一阶电路分析
一阶电路资料
i
C duC dt
C
d dt
(U
0e
t RC
)
C
(
1 RC
)U
0e
t RC
U0
e
R
t RC
I0e
t RC
以上分析可以看出，uc, uR,i都按同样的指数规律衰减。它们
衰减的快慢取决于1/RC的大小， p 1
这是电路的特征方程的特征根
RC
当电阻单位为，电容单位F，RC单位s
RC----时间常数，=RC
e1 e2
e3 e4 e5 e6
0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002
很显然，从理论上讲，电路只有经过∞的时 间才能达到稳定。通过计算可以看出：当经 过（3~5）τ时，就足可以认为达到稳定状态。
uC(V)
U0 0.368U0
uC(t) = U0e – t / 0.135U0
换路定则 从 t=0– 到 t=0+ 瞬间，电感元件 中的电流和电容元件两端的电压不能突变。 可表示为
换路定则
初始值的确定
由于换路，电路的状态要发生变化。在t=0+时电 路中电压电流的瞬态值称为动态电路的初始值。
初始值的确定:电容电感的初始值根据换路前的 状态确定, 称为独立初始条件, 其余的非独立初始条 件要通过已知的独立初始条件求解。
+ uC -
i2 L
+ u-L
uL(0 ) 0V , uR2(0 ) 0V
注意： t=0-的等效电路是 在开关动作前画出的。
uC(0 ) uC(0 )
iL(0 ) iL(0 )
0+等效电路
t=0+时的电路
一阶动态电路分析
uC (0 ) uC (0 ) 10V
－
R1
+
iC t=0
i2
uC C
R2
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得：
i1(0+)
i1(0 )
US
uC (0 ) R1
10 10 10
0A
i2 (0 )
uC (0 ) R2
10 5
2A
+
R1
+
iC(0+)
i2(0+)
US
uC(0+)
41
t
e2
41
e 0.5t
V
uC uC uC 3e0.5t 4 1 e0.5t 4 e0.5t V
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6.3.2 一阶电路的零输入响应
1．RC电路的零输入响应
图示电路，换路前开关S置于位置1，电容上已充有电压。t=0 时开关S从位置1拨到位置2，使RC电路脱离电源。根据换路 定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，
通过3Ω电阻的电流为：
i 12 uC 12 8 4e0.5t 4 4 e0.5t A
3
3
33
iC
+ 1F －uC
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6.2.2 三要素分析法
求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：
t
f (t) f () f [ f (0 ) f ()]e
式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流 或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
R R1R2 20 5 4k R1 R2 20 5
电路分析实验课件：一阶电路响应测试
一、实验目的
1. 熟练掌握常用电子仪器（信号发生器、示波器）的使用方法。 2. 学习示波器测量一阶RC电路时间常数的方法。 3. 观察一阶过渡过程,研究元件参数改变时对过渡过程的影响。
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二、实验原理
右图RC电路在方波的作用下, 电容器充电,电容器上
的电压按指数规律上升,即零状态响应：
t
uS
uC (t) uC () uC ()e
电路达到稳态后,将电源短路,电容器放电,其电压按指数规
律衰减,即零输入响应：
uC (t)
uC
t
(0 )e
uC
方波作用下两种响应交替产生，清楚地反映出一阶暂态
过渡过程的变化规律（右图）。
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二、实验原理
其中 RC 称为电路的时间常数,它的大小
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四、实验仪器
示波器
信号发生器
信号线
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四、实验仪器
元件箱中 的电容和 电阻若干
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条件：
积分电路
u1 uR
u2
uC
1 Cidt 1 CuR源自dt 1 R RCuRdt
1 RC
u1dt
可知：输出电压近似与输入电压对时间的积分成正比。
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三、实验电路
条件： RC t p
微分电路
u1 uC
u2
iC R
RC
duC dt
RC
du1 dt
可知：输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。
决定了过渡过程进行的快慢。其物理意义是电路
零输入响应衰减到初始值的36.8% 所需要的时间,
一阶动态电路分析例题分析
一阶动态电路分析例题分析任务一 动态电路的基本概念[例3-1] 如图所示，V U S 10=，Ω=k R 2，开关K 闭合前，电容不带电，求开关K 闭合后，电容上的电压和电流的初始值。
解：（1）由换路前的稳态电路求得电容两端电压)0(-C u 。
由于换路前电路中电容不带电，所以电容两端的电压为零，即0)0(=-C u(2) 根据换路定律求出)0(+C u 。
0)0()0(==-+C C u u(3)根据换路后的电路列电路方程，求出其它物理量的初态。
V U U u U u S S C S R 100)0()0(==-=-=++得 mA kR u i R C 5210)0()0(===++ [例3-2] 如图所示，已知V U S 12=，Ω=K R 21，Ω=K R 42，mF C 1=，开关动作前电路已处于稳态，0=t 时开关闭合。
求：（1）开关闭合后，各元件电压和电流的初始值，（2）电路重新达到稳态后，电容上电压和电流的稳态值。
解：（1）+=0t 时的初始值○1由换路前的稳态电路求得电容电压的)0(-C u 。
由于换路前开关断开，若电容两端存在电压，电容与电阻2R 形成放电回路，使电容电压下降，所以电路稳态时，电容两端电压为零，即0)0(=-C u○2根据换路定律求出)0(+C u 。
0)0()0(==-+C C u u○3根据换路后电路图，求出其它物理量的初态。
＋－S USRCCu 0=t R u C i例 3-1图＋＋ +＋－S UC Cu 1R u 2RCi 1R＋－＋ －2R u＋ －1i2i 例3-2换路后电路图＋－S UKC Cu 0=t 1R u 2RCi 1R例3-2图＋－＋ －V u u C R 0)0()0(2==++V U U u U u S S C S R 120)0()0(1==-=-=++mA k R u i R 6212)0()0(111===++ mA kR u i R 040)0()0(222===++mA i i i C 606)0()0()0(21=-=-=+++（2）换路后，∞=t 时的稳态值直流电路中，电路稳态时，电容相当于开路，电路如图所示，所以0)(=∞C i A 。
一阶电路暂态分析的三要素法
－t/RC
iC＝ －uC(t)／R
e t/ ＝－(US／R) － RC
ri = US / r
返回
例5、图示电路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,
u 1 2 1 在t=0时闭合S ,在T=0.1秒时闭合S ,试求S2闭合后的 C(t),并画出曲线,设S 闭合前 uC=0.
S1
解:S1闭合后:
u u C(0+)= C(0-)=0 uC(∞)= U = 20V
t = 6+(12－6)e－114 V t τ= [(R=16//+R62)e+－R131]4 ·CV=8.8×10－3s
返回
例4、图中电路原已稳定，求开关闭合后的 uC 和 iK 。
ir iC
r
u u 解：
( )= ( ) C 0+
C 0－ = US
iK
uC(∞)= 0
+C
uC
－US
R
τ = RC uC(t)=USe
因此将初始值、稳态值、时间常数τ 称为一阶电路的三要素。
返回
二、求解一阶电路的三要素法
全响应= 稳态分量+暂态分量
用f (t)表示电路中的某一元件的电压或电流, f (∞)表示稳态值, f (0+)表示初始值，τ
为时间常数。
f (t)=f (∞)+Ae－t／τ
e f (t)=f (∞) +[ f (0+) －f (∞)] －t／τ
R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ ，E=10V，换路前处于
稳态，在t 线。
=
0时将S由1打向2uC，(V试) 求uC(t)，画出曲
1 S R1
解:
一阶电路实验报告
一阶电路实验报告一阶电路实验报告引言：电路是电子学的基础，而一阶电路是最基本的电路之一。
通过实验，我们可以深入了解一阶电路的特性和性能。
本实验旨在通过搭建一阶电路并进行相应的测量，探索电流、电压和频率之间的关系，并分析电路的响应和滤波特性。
实验步骤：1. 实验仪器和元件准备：- 准备一个函数信号发生器、一个示波器和一个万用表。
- 准备一个电容器、一个电阻器和一根连接电缆。
2. 搭建一阶低通滤波器电路：- 将电容器和电阻器连接成串联电路，其中电容器的一端连接到信号发生器，另一端连接到示波器。
- 将电阻器的另一端连接到地线。
3. 设置实验参数：- 将信号发生器的频率设置为1000Hz，并调整输出电压为适当的值。
- 将示波器的垂直量程设置为适当的范围。
4. 测量电压和电流：- 使用示波器测量电容器两端的电压，并记录下来。
- 使用万用表测量电阻器上的电流，并记录下来。
5. 改变频率并重复测量：- 逐步改变信号发生器的频率，并重复步骤4，记录下不同频率下的电压和电流数值。
实验结果与分析：根据实验测量得到的数据，我们可以进行以下分析和讨论。
1. 频率对电压和电流的影响：通过改变信号发生器的频率，我们可以观察到电容器两端的电压和电阻器上的电流的变化。
在低频情况下，电容器对电流的阻抗较高，电压下降较慢；而在高频情况下，电容器对电流的阻抗较低，电压下降较快。
这是因为电容器的阻抗与频率成反比关系。
2. 电压和电流的相位差：我们还可以观察到电容器两端的电压和电阻器上的电流之间存在一定的相位差。
在低频情况下，电压和电流的相位差较小；而在高频情况下，相位差逐渐增大。
这是因为电容器的电压滞后于电流。
3. 电路的响应和滤波特性：通过观察电容器两端的电压响应，我们可以了解到一阶电路的滤波特性。
在低频情况下，电容器对信号的通过较好，电压变化较小；而在高频情况下，电容器对信号的通过较差，电压变化较大。
这是因为电容器对低频信号的阻抗较高，对高频信号的阻抗较低。
一阶电路的功能
一阶电路的功能一阶电路是指由一个电感器和一个电容器组成的电路，它具有一系列独特的功能和用途。
下面将介绍一阶电路的功能及其在实际应用中的重要性。
1. 信号滤波：一阶电路可以用作信号滤波器，能够滤除输入信号中的高频噪声。
通过选择适当的电容和电感值，可以实现对不同频率范围的信号进行滤波。
这在通信系统、音频系统和传感器等应用中非常重要，可以提高信号质量和系统的可靠性。
2. 频率选择：一阶电路还可以用于频率选择，即只允许特定频率范围的信号通过。
这在无线电接收机和调谐器等应用中非常常见。
通过调整电容和电感值，可以选择特定的频率范围，以便接收所需的信号。
3. 相位移：一阶电路还可以用于产生相位差。
通过改变电荷和电流的相对相位，可以实现信号的相位移动。
这在音频处理和信号处理中经常使用，用于调整信号的相位，以实现特定的效果或功能。
4. 时延：一阶电路还可以引入信号的时延。
通过电容器和电感器的充放电过程，可以引入一定的时间延迟。
这在某些应用中非常有用，如音频延迟效果和信号同步等。
5. 振荡：一阶电路还可以用作振荡器，产生稳定的振荡信号。
通过适当的电路设计和参数选择，可以实现稳定的振荡输出。
这在时钟信号发生器、无线电频率合成器和振荡器等应用中广泛使用。
6. 驱动：一阶电路可以用作驱动器，将输入信号转换为适当的输出信号。
通过适当的电路设计和参数选择，可以实现对负载的驱动，并提供所需的功率和电流。
这在各种电子设备和系统中都非常常见。
一阶电路的功能多样，广泛应用于各个领域。
它不仅在电子工程中起着重要作用，也在通信、音频、控制系统等领域中发挥着重要的作用。
了解一阶电路的功能和特性，可以帮助我们更好地设计和应用电子电路，提高系统的性能和可靠性。
同时，对于从事相关领域的工程师和研究人员来说，掌握一阶电路的原理和应用也是必不可少的。
通过合理地利用一阶电路的功能，可以实现各种电子设备和系统的设计要求，满足不同应用的需求。
一阶电路分析
仅需要了解它的电容量，还要注意不得 超过它的额定电压。电压过大会使电容 器介质击.２ 换路定则及初始值计算
在电路分析中，把电路元件的连 接方式或参数的突然改变称为换路。 换路常用开关来完成。换路意味着电
与电阻元件相类似，若约束电容元件
的ｑ-u平面上的曲线为通过原点的直线，
则称它为线性电容；否则为非线性电容。 若曲线不随时间而变化，则称为非时变电
５.１.
电路理论中，电感元件是(实际)电感
通常把导线绕成线圈称为电感器或电 感线圈。当线圈通过电流时即在其线圈内 外建立磁场并产生磁通Φ，如图５-７所示。 各线匝磁通的总和称为磁链ψ（若线圈匝
(2)找出所需的初始条件求解微分 方程。
应用换路定则是有条件的，即必须
保证电路在换路瞬间电容电流、电感电
压为有限值。表现在电路结构上则要求
电路在换路后不形成仅由uＳ-Ｃ或Ｃ-Ｃ
构成的回路(简称全电容回路)以及仅由
ｉＳ-Ｌ或Ｌ-Ｌ构成的割集(简称全电感
割集)。一般电路均能满足这个条件，换 路定则成立。对某些不满足上述条件的
电感电流一般情况下不能跳变也
电感元件和电容元件是互为对偶 元件，它们的含义、特性都具有相应 的对偶关系。
5.1.3电容器和电感器的模型
实际部件可以近似地用理想电路元件 作为它的模型，条件不同，即使是同一个
实际电感器(电感线圈)可以用图５-
１１（ａ）电感元件作为其模型。如果
线圈的绕线电阻的影响不能忽略，则其
第5章 一阶电路分析
５.１ 电容元件和电感元件 ５.２ 换路定则及初始值计算 ５.３ 一阶电路的零输入响应 ５.４ 一阶电路的零状态响应 ５.５ 一阶电路的全响应 ５.６ 一阶电路的三要素法 ５.７ 一阶电路的特殊情况分析 ５.８ 阶跃信号和阶跃响应 ５.９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
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iC
uC (0) uC (0) 8V
画出t=0+等效电路如图（电容等效为 8V电压源
R1
＋ －
ic(0+） 40k R2
＋
10k
10V
8V
－
U S u C (0) 10 8 i C (0 ) 0.2mA R1 10
S
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电路分析基础
如图电路换路前已达稳态，t=0时S闭合，求 uL(0+) 。
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电路分析基础
7.2 一阶电路的零输入响应
一阶电路----由一阶微分方程描述的电路。通常只含有一个动态元件。 零输入响应----输入为零，仅由初始储能作用而产生的响应。
一阶电路的电路结构
任 意 一 阶 电 路
二端 网络
C
N
二端 网络
R0 + uoc R0 + uoc 返节目录
C
N
L
L
故：只需研究一阶RC和一阶RL电路即可
2. 根据换路后一瞬间的等效电路，应用电路基
本定律确定其它电量的初始值y(0+)。
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电路分析基础
已知 iL(0 ) = 0，uC(0 ) = 0，试求 S 闭合后瞬间，电路中所标示的 各电压、电流的初始值。
S uC iC ＋ u2 _ ＋
1μF
_
根据换路定律可得： iL(0+) = iL(0–) = 0，相当于开路 uC(0+) = uC(0–) = 0，相当于短路 可得t = 0+时等效电路如下
结论：一阶RC电路的零输入响应总是按指数规律衰减的，其 实质是电容储能释放的过程，故衰减过程是由初始值过渡 到稳态值0。衰减的快慢取决于时间常数τ。
y(t ) y(0)e
t
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电路分析基础
u C (t ) u C (0)e
t
U Se
t RC
式中R用Ω，C用F时，时间常数τ的单位是秒[s]。如果 我们让上式中的时间t 分别取1τ、2τ直至5τ，可得到如 下表所示的电容电压在各个时刻的数值：
根据换路前电路求iL(0-） R1
＋
R2 4Ω
换路前电路稳定，电感等效为短路
1Ω
US 10 iL (0) 2A R1 R2 1 4
根据换路定理有
10V
－
S
＋ －
iL
uL
iL (0) iL (0) 2A
R1 S
R2 4Ω
＋
根据t=0+等效电路（电感等效为2A电流源）， ＋ 1Ω 如图，有 10V
电路分析基础
第7章 一阶电路分析
7.1 换路定理及 初始值计算 7.5 阶跃函 数和阶 跃响应 7.4 一阶 电路的 全响应
7.2 一阶 电路的 零输入响 应
7.3 一阶 电路的 零状态响 应
返章目录
电路分析基础
【内容提要】
本章重点讨论RC、RL一阶电路在恒定激励 下方程的编写和求解，以及初始值、时间常数、 零输入响应、零状态响应、全响应、暂态响应、 稳态响应等重要概念，要求熟练掌握应用三要 素公式求解恒定激励下一阶电路响应的方法。
电路分析基础
1. RC电路的零输入响应
US 1 S ＋ t=0 2 US
－
R iC C
＋ －
uC
如图所示电路在换路前已达稳 uC US/R 态。t=0时开关由位置 1迅速投向 iC 位置2，讨论t>0后uC (t)和iC(t) 。 t 0
分析：t>0后电路的响应由uC (0+)经R引起-----RC电路的零输入响应。 定性分析：
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电路分析基础
RC零输入过渡过程中的响应规律曲线
u C (t ) u C (0)e
t
U Se
t RC
t
uC iC (t ) iR iC (0)e R
iCuC
US
iC(0+)
uC
RC过渡过程时间常数 的意义： 响应由初始值衰减到 初始值的0.368倍所需 要的时间。
RC ------时间常数
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电路分析基础
齐次方程的解：
uC (t ) Ke st Ke
1 t RC
Ke
t
初始条件（边界条件）：uC (0) U S 代入上式得: K U S
故：
u C (t ) u C (0)e
t
U Se
t
t RC
uC iC (t ) iR iC (0)e R
S
iC ＋ u2 1μF 10Ω
(t = 0)
＋ 20V
_
10Ω
20Ω iL ＋ 0.1H ＋ u1 uL
_
_
i
_
其他各量的初始值为：
u L (0) u1 (0) 20V u 2 (0) 0 20 iC (0) i(0) 2A 10
＋
_
20V
20Ω ＋ ＋ 0.1H u1 uL
也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。
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电路分析基础
暂态过程产生的原因
电阻电路
S
＋
I
(t = 0)
R
I
U _ S
0
t
电阻元件是即时耗能元件，其电压、电流在任一瞬 间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元 件上不存在暂态过程。
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电路分析基础
R-L电路
S
＋
R (t = 0) L
iL iL
1 0 故： uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d c 0
结论：
当ic(t)为有 限值时，该 项为0
当流过电容的电流ic为有限值时，电容器两端的电压不 能突变。即换路前电容两端的电压跟换路后电容两端的 电压相等。
u c (0 ) u c (0 )
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电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电 感电流的参考方向应保持相同。 4、由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。
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电路分析基础
动态电路的数学分析
一、电路的阶的概念：
动态电路-----微分方程描述 线性时不变动态电路------线性常系数微分方程描述
动态电路的阶=微分方程的阶=电路中相互存在能量交换的动态元件的个数
1τ e-1
0.368US
2τ e-2
0.135US
3τ e-3
0.050US
4τ e-4
0.018US
5τ e-5
0.007US
由表可知，经历一个τ的时间，电容电压衰减到初始值 的36.8%；经因两个τ的时间，电容电压衰减到初始值的 13.5%；经历3~5τ时间后，电容电压的数值已经微不 道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，但在工程上一般认 为3~5τ暂态过程基本结束。
二、作业
7-5,7-27,7-30,7-32（注：图中漏标控制量u。u为8电阻两 端电压，左正右负）, 7-38,7-42,7-48,7-51,7-54
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电路分析基础
7.1 换路定理及初始值计算
基本概念 1、状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态
变量。如电感元件的iL及电容元件的uC。
2、换路：引起电路工作状态变化的各种因素。如：电
路接通、断开或结构和参数发生变化等。
3、暂态：动态元件L的磁场能量WL=1/2LI2和C 的电场能
量WC=1/2CUC2，在电路发生换路时必定产生 变化，由于这种变化持续的时间非常短暂，通 常称为“暂态”。
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电路分析基础
4、稳态：电路发生换路时响应产生变化，这种变化过程
US R
US _
电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬间 均遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的磁能：
0
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电感的电路存在过渡过程。
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1 2 WL uidt LiL 0 2
t
电路分析基础
R-C电路
S
＋
R
(t = 0) C
＋
uC iC _ uC US t
换路前瞬刻电容电压uc(0_)和电感电流iL(0_)称为电路原始状态。
换路后瞬刻电路的响应y(0+)称为电路 的初始值。初始值即求解响应量所需要 的初始条件。
S
＋
R (t = 0)
如何根据初 始状态来确 定初始值？
U _ S
C
＋
iC
_ uC
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讨论：
电路分析基础
1 0 1 t 由于： uc (t ) ic ( )d ic ( )d c c 0 1 t uc (0 ) ic ( )d c 0
_
_
i
返节目录
电路分析基础
如图电路，换路前已达稳态，t=0时S打开，求 iC(0+) 。
根据换路前电路求uC(0-） 换路前电路稳态，电容等效为开路，如图， 有 i
＋ －
R1 10k 40k R2 S
＋ －
10V
uC
40 uC (0) uR2 (0) 10 8V 10 40
根据换路定理，有
二、动态电路的分析方法
时域法：在时间域中分析电路系统。数学工具：微分方程
经典数学分析：响应（微分方程的解）=齐次通解+非齐次特解 电路理论分析（分解法，叠加法）：响应=零输入响应+零状态响应 频域法：在频率域中分析电路系统。数学工具：傅里叶级数和傅里叶变换 复频域法：在复频率域中分析电路系统。数学工具：拉普拉斯变换