21 几何不变体系和几何可变体系.
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建筑力学大纲 知识点第四章 几何组成分析
第4章平面体系的几何组成分析4.1几何不变与几何可变体系的概念通常平面体系可以分成三类，即几何不变体系、几何可变体系和瞬变体系。
在不考虑材料微小变形的条件下，体系受力后，能保持其几何形状和位置的不变，而不发生刚体形式的运动，这类体系称为几何不变体系。
图4－2所示在荷载F的作用下，该体系必然发生刚体形式的运动。
此时无论F值如何小，它的几何形状和位置都要发生变化。
这样的体系称为几何可变体系。
图4－1 图4－2图4－3所示体系，这种在原来的位置上发生微小位移后不能再继续移动的体系称为瞬变体系。
（a）（b）（c）图4－34.2刚片·自由度·联系的概念刚片：对体系进行几何组成分析时，由于不考虑材料的变形，所以各个构件均为刚体，由若干个构件组成的几何不变体系也是一个刚体。
研究平面体系时，将刚体称为刚片。
自由度是确定体系位置时所需要的独立参数的数目。
当对刚片施加约束时，它的自由度将减少。
能减少一个自由度的约束称为一个联系。
4 .3 几何不变体系的组成规则无多余联系是指体系内的约束恰好使该体系成为几何不变体系，几何不变体系的基本组成规则有三条。
规则一：二刚片规则。
两刚片用既不完全平行，也不相交于一点的三根链杆联结。
所组成的体系是几何不变的。
规则二：三刚片规则。
三个刚片用不在一条直线的铰两两相联结组成的体系是几何不变的。
规则三：二杆结点规则。
在刚片上加或减去二杆结点时，形成的体系是几何不变的。
4 .4 静定结构和超静定结构·常见的结构形式4.4.1静定结构和超静定结构几何不变体系可分为无多余联系和有多余联系两类。
无多余联系的几何不变体系称为静定结构，有多余联系的几何不变体系则称为超静定结构。
4.4.2常见的结构形式1.梁板体系2.桁架体系3.拱结构体系4.框架、筒体体系5.悬索体系6.薄壳体系7. 膜结构8.树状结构小结(1)体系可以分为几何不变体系和几何可变体系，只有几何不变体系才能用作结构，几何可变及瞬变体系不能用作结构。
建筑力学与结构第4章
第4章 平面体系的几何组成分析
【学习目标】通过本章的学习，了解几何不变体系和 几何可变体系的概念，理解几何组成分析的目的；掌握平 面体系的几何组成规则并能熟练应用；了解静定结构和超 静定结构的联系和区别。 【学习重点】平面体系的几何组成分析规则，运用规 则判定体系是否为几何不变体系。
4.1 概述
若干个杆件按一定规律相互连接，并与基础连接成一 整体，构成杆件体系。如果体系的所有杆件和约束及外部 作用均在同一平面内，则称为平面体系。 1.几何不变体系和几何可变体系 在不考虑材料变形的条件下，体系受力后，能保持 其几何形状和位置的不变，且不发生刚体形式的运动，这 类体系称为几何不变体系。
图4-16 例4-4图
例4-5 对如图4-17所示结构进行几何组成分析。已 知体系中杆DE、FG、AB互相平行。 解 拆除二元 体D-C-E，剩下部 分中三角形ADF 和BEG是两刚片， 这两刚片用互相 平行的三根链杆 连接，故构成瞬 变体系。
图4-17 例4-5图
例4-6
对如图4-18所示结构进行几何组成分析。
一个单铰相当于两 个约束，也就是相当于 两根链杆的作用。
连接n个刚片的复铰， 其作用相当于（n-1）个单 铰，也即相当于2（n-1） 个约束。
相当于3个单铰
相当于2个单铰
单铰数为1
图4-5 复铰和单铰示例
刚片Ⅰ和刚片Ⅱ间为刚性联结。
图4-6 刚性联结
一个刚性连接相对于三个约束。
必要约束： 凡使体系的自由度减少为零所需要的最少约束。 多余约束： 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不 因此而减少。
2.几何组成分析的目的
对体系进行几何组成分析，目的在于: 1)判断体系是否为几何不变体系，从而决定他能 否作为结构。 2)研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计 的结构是几何不变的。 3)正确区分静定结构和超静定结构，为进行结构 的内力计算打下必要的基础。
【学习目标】通过本章的学习，了解几何不变体系和 几何可变体系的概念，理解几何组成分析的目的；掌握平 面体系的几何组成规则并能熟练应用；了解静定结构和超 静定结构的联系和区别。 【学习重点】平面体系的几何组成分析规则，运用规 则判定体系是否为几何不变体系。
4.1 概述
若干个杆件按一定规律相互连接，并与基础连接成一 整体，构成杆件体系。如果体系的所有杆件和约束及外部 作用均在同一平面内，则称为平面体系。 1.几何不变体系和几何可变体系 在不考虑材料变形的条件下，体系受力后，能保持 其几何形状和位置的不变，且不发生刚体形式的运动，这 类体系称为几何不变体系。
图4-16 例4-4图
例4-5 对如图4-17所示结构进行几何组成分析。已 知体系中杆DE、FG、AB互相平行。 解 拆除二元 体D-C-E，剩下部 分中三角形ADF 和BEG是两刚片， 这两刚片用互相 平行的三根链杆 连接，故构成瞬 变体系。
图4-17 例4-5图
例4-6
对如图4-18所示结构进行几何组成分析。
一个单铰相当于两 个约束，也就是相当于 两根链杆的作用。
连接n个刚片的复铰， 其作用相当于（n-1）个单 铰，也即相当于2（n-1） 个约束。
相当于3个单铰
相当于2个单铰
单铰数为1
图4-5 复铰和单铰示例
刚片Ⅰ和刚片Ⅱ间为刚性联结。
图4-6 刚性联结
一个刚性连接相对于三个约束。
必要约束： 凡使体系的自由度减少为零所需要的最少约束。 多余约束： 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不 因此而减少。
2.几何组成分析的目的
对体系进行几何组成分析，目的在于: 1)判断体系是否为几何不变体系，从而决定他能 否作为结构。 2)研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计 的结构是几何不变的。 3)正确区分静定结构和超静定结构，为进行结构 的内力计算打下必要的基础。
第7章 平面体系的几何组成分析概况
例10．
刚片I、II由5，6杆虚铰于A（无穷远）； 刚片II、III由3，4虚铰于3； 刚片I、III由1，2杆虚铰于2； 三铰A、3、2不共线，构成几何不变，且无多余约束的体系。
例11
图示刚片I、II、III 刚片I、II由1，2杆虚铰于A； 刚片II、III由5，6虚铰于C； 刚片I、III由3，4杆虚铰于B； 三铰A、B、C不共线，构成内部几何不变，且无多余约束 的体系。 注意：几何构造分析中，由于每一杆是一个约束，因而 每根杆只能用一次。．
实铰A,B效果相同,C为虚铰, 因此, 两刚片的连接可归结 为一个铰和一个链杆的连接
或：两个刚片由一个实铰和不过该铰的一根 链杆连接，构成几何不变，且无多余约束 的体系。
规则二：三个刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，则所 组成的体系是几何不变的。
几 何 不 变 铰结三角形，几何不变
三铰各由两链杆构成实铰， 构成几何不变，无多余约束
例6
去除二元片，如图所示。 I、II实铰于A； I、III由1，2虚铰于B； II、III由3，4虚铰于C； A、B、C三铰不共线， 构成几何不变，且无多余约束的体系。
例7．
刚片I与地基III由不彼此平行，又不交于同一点的三杆1，2， 3连接，构成几何不变，且无多余约束的部分。I与III一起视 为扩展的地基刚片IV。 II与IV由实铰A及不过该铰的杆4连接，构成几何不变，且无 多余约束的部分。 所以，原体系构成几何不变，且无多余约束的体系。 从基础部分(几何不变部分)依次添加扩展地基刚片
把II 看作链杆，由两刚片法 则，构成几何不变，无多 余约束
三刚片由不共线的三个虚 铰连接，构成几何不变， 无多余约束体系
三铰不共线，几何不 变，无多余约束
几何不变体系
6
5多余约束：不减少体系自由度过的约束称为多余约束。 A
a 注意：多余约束是结构中有用的、不可少的约束。它将影响
结构的受力与变形，只是不减少体系的自由度。
6、单刚结点：将两刚片联结成一个整体的结点
图示两刚片有六个自由度 加刚联结后有三个自由度
一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。
刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余约束, 若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
O 瞬铰
单铰
A 定轴转动
5
平面运动！
4、复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰
A
x
C
先有刚片A,然后以单铰将 刚片B联于刚片A, 再以单铰
将刚片C联刚片于A上
也可以理解加复铰前三个刚
共有九个自由度， 加复铰后还剩
图示五个自由度。
B y
所以联结三个刚片的复铰相当
于两个单铰，减少体系四个约束。
一般说来，联结n个刚片的复铰相当于n-1个 单铰，相当于 2(n-1)个约束！
Δ是微量
构使用.
P
只有几何不变体N 系才 N
能作为建筑结构使用！！
2
三、自由度：所谓体系的自由度是指体系运动时，可以 独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需独立坐 标的数目。
1、平面内一点＿2＿各自由度；
2、平面内一刚片＿3＿各自由度；
y x
yx 图a
yX
o
y
x
图b
3
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
§2.3无多余约束几何不变体系的组成规则
图a为一无多余约束的几何不变体系 将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚 片组成的无多余约束的几何不变体系
5多余约束：不减少体系自由度过的约束称为多余约束。 A
a 注意：多余约束是结构中有用的、不可少的约束。它将影响
结构的受力与变形，只是不减少体系的自由度。
6、单刚结点：将两刚片联结成一个整体的结点
图示两刚片有六个自由度 加刚联结后有三个自由度
一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。
刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余约束, 若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
O 瞬铰
单铰
A 定轴转动
5
平面运动！
4、复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰
A
x
C
先有刚片A,然后以单铰将 刚片B联于刚片A, 再以单铰
将刚片C联刚片于A上
也可以理解加复铰前三个刚
共有九个自由度， 加复铰后还剩
图示五个自由度。
B y
所以联结三个刚片的复铰相当
于两个单铰，减少体系四个约束。
一般说来，联结n个刚片的复铰相当于n-1个 单铰，相当于 2(n-1)个约束！
Δ是微量
构使用.
P
只有几何不变体N 系才 N
能作为建筑结构使用！！
2
三、自由度：所谓体系的自由度是指体系运动时，可以 独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需独立坐 标的数目。
1、平面内一点＿2＿各自由度；
2、平面内一刚片＿3＿各自由度；
y x
yx 图a
yX
o
y
x
图b
3
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
§2.3无多余约束几何不变体系的组成规则
图a为一无多余约束的几何不变体系 将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚 片组成的无多余约束的几何不变体系
结构力学之平面体系的几何组成分析
二、二刚片规则： 两个刚片用既不全平行也不全交于一点的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变 体系，且无多余约束。
O
ΙΙ
ΙΙΙ
推论： 两个刚片由一个铰和一根轴线不通过该铰的 链杆相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
ΙΙ
C
A
B
例三、
C
A
分析图示体系的几何构造：
D
解法一： 1、找刚片：
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
（二）二元体规则：
增加或去掉二元体不改变原体系的几何
组成性质。
C
A
B
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A
D
E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
B
束的几何不变体系；依次
C
F
G
在其上增加二元体A-D-C、
C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
一、几何构造特性：
（一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
静定结构几何组成的特点是：
任意取消一个约束，体系就变成了
几何可变体系。
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
二、静力特性：
（一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据
05结构力学第二章
例8:对图示体系作几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
规律2 规律
II I
III
2. 两个刚片之间的组成方式 规律1 规律 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连 三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何 三铰不在一直线上 则组成无多余约束的几何 体系。 或 两个刚片之间用三根链杆相 不变 体系 且三根链杆不交于一点,则组成无多余约束 连,且三根链杆不交于一点 则组成无多余约束 且三根链杆不交于一点 的几何不变体系。 的几何不变体系。
例4: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为瞬变体系. 该体系为瞬变体系. 方法3: 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的 刚片看成链杆. 刚片看成链杆.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
二元体( 二元体(片)规则 二元体: 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连 接一个新结点的装置。 接一个新结点的装置。
在一个体系上加减二元体不影响原体系的几何组成
结构力学第2章
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析 五、体系的计算自由度与自由度
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1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束） 2. 自由度与几何体系的关系 几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的 体系都是几何可变体系。 3. 几何性质与静定、超静定的关系 静定、超静定结构都必须是几何不变体系，其中无多 余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不 变体系是超静定结构。
A B C A D O1 B C
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II
O1 D E
I
F O2
I II
E F III
III (a)
O2
(b)
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第2章 平面体系的几何构造分析 四、应注意的问题
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自测
(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。 例如，不能把图a中的 EFGD取作刚片（图b）， 因为它是几何可变的。
烟台大学
A B (a) C C (b) B D A B (c) A C
注意：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的外 边缘开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从一 个基本刚片开始。
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
二、几个容易混淆的概念
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自测
E C A D B
1. 二元体
帮助 开篇
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烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
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自测
例如, 在分析图a 所示体系的几何组成时，可去掉二 元体，体系变为图b。将基础视为刚片，AB杆（刚片Ⅰ）、 BC杆（刚片Ⅱ）与基础（刚片Ⅲ）符合三刚片规律，体 系为无多余约束的几何不变体系。
第2章 平面体系的几何构造分析 五、体系的计算自由度与自由度
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自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束） 2. 自由度与几何体系的关系 几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的 体系都是几何可变体系。 3. 几何性质与静定、超静定的关系 静定、超静定结构都必须是几何不变体系，其中无多 余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不 变体系是超静定结构。
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O1 D E
I
F O2
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III (a)
O2
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(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。 例如，不能把图a中的 EFGD取作刚片（图b）， 因为它是几何可变的。
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注意：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的外 边缘开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从一 个基本刚片开始。
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例如, 在分析图a 所示体系的几何组成时，可去掉二 元体，体系变为图b。将基础视为刚片，AB杆（刚片Ⅰ）、 BC杆（刚片Ⅱ）与基础（刚片Ⅲ）符合三刚片规律，体 系为无多余约束的几何不变体系。
结构力学总复习
加*号的量表示虚设量 （2）变形体虚位移方程：虚设变形形态，则虚功方程可写为
* * * F F c ( M F F P N Q 0 )ds * * RK K B A
结构位移计算的一般公式 在支座处还有给定位移cK
( M FN FQ 0 )ds FRK cK
变形体的虚功原理
设变形体在力系作用下处于平衡状态，
又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，
则外力在位移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形 上所作的内力虚功Wi。即 W Wi
变形体虚功方程的两种应用
（1）变形体虚力方程：虚设平衡力系，则虚功方程可写为
* * * F F c ( M F F N Q 0 )ds * P * RK K B A
80
4m
20kN 3ql2/4
XA YA
A
B
XB
l
l YB
C
2 2 YA 2l 0 M ql 0 . 5 ql B
3ql/8 YA
A
B YB
3ql/8
YA ql 4 2 2 M ql ql 4 X A 2l 0 C
XA 3ql 8
2l
M（kN.m)
第 1章
绪论
结构的概念和结构力学的研究内容 结构计算简图的简化要点 杆件结构的分类 荷载的分类
第 2章
平面体系的机动分析
几何构造分析的概念
平面几何不变体系的组成规律
平面杆件体系的计算自由度
几何构造分析的几个概念
1. 几何不变体系和几何可变体系 几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。 几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和
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如图a所示，由两个铰结三角形组成的桁架，本为几何不变体系,
但若从其内部抽掉一根桁杆CB，如图b所示，则当结点C处作用 FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位移，即变成几何可变体系。
FP C D FP C C1 D D1 LIAOCHENG UNIVERSITY
ABຫໍສະໝຸດ ABa) 几何不变体系
b) 几何可变体系
聊城大学建筑工程学院
2、外部支承不恰当：
如图a所示简支梁，本为几何不变体系；
但若将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b所示， 则在图示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移， 即变成了几何可变体系。
FP A B FP
LIAOCHENG UNIVERSITY
A
C C1
B B1
A1
a) 几何不变体系
D
FP A A1 弹性变形 EI FP A EI1=∞
B
B
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2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材
料的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
LIAOCHENG UNIVERSITY
聊城大学建筑工程学院
FP
A A1
EI1=∞ B 刚体位移 A2
二、造成几何可变的原因 1、内部构造不健全：
2.1 几何不变体系和几何可变体系
LIAOCHENG UNIVERSITY
一、几何不变体系和几何可变体系 二、造成几何可变的原因 三、几何组成分析的目的
聊城大学建筑工程学院
一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑
材
LIAOCHENG UNIVERSITY
料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
b) 几何可变体系
聊城大学建筑工程学院
三、几何组成分析的目的 结构必须是几何不变体系才能承担荷载。
几何组成分析的目的:
主要就是要检查并设法保证结构是几何不变体系；
LIAOCHENG UNIVERSITY
有助于结构受力分析和选择更加合理的结构形式。
聊城大学建筑工程学院
但若从其内部抽掉一根桁杆CB，如图b所示，则当结点C处作用 FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位移，即变成几何可变体系。
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2、外部支承不恰当：
如图a所示简支梁，本为几何不变体系；
但若将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b所示， 则在图示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移， 即变成了几何可变体系。
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B B1
A1
a) 几何不变体系
D
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2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材
料的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
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EI1=∞ B 刚体位移 A2
二、造成几何可变的原因 1、内部构造不健全：
2.1 几何不变体系和几何可变体系
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一、几何不变体系和几何可变体系 二、造成几何可变的原因 三、几何组成分析的目的
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一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑
材
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料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
b) 几何可变体系
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三、几何组成分析的目的 结构必须是几何不变体系才能承担荷载。
几何组成分析的目的:
主要就是要检查并设法保证结构是几何不变体系；
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有助于结构受力分析和选择更加合理的结构形式。
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