

例6.如图：这是A、B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A、B两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出。

并说明你的理由。

分析：解决问题的关键是使A、B两地之间的公路最短，因此可以利用线段的性质解之。

解：如图所示：理由：两点之间的所有连线中，线段最短。

例7. 如图，A、B、C、D、E是同一直线上的五个点。

⑴图中共有几条射线？在不增加字母的情况下，能读写出的射线共有几条？是哪几条？⑵图中共有几条线段？分析：由射线的含义可知，只有端点相同且延伸方向相同的射线才是同一条射线；由线段的含义可知，两个端点确定一条线段。

解：⑴因直线上的一个确定的点将该直线分为两条射线，故图中共有10条射线，在不增加字母的情况下，能读写出来的射线共有8条，即射线AB、射线BA、射线BC、射线CB、射线CD、射线DC、射线DE、射线ED。

⑵以A为左端点的线段是AB、AC、AD、AE；以B为左端点的线段是BC、BD、BE；以C 为左端点的线段是CD、CE；以D为左端点的线段是DE。

故图中共有10条线段。

例8.如图长度为12cm的线段，AB的中点M。

C点把线段MB分成MC：CB＝1：2。

则线段AC的长度是（）A. 2cmB. 8cmC. 6cmD. 4cm分析：考查线段的中点及线段的计算，由图可知AC＝AM＋MC，由AB的中点M得AM＝12 AB＝6 cm因为MC ：CB ＝1：2所以MC ＝13MB ＝16AB ＝2cm 所以线段AC ＝2＋6＝8cm 。

解：B 。

例9. 已知：线段AB ＝100 cm ，M 为AB 的中点，在AB 所在直线上有一点P ，N 为AP 的中点，若MN ＝15 cm ，求AP 的长。

分析：根据题意中的所在直线就已经定性了，P 点可能在直线上，也可能在延长线上。

所以分情况讨论。

解：⑴如图1，当P 在线段AB 上，且点N 在点M 的左侧，则AP ＝2AN ＝2（AM －MN ）＝2（12AB －MN ）＝2（50－15）＝70。

⑵如图2，当P 在线段AB 的延长线上，有N 点在M 点的右侧则AP ＝2AN ＝2（AM ＋MN ）＝2（12AB ＋MN ）＝2（50＋15）＝130。

所以AP 的长为70㎝和130㎝。

例10.如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…。

⑴“17”在射线 上。

⑵请任意写出三条射线上数字的排列规律。

⑶“2007”在哪条射线上？分析：这是一道有关射线的规律探索题。

一般思路是：从特殊情况入手→探索发现规律→归纳猜想出结果→取特殊值代入验证。

观察发现，射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF 上的数是按逆时针顺序每6个数字一周期，分别是从1、2、3、4、5、6开始的，每条射线上相邻两个数字相差均为6，解：⑴因为“11”在射线OE 上，故“17”也应在射线OE 上。

⑵射线OA 上数字的排列规律：65n -；射线OB 上数字的排列规律：64n -；射线OC 上数字的排列规律：63n -；射线OD 上数字的排列规律：62n -；射线OE 上数字的排列规律：61n -；射线OF 上数字的排列规律：6n 。

⑶在六条射线上的数字规律中，64n -、62n -、6n 均为偶数，故“2007”不可能在射线OB 、OD 、OF 上。

因为2007＋5、2007＋1均不能被6整除，而只有2007＋3能被6整除，得商为335，故“2007”在射线OC 上。

五、本讲数学思想方法的学习1. 将数与形有机结合，解决与图形有关的数量关系问题。

如根据直线、射线上的点来确定线段的条数，根据线段上的点的位置来确定有关线段的长度，根据线段的长度确定线段的位置等都是数形结合思想的运用。

2. 当题目所给条件不明确时，根据条件呈现的所有情况进行分类，可以达到解题的目的，如根据线段的不同位置求线段的长度。

【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、细心选一选（每题2分，共20分）1. 关于直线，射线，线段的描述正确的是（ ）A. 直线最长，线段最短B. 直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点C. 射线是直线长度的一半D. 直线、射线及线段的长度都不确定。

2. 下列说法正确的是（ ）A. 延长直线ABB. 延长射线ABC. 延长线段AB 到点CD. 射线AB 就是射线BA3. 如图，下列说法中正确说法的个数是（ ）①直线AB 和直线BA 是同一条直线 ②射线AB 与射线BA 是同一条射线③线段AB 和线段BA 是同一条线段 ④图中有两条射线A. 0B. 1C. 2D. 34. 下列关于中点的说法，正确的是（ ）A. 如果MA ＝MB ，那么点M 是线段AB 的中点B. 如果MA ＝AB ，那么点M 是线段AB 的中点C. 如果AB ＝2AM ，那么点M 是线段AB 的中点D. 如果M 是线段AB 上的一点，并且MA ＝MB ，那么点M 是线段AB 的中点5. 关于两点之间的距离，下列说法不正确的是（ ）A. 连结两点的线段就是两点之间的距离B. 连结两点的线段的长度，是两点之间的距离C. 如果线段AB ＝AC ，那么点A 到点B 的距离等于点A 到点C 的距离D. 两点之间的距离是连接这两点的所有的线的长度中，长度最短的6. 如图，以A 、C 、D 、E 、B 为端点组成的线段共有（ ）条。