浅谈极限思想在数学解题中的应用_0
极限思想在高中数学中的应用
教学实践JIAOXUESHIJIAN极限思想在高中数学中的应用广西壮族自治区北海市北海中学宁德芬【摘要】极限思想作为社会实践的产物，其渊源甚至可以追溯到古代。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，再确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果。
在高中数学的学习过程中，极限思想可以给学生提供一条意想不到的解题思路,让原本烦琐的题目以相对简易的方式求得答案。
本文将围绕可以运用极限思想的几道例题阐述极限思想在高中数学中的妙用。
【关键词】极限思想高中数学解题思路一、极限思想对部分求范围的题目有奇效在解决高中数学选择题时,极限思想是必须掌握的一种解题技巧，它本质上是特殊值法的延伸，利用极限思想来解决小题不仅可以透析题目的深刻本质,还可以达到化繁为简的目的。
1.已知定义在(-8,+8)上的函数/(%) = [(3;1)%-4：严<1,是减函数，那么a的取值范围是Uog,%),%>1()。
A.(0,1)B.(0,1/3)C.(1/7,1/3)D.(1/7,1)解析:本题的关键在于讨论函数在分界点x=l的领域内，使得(3a-l)%-4a>log必，即前者图象在后者之上,然后再结合图象去求a的取值范围。
此时,利用极限思想就可以很快地确定满足这一条件下的a的取值范围，之后交集范围便是题目所求。
而又因为/(%)在R 上的减函数，所以解得l/7<a<l/3，故选择C o从这道题中，我们显然可以看到极限思想帮助我们省去不少烦琐的计算过程,而是透析这道题所求范围的本质,从而达到了快速高效解题的目的。
所以,充分掌握极限思想,并在做题时时刻保持对数学思想的“敏锐嗅觉”，将会成为解题制胜的一大法宝。
二、极限思想能处理复杂的无穷等比数列问题极限本质上是从微积分中剥离出来的基本概念，它从数量上描述变量在变化过程中的一种状态或者趋势,而我们知道无穷等比数列中,g代表了该数列的变化规律，所以克制无穷等比数列是按照特定规律g变化的一种不定状态。
浅谈极限思想方法在小学数学中的应用
认识 精确 ，从量 变 中认识 质变 的一种数学 思想方法 ，它是事物 转化 的重要环 节 ，了解它有重要意义 。 极 限思想在小学数学 中
其实在说 的过程 中学生就 已经打开 自己的脑门 ，思维处 于
积极 状态 ， 学生通过 自己创造性 的思维 明白题意 ，已 “ 知其然” ， 但学习数 学并 非仅此而已 ，而是 要使学生 “ 知其所 以然 ” 。一年 级应用题分 为 “ 求合起是 多少” 的加法 应用题和 “ 去掉一部 分 求还剩 多少 ”的减法应用 题 ，让学生较 透彻地理解并不难 ，只
（ 三 ）多 说
关系不大 ，但我在教学求 两种事物 的总数和求其 中一种 事物的
数量的应用 题 （ 特别是文 字应用题 ） 时 ，让学生边 听题边操 作
边理解 ，或 以游戏 的形式 出现 ，效果很 好 。这样就将具体 的实
为让学生 弄懂题意 ，教师应将 说 的机 会和时 间让给学生 ， 当老 师在 “ 灌输 ”知识 时 ，学 生的思维 多处于消极 状态 ，因此 教师 应设计 一些学生 感兴趣 的问题激 活学 生的思维 ，并且要 鼓
物与抽象 的文字联 系起来 ，将学生 的外 在行为和 内在思 维联系
起来 了 ，岂能无效？实 际上这是学 生从 解图画应用题 向不借 助 任何实 物独 立完成文 字应用题 的一 种很 好的过渡方式 ，大大降 低 了今后教学应用题和学习应用题的难度。 （ 六） 多练
多练 即对学 生进 行多种形 式 的解 应用 题的训 练。 “ 学 以致
教学 时 ，可 向学生提 问 ：图上 画了什 么？苹果 分为几 堆 ？左边 和右 边各有几个 ？此外 网上还 画了什么 ？数错 ，不 看问题是一 年级 学生解 应用题 中常犯 的毛 病 。如果重 视学生 的观察训练 ， 效果会好得 多。这 样可让学生初步感知应用题 由ｉ个部分 组成 ，
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。
下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。
关键词：极限思想；解题；应用；一、在日常教学中渗透,逐步形成认知在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。
因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。
教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为。
我们可以把满足, ,,的实数的集合分别表示为,,,。
二、在概念教学中渗透,深化理解与认识教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。
当时，(为常数),把称为在点的导数,记作。
在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。
三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。
极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。
1.极限思想在立体几何中的应用立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。
例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。
极限思想在中小学数学的应用
.
定义 2 设
为定义 为 a , 上的函数 ， A 为定数，若
sin cos 1, tan 0 解 当 0 ，此时有
0 ， 总 存 在 正 数 M ， 使 得 当
f x A
x M
sin cos tan ；
时 当
当 此时 sin
3
sin cos
tan ，
3，
cos tan ；
则，可知本题选 C . 4 极限在解析几何的应用 ， 例 3 求 已知 离 心率
5 ，过点 且与直线l ： 2 5 , 2x y 3 0 3 3 ，长轴平行于 y 轴椭圆方 相切于点 e 2
1 1 a 1 1 b
所以
2 2
1 a a a 1 b b b
，
1 1 1 b
2 2
2
4
6
1 , 0
2
4
6
程.
1 a
2
一般解法是：设椭圆中心为
4
x 0 , y 0 ，可得椭圆方程，并列
2 a b
2
a
2 2
b
4
4
2 1 ab a b
1
3 极限在函数中的应用
sin cos tan 0 2 则 范围. 例2若
A 0, 6
a 设 n 为数列， a 为定数 .若对任给的正数
a
，总存在正整数 N ，使得当 n N 时 a n
.
2 a n a b 3 代入
n n
例说极限思想在数学解题中的妙用
例说极限思想在数学解题中的妙用作者：张锋道来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期极限思想是高中数学中的一种重要数学思想，在解题中切不可忽视其应用.对于某些数学问题，若能灵活运用极限思想，从其极端情形入手，就可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题的难度，还可以优化解题的思路，收到事半功倍的效果.下面举例说明，极限思想在解题中的妙用.一、妙用极限思想求解数量变化范围例1若α∈[π6，π2），则直线2xcosα+3y+1=0的倾斜角的取值范围是A.[π6，π2）B.[5π6，π）C.（0，π6]D.（π2，5π6]解析因为斜率k=-23cosα，又α∈[π6，π2），所以当α→π2时，cosα→0，k→0（从负值趋于零），所以倾斜角→π，因此选B.一、妙用极限思想求解估算问题例1如图1三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且侧面A1B1BA⊥底面A1B1C1，P 为棱B1B上一动点（不与点B1、B重合），则直线C1P与平面A1B1BA所成角的范围是A.（0，π6）B.（π6，π3）C.（π6，π4）D.（π4，π2）解析用极限估算.取A1B1中点D，连C1D，则∠C1PD为直线C1P与平面A1B1BA所成角.因为C1D为常数，所以只要确定PD的变化范围.当P→B1时，∠C1PD→∠C1B1D=π3，且∠C1PD当P→B时，则∠C1PD→∠C1BD，且∠C1PD>∠C1BD.而在Rt△CBD中，∠C1DB=90°，C1D=32a，BD=52a，tan∠CBD=C1DBD=35>33=tanπ6，即∠C1BD>π6.所以π6二、妙用极限思想求解探索性问题例2已知数列{an}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有an+1=anan-2，是否存在实数a，b，使得an=a-b（-23）n对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.解析如果存在实数a，b满足题设要求，则由an=a-b（-23）n，可得limn→∞an=a.对an+1=anan-2两边取极限，得a=aa-2，所以a=0或a=3.若a=0，则数列{an}是以1为首项，公比为-23的等比数列，显然，不可能对于任意正整数n都满足an+1=anan-2；若a=3，将a1=1代入an=a-b（-23）n，可得b=-3，此时，an=3+3×（-23）n，所以a2=133，这与a2=-1矛盾.所以满足题设条件的实数a，b 不存在.三、妙用极限思想求解曲线方程例3求离心率e=25，过（1，0）点且与直线l：2x-y+3=0相切于点P（-23，53），长轴平行于y轴的椭圆方程.解析按常规，设椭圆中心为（x0，y0），可得椭圆的方程，再列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程.但按极限思想，将点P视为椭圆的极限情形，可利用曲线系方程求解.已知e=25，则a2=5b2.把点P（-23，53）看作长轴平行于y轴且离心率e=25的椭圆系（x+23）2+15（y-53）2=k，当k→0时的极限情形（点椭圆）.则与直线l：2x-y+3=0相切于该点的椭圆系，即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程（x+23）2+15（y-53）2+λ（2x-y+3）=0.又因为所求椭圆过（1，0）点，代入求得λ=-23.因此所求椭圆方程为x2+y25=1.四、妙用极限思想画出函数图象例4已知f（x）=xx2+1，试画出图象，并结合图象指出其值域.解析先研究其奇偶性与单调性，再画出图象.因为f（x）=xx2+1，所以定义域为R且为奇函数，又f ′（x）=1-x2x2+1，所以f（x）在（-∞，-1]上递减，[-1，1]上递增，[1，+∞）上递减，且有极小值f（-1）=-12，极大值f（1）=12，画图时很可能画成图2而出错，得出值域为R，它是很好的满足了单调性与奇偶性，但还不够，图象有问题.问题在哪儿呢？因为limx→-∞f（x）=0（即xlimx→+∞f（x）=0（即x>0，f（x）>0），所以图形应该为图3，x轴变成了渐近线.所以值域为[-12，12].总之，恰当运用极限思想，抓住问题的极端情形解题，不仅使复杂问题的解决简单化，而且也有利于培养学生的创造性思维及探究能力.。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。
因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。
首先，要认识到极限中的关系。
极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。
根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。
其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。
再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。
这样就可以轻松求出一元二次方程的解。
比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。
最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。
极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。
极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。
因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。
浅谈高等数学中极限思想及其应用
浅谈高等数学中极限思想及其应用
高等数学中的极限思想是解决很多数学问题的基础，它直接或间接地影响着数学研究中各
个领域的发展，对数学的发展起到了非常重要的作用。
极限的概念源于古希腊数学家坎伯乐，他研究函数时发现函数可以趋于一个固定值，当函
数满足某些条件时，就收敛到一个值，这个值就是函数的极限，从而发展出了极限的概念。
古希腊数学家特拉法尼希将坎伯乐的极限思想进行了进一步发展，把概念化，形成了极限
的定义，推导出了极限的几何学定理，奠定了极限法在数学发展中的地位。
极限的应用主要集中在微分、积分、几何和微分方程中，现代数学发展的离不开极限的思想，几乎所有数学问题的解法中都有极限的踪迹。
比如微分学中，著名的微积分方程及其
解法，正是利用极限思想得出的。
物理学的新发展与极限思想也息息相关：物理量的变化
可以简单地用极限知识来分析和推导，从而取得重要的结论。
总之，极限思想是高等数学中不可或缺的一部分，它是解决复杂数学问题的重要方法，它也在许多学科领域得到了广泛的应用，发挥着不可替代的作用。
极限思维在高中数学教学中的应用
LiberalArtsGuidance2024年第2期（总第506期）文理导航No.2,2024Serial No.506【摘要】随着社会的发展和科技的进步,人们对知识的需求也在不断增加。
而对于中学生而言,学习数学是必不可少的一个环节。
然而,由于学生对数学的理解程度不同及不同的学习方式,数学教育变得越来越复杂化。
因此,如何提高学生对数学的兴趣和理解能力成为当前亟待解决的问题之一。
极限思维作为一种新的教学方法,具有一定的优越性。
它能够帮助教师更好地引导学生思考问题,激发他们的创造力和想象力,从而达到更好的教学效果。
本文重点研究极限思维在高中数学教学中的应用,旨在提升学生数学素养。
【关键词】极限思维;高中数学;教学;应用目前,极限思维已经被广泛地运用于各个领域中,包括自然科学、社会科学、人文科学等。
而在数学教学方面,极限思维的应用也得到了广泛的研究与实践。
引入极限思维的方法可以使学生更深入地理解数学的本质和规律,提升其解决问题的能力和创新能力。
此外,极限思维还可以帮助教师更好地了解学生的知识水平和发展状况,进而制订更为有效的教学计划和策略。
因此,极限思维是一种非常有前途的新型教学方法,在未来的发展过程中将会得到更广泛的应用。
一、高中数学教学现状分析当前,随着社会的发展和教育的不断进步,数学作为一门基础学科的地位越来越重要。
然而,由于学生对数学的理解程度不同及教师的教学水平参差不齐等因素的影响,导致数学教学中的一些问题。
其中最突出的问题就是学生对数学知识掌握不够深入,缺乏实际操作能力。
而极限思维是一种基于逻辑推理的方法,它通过将复杂的问题分解成一系列简单的问题,从而达到解决问题的目的。
这种方法不仅可以帮助学生更好地理解数学概念,还可以培养他们的创新意识和求解能力。
此外,极限思维还能够激发学生的想象力和创造力,让他们更加关注于数学的本质与规律。
二、极限思维应用优势极限思维是一种高效的学习方法,可以帮助学生更好地理解和掌握知识点。
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浅谈极限思想在数学解题中的应用
极限思想是一种重要的数学思想，它是一种用有限认识无限，从近似认识精确，从量变认識质变的思想。
灵活地借助极限思想，可以简化计算过程，优化解题方案，探索解题新方法。
标签：极限思想；数学解题；应用
极限思想是社会实践的产物。
早在远古已经萌芽，从我国古代名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中渗透着的极限思想，到刘徽的‘割圆术’，再到法国数学家柯西对极限做出的明确定义。
极限思想逐渐成为一种重要的数学工具，它能突破解题常规，巧解数学问题，因此被广泛应用于解决函数、线性代数、平面几何、立体几何等问题，以达到化难为简，节省时间的效果。
一、利用极限思想判断参数的取值范围
例1.已知不等式m2+（cos2θ-5）m+4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围（）。
A.0≤m≤4
B.1≤m≤4
C.m≥4或m≤0
D.m≥1或m≤0
分析：当m趋于∞时，左边结果大于0，可以排除A，B；当m趋于1时，不等式不一定成立，排除D，因此答案为C。
由此可以看出极限思想是特殊值法的延伸。
该题利用极限思想，着眼于问题的极限状态，减少了计算量，迅速准确获解。
二、利用极限思想判断函数值的范围
例 2.已知0<x<y<m<1，则有（）。
三、利用极限思想求行列式的值
通过验证，此结果与展开行列式所得的计算结果相同。
该题利用极限思想发掘问题中的有用信息，利用连续函数及函数极限的性质，避开了复杂的计算，优化了解题方案。
四、总结
极限思想简而言之就是无限接近的思想。
它能够将复杂的数学问题简单化，具有较强的工具性和实用性。
要想学好数学并且能自如应对应试考试，深入了解和灵活应用极限思想是必要的。
数学的发展必须突破常量研究的传统范围，在曲
与直，变与不变的问题上大胆运用极限思想。
在初等数学里，圆面积是用一系列边数无线增多的内接或外接正多边形面积的极限来定义的；在高等数学里，同样用类似的办法来定义曲边梯形的面积，并对其求极限，进而给出定积分的概念及几何意义。
由此可知极限思想贯穿数学的整个历史中，是一种灵活的数学思维方法，将极限思想应用到数学解题中可以达到化繁为简，事半功倍的效果。
【项目基金：陕西铁路工程职业技术学院科研项目KY2017-026】
【参考文献】
[1]汪晓彤.极限思想在解题中的应用[J].数学通报，2008（4）：35.
[2]明清河.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2004：13-15.
[3]张忠志.极限思想在代数中的应用[J].中国科教创新期刊，2011（2）：73-74.。