高三数学函数性质人教版知识精讲doc

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高三数学函数性质人教版知识精讲

高三数学函数性质人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：函数性质二. 重点、难点： 1. 奇偶性（1）定义域A 关于原点对称。

任取A x ∈⇔=-)()(x f x f 偶函数⇔图象关于y 轴对称（2）定义域B 关于原点对称，任取B x ∈⇔-=-)()(x f x f 奇函数⇔图象关于原点对称2. 单调性计算单调性的方法：定义法、复合函数法、图象法、导数法 )(x f y = )(x g y = )]([)(x g f x F y == ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ 3. 周期性对于函数)(x f y =，D x ∈存在一个非0常数T ，任取D x ∈)()(x f T x f =+恒成立，那么)(x f y =叫周期函数，T 叫做周期。

【典型例题】1. 奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）212xx y x +-=（2）)1lg(2x x y ++= （3）1122-+-=x x y答案：（1）R x ∈且0≠x ，对称)21212()21121()(+--=+-⋅-=--x x x x x x f)()211121()21122(x f x x x xx =-+-⋅=--⋅= ∴ )(x f y =偶函数（2）R x ∈，对称)11lg()1lg()(22x x x x x f ++=++-=-12)1lg(-++=x x )(x f -= ∴ )(x f y =奇函数（3）}1,1{-∈x ，对称0)()()(=-==-x f x f x f∴ 既奇又偶[例2]（1）11)(-+==xa mx f y ，m 为何值时，)(x f 为奇函数（2）)sin()(α+==x x f y ，α为何值时，)(x f 为偶函数答案：（1）xxx a ma a m x f -+=-+=--1111)( 11)1(1)1(1-+--=--+=x x x x a a m a a m1)1(11)(--+=-+=xx x a m a a m x f ∴ 2=m 时，)(x f y =奇函数（2）)()(x f x f =- )sin()sin(x x +=-ααx x x x sin cos cos sin sin cos cos sin ⋅+⋅=⋅-⋅αααα ∴ 0cos sin 2=⋅αx ∴ 0cos =α∴ 2ππα+=k Z k ∈[例3] )(x f y =为R 上偶函数，),0(+∞∈x 时1sin )(2+-=x x x f ，求)0,(-∞∈x ，)(x f 解析式。

高中数学—函数的基本性质—完整版课件

• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −

− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −，关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性

+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有＋＝＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，

3.2.1函数的性质-单调性课件(人教版)

(1 ) < (2 )，那么就称函数() 有(1 ) > (2 )，那么就称函数
在区间上单调递增.
()在区间上单调递减.
就叫做函数 () 的单调递增区间，就叫做函数 () 的单调递增区间，
简称增区间.
简称减区间.
(2)用定义法证明函数的单调性
（1）取值；
课堂例题
例1 根据定义，研究函数() = + ( ≠ 0)的单调性。
追问1:由初中知识可知，一次函数图象的上升还是下降取决于谁？
追问2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较 (1 )和(2 ) 的大小？
那如何比较(��1 )和(2 )的大小呢？
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当1＜2时，(1)＜(2)还是
章节：第三章函数的概念与性质
标题：3.2函数的基本性质 (1)
单调性
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；会根
据单调定义证明函数单调性；理解函数的最大（小）值
及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
(1)＞(2)．根据实数大小关系的基本事实，只要考察(1)－(2)与0
的大小关系．
解：函数()＝＋（ ≠ 0）的定义域是，∀1，2 ∈ ，且1＜2，
则(1)－(2)＝(1＋)－(2＋)＝(1－2).
由1＜2，得1－2＜0．所以
(2)任意取1 ,2 ∈ (−∞, 0],
当1 ＜2 时，有(1 ) < (2 ).
函数() = ||在区间(−∞, 0]上是单调递增的.

高三函数知识点道客巴巴

高三函数知识点道客巴巴高三函数知识点函数是数学中一种重要的概念，是描述变量之间关系的数学工具。

在高三数学学科中，函数是一个重要且复杂的知识点。

本文将介绍高三函数的相关知识点，帮助学生巩固和深入理解。

I. 函数的定义和表示方式函数的定义：函数是一个将每一个自变量对应唯一一个因变量的关系或规律。

通常用f(x)或y来表示函数。

函数的表示方式有多种形式，包括方程、表格、图像等。

其中，方程表示方式是最常见的形式，例如y = f(x)或y = ax^2 + bx + c。

II. 函数的性质和分类1. 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

- 定义域是自变量可能取的值的集合，要使函数有意义，自变量必须在定义域内。

- 值域是因变量可能取的值的集合，通过分析函数的表达式可以确定值域。

- 单调性描述了函数在定义域内的变化趋势，包括增函数和减函数。

- 奇偶性指函数关于y轴的对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

- 周期性表示函数具有重复性，周期函数在一个周期内的函数值相同。

2. 函数的分类函数的分类根据函数的定义域和值域的不同进行划分，常见的函数包括代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

- 代数函数是含有有理数指数的整式函数，例如一次函数、二次函数等。

- 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，其定义域为实数集合。

- 指数函数是以常数e为底的指数函数，例如自然指数函数。

- 对数函数是指数函数的逆运算，例如自然对数函数。

III. 基本函数的图像和性质1. 一次函数一次函数是函数最简单的形式，表达式为y = kx + b。

其图像为一条直线，具有斜率和截距的性质。

2. 二次函数二次函数是一种重要的函数形式，表达式为y = ax^2 + bx + c。

其图像为一个抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向的性质。

3. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质

第二讲函数（二）一、函数的图象1，图象的变换（1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。

（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。

④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。

（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。

②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。

例1.将下列变换的结果填在横线上：（1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-）例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。

高中数学必修一(人教版)《函数的概念与性质》课件

提醒：要利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图．
【集训冲关】已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2. (1)求f(－1)； (2)求f(x)的解析式； (3)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．解：(1)由于函数f(x)是R上的奇函数，所以对任意的x都有f(－x)＝－f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3.
[方法技巧] 函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． 3利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式. 4利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围. 提醒：判断函数的奇偶性时要特别注意定义域是否关于原点对称.
【集训冲关】
(2)由(1)知 f(x)＝2x32＋x 2＝23x＋32x.任取 x1，x2∈[－2，－1]，且 x1＜x2，则 f(x1) －f(x2)＝23(x1－x2)1－x11x2＝23(x1－x2)·x1xx12x－2 1. ∵－2≤x1＜x2≤－1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． ∴函数 f(x)在[－2，－1]上为增函数，因此 f(x)max＝f(－1)＝－43，f(x)min＝f(－2)＝－53.
2．已知函数 f(x)＝m3xx＋2＋n2是奇函数，且 f(2)＝53. (1)求实数 m 和 n 的值； (2)求函数 f(x)在区间[－2，－1]上的最值．解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－m3xx2＋＋2n＝－m3xx＋2＋n2＝－m3xx2＋－2n. 比较得 n＝－n，n＝0.又 f(2)＝53，∴4m6＋2＝53，解得 m＝2.因此，实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.

《函数的基本性质第1课时》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

新知探究
例1 根据定义，研究函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的单调性．
解：函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的定义域是R． ∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）＝（kx＋b）－（kx＋b）＝k（x1－x2）．由x1＜x2，得x1－x2＜0．所以， ①当k＞0时，k（x1－x2）＜0．于是f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是增函数．
新知探究
追问你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步骤吗？
第三步：确定f（x1）－f（x2）的符号．若f（x1）－f（x2）＜0，则函数在区间D上单调递增；若f（x1）－f（x2）＞0，则函数在区间D上单调递减．简记为“断号、定论”．
新知探究
例3 根据定义证明函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
问题5 （1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且 ∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），我们能说函数 f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？
（1）不能，比如函数f（x）＝x2，当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时，符合∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），但f（x）在区间D上不是单调递增的．
证明：又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2，所以函数p＝ k（k为正常数）在区间（0，＋∞）上单调递减．
V 也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．
新知探究
追问你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步骤吗？
第一步：在区间D上任取两个自变量的值x1，x2∈D，在区间[1，＋∞）上单调递增．第二步：计算f（x1）－f（x2），将f（x1）－f（x2）分解为若干可以直接确定符号的式子，简记为“作差、变形”；

人教版高三数学三角函数知识精讲2

高三数学三角函数知识精讲一. 本周教学内容：三角函数任意角的三角函数，三角函数线，同角三角函数关系与诱导公式，三角函数的图像和性质［基本知识点］1° 角的概念的推广（1）终边相同的角：{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}表示与角α终边相同的角的集合。

（2）象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。

（3）坐标轴上的角：角的终边落在坐标轴上的角，也称轴限角，这个角不属于任何象限。

终边落在轴上的角，终边落在轴上的角，，x k k Z y k k Z {|}{|}ααπααππ=∈=+∈22° 弧度制（1）意义：圆周上弧长等长半径的弧所对的圆心角的大小为1弧度，它将任意角的集合与实数集合之间建立一一对应关系。

（2）弧度与角度的互换 180118011805718===≈πππ弧度弧度弧度，，()()'（3）弧度公式，扇形面积公式： l r =⋅||α S lr r 扇形==12122||α3° 任意角的三角函数（1）定义：设P(x ，y)是角α的终边上任意一点，且|PO|＝r ，则sin cos ααα===yr x r tg y x ，， csc sec ααα===ryr x ctg x y，，（2）三角函数的符号与角所在象限有关，如下表所示。

规律：一全正，二正弦，三双切，四余弦注意：角的范围的讨论及三角函数的定义的理解是三角的重要内容；而度数与弧度数的互化，弦长公式，扇形的面积公式的应用是难点内容，应注意熟练掌握。

（1）在讨论角的范围时，不要遗漏坐标轴上的角；（）角22α终边所在的位置与α终边的位置及k 的取值有关，要对k 的取值结合α的范围情况进行讨论。

（3）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P 点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。

函数的性质知识点总结- 高三数学一轮复习

知识点总结 3-2函数的性质一．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(−x)f(x)＝－1.②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(−x)f(x)＝1. (3)如果一个奇函数f(x)在x ＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(5)在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性． (6)若y ＝f(x ＋a )是奇函数⇔f(x)关于点(a ,0)对称；若y ＝f(x ＋a )是偶函数⇔f(x)关于直线x=a 对称．(7)奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D 上有最值，则f mzx (x)+f min (x)=0;(8)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即f(x)=g(x)+h(x)，其中：g(x)=12[f(x)+f(−x)] ,h(x)=12[f(x)−f(−x)]；二．函数的周期性(差为常数有周期)1.如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期。

2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．提醒：若T 是函数f(x)的一个周期，则nT(n ∈Z ，n≠0)也是函数f(x)的周期． 3.周期性的几个常用结论(1)f(x +a )=−f(x)+t(t ∈R)，则T =2a . (2)f(x +a )=kf(x),(k ∈R,k ≠0)，则T =2a . (3)f(x +a )=1−f(x)1+f(x)，则T =2a ； f(x +a )=1+f(x)1−f(x)；则T =4a ；(5)若f(x +2a )=f(x +a )−f(x),则T ＝6a (a >0)．4.函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数；口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。

高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：2.1 函数及其表示 word版含答案

第一节函数及其表示1．函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．[自测练习]1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x只能对应一个y，所以排除A，B，C，故选D.答案：D知识点二函数的有关概念1．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．2．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．易误提醒(1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．(2)误把分段函数理解为几个函数组成．必备方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[自测练习]2．(2016·贵阳期末)函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：由x ＋1>0知x >－1，故选C. 答案：C3．f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1C ．y ＝x 与y ＝(x )2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3解析：选项A ，C 中的函数定义域不同，选项D 的函数解析式不同，只有选项B 正确．答案：B4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，log 12x ，x >0，则f (f (2))＝( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，f (2)＝log 122＝－1，所以f (f (2))＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2，故选B.答案：B考点一函数的定义域问题|函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：1．求给定函数解析式的定义域；2．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域； 3．已知定义域确定参数问题．探究一求给定解析式的定义域 1．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．(2,3) C ．[2,3)D ．(2，＋∞)解析：本题考查函数的定义域．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x >0，解得2<x <3，故选B.答案：B探究二已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f (3x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,9]D ．(0,1)解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0，即0≤x <1，因此函数g (x )的定义域是[0,1)，故选A.答案：A探究三已知定义域求参数范围问题3．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]函数定义域的三种类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．考点二函数解析式的求法|(1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t ，t ∈[0,2]， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]，即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 解方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．函数解析式求法中的一个注意点利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )； (2)2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )．解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)∵2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)， ∴2f (－x )－f (x )＝lg(1－x )．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)，2f (－x )－f (x )＝lg (1－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)．考点三分段函数|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，f (a )＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2(a ＋1)＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74，选A.答案：A2．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：由于f (0)＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝22<f ⎝⎛⎭⎫π4，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，f (x )＝BP ＋AP ＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π4，不难发现f (x )的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.分段函数的定义理解不清致误【典例】已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.[答案] －34[易误点评] 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．[防范措施] (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．[跟踪练习] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：因为f (－1)＝－(－1)＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a ＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.答案：DA 组考点能力演练1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( )A ．－1B.14C.12D.32解析：由f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12. 答案：C2．(2015·北京朝阳模拟)函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)解析：本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，解得x ≥0且x ≠1，即函数定义域是[0,1)∪(1，＋∞)，故选C.答案：C3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 014)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0lg (－x )，x <0，那么f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝( ) A ．2 014 B ．4 C.14D.12 014解析：f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 986) ＝f (2 014－10 000)＝lg 10 000＝4，则f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝4. 答案：B4．(2016·岳阳质检)设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝⎛⎭⎫x 3＋f ⎝⎛⎭⎫3x 的定义域为( ) A ．(－9,0)∪(0,9) B ．(－9，－1)∪(1,9) C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9)解析：利用函数f (x )的定义域建立不等式组求解．要使函数f (x )有意义，则3＋x3－x>0，解得－3<x <3.所以要使f ⎝⎛⎭⎫x 3＋f ⎝⎛⎭⎫3x 有意义，则⎩⎨⎧－3<x3<3，－3<3x<3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－9<x <9，x <－1或x >1，所以定义域为(－9，－1)∪(1,9)，故选B.答案：B5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析：函数的定义域为R 等价于对∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0，令f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a 2－4≤0即可，解得实数a 的取值范围为[－2,2]，故选D.答案：D6．(2015·陕西二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >01－x ，x ≤0，则f (f (－99))＝________.解析：f (－99)＝1＋99＝100，所以f (f (－99))＝f (100)＝lg 100＝2. 答案：27．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2]8．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．答案：①③ 9．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x >0，x 2－4x ＋3， x <0.10．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝⎛⎭⎫52的值．解：当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)；当P 点在BC 上运动时，y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)；当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)；当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)；综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52.B 组高考题型专练1．(2014·高考山东卷)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵f (x )有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x －1>0，x >0.∴x >2，∴f (x )的定义域为(2，＋∞)．答案：C2．(2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ 4－|x |≥0x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤x ≤4x >2且x ≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：C3．(2015·高考山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝() A ．1 B.78 C.34 D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12.故选D.答案：D4．(2015·高考浙江卷)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin 2x )＝sin xB ．f (sin 2x )＝x 2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x 有唯一的y 与之相对应．对于A ，当x ＝π4或5π4时，sin 2x 均为1，而sin x 与x 2＋x 此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当x ＝1或－1时，x 2＋1＝2，而|x ＋1|有两个值，故C 错误，故选D.答案：D5．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又∵当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－4x 2＋2，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1。

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高三数学函数性质人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：函数性质二. 重点、难点： 1. 奇偶性（1）定义域A 关于原点对称。

答案：)0,(-∞∈x1sin ]1)sin()[()()(22++=+---=-=x x x x x f x f2. 单调性[例4] 求下列函数的增区间（1）)6(log 221--=x x y（2）3||22--=x x y （3）)2)(1(--=x x x y （4）21xxy +=答案：（1）↓=t y 21log 62--=x x t ∴ )2,(--∞∈x ↑（2）作图⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=03203222x x x x x x y ∴ ↑+∞-),1)(0,1(（3）令x x x t )2)(1(--=x x x 2323+-= 2632+-='x x t ),2()331,0(02630)2)(1(2+∞⋃-⇒⎩⎨⎧>+->--x x x x x ∴ )331,0(-，↑+∞),2( （4）)(x f y =奇函数，0>x 时，0)(>x f 0=x ，0)(=x f ，0<x 时，0)(<x f ),0(+∞∈x111)(2+==xx f y ∴ ↑ ∴ R 上↑另解：R xx y ⇒>+⋅+='01)1(122 ∴ R 上↑[例5]（1）若1)3(2)(2+-+==x a ax x f y 在区间↓+∞-),2[，求a 取值范围。

（2）若k kx x x y ++-=232在（31，1）上↓，求k 的取值范围。

答案：（1）① 0=a ，16+-=x y 成立② 0≠a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤--<22)3(20a a a 03<≤-⇒a ∴ )0,3[-∈a（2）k kx x x x f ++-=232)( k x x x f +-='43)(20432<+-k x x 解集为A ∴ A ⊆)1,31(∴ ]1,(0)1(0)31(-∞∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤'≤'k f f3. 周期性[例6] 求下列函数是否为周期函数（1）)(x f y =，R x ∈，满足)3()1(+=+x f x f（2）)(x f y =，R x ∈，满足)()2(x f x f -=+（3）)(x f y =，R x ∈，满足)(1)2(x f x f =+ （4）)(x f y =，R x ∈，满足1)(1)()2(+-=+x f x f x f答案：（1）令t x =+1 ∴ )2()(+=t f t f ∴ )()2(x f x f =+ ∴ T=2 周期函数（2）)()]([)2()4(x f x f x f x f =--=+-=+ ∴ T=4 周期函数（3）)()2(1)4(x f x f x f =+=+ ∴ T=4（4）11)(1)(11)(1)(1)2(1)2()4(++--+-=++-+=+x f x f x f x f x f x f x f )(1)(22x f x f -=-= )()(11)4(1)8(x f x f x f x f =--=+-=+ ∴ T=8[例7] )(x f y =，R x ∈，偶函数，)1()(-==x f x g y 奇函数，则=)2007(f 。

答案：)(x g y =奇)1()1(--=--⇒x f x f)(x f y =偶⇒)1()1(+=--x f x f∴ )1()1(--=+x f x f ∴ )()2(x f x f -=+ ∴ )()4(x f x f =+ )(x g y =奇 ∴ )2007()1(0)0(f f g =-==[例8] )(x f y =，R x ∈，偶函数，周期函数，2=T ，]3,2[∈x ，x x f =)(，则=-)21(f ，]0,1[-∈x ，=)(x f 。

答案：25)25()221()21()21(==+==-f f f f]0,1[-∈x x x f x f x f -=+-=-=2)2()()(【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题：1. 在区间（∞-，0）上为增函数的是（）A. )(log 21x y --=B. xx y -=1C. 2)1(+-=x yD. 21x y +=2. 若)(x f 在区间M 上是减函数，且0)(>x f ，则下列函数在区间M 上是增函数的是（）A. )(2x f y = B. )()21(x f y = C. )(x f y =D. )(log 2x f y =3. 函数245x x y --=的递增区间是（）A. ]2,(--∞B. ]2,5[--C. ]1,2[-D. ),(+∞-∞4. 若函数)(x f y =是偶函数，R x ∈，在0<x 时，y 是增函数，对于01<x ，02>x ，且||||21x x <，则下列结论正确的是（）A. )()(21x f x f ->-B. )()(21x f x f -<-C. )()(21x f x f -=-D. )()(21x f x f -≥-5. 若函数)(x f y =在R 上单调递增，且)()(2m f m f ->，则实数m 的取值范围是（） A. )1,(--∞ B. ),0(+∞ C. )0,1(- D. ),0()1,(+∞⋃--∞二. 简答题：1. )(x f y =，R 上奇函数，)0,(-∞∈x ，1sin )(2+-=x x x f ，求x 0>时，)(x f 解析式。

2. )(2)(x x a a a ax f y ---==为R 上↑，求a 的取值范围。

3. )(x f y =，R x ∈，在↑∈)2,0(x ，)2(+=x f y 为偶函数，试比较)1(f 、)25(f 、)27(f 的大小关系。

试题答案一.1. B2. B3. B4. A5. D 二.1. ),0(+∞∈x 1sin ]1)sin()[()()(22---=+----=--=x x x x x f x f 2.（1）)1,0(∈a02<-a a↓--x x a a （2）)2,1(∈a 02<-a a↑--x x a a ∴↑)(x f（3）),2(+∞∈a 02>-a a↑--x x a a∴ ),2()1,0(+∞⋃∈a3. )2(+=x f y 偶)2()2(+=+-⇒x f x f令21=x ∴ )25()23(f f = 23=x ∴ )27()21(f f = )(x f y =在（0，2）↑∴ )27()21()1()23()25(f f f f f =>>=。

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