生物统计学第三章概率论
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生物统计学第三章 概率和概率分布(2)
的第x 1项，所以有“二项分布”这个名称。
0 0 1 1 x x n n [ (1 )]n Cn (1 )n Cn (1 )n1 Cn (1 )nx Cn (1 )0
x x （2） P(x) Cn (1 )nx [ (1 )]n 1n 1 x 0 x 0
2. 二项分布的常用符号
n :贝努利试验的次数（或 样本含量）
x : 在n次试验中事件A出现的次数，即二项分布变量X 的取值
: 事件A发生的概率 (每次试验都是恒定的 )
1 － : 事件A发生的概率
p(x) : X的概率函数即P(X x)
F( x) P(X x) p(xi )
2014-4-21
二项分布的程序计算方法
二项分布函数Binomdist（k,n,p,false/true） 某数阶乘的计算函数Fact 从给定元素数目m的集合中抽取若干n元素的排 列组合数C n m 计算函数Combin（m，n）
2014-4-21
二、 泊松分布 （Poisson Distribution）
2014-4-21
二项分布
（实例）
【例】已知 100 件产品中有 5 件次品，现从中任取一件，有 放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的 概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则根据二项分 布公式有
P X 2 C32 (0.05)2 (0.95)32 0.007125
二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。
生物统计学课件1、概率及概率分布
04
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
生物统计学3 概率定义
5.3. 乘法定理
设 P ( A) 0, 则有 P ( AB ) P ( B A) P ( A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB ) 0, 则有
P ( ABC ) P ( A) P ( B A) P (C AB).
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2, 且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有
Exer6-1.19 注：生物学问题中，还可以根据实验条件及生物学知识判断 事件的独立性。如发烧和白细胞增多不独立，长疖子和患胃 病相互独立
5.4 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验E的样本空间, A1 , A2 , , An 为 E 的一组事件, 若 Ai A j , i, j 1,2,则称 A1 , A2 , , An 为样本空间 的一个划分.
m M nm N M n N
将N=30，M =8，n =10，m =2代入 上式，得
C .C p（A） C
2 8 10 2 308 10 30
= 0.0695
即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这 群奶牛随机抽出 10 头奶牛其中有2头曾有流 产史的概率为6.95%。
例 ： 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面4个 数全不相同的概率.(设后面4个数中的每一个数都 等可能地取自0,1.2,…,8,9).
3、试验的所有可能结果两两互不相容。
具有上述特征的随机试验，称为古典概型
（classical model）。对于古典概型，概率 的定义如下： 设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构 成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A
的概率为m/n，即
P（A）=m/n (4-2)
生物统计学03概率和概率分布
e
−λ
(λ = np)
x = 0, 1, 2…, n
第二节 常用的概率分布 二、泊松分布
☆ 参数 参数:
µ= λ
2 = λ σ
☆ 形状
λ=0.5 λ=1.5 λ=2.5
λ→20
泊松分布→正态分布 泊松分布 正态分布
第二节 常用的概率分布 三、正态分布
☆ 是一种连续随机变量的概率分布 ☆ 许多生物现象的计量资料均服从正态分布 ☆ 一般假定试验误差的分布服从正态分布 ☆ 非正态总体统计数的抽样分布近似服从正态分布
☆当 p 值较小且 n 值不
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 3 5 7
p=0.3
p=0.5
p=0.75
大时， 大时，图形是偏倚的
☆当 p 值趋于 时，分 值趋于0.5时
布趋于对称
9
11
13
15
17
19
21
第二节 常用的概率分布 二、泊松分布
☆ 概率函数
P( x ) =
λ
x
x!
第二节 常用的概率分布
随机抽取20株小麦 测得平均株高为82.3cm，标准差为 株小麦， cm， 例3.4 随机抽取 株小麦，测得平均株高为 cm 1.7502cm，试计算： cm，试计算： cm 1）株高≥85cm的概率； 的概率； 的概率 的正常值范围。 2）小麦株高的95%的正常值范围。 小麦株高的 的正常值范围
第二节 常用的概率分布 三、正态分布
1. 概率函数
f (x) = 1
− ( x−µ)2 2σ 2
σ 2 π
e
记为x～ 记为 ～N(µ,σ2)
第二节 常用的概率分布
2. 正态曲线的特点
概率论在生物统计学中的应用
概率论在生物统计学中的应用概率论是数学中的一个分支，研究的是事件发生的可能性。
在生物统计学中，概率论起到了重要的作用。
通过运用概率论的方法，我们可以分析和解释生物数据的变异性，评估实验结果的可靠性以及进行生物学假设的检验。
本文将探讨概率论在生物统计学中的几个重要应用。
一、随机事件与概率在生物统计学中，许多生物学现象都表现为随机事件，比如基因突变、疾病发生等。
概率论通过定义事件的概率，可以帮助我们衡量这些随机事件的发生概率。
例如，在研究某种疾病的遗传机制时，我们可以利用概率论来计算某个基因突变在人群中的概率，从而判断该突变是否与疾病的发生有关。
二、概率分布与生物学数据分析在生物学研究中，我们常常需要对实验数据进行分析。
概率分布是一种用于描述随机变量的数学函数，通过概率分布，我们可以得到随机变量在不同取值下的概率。
例如，在研究某种药物的疗效时，我们可以利用正态分布来描述被试者的体重变化，从而评估该药物的疗效。
三、假设检验与生物统计学假设检验是生物统计学中常用的方法，它用于判断样本数据是否与假设相符。
概率论为假设检验提供了理论基础，通过计算得到的p值，我们可以判断样本数据是否支持某一假设。
例如，在临床试验中，我们可以利用假设检验来评估一种新药物的疗效，判断该药物是否优于对照组。
四、贝叶斯统计与生物信息学贝叶斯统计是一种基于概率论的统计学方法，它用于根据已有的数据和先验知识来更新对未来事件的概率分布。
在生物信息学中，贝叶斯统计广泛应用于基因组学、蛋白质学等领域。
例如，在基因组学研究中，我们可以利用贝叶斯统计来预测编码蛋白质的基因。
通过整合多种数据源，例如DNA序列、转录组数据等，我们可以计算出每个基因是编码蛋白质的概率，从而提高基因预测的准确性。
五、抽样与统计推断抽样是生物统计学中常用的方法，它通过从总体中选取一部分样本来估计总体参数。
概率论提供了抽样方法的理论基础，通过计算样本的均值、方差等统计量，我们可以推断总体的参数。
生物统计学第三章 统计推断PPT幻灯片
2.3.2 两个总体方差不相等
例3-5，测定冬小麦“东方红3号”的蛋白 质含量（%）10次，得到x1 14.3 s1 ，1.621 ； 测定“农大193”的蛋白质含量（%）5次， 得到 x2 11.7，s2 0.135。试检验两个小麦品 种的蛋白质含量是否有显著差异。
2.3.2 两个总体方差不相等
例3-2
例3-2，某罐头厂生产肉类罐头，其自动装 罐机在正常工作状态下每罐净重服从正态 分布N（500,82）（单位：g）。某日随机 抽查了10听罐头，测得结果为：505、512、 497、493、508、512、502、495、490、 510。请问装罐机工作是否正常？
① Minitab
在工作表中输入数据：
2.2 单样本平均数的t检验
② 6SQ统计插件
点击确定，即可得到结果：
2.2 单样本平均数的t检验
③ DPS
在工作表中输入数据，然后选择数据（不 选择标题行），然后点击菜单试验统计→ 单样本平均数检验：
2.2 单样本平均数的t检验
③ DPS
弹出菜单后，在输入总体平均数下面填入 4.5：
2.2 单样本平均数的t检验
异显著。
2 样本平均数的假设检验
2.1 单样本平均数的u检验
当正态总体方差σ2已知，检验样本平均数
x 所属总体平均数 与已知总体平均数 0
是否有显著差异时，可以用u检验（也称Z 检验）。
Байду номын сангаас
2.1 单样本平均数的u检验
例3-1，某渔场按照常规方法所育鲢鱼苗一 月龄的平均体长为7.25cm，标准差为 1.58cm。为了提高鱼苗质量，现采用一新 方法进行育苗，一月龄时随机抽取100尾 进行测量，测得其平均体长为7.65cm，试 问新方法与常规方法有无显著差异？
生物统计学课件--2概率的基本知识
A1 A2 An V
则有：
P( A1 A2 An) P( A1) P( A2) P( An) 1
1 如果n个事件出现的概率相等，那么， P ( Ai ) n
称Ai为完全事件系。
复习思考题
①什么概率论？什么叫统计学？两者的关系是什么？ ②什么是试验？ ③举例说明什么是必然事件、什么是随机事件？请说 明事件之间的关系。
④什么是概率？利用统计概率的定义说明概率的性质。
⑤什么是统计概率？要想了解随机事件的发生规律， 应如何进行研究？ ⑥试阐述“小概率实际不可能性”的原理及应用。 ⑦说明随机事件的概率计算法则。
第四章
第一节 随机变量
几种常见的概率分布
一、随机变量 在随机试验中被测量的量，称随机变量。 有时随机试验的结果为数量，有时随机试验的结果 不是数量，要人为地量化。
F ( x0) P( x), 其中，xx0
例：掷骰子试验，X为点数，是离散型随 机变量，其可能值为1、2、3、4、5、6， 若求出现的点数不多于3点的概率，则为 求 P( x 3) F (3)
P( x 1) P( x 2) P( x 3)
p(1) p(2) p(3)
方 差：2 = npq ，
标准差： =
npq
四、例1：
试求掷10次硬币，出现3次正面的概率是多少？ 解：掷硬币为随机试验，可能的结果有两种， A：正面向上；B：反面向上。 p = P（A）= 1/n =1/2 = 0.5，
q = 1- p = 0.5
则有：P（x=3）= p（3）
x C n p x
0.40 0.48
2、概率的性质 • 任何事件（A）的概率均满足：0≤P（A）≤1； • 必然事件的概率为1；
生物统计学 第三章 概率分布09
2
2 2
x
= 期望 2 = 方差
X ~ N(, 2)
正态分布
正态分布概率密度函数的几何表示
f (x)
正态曲线
x
曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率
正态分布
正态分布的特点
➢只有一个峰，峰值在x = 处 ➢曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=中
位数 ➢x轴为曲线向左、右延伸的渐进线
P(x≥4)=1-P(x<4)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)
1
30！0 e331 1!e3 Nhomakorabea32 2!
e3
33 3!
e3
=0.3528
连续型随机变量的概率分布
正态分布（normal distribution）
➢具有如下概率密度函数的随机变量称为正态 分布随机变量：
f (x) 1 e[ (x )2 ]
第三章 常用概率分布
二项分布 普哇松分布 正态分布 抽样分布
离散型随机变量的概率分布
二项分布（binomial distribution）
假设：1. 在相同条件下进行了n次试验 2. 每次试验只有两种可能结果（1或0） 3. 结果为1的概率为p，为0的概率为1-p 4. 各次试验彼此间是独立的
在n次试验中，结果为1的次数（X = 0，1，2， ，n）服从二项分布，表示为
较大，顶部略低，尾部略高。自由度小的t 分布，更为明显。 n>30时， t 分布接近于标准正态分布； n>100时，t 分布基本与标准正态分布相同； n→∞时，t 分布与标准正态分布完全一致。 3. t 分布概率求法 可查P302 t 分布的双侧分位表。
例：df=4 双侧 t0.05=2.776 t0.01=4.604 单侧 t0.05=2.132 t0.01=3.747
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度
第二节 常见的理论分布
离散型变量的概率分布 二项分布 泊松分布
连续型变量的概率分布 正态分布
一、二项分布
• 对立事件
A p q (q=1-p)
• 重复性 独立性
（一）二项分布概率的计算
例：在由具有一对基因差异的亲本杂交形成的F2代 群体中，出现黄色子叶的概率为0.75，出现青色 子叶的概率为0.25，如果从这种总体抽取3粒，那 么得到1粒是黄子叶的概率是多少呢？
P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它
反映了事件在一次试验中发生可能性的大小，概率大
表示事件发生的可能性大，概率小表示事件发生的可
能性小。
• 概率的性质
• 1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、
必然事件的概率为1，即P（Ｕ）=1； 3、 不可能事件的概率为0，即P（Ｖ）=0。
抽取三粒种子(以Y代黄子叶，以G代青子叶)， 即n=3，有两粒黄子叶种子，即x=2，这时有3种不 同组合： GGY，GYG，YGG。出现第一粒，第二 粒和第三粒种子是互不影响的，因此这三个事件是 独立事件，由乘法法则可得：
P(GGY) ( 3)(3)(1) 9 4 4 4 64
P(GYG) ( 3)(1)(3) 9 4 4 4 64
记作B A，称为A的对立事件
5. 完全事件系 若事件A1、A2、…、An两两互斥，且每次试验结果必发
生其一，则称A1、A2、…、An为完全事件系。
例如，仅有三类花色：黄色、白色和红色，则取一朵花， “取到黄色”、“取到白色”和“取到红色”就构成完全事 件系。
6. 事件的独立性 若事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，则称事
• 概率：当试验重复数n逐渐增大时,随机事件 A的频率越来越稳定地接近某一数值 p , 那 么就 把 p称为随机事件A的概率
P(A)=p≈m/n （n充分大）
• 统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验
概率或统计概率，用公式表示为：
P(
A)
lim n
a n
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。
L/O/G/O
概率论
授课教师：王天慧
Tel:66132665 E.mail:wangth@
第三章 概率与概率分布
• 第一节 概率的基本概念 • 第二节 常用的概率分布 • 第三节 统计数的分布
第一节 概率的基本概念
• 事件、概率、频率 • 概率的计算 • 概率分布
一、事件 频率 概率
布：
变量xi 概率P(y=yi)
x1 x2 x3 … xn P1 P2 P3 …Pn
• 2、连续型随机变量
• 变量x的取值仅为一范围，且x在该范围 内取值时，其概率是确定的，这种类型 的变量称为连续型随机变量
b
P(a x b) a f (x)dx
式中，f(x)称为x的概率密度函数或分布密
_
概率为：P( A )=1－P(A)
• 4.完全事件系的概率
• 例如上例，黄色种子和白色种子构成完全 事件系，其概率为1。
三. 概率分布
1、离散型随机变量
变量x的取值可用实数表示，且x取某一值时，其
概率是确定的，这种类型的变量称为离散型随机 变量。
将这种变量的所有可能取值及其对应的概率一一列
出所形成的分布，称为离散型随机变量的概率分
调查株
数(n)
5
25
50 100 200 500 1000 1500 2000
受害株
数(a)
2
12
15
33
72 177 351 525 704
受害频 率(a/n) .40 .48 .30 .33 .36 .354 .351 .350 .352
• 频率：在相同条件下进行n次重复试验,如果 随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为 随机事件A的频率
• 事件(event)：在自然界中一种事物，常 存在几种可能出现的情况，每一种可能出 现的情况称为事件。
• 确定现象 必然事件（Ｕ）：一定条件下必然出现的现象 不可能事件（Ｖ）：一定条件下必然不出现的现 象
• 不确定现象 随机事件：一定条件下可能发生，也可能不发生。
• 下面用棉田发生盲椿象为害的情况来说明这一 问题。
先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽 到白色种子的概率为1/4=0.25.
P(A)=P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到
白色种子)=0.75×0.25=0.1875
P(B)= P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽
到黄色种子)=0.75×0.75=0.5625
• 3.对立事件的减法
• 若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的
穗和双穗株的概率为：
• P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83来自• 2.独立事件的乘法
• 假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自
出现的概率，则：
P(AB)=P(A)P(B)
• 例：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒 是白色，采用复置抽样。试求下列两事件 的概率(1)第一次抽到黄色，第二次抽到 白色；(2)两次都抽到黄色。
P(YGG) (1)(3)(3) 9 4 4 4 64
由于这三个事件都是相互互斥的，所以出现两粒黄子 叶种子(x=2)的概率为这三种概率之和：
P(x 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 9 64 64 64 64
上述结果也可以表示为：
P(
x
2)
C32
(
3 4
件A和事件B相互独立。
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为“产 量高”，显然如果花的颜色与产量无关,则事件A与事件B 相互独立。
概率的计算法则
1.互斥事件的加法
• 假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和 P(B)，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
• 例如：调查某玉米田一穗株的概率，
P(A)=0.65,双穗株的概率P(B)=0.18，则一
二、概率的计算
1.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作 AB=A+B
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
n
Ai
i1
2.积事件:A与B同时发生，记作 AB＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
3.互斥的事件：AB＝ V
4. 对立事件A+B＝U, 且AB＝ V
第二节 常见的理论分布
离散型变量的概率分布 二项分布 泊松分布
连续型变量的概率分布 正态分布
一、二项分布
• 对立事件
A p q (q=1-p)
• 重复性 独立性
（一）二项分布概率的计算
例：在由具有一对基因差异的亲本杂交形成的F2代 群体中，出现黄色子叶的概率为0.75，出现青色 子叶的概率为0.25，如果从这种总体抽取3粒，那 么得到1粒是黄子叶的概率是多少呢？
P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它
反映了事件在一次试验中发生可能性的大小，概率大
表示事件发生的可能性大，概率小表示事件发生的可
能性小。
• 概率的性质
• 1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、
必然事件的概率为1，即P（Ｕ）=1； 3、 不可能事件的概率为0，即P（Ｖ）=0。
抽取三粒种子(以Y代黄子叶，以G代青子叶)， 即n=3，有两粒黄子叶种子，即x=2，这时有3种不 同组合： GGY，GYG，YGG。出现第一粒，第二 粒和第三粒种子是互不影响的，因此这三个事件是 独立事件，由乘法法则可得：
P(GGY) ( 3)(3)(1) 9 4 4 4 64
P(GYG) ( 3)(1)(3) 9 4 4 4 64
记作B A，称为A的对立事件
5. 完全事件系 若事件A1、A2、…、An两两互斥，且每次试验结果必发
生其一，则称A1、A2、…、An为完全事件系。
例如，仅有三类花色：黄色、白色和红色，则取一朵花， “取到黄色”、“取到白色”和“取到红色”就构成完全事 件系。
6. 事件的独立性 若事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，则称事
• 概率：当试验重复数n逐渐增大时,随机事件 A的频率越来越稳定地接近某一数值 p , 那 么就 把 p称为随机事件A的概率
P(A)=p≈m/n （n充分大）
• 统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验
概率或统计概率，用公式表示为：
P(
A)
lim n
a n
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。
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概率论
授课教师：王天慧
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第三章 概率与概率分布
• 第一节 概率的基本概念 • 第二节 常用的概率分布 • 第三节 统计数的分布
第一节 概率的基本概念
• 事件、概率、频率 • 概率的计算 • 概率分布
一、事件 频率 概率
布：
变量xi 概率P(y=yi)
x1 x2 x3 … xn P1 P2 P3 …Pn
• 2、连续型随机变量
• 变量x的取值仅为一范围，且x在该范围 内取值时，其概率是确定的，这种类型 的变量称为连续型随机变量
b
P(a x b) a f (x)dx
式中，f(x)称为x的概率密度函数或分布密
_
概率为：P( A )=1－P(A)
• 4.完全事件系的概率
• 例如上例，黄色种子和白色种子构成完全 事件系，其概率为1。
三. 概率分布
1、离散型随机变量
变量x的取值可用实数表示，且x取某一值时，其
概率是确定的，这种类型的变量称为离散型随机 变量。
将这种变量的所有可能取值及其对应的概率一一列
出所形成的分布，称为离散型随机变量的概率分
调查株
数(n)
5
25
50 100 200 500 1000 1500 2000
受害株
数(a)
2
12
15
33
72 177 351 525 704
受害频 率(a/n) .40 .48 .30 .33 .36 .354 .351 .350 .352
• 频率：在相同条件下进行n次重复试验,如果 随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为 随机事件A的频率
• 事件(event)：在自然界中一种事物，常 存在几种可能出现的情况，每一种可能出 现的情况称为事件。
• 确定现象 必然事件（Ｕ）：一定条件下必然出现的现象 不可能事件（Ｖ）：一定条件下必然不出现的现 象
• 不确定现象 随机事件：一定条件下可能发生，也可能不发生。
• 下面用棉田发生盲椿象为害的情况来说明这一 问题。
先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽 到白色种子的概率为1/4=0.25.
P(A)=P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到
白色种子)=0.75×0.25=0.1875
P(B)= P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽
到黄色种子)=0.75×0.75=0.5625
• 3.对立事件的减法
• 若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的
穗和双穗株的概率为：
• P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83来自• 2.独立事件的乘法
• 假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自
出现的概率，则：
P(AB)=P(A)P(B)
• 例：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒 是白色，采用复置抽样。试求下列两事件 的概率(1)第一次抽到黄色，第二次抽到 白色；(2)两次都抽到黄色。
P(YGG) (1)(3)(3) 9 4 4 4 64
由于这三个事件都是相互互斥的，所以出现两粒黄子 叶种子(x=2)的概率为这三种概率之和：
P(x 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 9 64 64 64 64
上述结果也可以表示为：
P(
x
2)
C32
(
3 4
件A和事件B相互独立。
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为“产 量高”，显然如果花的颜色与产量无关,则事件A与事件B 相互独立。
概率的计算法则
1.互斥事件的加法
• 假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和 P(B)，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
• 例如：调查某玉米田一穗株的概率，
P(A)=0.65,双穗株的概率P(B)=0.18，则一
二、概率的计算
1.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作 AB=A+B
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
n
Ai
i1
2.积事件:A与B同时发生，记作 AB＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
3.互斥的事件：AB＝ V
4. 对立事件A+B＝U, 且AB＝ V