江苏省泰州市靖江实验学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
江苏省泰州市靖江实验学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是()A. q<16B. q>16C. q≤4D. q≥42.如果ab=cd，且abcd≠0，则下列比例式不正确的是()A. ab =cdB. ac=dbC. bd=caD. db=ac3.在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，则cosA的值等于()A. 35B. √74C. 45或√74D. 45或2√774.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB⏜=BC⏜，∠AOB=58°，则∠BDC的度数是()A. 58°B. 42°C. 32°D. 29°5.已知正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3√2，点E是弧AD上的一点，连接BE，CE，CE交AD于H点，作OG垂直BE于G点，且OG=√2，则EH：CH=()A. 18B. 2√2−19C. 2√29D. √276.如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM是正比例函数y=−√3x的图象，点A的坐标为(1,0)，在直线OM上找点N，使△ONA是等腰三角形，符合条件的点N的个数是()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.在比例尺为1：8000的江阴市地图上，某道路的长度约为25厘米，它的实际长度约为______米．8.若9x2−25=0，则x1=__________，x2=__________．9.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=4，EC=2，5P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________ ．10.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，G为△ABC的重心，那么CG=______．11.某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是______．12.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若S△ADE=2，S△CDE=3，则S△ADE：S△ABC=______．13.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的点A处，则小明的影子AM的长度为米.14.如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P在边AB上，以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，则⊙P的半径PE的长为___________．15.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD并延长，交AC的延长线于点E，OA=1，AE=3，则下列结论正确的是． ①∠B=∠CAD; ②点C是AE的中点; ③ADBD =EDAE; ④tanB=√10−13．16.⊙O的半径为4cm，P是线段OA的中点，若OA=12cm，则点P在⊙O_________；若OA=8cm，则点P在⊙O__________；若OA=5cm，则点P在⊙O___________．三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）17.计算：(√2+1)0−3tan30°+(−1)2016−(12)−1．18.先化简，再求值．(a+2a2−2a −a−1a2−4a+4)÷4−aa−2，其中a2−2a−1=0．19.如图，已知直线l和点A，B，求作⊙O，使它经过A，B两点，且圆心O在直线l上，写出作法，并保留作图痕迹．20.为了游客的安全，某景点将原坡角为30°的斜坡AB改为坡度为1：3的斜坡AC，已知AB=100米，BC在同一水平线上，求改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC的长．21.享有“铁观音之乡”美称的安溪，地处闽南金三角，每年有大量的游客到此旅游．当地一家酒店有50个房间供游客居住，经过一段时间经营发现，当房间的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．当有一半的房间空闲时，求此时房间的定价是多少元？22.阅读下面的材料：解方程x4−7x2+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2= y，则x4=y2，∴原方程可化为y2−7y+12=0，解得y1=3，y2=4．当y=3时，x2=3，x=±√3；当y=4时，x2=4，x=±2．∴原方程有四个根，是x1=√3，x2=−√3，x3=2，x4=−2．以上方法叫换元法，运用上述方法解答下列问题．(1)解方程：(x2+x)2−5(x2+x)+4=0；(2)已知实数a，b满足(a2+b2)2−3(a2+b2)−10=0，试求a2+b2的值．23.在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.若四边形ABCD为正方形．①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系______；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由．24.大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范(如图①).小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE=2米，CD=2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得CM=0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM=1.5米，FG=2米．如图②，已知AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．25.如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG，交BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若OFFD =23，求∠E的度数．(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD=2√3，求AD的长．x−k分别与y轴、x轴相交于点A、B，且AB=5.一个圆心在坐标原点，26.如图所示，直线y=k3半径为1的圆，以0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动．设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t(t≥0)(秒)．(1)求直线AB的解析式．(2)如左图所示，t为何值时，动圆与直线相切？(3)如右图所示，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式．(4)在(3)中，动点P自刚接触圆面起，经过多长时间后离开了圆面？-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=64−4q>0，解之即可得出．∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82−4q>0，∴q<16，故选A．2.答案：A解析：本题考查了比例线段、比例的性质，关键是熟悉比例的性质：两外项的乘积等于两内项的乘积．根据比例的性质，可得答案．解：A、ab =cd，得ad=bc，故A符合题意；B、ac =db，得ab=cd，故B不符合题意；C、bd =ca，得ab=cd，故C不符合题意；D、db =ac，得ab=cd，故D不符合题意．故选：A．3.答案：C解析：【分析】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论．因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB 为斜边，②AC 为斜边，根据勾股定理求得AB 的值，然后根据余弦的定义即可求解．解： ①当AB 为斜边时，∠C =90∘，∵AC =8，BC =6，∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10． ∴cosA =ACAB =810=45． ②当AC 为斜边时，∠B =90∘，由勾股定理得AB =√AC 2−BC 2=√82−62=2√7， ∴cosA =AB AC =2√78=√74． 综上所述，cosA 的值等于45或√74．故选C ．4.答案：D解析：本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．连接OC ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠BOC =∠AOB =58°，根据圆周角定理计算，得到答案． 解：连接OC ，∵AB⏜=BC ⏜，∴∠BOC=∠AOB=58°，由圆周角定理得，∠BDC=12∠BOC=29°，故选D．5.答案：B解析：解：连接AC、BD、DE，∵OG⊥BE，∴BG=GE，又BO=OD，∴OG=12DE，则DE=2OG=2√2，由勾股定理得，BE=√BD2−DE2=8，∵∠EBD=∠ECD，∠BED=∠CDH=90°，∴△CDH∽△BED，∴CDBE =DHED，∴DH=CD⋅EDBE =3√22，∴AH=6−3√22=12−3√22，CH=√CD2+DH2=9√22，∵∠CAD=∠DEC，∠ACE=∠ADE，∴△ACH∽△EDH，∴AHEH =CHDH，则EH=AH⋅DHCH =4−√22，∴EHCH =2√2−19，故选：B．连接AC、BD、DE，根据垂径定理和三角形中位线定理得到DE=2OG=2√2，根据勾股定理求出BE，利用△CDH∽△BED和△ACH∽△EDH得到成比例线段，计算即可．本题考查的是圆周角定理、正方形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．6.答案：A解析：解：∵直线OM是正比例函数y=−√3x的图象，∴图形经过(1,−√3)，∴tan∠AON2=√3．∴∠AON2=60°，若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，N是以A为圆心，以OA为半径的圆与OM的交点，共有1个，当O是顶角顶点时，N是以O为圆心，以OA为半径的圆与MO的交点，有2个；此时2个点重合，若OA是底边时，N是OA的中垂线与直线MO的交点有1个．以上4个交点有2个点重合．故符合条件的点有2个．故选：A．7.答案：2000解析：本题考查了比例线段，即比例尺，能够根据比例尺的概念进行正确计算，注意单位的转换．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式求得实际长度．解：设它的实际长度约为x厘米，则：18000=25x，解得x=200000，200000厘米=2000米，所以它的实际长度约为2000米．故答案为2000．8.答案：53；−53解析： 本题考查了直接开平方法解方程． 解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a(a ≥0)的形式，利用数的开方直接求解．(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a(a ≥0)；ax 2=b(a,b 同号且a ≠0)；(x +a)2=b(b ≥0)；a(x +b)2=c(a,c 同号且a ≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”..(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.原方程变形后用开平方法解答． 解：9x 2−25=0，9x 2=25，x 2=259． x 1=53，x 2=−53．故答案为53; −53． 9.答案：4.8解析：解：设菱形ABCD 的边长为x ，则AB =BC =x ，又EC =2，所以BE =x −2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中，cosB =x−2x ，又cosB =45， 于是x−2x =45， 解得x =10，即AB =10．所以易求BE =8，AE =6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值．故由三角形面积公式有：12AB ⋅PE =12BE ⋅AE ，求得PE 的最小值为4.8．故答案为4.8．设菱形ABCD 的边长为x ，则AB =BC =x ，又EC =2，所以BE =x −2，解Rt △ABE 即可求得x 的值，即可求得BE 、AE 的值，根据AB 、PE 的值和△ABE 的面积，即可求得PE 的最小值．本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．10.答案：103解析：解：△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD=12AB=5，∵G为△ABC的重心，∴CG=23CD=103，故答案为103．根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．11.答案：25%解析：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个增长率为x，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设这个增长率为x，依题意，得：64(1+x)2=100，解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不合题意，舍去)．故答案为：25%．12.答案：4：25解析：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及三角形的面积，属于基础题．先求出AE：AC，再运用三角形的面积之比等于相似三角形的对应边的平方比求解即可．解：∵△ADE的边AE上的高和△CDE的边CE上的高相等，S△ADE=2，S△CDE=3，∴AECE =23，AEAC=25，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=(AEAC )2=425．故答案为：4：25．13.答案：5解析：本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．解：如下图所示：∵OC//AB，∴△MBA∽△MCO，∴ABOC =AMOA+AM，即1.68=AM20+AM，解得AM=5(米)，故答案为5．14.答案：2411解析：本题是圆与三角形综合，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等.解题的关键是利用三角形的面积构造方程求出半径.连结CP，作AH⊥BC于H，如图，设⊙P的半径为r，根据等腰三角形的性质得BH=12BC=3，则利用勾股定理可计算出AH=4，再根据切线的性质得PE⊥BC，PF⊥AC，利用S△ABC=S△PAC+S△PBC得到12BC×AH=12BC×PE+12AC×PF，即6×4=6r+5r，然后解方程即可．解：连结CP，作AH⊥BC于H，如图，设⊙P的半径为r，∵AB=AC=5，∴BH=CH=12BC=3，∴AH=√AB2−BH2=4，∵以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，∴PE⊥BC，PF⊥AC，∵S△ABC=S△PAC+S△PBC，∴12BC×AH=12BC×PE+12AC×PF，即6×4=6r+5r，∴r=2411．故答案为2411．15.答案： ① ③ ④解析：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理以及解直角三角形的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合． ①抓住∠BAC=∠ADB=90∘即可判断正误; ②由题意可证△ECD∽△EDA，从而可求CE，进而判断正误; ③由 ②知△ECD∽△EDA，可得CDAD =EDAE，易知△ACD∽△BAD，可得CDAD=ADBD，从而判断正误; ④在Rt△ADB中可求tanB，从而判断正误．解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∴∠B+∠DAB=90∘，∵∠BAC=90∘，∴∠CAD+∠DAB=90∘，∴∠B=∠CAD，故 ①中的结论正确．∵∠EAO=90∘，AO=1，AE=3，∴EO=√10，∴DE=√10−1．易知∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E，∴△ECD∽△EDA，∴CEED =EDAE，即√10−1=√10−13，解得CE=11−2√103，故 ②中的结论不正确．由△ECD∽△EDA，得CDAD =EDAE，在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴△ACD∽△BAD，∴CDAD =ADBD，∴ADBD=EDAE，故 ③中的结论正确．tanB=ADBD =EDAE=√10−13，故 ④中的结论正确．故答案为： ① ③ ④16.答案：外上内解析：本题主要考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆半径，则点在圆外，等于圆的半径，则点在圆上，小于圆的半径，则点在圆内，由此即可求解即可．解：若OA=12cm，点P为线段OA的中点，则OP=6cm>4cm，所以点P在⊙O外；若OA=8cm，点P为线段OA的中点，则OP=4cm，所以点P在⊙O上；若OA=5cm，点P为线段OA的中点，OP=2.5cm<4cm，所以点P在⊙O内．故答案为外；上；内．17.答案：解：原式=1−3×√33+1−2=1−√3+1−2=−√3．解析：分别利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质分别化简求出答案．此题主要考查了零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．18.答案：解：(a+2a2−2a −a−1a2−4a+4)÷4−aa−2，=[a+2a(a−2)−a−1(a−2)2]·a−24−a，=(a+2)(a−2)−a(a−1)a(a−2)2·a−2 4−a，=a2−4−a2+aa(a−2)2·a−2 4−a，=−a−4a(a−2)2·a−2 a−4，=−1a(a−2)，=−1a2−2a，∵a2−2a−1=0，∴a2−2a=1，∴原式=−1．解析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．19.答案：解：如图所示：⊙O即为所求．作法：(1)作线段AB的垂直平分线交直线l于点O；(2)以O为圆心，OA为半径作圆，即为所求．解析：本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先作线段AB的垂直平分线交l于点O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆即可．20.答案：解：作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴AD=AB⋅sin∠ABD=100⋅sin30°=50m，BD=AB⋅cos∠ABD=100cos30°=50√3m，∵AC的坡度为1：3，∴AD：CD=1：3，∴BC=CD−BD=(150−50√3)m，∴改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC的长是(150−50√3)m．解析：作AD⊥BC于D，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，注意：坡度等于坡角的正切值．21.答案：解：设房间的定价为x元时，上涨的价格为(x−180)元，空出的房间数为x−18010，则入住的房间数为50−x−18010，根据题意得，x−180 10=502，解得：x=430，答：当房间的定价为430元时，将有一半的房间空闲．解析：本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列方程是解题关键．设房间的定价为x元，根据“有一半的空闲房间”列出方程x−18010=502，解出即可．22.答案：解：(1)设y=x2+x，则y2−5y+4=0．整理，得(y−1)(y−4)=0，解得y 1=1，y 2=4．当x 2+x =1，即x 2+x −1=0时，解得x =−1±√52． 当x 2+x =4，即x 2+x −4=0时，解得x =−1±√172． 综上所述，原方程的解为x 1=−1+√52，x 2=−1−√52，x 3=−1+√172，x 4=−1−√172(2)设x =a 2+b 2，则x 2−3x −10=0．整理，得(x −5)(x +2)=0，解得x 1=5，x 2=−2，由于a 2+b 2⩾0，故a 2+b 2=5．解析：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．(1)设y =x 2+x ，则由已知方程得到：y 2−5y +4=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x 的一元二次方程；(2)设x =a 2+b 2，则由已知方程得到：x 2−3x −10=0，利用因式分解法求得该方程的解即可． 23.答案：解：(1)FD =√2AE ；(2)FD =√2AE ，理由如下：由旋转可知：∠ABE =∠DBF ，且BF BE =√2=BD AB∴△ABE∽△DBF∴DF AE =BD AB =√2．解析：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，证明△ABE∽△DBF 是本题的关键．(1)由正方形的性质可得AB=AD，∠ABD=45°，∠A=90°，可得BD=√2AB，由平行线分线段成比例可得AEFD =ABBD=1√2，可得FD=√2AE；(2)由旋转的性质可得∠ABE=∠DBF，且BFBE =√2=BDAB，可证△ABE∽△DBF，可得FD=√2AE．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABD=45°，∠A=90°，∴BD=√2AB，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴∠EFB=45°=∠ABD，∴EF=BE，∴BF=√2BE，∵∠A=90°，EF⊥AB，∴EF//AD∴AE:AB=DF:BD，∵BD=√2AB，∴FD=√2AE 故答案为：FD=√2AE；(2)见答案．24.答案：解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE=2，CD=2，∴AB=BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB=BC=x，则HN=BM=x+5.4+0.6=x+6，AN=x−1.5，FP=0.5，PH=GM=0.6，∵∠ANH=∠FPH=90°，∠AHN=∠FHP，∴△ANH∽△FPH，∴ANPF =NHPH，即x−1.50.5=x+60.6，∴x=39，∴紫云楼的高AB为39米．解析：根据已知条件得到AB=BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB=BC=x，则HN=BM= x+5.4+0.6=x+6，AN=x−1.5，FP=0.5，PH=GM=0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．25.答案：(1)证明：连接OC．∵BC平分∠ABD，∴∠CBO=∠CBD，∵OB=OC，∴∠CBO=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC//BD．∵BD⊥DE于D，∴OC⊥DE于C．又∵OC是⊙O的半径．∴CD是⊙O的切线．(2)解：∵OC//BD，∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，∴OCBD =OFFD，OCBD=EOEB，∴EOEB =OFFD=23．设⊙O的半径为r，则OA=OB=OC=r．∴EA+rEA+2r =23，∴EA=r．在△EOC中，∠ECO=90°，∴sinE=COEO =r2r=12，∴∠E=30°．(3)解：∵∠E=30°，CD⊥BD于D.∴∠DBE=60°．∵BC平分∠DBE，∴∠CBD=30°．在Rt△CBD中，tan∠CBD=CDBD，∴BD=2√3tan30∘=6．∵OCBD =OFFD=23，∴OC=4，AB=8．连接AG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°．∴BG=ABcos60∘=8×12=4，AG=ABsin60∘=8×√32=4√3，∴DG=BD−BG=2，在Rt△ADG中，AD=√AG2+DG2=√(4√3)2+22=2√13．解析：本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC//BG，即可得到结论；(2)由OC//BD，得到△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，得到OCBD =OFDF=23，OCBD=OEBE=23，根据直角三角形的性质即可得到结论；(3)如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6√3，BE=12，在Rt△DAH中，AD=√AH2+DH2=√22+(4√3)2=2√13．26.答案：解：(1)由图可知k<0，直线AB与坐标轴的交点A(0,−k)、B(3,0)，∵AB=5，∴k=−4，∴直线AB的解析式为y=−43x+4．(2)设t秒时圆与直线AB相切，此时圆心为C1，切点为D1，如图所示，可能出现两种情况，连接C1D1，C2D2．由△AC1D1∽△ABO，得AC1AB =C1D1OB，∴4−0.8t5=13，解得t=3512．同理由△AC2D2∽△ABO，得AC2AB =C2D2OB，∴0.8t−45=13，解得t=8512．∴当t=3512秒或t=8512秒时，圆与直线AB相切．(3)如图所示．①当t=0时，s=3；②当0<t<5时，设t秒时动圆圆心为C，连接PC，OC BP =0.8tt=45=AOAB，∴PC//OB，则PCOB=ACAO，即s3=4−0.8t4，∴s=−35t+3；③当t=5时，s=0，④当t>5时，设动圆圆心为C1，动点P在P1处，连接C1P1，由②同理可知P1C1//OB，∴s3=0.8t−44，∴s=35t−3，又当t=0或5时，②中s=3或0，则综上所述：当0≤t≤5时，s=−35t+3；当t>5时，s=35t−3．(4)当动点P与圆面刚接触时或刚离开时，s=1，由s=−35t+3代入得t=103；由s=35t−3代入得t=203，又203−103=103，∴动点P自刚接触圆面起，经过103秒后离开了圆面．解析：本题是一次函数的综合应用．(1)由图可知k<0，直线AB与坐标轴的交点A(0,−k)、B(3,0)，进一步求得直线AB的解析式；(2)设t秒时圆与直线AB相切，此时圆心为C1，切点为D1，如图所示，可能出现两种情况，连接C1D1，C2D2,利用三角形相似的性质，求得d答案；(3)如图所示．①当t=0时，s=3；②当0<t<5时，设t秒时动圆圆心为C，连接PC，③当t=5时，s=0，④当t>5时，设动圆圆心为C1，动点P在P1处，连接C1P1，由②同理可知P1C1//OB，分别求得答案；(4)当动点P与圆面刚接触时或刚离开时，s=1，利用前面结论进一步求得答案．。
江苏省泰州市2020版九年级上学期期中数学试卷(I)卷
江苏省泰州市2020版九年级上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2019九下·深圳月考) 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A . y=m+2B . y=ax2+bx+cC . y=2m2－6D . y=x2+2. （2分） (2019九上·遵义月考) 二次函数的最小值是（）A . 2B . 2C . 1D . 13. （2分）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，－3）,那么该抛物线有（）A . 最小值－3B . 最大值－3C . 最小值2D . 最大值24. （2分）(2017·永修模拟) 如图抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中B点坐标为（4，0），直线DE是抛物线的对称轴，且与x轴交于点E，CD⊥DE于D，现有下列结论：①a＜0，②b＜0，③b2﹣4ac＞0，④AE+CD=4下列选项中选出的结论完全正确的是（）A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ①②5. （2分） (2017九上·江门月考) 当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019九上·义乌月考) 在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（）A .B .C .D .7. （2分）将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A . y=-2x2-12x+16B . y=-2x2+12x-16C . y=-2x2+12x-19D . y=-2x2+12x-208. （2分） (2019九下·武冈期中) 函数的图象可以由怎么平移得到？（）A . 先先右平移1个单位，再向上平移4个单位B . 先向左平移1个单位，再向下平移4个单位C . 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位D . 先向右平移1个单位，再向下平移4个单位9. （2分） (2017·重庆模拟) 若方程（m﹣1）﹣（m+1）x﹣2=0是一元二次方程，m的值为（）A . m=0B . m=±1C . m=1D . m=﹣110. （2分）已知一元二次方程 x2 - x + 1 = 0，下列判断正确的是（）A . 该方程有两个不相等的实数根B . 该方程有两个相等的实数根C . 该方程无实数根D . 该方程只有一个实数根11. （2分）某商品原价为200元，为了吸引更多顾客，商场连续两次降价后售价为162元，求平均每次降价的百分率是多少？设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A . 162（1+x）2=200B . 200（1-x）2=162C . 200（1-2x）=162D . 162+162（1+x）+162（1+x）2=20012. （2分）下列方程中，是关于x的一元二次方程是（）A . x2+ +3=0B . 2xy+x2=0C . x2=5x﹣2D . x2﹣2=x2+2x13. （2分） (2015九上·海南期中) 某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A . 56（1+x）2=30B . 56（1﹣x）2=30C . 30（1+x）2=56D . 30（1+x）3=5614. （2分）若抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，则c的值等于（）A . 8或14B . 14C . -8D . -8或-14二、填空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2015八下·绍兴期中) 如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________．16. （1分） (2016九上·红桥期中) 将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为________．17. （1分）(2018·广州) 已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）18. （1分）(2020·宁波模拟) 若二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象经过A（-7，m）、B（3，n）、C（13，m）三点，则m与n的大小关系是________。
2019-2020年九年级上学期期中质量检测数学试卷及答案(WORD版)
A B O C D 2019-2020年九年级上学期期中质量检测数学试卷及答案（WORD 版）班级： 姓名： 得分：一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1、下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A 、B 、C 、D 、2、方程x 2 = x 的根是（ ）A. x=0B. x=1C. x=0 , x=1D. x=0 , x=-13、二次函数的图像的顶点坐标是（ ）A 、（-1，8）B 、（1，8）C 、（-1，2）D 、（1，-4）4、如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是 由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A 、30° B 、45° C 、90° D 、135°5、用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）A 、B 、C 、D 、 6、关于的一元二次方程k 有实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、k ≥-1或k ≠0B 、 k ≥-1C 、k ≤-1且k ≠0D 、k ≥-1且k ≠07、将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A 、B 、C 、D 、8、已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9、 方程的解是 。
10、点A 的坐标是(－6，8)，则点A 关于X 轴对称的点的坐标是 ，点A 关于Y 轴对称的点的坐标是 ，点A 关于原点对称的点的坐标是 。
11、已知一元二次方程的两个解分别为、，则的值为 。
12、已知关于的方程的一个根为2，则另一根是 。
13、 若二次函数的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程 的一个解，另一个解 。
14、如图，在直角坐标系中，已知点A （﹣3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作翻转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△23中的的坐标为 。
江苏省泰州市2020年(春秋版)九年级上学期期中数学试卷(I)卷
江苏省泰州市2020年（春秋版）九年级上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019九上·高州期末) 下列各式中是一元二次方程的是（）A . x2+1＝B . x（x+1）＝x2﹣3C . 2x2+3x﹣1D . ﹣x2+3x﹣1＝02. （2分）(2017·锡山模拟) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019九上·余杭期中) 已知二次函数y＝x2－bx＋1(－1≤b≤1)，当b从－1逐渐变化到1的过程中，图象（）A . 先往左上方移动，再往左下方移动B . 先往左下方移动，再往左上方移动C . 先往右上方移动，再往右下方移动D . 向往右下方移动，再往右上方移动5. （2分）(2012·本溪) 如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A . 16B . 15C . 14D . 136. （2分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A .B .C .D .7. （2分）若t是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b2-4ac和完全平方式M=（2at+b）2的关系是（）A . △=MB . △＞MC . △＜MD . 大小关系不能确定8. （2分） (2020九上·岐山期末) 对于抛物线y= (x-5)2+3，下列说法正确的是（）A . 开口向下，顶点坐标(5，3)B . 开口向上，顶点坐标(5，3)C . 开口向下，顶点坐标(-5，3)D . 开口向上，顶点坐标(-5，3)9. （2分）(2017·双桥模拟) 如图，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，得出了下面五条信息：①c ＞0；②b=6a；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤对于图象上的两点（﹣6，m ）、（1，n），有m＜n．其中正确信息的个数有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个10. （2分） (2019九上·偃师期中) 如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，若AB＝7，MN＝3，则AC的长为（）A . 14B . 13C . 12D . 11二、填空题 (共8题；共9分)11. （1分）中自变量的取值范围是________12. （1分）(2017·临高模拟) 如图，⊙O的半径为5，P为⊙O上一点，P（4，3），PC、PD为⊙O的弦，分别交y轴正半轴于E、F，且PE=PF，连CD，设直线CD为y=kx+b，则k=________．13. （1分）一般地，形如________ 的函数是二次函数．14. （2分） (2017九上·泰州开学考) 当x________时，式子有意义．当x________时，分式的值为零．15. （1分） (2017九上·南涧期中) 已知二次函数的图象开口向下,且顶点坐标（0，-3）.请写出一个符合条件的二次函数的解析式________.16. （1分）函数图象y=ax2+（a﹣3）x+1与x轴只有一个交点，则a的值为________．17. （1分）如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=________ ．18. （1分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④b＞a+c；⑤b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有________．（只填序号）三、解答题 (共10题；共97分)19. （10分） (2017九上·蒙阴期末) 解下列方程（1）x2+x﹣1=0（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．20. （7分） (2020九上·息县期末) 如图，在边长为1的正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B 的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）.将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.（1）画出旋转后的△A1OB1________，点A1的坐标为________ ；（2）在旋转过程中，点B经过的路径的长.21. （5分）(2017·宝山模拟) 直线l：y=﹣ x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图像指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．22. （5分）(2017·广陵模拟) 我叫小白，你知道吗，2014年底南水北调中期工程开始运行，“南水”进京了，但是北京仍是特大型缺水城市，人均水资源量不到全国平均水平的．你了解吗，家庭中的冲水马桶是“大户”，用水量大约占家庭用水量的36%左右，两年前，我家每个月都要冲掉约3000升水．近两年来，我家使用新型冲水马桶，同时注意各种方法节水，现在我家全年用水量只有64000升，请你帮我算算，我家这两年用水的年平均下降率是多少？23. （10分）(2018·牡丹江模拟) 如图，已知二次函数y= -x2+bx+c的图像经过A（2,0），B（0,-6）两点。
靖江实验学校九年级数学试卷
一、选择题1、64的平方根等于 （ ）A ．8B ．-8C ． 22D ． 22±2、下列运算中，正确的是 （ ）A ．236a a a ⋅= B ．236()a a -=C ．22139aa--=-D ．22223a a a --=-3、下图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是 （）4、已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．220cmB ．220cm πC ．210cm πD ．25cm π5、已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d 的取值满足 （ ）A ．9d >B ． 9d =C ． 39d <<D ．3d =6、已知一组数据：12,5,9,5,14，下列说法不正确的是 （ ） A. 极差是5 B. 中位数是9 C. 众数是5 D. 平均数是97、下列命题是真命题的是 （ ） A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B.有一边与两角相等的两三角形全等C ．对角线相等的四边形是矩形D ．有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形 8、如图，点A 在反比例函数y ＝4x (x>0)的图像上，点B 在反比例函数y ＝－9x(x<0)的图像上， 且 ∠AOB ＝90°，则tan ∠OAB （ ）． A.49 B. 94C. 23D. 329、如图，△ABC 在直角坐标系中， AB ＝AC ，A(0，22)，C(1，0)， D 为射线AO 上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为 （ ）A ．(0，2)B ．(0，22)C ．(0，23)D ．(0，24)10、一次函数y=ax+b(a>0)、二次函数y=ax 2+bx 和反比例函数ky x=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为（－2，0），则下列结论中，正确的是 （ ） A ．a >b>0 B ．a>k>0 C ．b=2a+k D ．a=b+k11、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．将△ABC 绕C 点按顺时针方向旋转180°后，记所得的图形是△NMC ．设点M 的横坐标是a ，则点B 的横坐标是 （ ） A ．－a B ．－（a ＋1） C ．－（a －1） D ．－（a ＋2） 二、填空题12、 因式分解：2x 2－4xy+2y 2＝_______13、据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达679000000元，这个数用科学记 数法表示是 元．14、 若关于x 的一元二次方程032=-+x x 的两根为1x ，2x ，则=++212122x x x x ． 15、将抛物线22x y =-1的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线 ．16、若把代数式224x bx ++化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -的最大值是 ．17、如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为2，AC 、BD 是⊙O 的两条相互垂直的弦，垂足为M （1，则四边形ABCD 的面积的最大值与最小值的差为18、如图，∠ACB ＝60°，半径为1cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在直线CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O与直线CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是 cm ．19、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 .20、如图18－1，有一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝6cm ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，则图18－2中阴影部分的面积为 ．三、解答题21．计算：（1）045tan )2(9+--π （2）aa a a a -+-÷--2244)111(22．(本题满分8分) (1)解方程：0242=-+x x ； (2)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-〉-121312x x x x23、机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图 所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A 处，再 沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在 圆O 上. （1）求弦BC 的长；（2）求圆O 的半径长.（本题参考数据：sin 67.4° = 1213 ，cos 67.4° = 513 ，tan 67.4° = 12524、有两个可以自由转动的均匀转盘A ，B 都被分成了3等分，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下： ①分别转动转盘A ，B ；②两个转盘停止后观察两个指针所指份内的数字（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份内为止）． (1)请用树状图或列表法列出所有可能的结果； (2)王磊和张浩想用这两个转盘做游戏，他们规定：若“两个指针所指的数字都是方程x 2－5x ＋6＝0 的解”时，王磊得1分；若“两个指针所指的数字都不是方程x 2－5x ＋6＝0的解”时，张浩得3分， 这个游戏公平吗？为什么？ 25、“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“十一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：（1）这次抽查的家长总人数是多少？ （2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率多少？26、如图1，A 1B 1和A 2B 2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）． 甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道A 1B 1上从A 1处出发，到达B 1后，以同样的速度返回A 1处，然后重复上述过程；乙在赛道A 2B 2上以2m/s 的速度从B 2处出发，到达A 2后以相同的速度回到B 2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两人同时出发，设离开池边B 1B 2的距离为y （m ），运动时间为t （s ），甲游动时，y （m ）与t （s ）的函数图象如图2所示．（1）赛道的长度是 ▲ m ，甲的速度是 ▲ m/s ；（2）分别写出甲在020t ≤≤和2040t <≤时，y 关于t 的函数关系式：当020t ≤≤，y= ▲ ；当2040t <≤时，y= ▲ ； （3）在图2中画出乙在2分钟内的函数大致图象（用虚线画）；（4）请你根据（3）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两人同时开始出发到2分钟为止，甲、乙共相遇了几次？2分钟时，乙距池边B 1B 2的距离为多少米。
江苏省泰州市靖江实验学校2019-2020年人教版九年级(上)第一次月考数学试卷 解析版
2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（共6小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值是（）A．B．C．D．2．下列对一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根3．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，点P在△ABC的边AC上，添加一个条件可判断△ABP∽△ACB，其中添加不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝D．＝5．某厂一月份生产某机器200台，计划二、三月份共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝1800B．200（1+x）+200（1+x）2＝1800C．200（1﹣x）2＝1800D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝18006．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的正弦值为（）A．2 B．C．D．二．填空题（共10小题）7．tan30°＝．8．已知方程x2﹣4x+1＝0的两个根是x1和x2，则x1+x2＝．9．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．10．在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin B＝．11．如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为km．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x cosα+＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为°．13．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为m．14．等腰三角形的面积为，一条边长为5，则底角的正切值等于．15．已知，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点F恰好落在AC上，AC、BE相交于点G，设△ABG的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，则S1：S2＝．16．如图，点G为等边△ABC的重心，AB＝6，点P、Q分别在AB、BC上，且AP：CQ＝3：2，∠PGQ＝150°，则tan∠BPQ的值为．三．解答题（共10小题）17．（1）计算：﹣（）﹣1﹣|1﹣tan60°|；（2）解方程：x2﹣6＝2x．18．先化简，再求值：（+）÷，其中a满足a2﹣4a﹣1＝0．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，（1）请在y轴左侧画出△A1B1C1；（2）点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在（1）中△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为．20．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠DBC．（1）求证：△ABD∽△BDC；（2）设AB＝a，BD＝b，CD＝c，判断方程ax2﹣2bx+c＝0的根的情况，并说明理由．21．图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．22．某旅行社的一则广告如下：为庆祝中华人民共和国成立70周年，我社推出去井冈山红色旅游，收费标准为：如果组团人数不超过30人，人均收费800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不得低于500元，甲公司想分批组织员工到井冈山红色旅游学习．（1）如果第一批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费元；（2）如果公司计划用29250元组织第二批人去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？23．已知一次函数y＝﹣2x+b（b为常数，b＞0）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y＝图象交于C、D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E．（1）求tan∠ACE的值；（2）记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若，求b的值．24．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i （即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）25．如图，正方形ABCD的边长为4，点M为BC上的动点，过点M作MN⊥AM交DC于点N，连接AN．（1）求证：△ABM∽△MCN；（2）四边形ABCN的面积能否为，若能，求出此时BM的长，若不能，请说明理由；（3）当△CMN与△AMN相似时，求DN的长．26．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B、C重合），点E为AC上一点，且满足AD2＝AE•AC，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：∠ADE＝∠B；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据余弦的定义计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，cos A＝＝，故选：B．2．下列对一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣3）＝13＞0，所以方程方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．4．如图，点P在△ABC的边AC上，添加一个条件可判断△ABP∽△ACB，其中添加不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．【解答】解：∵在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当＝时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当＝时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．5．某厂一月份生产某机器200台，计划二、三月份共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝1800B．200（1+x）+200（1+x）2＝1800C．200（1﹣x）2＝1800D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1800【分析】由于一月份生产机器200台，设二、三月份每月的平均增长率为x，由此得到二月份生产机器200（1+x）台，三月份生产机器200（1+x）2台，由此可以列出关于x 的方程．【解答】解：二月份的生产量为200×（1+x），三月份的生产量为200×（1+x）（1+x），那么200（1+x）+200（1+x）2＝1800．故选：B．6．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的正弦值为（）A．2 B．C．D．【分析】延长CB交网格于D，连接AD，则∠ADC＝45°+45°＝90°，由勾股定理得出AD＝＝，AC＝＝，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：延长CB交网格于D，连接AD，如图所示：则∠ADC＝45°+45°＝90°，∵AD＝＝，AC＝＝，∴∠ACB的正弦值＝＝＝；故选：C．二．填空题（共10小题）7．tan30°＝．【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：tan30°＝．故答案是：．8．已知方程x2﹣4x+1＝0的两个根是x1和x2，则x1+x2＝ 4 ．【分析】根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝4．故答案为4．9．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为12 ．【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．【解答】解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．10．在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin B＝．【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，tan A＝，∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，则sin B＝＝＝．故答案为：．11．如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为40km．【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，∵PA＝AB•tan60°，∴PC＝2×20×＝40（km），故答案为：40．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x cosα+＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为30 °．【分析】利用判别式的意义得到△＝（2cosα）2﹣4×＝0，然后求出cosα的值，再利用特殊角的三角函数值确定锐角α的值．【解答】解：根据题意得△＝（2cosα）2﹣4×＝0，所以cosα＝，所以锐角α的度数为30°．故答案为30．13．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为 2.3 m．【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．【解答】解：过N点作ND⊥PQ于D，∴，又∵AB＝2，BC＝1.6，PM＝1.2，NM＝0.8，∴QD＝＝1.5，∴PQ＝QD+DP＝QD+NM＝1.5+0.8＝2.3（m）．故答案为：2.3．14．等腰三角形的面积为，一条边长为5，则底角的正切值等于3或或．【分析】由题意知腰和底边不确定，应分两种情况进行讨论①腰长为5；②底边为5；进行求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当△ABC是锐角三角形，AB＝5时，过C作CD⊥AB于D，如图1所示：∵S△ABC＝AB•CD＝，∴×5•CD＝，∴CD＝3．在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝＝4，∴BD＝5﹣4＝1，∴tan B＝＝＝3；当△ABC是钝角三角形，AB＝5时，过C作CD⊥AB于D，如图2所示：同理得：CD＝3，AD＝4，则BD＝AB+AD＝9，∴tan B＝＝＝；②当BC＝5时，过A作AD⊥BC于D，如图3所示：∵AB＝AC，∴BD＝CD＝，∵S△ABC＝BC•AD＝，∴×5•AD＝，∴AD＝3．∴tan B＝＝＝；综上所述，底角的正切值等于3或或；故答案为：3或或．15．已知，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点F恰好落在AC上，AC、BE相交于点G，设△ABG的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，则S1：S2＝．【分析】设CD＝AB＝2a，则AD＝BC＝4a，由折叠的性质得AF⊥BE，FG＝AG，得出∠ABE＝∠DAC＝∠ACB，得出tan∠ABE＝＝tan∠ACB＝＝，求出AE＝AB＝a，由勾股定理得出BE＝＝a，由三角形面积得出AG＝＝＝a，得出BG＝2AG＝a，AF＝2AG＝a，EG＝BE﹣BG＝a，求出△ABG的面积S1和四边形CDEF的面积S2，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB：BC＝1：2，∴设CD＝AB＝2a，则AD＝BC＝4a，由折叠的性质得：AF⊥BE，FG＝AG，∴∠ABE＝∠DAC＝∠ACB，∴tan∠ABE＝＝tan∠ACB＝＝，∴AE＝AB＝a，∴BE＝＝a，∴AG＝＝＝a，∴BG＝2AG＝a，AF＝2AG＝a，EG＝BE﹣BG＝a，∴△ABG的面积为S1＝BG×AG＝×a×a＝a2，四边形CDEF的面积为S2＝△ACD的面积﹣△AEF的面积＝×4a×2a﹣×a×a＝a2，∴S1：S2＝＝；故答案为：．16．如图，点G为等边△ABC的重心，AB＝6，点P、Q分别在AB、BC上，且AP：CQ＝3：2，∠PGQ＝150°，则tan∠BPQ的值为2．【分析】根据点G为等边△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点D，得AD⊥BC，连接BG，证明△PBG∽△GBQ，可求AP＝3，CQ＝2，得点P是AB的中点，连接CG，C、G、P 在同一条直线上，过点Q作QE∥AB，交AC于点E，交CP于点F，根据重心定义可得PF ＝CP﹣CF＝3﹣＝2，再证明tan∠BPQ＝tan∠PQF，即可求解．【解答】解：如图，∵点G为等边△ABC的重心，∴连接AG并延长交BC于点D，∴AD⊥BC，连接BG，∴∠BGD＝60°∵∠PGQ＝150°，∴∠PGB+∠QGD＝90°∵∠GQD+∠QGD＝90°，∴∠PGB＝∠GQD∠PBG＝∠GBQ＝30°∴△PBG∽△GBQ∴＝∵AP：CQ＝3：2，AB＝6，∴设AP＝3x，CQ＝2x，∴BP＝6﹣3x，BQ＝6﹣2xBG＝AD＝×3＝2∴（6﹣3x）（6﹣2x）＝（2）2解得x＝1或x＝4（不符合题意舍去）∴AP＝3，CQ＝2∴点P是AB的中点，连接CG∴C、G、P在同一条直线上，且CP⊥AB，CP平分∠ACB，过点Q作QE∥AB，交AC于点E，交CP于点F，∴QE⊥CF，∠PQF＝∠BPQ∵CQ＝2，∠FCQ＝30°，∴QF＝1，CF＝∴PF＝CP﹣CF＝3﹣＝2∴tan∠BPQ＝tan∠PQF＝＝2．故答案为2．三．解答题（共10小题）17．（1）计算：﹣（）﹣1﹣|1﹣tan60°|；（2）解方程：x2﹣6＝2x．【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．（2）根据配方法即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣（﹣1）＝﹣1；（2）∵x2﹣6＝2x，∴x2﹣2x+2＝8，∴（x﹣）2＝8，∴x＝3或x＝﹣；18．先化简，再求值：（+）÷，其中a满足a2﹣4a﹣1＝0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足a2﹣4a﹣1＝0得出（a﹣2）2＝5，再代入原式进行计算即可．【解答】解：原式＝•＝，由a满足a2﹣4a﹣1＝0得（a﹣2）2＝5，故原式＝．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，（1）请在y轴左侧画出△A1B1C1；（2）点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在（1）中△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为（a，b）．【分析】（1）依据点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，即可得到△A1B1C1；（2）依据△A1B1C1与△ABC的位似比为，即可得出点P（a，b）的对应点P1的坐标为（a，b）．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）∵△A1B1C1与△ABC的位似比为，∴点P（a，b）的对应点P1的坐标为（a，b），故答案为：（a，b）．20．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠DBC．（1）求证：△ABD∽△BDC；（2）设AB＝a，BD＝b，CD＝c，判断方程ax2﹣2bx+c＝0的根的情况，并说明理由．【分析】（1）由平行线的性质可得∠CDB＝∠ABD，且∠A＝∠DBC，可证△ABD∽△BDC；（2）由相似三角形的性质可得b2＝ac．则方程ax2﹣2bx+c＝0的根的判别式△＝0，即方程ax2﹣2bx+c＝0有两个相等的实数根．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD，且∠A＝∠DBC，∴△ABD∽△BDC；（2）∵△ABD∽△BDC，∴，即，∴b2＝ac，即b2﹣ac＝0．∵方程ax2﹣2bx+c＝0的根的判别式△＝4b2﹣4ac＝4a（b2﹣ac）＝0，∴方程ax2﹣2bx+c＝0有两个相等的实数根．21．图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．22．某旅行社的一则广告如下：为庆祝中华人民共和国成立70周年，我社推出去井冈山红色旅游，收费标准为：如果组团人数不超过30人，人均收费800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不得低于500元，甲公司想分批组织员工到井冈山红色旅游学习．（1）如果第一批组织38人去学习，则公司应向旅行社交费27360 元；（2）如果公司计划用29250元组织第二批人去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？【分析】（1）根据总费用＝人均费用×人数，即可求出结论；（2）求出人均费用为500元时的人数，设这次旅游学习应安排x人参加，分x≤30，30＜x≤60及x＞60三种情况，列出关于x的一元一次方程（或一元二次方程），解之即可得出结论．【解答】解：（1）[800﹣10×（38﹣30）]×38＝27360（元）．故答案为：27360．（2）30+（800﹣500）÷10＝60（人）．设这次旅游学习应安排x人参加．当x≤30时，800x＝29250，解得：x＝＞30，不合题意，舍去；当30＜x≤60时，[800﹣10（x﹣30）]x＝29250，整理，得：x2﹣110x+2925＝0，解得：x1＝45，x2＝65（不合题意，舍去）；当x＞60时，500x＝29250，解得：x＝＜60，不合题意，舍去．答：这次旅游学习应安排多45人参加．23．已知一次函数y＝﹣2x+b（b为常数，b＞0）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y＝图象交于C、D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E．（1）求tan∠ACE的值；（2）记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若，求b的值．【分析】（1）求得A、B的交点，解直角三角形求得∠ABO，然后证得CE∥y轴，根据平行线的性质即可求得tan∠ACE＝tan∠ABO＝；（2）根据BO⊥x轴，CE⊥x轴可以找出△AOB∽△AEC，根据相似三角形的性质可得出＝，设点C的坐标为（x，﹣2x+b），则OB＝b，CE＝﹣2x+b，根据＝结合点C为两函数图象的交点，即可得出关于x、b的方程组，解之即可求出b值，取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）一次函数y＝﹣2x+b（b为常数，b＞0）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，令x＝0，则y＝b；令y＝0，则求得x＝，∴A（，0），B（0，b），∴OA＝，OB＝b，在Rt△AOB中，tan∠ABO＝＝＝，∵CE⊥x轴于点E，∴CE∥y轴，∴∠ACE＝∠ABO，∴tan∠ACE＝；（2）根据题意得：＝＝，∴＝．设点C的坐标为（x，﹣2x+b），则OB＝b，CE＝﹣2x+b，∴，解得：b＝3，或b＝﹣3（舍去）．24．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i （即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【分析】（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，在Rt△BCN中，求出BN，构建方程即可解决问题；（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y ﹣（3+y）＝11+y，由△EFH∽△FBH，可得＝，即＝，求出y即可；【解答】解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，∵四边形DMNC是矩形，∴DM＝CN＝2x，在Rt△NBC中，tan37°＝＝＝，∴BN＝x，∵x+3+x＝14，∴x＝3，∴DM＝6，答：坝高为6m．（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y ﹣（3+y）＝11+y，由△EFH∽△FBH，可得＝，即＝，解得y＝﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），∴DF＝2﹣7，答：DF的长为（2﹣7）m．25．如图，正方形ABCD的边长为4，点M为BC上的动点，过点M作MN⊥AM交DC于点N，连接AN．（1）求证：△ABM∽△MCN；（2）四边形ABCN的面积能否为，若能，求出此时BM的长，若不能，请说明理由；（3）当△CMN与△AMN相似时，求DN的长．【分析】（1）要证三角形ABM∽MCN，就需找出两组对应相等的角，已知两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似；（2）由BM＝x，根据相似三角形的对应边成比例，可表示出CN的长，又由梯形ABCN面积为10.5，列出方程即可解决问题；（3）根据△CMN与△AMN相似，△ABM∽△MCN，得到△ABM与△AMN相似，由∠B＝∠AMN ＝90°，则有△ABM∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AMN＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝∠AMB+∠CMN＝90°，∴∠BAM＝∠CMN，∴△ABM∽△MCN；（2）解：∵正方形ABCD边长为4，设BM＝x，∴CM＝BC﹣BM＝4﹣x，∵△ABM∽△MCN，∴AB：CM＝BM：CN，∴＝，∴CN＝，∵梯形ABCN面积为，∴S梯形ABCN＝（CN+AB）•BC＝×[+4]×4＝10.5，整理得：x2﹣4x+5＝0，∵△＝16﹣20＜0，∴梯形ABCN的面积不能为；（3）解：∵△CMN与△AMN相似，△ABM∽△MCN，∴△ABM与△AMN相似，∵∠B＝∠AMN＝90°，则有△ABM∽△AMN，∴＝，由（1）知△ABM∽△MCN，∴＝，∴＝，∴BM＝MC＝2，∴CN＝1，∴DN＝3．26．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B、C重合），点E为AC上一点，且满足AD2＝AE•AC，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：∠ADE＝∠B；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出＝，可得DB＝＝＝，由DE∥AB，推出＝，求出AE即可．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△AFN∽△ADM，可得＝＝tan∠ADF＝tan B＝，推出AN＝AM＝×12＝9，推出CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∵AD2＝AE•AC，∴＝，∵∠DAE＝∠CAE，∴△BAD∽△DCE，∴∠ADE＝∠ACD，∴∠ADE＝∠B．（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tan B＝4k×＝3k，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴202＝（3k）2+（4k）2，∴k＝4或﹣4（舍弃），∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2•4k＝32，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴＝，∴DB＝＝＝，∵DE∥AB，∴＝，∴AE＝＝＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝20，tan B＝，∴BM＝CM＝16，∴BC＝32，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴＝＝tan∠ADF＝tan B＝，∴AN＝AM＝×12＝9，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14，∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．。
【九年级】九年级上册数学期中试题(带答案和解释)
【九年级】九年级上册数学期中试题（带答案和解释）泰州市靖江实验学校2021-2021学年九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在下表相应位置上）1．（3分）使有意义的x的取值范围是（）A． B． C．x≥ D．x≥考点：二次根式有意义的条件．.专题：．分析：根据二次根式的被开方数为非负数即可解答．解答：解：由二次根式有意义得：3x?4≥0，解得：x≥ ．故选D．点评：本题考查二次根式有意义的条件，难度不大，注意掌握二次根式的被开方数为非负数．2．（3分）（2021•无锡）设一元二次方程x2?2x?4=0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（）A．x1+x2=2B．x1+x2=?4C．x1x2=?2D．x1x2=4考点：根与系数的关系．.分析：根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．解答：解：这里a=1，b=?2，c=?4，根据根与系数的关系可知：x1+x2=? =2，x1•x2= =?4，故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．3．（3分）（2021•随州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（） A． B． C． D．考点：锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．.分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．解答：解：由题意，设BC=4x，则AB=5x，AC= =3x，∴tanB= = = ．故选B．点评：本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．通过设参数的方法求三角函数值．4．（3分）下列命题中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的平行四边形是矩形C．两边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形考点：命题与定理．.专题：．分析：两组对边平行的四边形是平行四边形；两条对角线相等的四边形是矩形；邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形．解答：解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，故本选项错误．B、两条对角线相等的四边形是矩形，故本选项正确．C、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误．D、对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，要熟记这些判定定理．5．（3分）点P到⊙O的圆心O的距离为d，⊙O的半径为r，d与r的值是一元二次方程x2?3x+2=0的两个根，则点P与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P不在⊙O上考点：点与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．.分析：求解方程求得方程的两个根即可得到d与r的值，然后做出判断即可．解答：解：解方程x2?3x+2=0得：x=1或x=2，∵d≠r，∴点P不在⊙O上，故选D．点评：本题考查了点与圆的位置关系及用因式分解法解一元二次方程的知识，解题的关键是正确的解方程．6．（3分）当b＜0时，化简等于（）A．2b?1B．?1C．1?2bD．1考点：二次根式的性质与化简；绝对值．.专题：．分析：由于b＜0，直接利用二次根式的基本性质进行化简，再由绝对值的一般性质知b=?b， =1?b，再代入所求代数式，即可得所求结果．解答：解：∵b＜0，∴得b=?b，b?1＜0，∴ =1?b，∴ =?b+1?b=1?2b．故选C．点评：本题主要考查二次根式的简单性质，对简单的二次根式进行化简，是中考中的常考内容，要引起注意．7．（3分）如图，⊙O的直径CD=5c，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为，ta n∠OB= ，则AB的长是（）A．2cB．3cC．4cD．2 c考点：垂径定理；解直角三角形．.分析：在直角三角形OB中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠OB，由tan∠OB的值设出O=3xc与B=4xc，再由直径CD的长求出半径OB的长，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出B的长，再由CD垂直于AB，利用垂径定理得到为AB的中点，即可求出AB的长．解答：解：在Rt△OB中，tan∠OB= = ，设O=3xc，B=4xc，由直径CD=5c，得到OB=2.5c，根据勾股定理得：OB2=O2+B2，即6.25=9x2+16x2，解得：x=0.5，则B=4x=2c，∵AB⊥DC，∴为AB的中点，即A=B= AB，则AB=2B=4c．故选C．点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．8．（3分）如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（）A．7个B．8个C．9个D．10个考点：等腰三角形的判定；正方形的性质．.专题：计算题；压轴题．分析：根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．解答：解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当P与B重合时，△APC为等腰三角形；当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；当AP=AC时，△APC是等腰三角形；当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，综上，直线AB上会发出警报的点P有7个．故选A点评：此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．二、题（每题3分，共30分）9．（3分） = 2 ．考点：二次根式的乘除法．.专题：计算题．分析：根据二次根式的除法法则进行运算，然后将二次根式化为最简即可．解答：解：原式===2 ．故答案为：2 ．点评：本题考查了二次根式的除法运算，属于基础题，掌握二次根式的除法法则及二次根式的化简是关键．10．（3分）（2021•历下区二模）己知α是锐角，且，则α=45°．考点：特殊角的三角函数值．.专题：计算题．分析：直接根据sin60°= 进行解答即可．解答：解：∵sin60°= ，α是锐角，且，∴α+15°=60°，解得α=45°．故答案为：45°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．11．（3分）小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了100，则他升高了20 ．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：首先根据题意画出图形，由小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了100，利用坡度的意义，根据三角函数的定义，即可求得答案．解答：解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵坡度为1：2，∴i=tan∠B= = ，∴sin∠B= ，∵AB=100，∴AE= =20 （）．即他升高了20 ．故答案为：20 ．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题难度不大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想的应用．12．（3分）（2021•濮阳）某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40c，则对角线AC= 20 c．考点：等腰梯形的性质；三角形中位线定理．.分析：利用等腰梯形和中位线定理和已知条件，即可推出结论．解答：解：∵等腰梯形的对角线相等，EF、HG、GF、EF均为梯形的中位线，∴EF=HG=GF=EF= A C．又∵EF+HG+GF+EF=40c，即2AC=40c，则AC=20c．对角线AC=20c．点评：本题考查的是等腰梯形的性质即三角形中位线的性质，属一般题目．13．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则xy= 9 ．考点：同类二次根式．.专题：计算题．分析：由同类二次根式的定义得到根指数相等，被开方数相等，列出方程，求出x与y的值，即可确定出xy的值．解答：解：根据题意得：x2?3=2x，y?1=2，且x2?3=2x≥0，x2?2x?3=0，即（x?3）（x+1）=0，解得：x=3或x=?1（舍去），y=3，则xy=9．故答案为：9点评：此题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．14．（3分）关于x的方程x2?（2?1）x+?2=0有两个实数根，则的取值范围是且≠0．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．.分析：根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围．解答：解：∵关于x的方程x2?（2?1）x+?2=0有两个实数根，∴△=b2?4ac=（2?1） 2?4（?2）≥0，解得：≥? ，则的取值范围是≥? 且≠0．故答案为：且≠0．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2?4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的定义．15．（3分）若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 c、深约为2 c的小坑，则该铅球的直径约为14.5 c．考点：垂径定理的应用；勾股定理．.专题：．分析：根据题意，把实际问题抽象成几何问题，即圆中与弦有关的问题，根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．解答：解：根据题意，画出图形如图所示，由题意知，AB=10，CD=2，OD是半径，且OC⊥AB，∴AC=CB=5，设铅球的半径为r，则OC=r?2，在Rt△AOC中，根据勾股定理，OC2+AC2=OA2，即（r?2）2+52=r2，解得：r=7.25，所以铅球的直径为：2×7.25=14.5 c．点评：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．16．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=7，BE=1，cos∠AED= ，则CD= 2 ．考点：垂径定理；勾股定理；解直角三角形．.专题：计算题．分析：过O作OF⊥CD，交CD于点F，利用垂径定理得到DF=CF，连接OD，有AE+BE求出AB的长，进而确定出OB的长，由OB?EB求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用锐角三角函数定义求出EF的长，利用勾股定理求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．解答：解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，可得DF=CF，连接OD，∵AE=7，BE=1，∴OB=OD= AB= ×8=4，OE=OB?EB=3，在Rt△OEF中，OE=3，cos∠AED= ，∴EF=OEcos∠AED=2，根据勾股定理得：OF= = ，在Rt△ODF中，根据勾股定理得：DF= = ，则CD=2DF=2 ．故答案为：2 ．点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．17．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为 2.3 ．考点：梯形；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．.专题：计算题．分析：延长AF至BC延长线上交于G点，由已知可证明∠AGB=∠EAG，则EF为△ABG的中位线，得出EF=3，还可证明FG=4，由勾股定理得EG=5，则求得CE的长为2.3．解答：解：延长AF至BC延长线上交于G点，∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，∵AF⊥AB，∴∠ABE+∠AGB=90°，∠BAE+∠EAG=90°，∴∠AGB=∠EAG，∴∠ABE=∠AGE，∴AE=EG，∴GE=BE，∴E为BG中点，∴EF是△ABG的中位线，故可得：EF= AB=3，FG=AF=4，∴AG=8，∴BG=10，∴EG=5，∵AF⊥AB，AE=BE，∴点E是BG的中点，∴EG=BE=5，∴可得△EFG为直角三角形，∴CE=EG?CG=EG?AD=5?2.7=2.3．故答案为：2.3．点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的性质和勾股定理，是一道综合题，难度较大．18．（3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则sin∠APD的值是．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．.专题：网格型．分析：首先连接BE，AE，过点A作AF⊥BE于点F，由勾股定理即可得AB=AE= ，BE= ，则可求得AF的长，继而可求得答案．解答：解：如图，连接BE，AE，过点A作AF⊥BE于点F，∵由题意得：AB= = ，AE= = ，BE= = ，∴AE=AB，∴BF= BE= ，∴在Rt△ABF中，AF= = ，∴sin∠ABF= = = ，∵CD∥BE，∴∠APD=∠ABE，∴sin∠APD= ．故答案为：．点评：此题考查了三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题19．（8分）计算：．考点：特殊角的三角函数值；实数的性质；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．.专题：计算题．分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（π?3.14）0=1，（? ）?1=?2．解答：解：原式=1+（?2）+ ?4×=1?2+3? ?=2? ．点评：本题考查的知识点是：任何不等于0的数的0次幂是1，a?p= ．20．（8分）先化简，再求值：（），其中a满足a2+a?1=0．考点：分式的化简求值．.专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除数分母利用平方差公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为运算，约分得到最简结果，由已知方程求出a的值，代入计算即可求出值．解答：解：∵a2+a?1=0，即a2=?（a?1），∴原式= ÷= •===?1．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．21．（8分）关于x的一元二次方程x2?x+p?1=0有两个实数根x1、x2．（1）求p的取值范围；（2）若，求p的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．.专题：计算题．分析：（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2?4ac的意义得到△≥0，即12?4×1×（p?1）≥0，解不等式即可得到p的取值范围；（2）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义得到x12?x1+p?1=0，x22?x2+p?1=0，则有x12?x1=?p+1=0，x22?x2=?p+1，然后把它们整体代入所给等式中得到（?p+1?2）（?p+1?2）=9，解方程求出p，然后满足（1）中的取值范围的p值即为所求．解答：解：（1）∵方程x2?x+p?1=0有两个实数根x1、x2，∴△≥0，即12?4×1×（p?1）≥0，解得p≤ ，∴p的取值范围为p≤ ；（2）∵方程x2?x+p?1=0有两个实数根x1、x2，∴x12?x1+p?1=0，x22?x2+p?1=0，∴x12?x1=?p+1=0，x22?x2=?p+1，∴（?p+1?2）（?p+1?2）=9，∴（p+1）2=9，∴p1=2，p2=?4，∵p≤ ，∴p=?4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2?4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．22．（8分）如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD．考点：圆心角、弧、弦的关系．.专题：证明题．分析：连接BO，OD，利用等腰三角形性质证圆心角相等，即可得出AB=CD．解答：解：连接BO，OD，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵OC=OD，∴∠C=∠D，∵∠A=∠C，∴∠AOB=∠COD，∴AB=CD．点评：此题主要考查了圆周角定理和等弧对等弦，以及全等三角形的判定和性质．23．（10分）（2021•上海）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC 的中点，BC=14，AD=12，sinB= ．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．.专题：计算题．分析：（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长；（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C=∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值．解答：解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，在Rt△ABD中，∵sinB= ，AD=12，∴ ，∴AB=15，∴BD= ，又∵BC=14，∴CD=5；（2）在Rt△ACD中，∵E为斜边AC的中点，∴ED=EC= AC，∴∠C=∠EDC，∴tan∠EDC=tanC= ．点评：此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点．24．（10分）国家为了加强对房地产市场的宏观调控，抑制房价的过快上涨，规定购买新房满5年后才可上市转卖，对二手房买卖征收差价的x%的附加税．某城市在不征收附加税时，每年可成交10万套二手房；征收附加税后，每年减少0.1x万套二手房交易．现已知每套二手房买卖的平均差价为10万元．如果要使每年征收的附加税金为16亿元，并且要使二手房市场保持一定的活力，每年二手房交易量不低于6万套．问：二手房交易附加税的税率应确定为多少？考点：一元二次方程的应用．.分析：国家征收的附加税金总额=二手房的销售额（即单价×销售量）×征收的税率．以此可得出方程，然后根据“不低于6万套”舍去不合题意的解．解答：解：设税率应确定为x%，根据题意得10（10?0.1x）•x%=16，x2?100x+1600=0，解得x1=80，x2=20，当x2=80时，10?0.1×80=2＜6，不符合题意，舍去，x1=20时，100?0.1×20=8＞6，答：税率应确定为20%．点评：此题考查了一元二次方程的应用，此题不仅是一道实际问题，而且结合了现在房价问题，是一个比较典型的题目．25．（10分）（2021•宁波）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．.专题：证明题；压轴题．分析：（1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE= AB，DF= CD．∴BE=DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴DE=BE，∵四边形DFBE是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．点评：本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．26．（10分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）（1）若修建的斜坡BE的坡度为1：0.8，则平台DE的长为14.0 米；（2）斜坡前的池塘内有一座建筑物GH，小明在平台E处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HE）为30°，测得建筑物顶部H在池塘中倒影H′的俯角为45°（即∠H′E），测得点B、C、A、G、H、H′在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的长．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.分析：（1）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台DE的长；（2）首先设GH=x米，由三角函数的定义，即可求得GH的长，继而求得答案．解答：解：（1）∵F∥CG，∴∠BDF=∠BAC=30°，∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，∴BD=30米，∴DF=BD•cos∠BDF=30× =15 ≈25.98（米），BF=BD•sin∠BDF=30× =15（米），∵斜坡BE的坡度为1：0.8，∴ = ，解得：EF=12（米），∴DE=DF?EF=25.98?12≈14.0（米）；故答案为：14.0；（2）设GH=x米，则H=GH?G=x?15（米），GH′=GH=x米，H′=GH′+G=x+15（米），在Rt△EH中，tan30°= = ，在Rt△EH′中，tan45°= =1，∴ = ，即 = ，解得：x=56.0，即GH=56.0米，∵∠BEF=∠DEH′=45°，∴EF=BF=15（米），∴E=H′=x+15=71.0（米），∴F=EF+E=15+71.0=86.0（米），∴CG=F=86.0米，∵AC=AB•cos30°=60× =30 ≈52.0（米），∴AG=CG?AC=86.0?52.0=34.0（米）．答：建筑物GH的高为56.0米，AG的长约为34.0米．点评：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义．此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．27．（12分）（2021•盘锦）已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．.专题：综合题；压轴题．分析：（1）利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB（SAS）证明△AGD≌△AEB即可；（2）当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长；（3）当∠CEF=90°时，延长CE交AG于，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=C?E，在Rt△AE和Rt△AC中求解C和E的长即可．解答：解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．∵四边形AEFG是菱形，∴AD=AB．∴AG=AE．∴△AGD≌△AEB．（3分）（2）解法一：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．∴∠CDH= ∠CDF=60°，CH= CF．在Rt△CDH中，∵CH=DCsin60°=5× = ，（6分）∴CF=2CH=5 ．（7分）解法二：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O．由题意，知AF=AC，∠FAC=60°．∴△AFC是等边三角形．∴FC=AC．由已知，∠DAO= ∠BAD=30°，AC⊥BD，∴AO=ADcos30°= ．（6分）∴AC=2AO=5 ．∴FC=AC=5 ．（7分）（3）如图（2），当∠CEF=90°时，（8分）延长CE交AG于，连接AC．∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG．∵∠CEF=90°，∴∠GE=90°．∴∠AE=90°．（9分）在Rt△AE中，AE=5，∠AE=60°，∴A=AEcos60°= ，E=AEsin60°= ．在Rt△AC中，易求AC=5 ，∴C= = ．∴EC=C?E= ? ，= （ ? ）．（11分）∴S△CEF= •EC•EF= ．（12分）点评：本题考查菱形的性质，同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度较大．28．（12分）如图，已知△ABC中，AB=10c，AC=8c，BC=6c，如果点P由B出发沿BA 方向向点A匀速运动，速度为2c/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1c/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，△APQ是直角三角形？（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）把△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能不能是菱形？若能，求出此时菱形的面积；若不能，请说明理由．考点：相似形综合题．.专题：压轴题．分析：（1）表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况，利用∠A的余弦列式计算即可得解；（2）先求出△ABC的面积，然后利用∠A的正弦求出点P到AQ的距离，再根据△APQ的面积公式列出方程，然后求出根的判别式△＜0，确定不存在；（3）根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角可得关于AB翻折时，∠A=∠APQ，过点Q作QD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD= AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出DQ，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解；关于AC翻折时，∠A=∠AQP，过点P作PE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE= AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出PE，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解．解答：解：（1）∵点P的速度为2c/s，点Q的速度为1c/s，∴AP=10?2t，AQ=t，如图1，∠AQP=90°时，cos∠A= = ，∴ = ，解得t= ，如图2，∠APQ=90°时，cos∠A= = ，∴ = ，解得t= ，综上所述，t= 或时，△APQ是直角三角形；（2）△ABC的面积= AC•BC= ×8×6=24c2，假设存在t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则点P到AQ的距离为：AP•sin∠A=（10?2t）× = （10?2t），∴△APQ的面积= t• （10?2t）= ×24，整理得，t2?5t+20=0，∵△=（?5）2?4×1×20=25?80=?55＜0，∴此方程无解，∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；（3）根据菱形的性质，若关于AB翻折时，则∠A=∠APQ，如图1，过点Q作QD⊥AB于D，则AD= AP= （10?2t）=5?t，cos∠A= = ，∴ = ，解得t= ，∴DQ=AQ•sin∠A= × = ，AP=10?2t=10?2× = ，∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ；若关于AC翻折时，则∠A=∠AQP，如图2，过点P作PE⊥AC于E，则AE= AQ= ，cos∠A= = ，∴ = ，解得t= ，∴PE=AP•sin∠A=（10?2× ）× = × = ，∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ；综上所述，△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能是菱形，菱形的面积为或．点评：本题是相似形综合题型，主要考查了锐角三角函数，三角形的面积，菱形的对角相等，对角线平分一组对角的性质，（1）（3）两题难点在于要分情况讨论求解，（2）利用根的判别式判断即可，综合题，但难度不大．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
江苏省泰州市2020年(春秋版)九年级上学期数学期中考试试卷C卷
江苏省泰州市2020年（春秋版）九年级上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在1、2、3三个数中任意取一个数，这个数是3的概率是（）A .B .C . 1D . 02. （2分）下列命题错误的是（）A . 垂直于弦的直径必平分于弦B . 在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等C . 线段垂直平分上的点到线段的两端点的距离相等D . 梯形的中位线将梯形分成面积相等的两部分3. （2分） (2019九上·中原月考) 下列数中，能与6，9，10组成比例的数是（）A . 1B . 74C . 5.4D . 1.54. （2分） (2016九上·吴中期末) 二次函数y=x2+2x﹣3的图象的顶点坐标是（）A . （﹣1，﹣4）B . （1，﹣4）C . （﹣1，﹣2）D . （1，﹣2）5. （2分）在生产的100件产品中，有95件正品，5件次品．从中任抽一件是次品的概率为（）．A . 0.05B . 0.5C . 0.95D . 956. （2分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5 个7. （2分）(2017·蒙自模拟) 如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为（）A . 2 cmB . 3 cmC . 4D . 4 cm8. （2分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A . 点PB . 点QC . 点RD . 点M9. （2分） (2016九上·滨海期中) 已知二次函数y=x2+2x+2，图象的顶点为A，图象与y轴交于点B，O为坐标原点，则AB的长等于（）A . 1B .C .D .10. （2分）抛物线y=ax2+bx+c向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-3（x-1）2+4，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（）A . （6,3）B . （6,5）C . （-4,3）D . （-4,5）11. （2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）.A . 5πB . 4πC . 3πD . 2π12. （2分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下四个结论：①4ac－b2<0；②2a+b=0，③a+b+c<0；④若点B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；其中正确结论是A . ②③④B . ①③④C . ①②③D . ①②④二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017九上·满洲里期末) 已知函数（k为常数）的图象经过点A（1，）, B（2，）,C（-3，）,则 , , 从小到大排列顺序为________14. （1分）(2019·宿迁) 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是________.15. （1分） (2019九上·东台月考) 已知，则的值为________.16. （1分） (2017九上·大庆期中) 将二次函数配方成的形式，则y=________.17. （1分）(2017·蜀山模拟) 扇形的圆心角为120°，弧长为6πcm，那么这个扇形的面积为________ cm2 ．18. （1分） (2019九上·慈溪期中) 过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E两点的圆的圆心为D，如果∠A=60°，那么∠B为________.三、解答题 (共8题；共81分)19. （15分）(2018·遵义模拟) 甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的12张卡片，其中写有“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为3、4、5，两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回卡片）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，但同种卡片不分胜负．（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？（2）若甲先摸出“石头”，则乙获胜的概率是多少？（3）若甲先摸，则他摸出哪种卡片获胜的可能性最大？20. （6分） (2019九上·萧山期中) 已知函数，为实数）（1）当时，若 =________，则此函数是一次函数；（2）若它是一个二次函数，假设，那么：①当时，随的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由.21. （10分）(2017·丹东模拟) 如图，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=4，求图中阴影部分的面积．22. （5分） (2016九上·江北期末) 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=1：2：3，求S四边形DFGE：S四边形FBCG的值．23. （10分）(2017·武汉模拟) 如图，已知PA、PB切⊙O于A，B两点，连AB，且PA，PB的长是方程x2﹣2mx+3=0的两根，AB=m．试求：（1）⊙O的半径；（2）由PA，PB，围成图形（即阴影部分）的面积．24. （10分）(2018·大连) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．25. （10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
2019江苏泰州靖江实验学校九年级上数学期中试卷
2018-2019学年江苏省泰州市靖江实验学校九年级（上）期中数学试卷与答案一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．已知：a=0.5，b=3.2，c=16，d=2.5，下列各式中，正确的是（C）A．=B．=C．=D．=2．方程（x﹣5）（x+3）=x+3的解是（C）A．x=5 B．x=﹣3 C．x=5或x=﹣3 D．x=﹣3或x=63．若一组数据1，5，7，x 的极差10，则x的值为（A）A．11或﹣3 B．17或﹣3 C．11 D．﹣34．下列命题中，真命题是（D）A．关于x的方程（m2+1）x2﹣3x+n=0不一定是一元二次方程B．若点P是线段AB的黄金分割点，且AB=100，则AP≈61.8C．等腰三角形的外心一定在它的内部D．等弧所对的弦相等5．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=28°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数是（D）A．28 B．30 C．31 D．366．如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1=O1O2=O2O3=O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（C）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．若2x+3y=0，则=﹣．8．方程3x2﹣5x﹣7=0的两根之积是﹣．9．在比例尺为1：20000的地图上，测得一个多边形地块的面积为30cm2，则这个多边形地块的实际面积是 1.2×106m2（结果用科学记数法表示）．10．若关于x的方程（m﹣1）x2﹣3x﹣2=0有两个实数根，则m的取值范围是m≥﹣且m≠1．11．某次化学测验满分60（单位：分），某班的平均成绩为43，方差为9，若把每位同学的成绩按100分进行换算，则换算后的方差为25．12．如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.8m，则旗杆的高约为10.4m．13．如图，在△ABC中，点G是△ABC的重心，BG和CG延长线分别交AC和AB于点D和E，则的值为．14．一组数据：3，5，6，x中，若中位数与平均数相等，则x=2，4或8．15．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（﹣3，4），△A′B′O是△ABO关于的O的位似图形，且A′的坐标为（﹣6，0），则点B′的坐标为B′（﹣，6）．16．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，Q是直线AB上一动点，⊙Q的半径为1．当⊙Q与坐标轴相切时，点Q的坐标为（﹣，﹣1）或（﹣，1）或（﹣1，）或（1，）．三、解答题（共10小题，满分102分）17．（12分）（2016秋•靖江市校级期中）解下列方程：（1）（2x﹣1）2=2﹣4x（2）2x2﹣3=x （用配方法）解：（1）∵（2x﹣1）2+2（2x﹣1）=0，∴（2x﹣1）（2x+1）=0，则2x﹣1=0或2x+1=0，解得：x=或x=﹣；（2）∵2x2﹣x=3，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，即（x﹣）2=，则x﹣=±，∴x=或x=﹣．18．某中学开展某项比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示：（1）根据图示填写表：（2）结合两班复赛成绩，分析哪个班级的复赛成绩较好．解：（1）九（1）的五名学生的成绩为：75，80，85，85，100，∴九（1）的五名学生的中位数为：85；九（2）的五名学生的成绩为：70，100，100，75，80，故这组数据的平均数是：，众数是100，方差是：=160；故答案为：85；85，100，160；（2）从平均数看，九（2）的复赛成绩好．19．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A （2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．解：（1）如图，A′（4，7），B′（10，4）；（2）C′（3a﹣2，3b﹣2）．20．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？解：设AB长为x米，依题意得：（15﹣2x+1）x=30，解得x=3或x=5．当x=3时，BC=15﹣2x+1=15﹣6+10＞8，不合题意，舍去．故x=5符合题意．答：鸡场的宽AB是5米．21．（10分）（2016秋•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，连接DE，试判断△ADE与△ABC是否相似，并说明理由？解：相似．理由如下：∵在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵∠A=∠A，∴△ACE∽△ABD，∴=，即=，∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC．22．（10分）（2006•盐城）如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D 点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．解：根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，（1分）在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，可证得：△CDE∽△ABE∴①，同理：②，又CD=FG=1.7m，由①、②可得：，即，解之得：BD=7.5m，（6分）将BD=7.5代入①得：AB=5.95m≈6.0m．（7分）答：路灯杆AB的高度约为6.0m．（8分）（注：不取近似数的，与答一起合计扣1分）23．（10分）（2016秋•靖江市校级期中）一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为12米，拱高（CN）为2米，求：（1）桥拱半径（2）若大雨过后，桥下河面宽度（DE）为10米，求水面涨高了多少？解：（1）∵拱桥的跨度AB=12m，拱高CN=2m，∴AN=6m，利用勾股定理可得：AO2﹣（OC﹣CN）2=6×6，解得OA=10（m）．（2）设河水上涨到DE位置，这时DE=10m，DE∥AB，有OC⊥DE（垂足为M），∴EM=EF=5m，连接OE，则有OE=10m，OM==5（m）MC=OC﹣OM=10﹣5（m），NC﹣CM=2﹣（10﹣5）=5﹣8（m）．24．（10分）（2016秋•靖江市校级期中）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．（1）小明同学说：“无论k取何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？为什么？（2）若等腰三角形的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．解：（1）小明同学说的有道理．理由如下：∵方程x2﹣（k+2）x+2k=0的判别式△=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值时，这个方程总有实数根，∴小明同学说的有道理；（2）若a=1是腰，则x=1为已知方程的解，将x=1代入方程得：k=1，即方程为x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，此时三角形三边为1，1，2，不合题意，舍去；若a=1是底时，b=c为腰，即k=2，方程为x2﹣4x+4=0，解得：x1=x2=2，此时b=c=2，即三角形三边长为1，2，2，周长为1+2+2=5．25．（12分）（2016秋•靖江市校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，若⊙O的半径为6cm，且∠AED=45°．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积；（3）若EF=1cm，求DF的长．解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：连接OD、DB，如图，∵AB⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=∠AED=45°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴DO⊥AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴DO⊥DC，∴DC为⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=12cm，∴阴影部分面积=S梯形DOBC ﹣S扇形BOD=×（6+12）×6﹣=（54﹣9π）cm2；（3）设OF=a，DF=b，由相交弦定理得到EF•DF=AF•FB，∴b=（3+a）（3﹣a）①又∵b2﹣a2=9②，由①②得到b=或（舍弃），∴DF=．26．（14分）（2016秋•靖江市校级期中）如图Ⅰ，在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB=4，AD=3．如图Ⅱ，矩形ABCD沿OC方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从B点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边BC经过点C向点D运动，当点Q到达点D时，矩形ABCD 和点Q同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒．（1）在图Ⅰ中，点C的坐标（4，3），在图Ⅱ中，当t=2时，点A坐标（，﹣），Q坐标（，﹣）（2）当点Q在线段BC或线段CD上运动时，求出△ACQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）点Q在线段BC或线段CD上运动时，作QM⊥x轴，垂足为点M，当△QMO 与△ACD相似时，求出相应的t值．解：（1）如图所示，∵AB=4，AD=3，∴A（4，3），AC=5，过A作AE⊥x轴于E，则△AOE∽△CAB，∴AE：OE：AO=3：4：5，当t=2时，OA=2，OE=，AE=，BQ=2，∴A （，﹣），∵OE +AB=，AE +BQ=，∴Q （，﹣），故答案为：（4，3），（，﹣），（，﹣）；（2）①当点Q 在BC 上时，连接AQ ， ∵BQ=t ，BC=3， ∴CQ=3﹣t ，∴△ACQ 的面积=×CQ ×AB ，即S=×（3﹣t ）×4=﹣2t +6（0≤t ＜3）； ②当点Q 在CD 上时，连接AQ ， ∵QC +BC=t ，BC=3， ∴CQ=t ﹣3，∴△ACQ 的面积=×CQ ×AD ，即S=×（t ﹣3）×3=t ﹣（3≤t ≤7）；∴S 关于t 的函数关系式为S=；（3）如图所示，过A 作AE ⊥x 轴于E ，则△AOE ∽△CAB ， ∴AE ：OE ：AO=3：4：5， ∵OA=t ，∴OE=t ，AE=t ，①当点Q 在BC 上时，连接OQ ， ∵∠OMQ=∠D=90°，而BQ=t ，∴当=时，△OMQ ∽△CDA ，此时， =，解得t=3；当=时，△OMQ ∽△ADC ，此时，=，解得t=10＞3，（舍去）；②当点Q在CD上时，连接OQ，而DQ=3+4﹣t=7﹣t=EM，∴OM=t+7﹣t=7﹣t，∴当=时，△OMQ∽△CDA，此时，=，解得t=3；当=时，△OMQ∽△ADC，此时，=，解得t=＞7，（舍去）综上所述，当△QMO与△ACD相似时，t的值为3秒．。
2019靖江市初三年级上册期中数学试卷(含答案解析)精品教育.doc
靖江市2019初三年级上册期中数学试卷(含答案解析)靖江市2019初三年级上册期中数学试卷(含答案解析) 一、选择题（每题3分，共18分）1．一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（）A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x﹣3）（x ﹣4） D．（x+3）（x+4）2．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A． B． C． D．3．△ABC中，tanA=1，cosB= ，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形4．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A． 0.5 m B． 0.55 m C． 0.6 m D． 2.2 m5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=1966．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）A． B． 2 C． 2 D． 1二、填空题（每题3分，共30分）7．一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1：2019缩小后，其面积约为m2．8．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b 的值为．9．若最简二次根式与是同类二次根式，则x=．10．已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为．11．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，则实数a的范围为．12．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为．13．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则tan =．15．在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有条．16．如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y= x，直线y=﹣x交于A，B 两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2=2AP?PB；④S△AOB=3S△AOP；⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16．其中正确结论的序号是．三、解答题（共102分）17．解方程（1）x2﹣6x﹣18=0（配方法）（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）18．计算下列各题：（1）sin6 0°﹣tan30°?cos60°；（2）|﹣ |+2﹣1+ （π﹣）0﹣tan60°．19．先化简，再求值：，其中a满足方程a2+4a+1=0．20．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？21．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．问应增加多少台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件？22．如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D 处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高．23．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．24．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值；（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t （单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．26．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P．（1）若n=1，则 =， =；（2）若n=2，求证：8AP=3PE；（3）当n=时，AE⊥DF（直接填出结果，不要求证明）．靖江市2019初三年级上册期中数学试卷(含答案解析)参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共18分）1．一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（）A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x﹣3）（x ﹣4） D．（x+3）（x+4）考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：压轴题．分析：只有把等号左边的二次三项式分解为（x﹣x1）（x﹣x2），它的根才可能是x1，x2．解答：解：若一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么倒数第二步为：（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x2+px+q=（x﹣3）（x﹣4），故选C．点评：用到的知识点为：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为（x﹣x1）（x﹣x2）=0．2．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A． B． C． D．考点：比例的性质．分析：首先根据x：（x+y）=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，进而得到x：y=3：2．解答：解：∵x：（x+y）=3：5，∴5x=3x+3y，2x=3y，∴x：y=3：2= ，故选：D．点评：此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．3．△ABC中，tanA=1，cosB= ，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形考点：特殊角的三角函数值．分析：先根据△ABC中，tanA=1，cosB= 求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC中，tanA=1，cosB= ，∴∠A=90°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．4．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A． 0.5 m B． 0.55 m C． 0.6 m D． 2.2 m考点：相似三角形的应用．分析：根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．解答：解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：解得x=2.2，2.2﹣1.7=0.5m，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．故选：A．点评：本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．解答：解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故选C．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）A． B． 2 C． 2 D． 1考点：正方形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．解答：解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB=∠CGE=45°，∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△DGT是等腰直角三角形，∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG=8﹣4=4，∴GT= ×4=2 ．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．二、填空题（每题3分，共30分）7．一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1：2019缩小后，其面积约为0.2 m2．考点：比例线段．专题：应用题．分析：根据相似多边形面积的比是相似比的平方，列比例式求得图上面积．解答：解：设其缩小后的面积为xm2，则x：800000=（1：200 0）2，解得x=0.2m2．∴其面积约为0.2m2．点评：注意相似多边形的面积的比是相似比的平方．8．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b 的值为2019 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：根据根与系数的关系，可先求出a+b的值，然后代入所求代数式，又因为a是方程x2+x﹣2009=0的根，把a 代入方程可求出a2+a的值，再代入所求代数式可求值．解答：解：根据题意得a+b=﹣1，ab=﹣2009，∴a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a﹣1，又∵a是x2+x﹣2009=0的根，∴a2+a﹣2009=0，∴a2+a=2009，∴a2+2a+b=2009﹣1=2019．点评：根据根与系数的关系、以及方程根的定义可求此题．9．若最简二次根式与是同类二次根式，则x= 5 ．考点：同类二次根式．专题：计算题．分析：根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于x的方程，解出即可．解答：解：由题意得：x2﹣4x=10﹣x，解得：x=5或x=﹣2，当x=﹣2是不满足为最简二次根式，故舍去．故答案为：5．点评：本题考查同类二次根式的知识，难度不大，注意求出x之后检验是否满足题意．10．（ 3分）（2019?白下区二模）已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO 缩小，则点E的对应点E′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．考点：位似变换．分析： E（﹣4，2）以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO 缩小，则点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以或﹣，因而得到的点E′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．解答：解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以或﹣，所以点E′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．点评：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．是需要记忆的内容．11．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，则实数a的范围为a≤ 且a≠6．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义，得出a﹣6≠0且△=64﹣36（a﹣6）≥0，求出不等式组的解集即可得到实数a的范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，∴a﹣6≠0且△=64﹣36（a﹣6）≥0，解得a≤ 且a≠6．故答案为：a≤ 且a≠6．点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．12．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为m≥9．考点：二次根式有意义的条件；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．专题：压轴题．分析：二次根式的被开方数是非负数，即x2﹣6x+m=（x﹣3）2﹣9+m≥0，所以（x﹣3）2≥9﹣m．通过偶次方（x﹣3）2是非负数可求得9﹣m≤0，则易求m的取值范围．解答：解：由题意，得x2﹣6x+m≥0，即（x﹣3）2﹣9+m≥0，∵（x﹣3）2≥0，要使得（x﹣3）2﹣9+ m恒大于等于0，∴m﹣9≥0，∴m≥9，故答案为：m≥9．点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值．分析：重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．解答：解：∵AC= ，∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：×1= ．故答案为：．点评：本题问题中，巧妙的运用三角函数求边长是解题的关键．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则tan = ．考点：特殊角的三角函数值．分析：先根据题意画出图形，由特殊角的三角函数值求出∠A的度数，再求则tan 的值即可．解答：解：如图所示，AB=2，BC= ，∴sinA= = ，∴∠A=60°．∴tan =tan30°= ．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知特殊角的三角函数值，根据数形结合解答．15．在R t△ABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有 4 条．考点：相似三角形的判定．分析：过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．解答：解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB；③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；④作∠PGC=∠A，则△GCP∽△ACB．故答案为：4．点评：本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的两个三角形相似．16．如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y= x，直线y=﹣x交于A，B 两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2=2AP?PB；④S△AOB=3S△AOP；⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16．其中正确结论的序号是③④．考点：一次函数综合题．分析：①由两条垂直直线的斜率的积等于﹣1即可判定①∠AOB=90°故选项错误；②根据等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形，故选项错误；③由直线的斜率可知 = ， =1，根据2（）= ，即可求得OP2=2AP?PB，故选项正确；④设A（m， m），则B（m，﹣m），得出△AOP的面积= OP? m= m?OP，△BOP的面积= OP?m= ?OP，从而求得S△BOP=2S△AOP，进而得出S△AOB=3S△AOP，故选项正确；⑤t=2时根据直线的解析式先求得PA=1、PB=2，进而求得AB=3，所以正方形的周长=12，故选项错误；解答：解：①由直线y= x，直线y=﹣x可知，它们的斜率的积=﹣≠﹣1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°错误；②∵AB⊥x轴，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形；③由直线的斜率可知： = ， =1，∴2（）= ，∴OP2=2AP?PB，故OP2=2AP?PB正确；④设A（m， m），则B（m，﹣m），∵△AOP的面积= OP? m= m?OP，△BOP的面积= OP?m= ?OP，∴S△BOP=2S△AOP，∴S△AOB=3S△AOP，故S△AOB=3S△AOP正确；⑤t=2时，PA= ×2=1，PB=|﹣1×2|=2，∴AB=PA+PB=1+2=3，∴正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12；故当t=2时，正方形ABCD的周长是16错误；故答案为③④．点评：本题考查了直线斜率的特点，等腰三角形的判定，直角三角函数的意义，三角形的面积的求法，正方形的周长等，③OP2=2AP?PB的求得是本题的难点．三、解答题（共102分）17．解方程（1）x2﹣6x﹣18=0（配方法）（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．分析：（1）先移项，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，最后根据直接开平方解可以求解了．（2）将原方程转化为一般形式，再求出a、b、c的值，最后代入求根求解就可以了．解答：解：（1）移项，得x2﹣6x=18，在方程两边同时加上9，得x2﹣6x+9=18+9，左边配方，得（x﹣3）2=27，解得x﹣3= ，∴x1=3 +3，x2=﹣3 +3（2）原方程变形为：3x2+10x+5=0∴a=3，b=10，c=5，∴△=b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，∴x= ，∴x1= ，x2= ．点评：本题是一道一元二次方程的解答题，考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的方法．18．计算下列各题：（1）sin60°﹣tan30°?cos60°；（2）|﹣ |+2﹣1+ （π﹣）0﹣tan60°．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）分别进行绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算，然后合并．解答：解：（1）原式= ﹣×（2）原式= + + ﹣=1．点评：本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等知识，属于基础题．19．先化简，再求值：，其中a满足方程a2+4a+1=0．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值．解答：解：原式== = ，（6分）∵a2+4a+1=0，∴a2+4a=﹣1，∴原式= ．（10分）点评：此题考查了分式的混合运算，以及多项式的运算．分式的化简求值题，应先对原式的分子分母分解因式，在分式的化简运算中，要通观全局，弄清有哪些运算，然后观察能否用法则，定律，分解因式及公式来简化运算，同时注意运算的结果要化到最简，然后再代值计算．20．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？考点：相似三角形的应用．专题：应用题．分析：如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．点评：解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．21．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．问应增加多少台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件？考点：一元二次方程的应用．分析：设至少增加x台机器，可以使每天的生产总量达到30976顶，由于现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品，由此即可列出方程解决问题．解答：解：设增加x台机器，依题意得（80+x）（384﹣4x）=30976，解得x1=x2=8．答：应增加8台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件．点评：考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，首先把握现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，然后把握增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品就可以列出方程就问题．22．如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D 处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△D AC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．解答：解：作BE⊥CD于E．可得Rt△BED和矩形ACEB．则有CE=AB=16，AC=BE．在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°= AC．∵16+DE=DC，∴16+AC= AC，解得：AC=8 +8=DE．所以塔CD的高度为（8 +24）米．点评：本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．23．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让﹣ =0即可求得k的值．（3）分b=c，b=a两种情况做．解答：证明：（1）∵△=（2k+1）2﹣16（k﹣）=（2k﹣3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=﹣0.5；（3）①当b=c时，则△=0，即（2k﹣3）2=0，∴k= ，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，∴k= ，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，综上所述，△ABC的周长为10．点评：一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．24．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值；（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；直角梯形；锐角三角函数的定义．专题：几何综合题．分析：（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB= ，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入中求值．解答：（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，∴EF∥AB，EF= AB，而CD∥AB，CD= AB，∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，∴△FOE≌△DOC；（2）解：∵EF∥AB，∴∠OEF=∠CAB，∵在Rt△ABC中，AC= = = BC，∴sin∠OEF=sin∠CAB= = = ；（3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴ = = ，即EG= CD，同理FH= CD，点评：本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t （单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：根据勾股定理求得AB=5cm．（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S= （t﹣）2+ （0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．解答：解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得 =5cm．（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时， = ，即 = ，解得t= ；②当△APM∽△ABC时， = ，即 = ，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t= 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，∴ = ，即 = ，∴PH= t，∴S=S△ABC﹣S△BPN，= ×3×4﹣×（3﹣t）? t，= （t﹣）2+ （0＜t＜2.5）．∵ ＞0，∴S有最小值．当t= 时，S最小值= ．答：当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．26 ．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P．（1）若n=1，则 = ， = ；（2）若n=2，求证：8AP=3PE；（3）当n= 时，AE⊥DF（直接填出结果，不要求证明）．考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：动点型．分析：（1）可通过构建相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例来求解．（2）同（1）解法．（3）根据已知及相似三角形的性质进行求解．解答：解：（1）延长AE交DC的延长线于H，∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DH，∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，∴△BEA∽△CEH，设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，同理：△AFP∽△DPH，∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH= n，∴PE= n，∴AP：PE=3：5，（2）证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DH，∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，∴△BEA∽△CEH，设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，同理：△AFP∽△HD P，，设AP=2k，PH=9k，∴AH=11k，∴EH= ，∴PE= ，∴8AP=3PE；（3）当AE⊥DF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，∵△AFP∽△AFD，∴FP：AP=AF：AD=2：3，∴AF= AD= AB，BF= AB，∴BF= AF，∴n= ．点评：本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，通过构建相似三角形得出相关线段间的比例关系是求解的关键．。
江苏省靖江市实验学校九年级上期中考试数学试题
（满分150分 时间120分钟）一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相应位置．．．．．．．上） 1．下列二次根式中，与6是同类二次根式的是（ ▲ ） A.54 B.30 C.48 D.182．下列计算正确的是（ ▲ ）A.4333=1-B.23=5+C.12=22D.322=52+ 3．下列一元二次方程有实数根的是（ ▲ ）A.x 2＋x ＋1＝0B.x 2＋3x ＋3＝0C.3x 2＋3x ＋1＝0D.x 2＋3x －1＝04．已知四边形ABCD 是平行四边形,下列结论中正确的是( ▲ )A.当AB=BC 时,它是矩形B.当AC ⊥BD 时,它是菱形C.当∠ABC =90°时,它是菱形D.当AC=BD 时,它是正方形5．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法中不正确的是（ ▲ ）A ．当a<5时，点B 在⊙A 内 B ．当1<a<5时，点B 在⊙A 内C ．当a<1时，点B 在⊙A 外D ．当a>5时，点B 在⊙A 外6．如图，直角坐标系中，以点A （1，0）为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A 上，若P 为⊙A 上一点，Q 为y 轴上一点，当△PQM 为等腰直角三角形时，则这样的点Q 位置有几个（ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二．填空题（本大题共有10小题,每小题3分,共30分.请把答案直接写在答题卷相应位置．．．．．．．上） 7．计算：2(7)-= ▲ .8．式子21+1x x +有意义的x 的取值范围是 ▲ . 9．梯形的高为3厘米，中位线长为5厘米，则梯形的面积为 ▲ 平方厘米．10．关于x 的方程（m 2-m-2）x 2+mx+1=0是一元二次方程的条件是 ▲ .11．已知实数m 是关于x 的方程2x 2－3x －1=０的一根，则代数式m 2－23m －2值为_▲__． 12．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=60m ，则应水坡面AB 的长度是= ▲ m ．13．若()()6322222=-+++y x y x ，则22y x += ▲ .14．如图,矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交BC 于E 则CE 的长是= ▲ . 第6题图16．如图，A 、B 、C 、三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转到如图位置，得到△AC′B′，使A 、C 、B′三点共线。