2018年高考数学(理)原创押题预测卷 02(新课标Ⅱ卷)(考试版)
理科数学试题 第3页（共14页）
理科数学试题 第4页（共14页）
2018年高考原创押题预测卷02【新课标Ⅱ卷】
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{}1,4A =，{}260B x x x =∈--<N ，则A B 等于
（A ）{}0,1,4 （B ）{}1,0,1,2,4- （C ）{}0,1,2,4 （D ）{}2,4
2．设复数2i z =+（i 为虚数单位），则复数25z z +
的共轭复数为 （A ）34i - （B ）53i - （C ）34i + （D ）53i +
3．已知向量(1,2)=a ，向量(2,3)=b ，若向量c 满足()∥b +c a ，⊥c a ，则c =
（A ）21
(,)33 （B ）1
2(,)55- （C ）2
1(,)55- （D ）21
(,)55
- 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）2π3+ （B ）22π3+ （C ）13π32+ （D ）2π2+
5．甲、乙二人独立玩一项“闯关”游戏，按照先甲后乙依次进行的顺序，只要二人连续两局“闯关”成功，则游戏停止，否则继续进行.其中甲、乙“闯关”成功的概率分别为
23，12
.则在闯关不超过4局的前提下，甲最后“闯关”成功的概率为 （A ）13
（B ）79 （C ）29 （D ）19 6．在ABC △中，角2π3B =
，2AB =，且BC 边上的高恰为BC
AC 的长为 （A
（B
） （C
） （D
）
7．若x y ，满足约束条件2000x y x y y --≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩
且z kx y =+有最小值，则k 的取值范围为
（A ）1k ≥-
（B ）21k -≤≤- （C ）2k ≥- （D ）1k ≤- 8．已知关于x 的方程23π(s i n c o s )s i n (2)2
x x x m +--=在区间[)0,π上有两个根12,x x ，
且m 的取值范围是 （A
（B
（C ）[)1,2 （D ）[
)0,1 9．阅读如图的程序框图，若输入2n =, 输出k 的值为5，则判断框中的条件应该为
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（A ）5?n > （B ）5?n ≥
（C ）7?n ≥ （D ）7?n >
10．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且21220n n a a -+>，若339,7a S ==，则4a =
（A ）274- （B ）94- （C ）272- （D ）272
11．在三棱锥P ABC -中，ABC △是边长为3的正三角形，顶点P 在底面ABC 内的射影H 为ABC
△的中心，以PH 为直径的球O 与侧棱PA ，PB ，PC 分别交于,,D E F 三点，其中球的表面积为9π，则DEF △的外接圆半径为
（A
（B
（C
） （D
12．函数()f x 是定义在()1,+∞上的可导函数，()f x '为其导函数，若()()2()(1)2f x x f x x
x '+-=-，且()2e 0f =，则不等式()
e 0x
f <的解集为 （A ）()0,1 （B ） ()0,2 （C ） ()1,2 （D ）()2,+∞
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知4
203(4a x x =⎰，则4()()x y x a ++的展开式中2x y 项的系数为_____________. 14．若圆221:-20C x y x ay ++=与圆222:(2)5C x y ++=相交于点A ,B ，其公共弦AB 所在的直线方
程为6210x y --=，则四边形12AC BC 的面积为_____________.
15．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(1)f x +是奇函数，1e ,1()(),1
x x f x g x x -+⎧≤=⎨>⎩，则(3ln 2)g +=
_____________．
16．已知点N ，抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，线段FN 交抛物线于点E ，若E 到直线2
p x =-的距离与EN 相等，点A 为抛物线上的一点，且在x 轴上方，直线AF 的倾斜角π4
α≥，则FA 的取值范围是_____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
数列{}n a 中，37a =，1233(2,)n n a a a n n -=++≥∈N .
（Ⅰ）证明：211(2)(2)(2)n n n a a a -+++=+；
（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和.
18．（本小题满分12分）
某销售公司为了对下一年某产品的销售价格指数x （单位：元）进行调整，对历年该产品的销售价格指数和销售量综合指数y （单位：kg ）进行了调查研究，得到编号为（1）到（5）的五组数据，并将其制成散点图，如图所示.
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（Ⅰ）根据散点图判断，2
y bx a =+与y cx d =+哪一个适宜作为销售量综合指数与销售价格指数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）令2x ω=，根据（Ⅰ）的判断结果及已知数据，建立y 关于x 的回归方程（,a b 精确到0.1）； （Ⅲ）如果第（2）组到第（4）组的数据是“理想性价比”数据，则从五组数据中任选3组数据，记其中选到“理想性价比”数据的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
参考数据：5155i i ω==∑，51190i i y ==∑，()()51751i i i y y ωω=--=-∑，()521
374i i ωω=-=∑.
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()
121ˆn
i i
i n i i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u α
β=-. 19．（本小题满分12分）
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AB DC ∥，90ADC ∠=︒ PD ⊥平面ABCD ，
3PD =,6DC =,2AB =,BD AC ⊥,,E F 分别是,PA CD 的中点.
（Ⅰ）证明：BD EF ⊥;
（Ⅱ）求直线EF 和平面PBC 所成角的正弦值.
C A
B P
20．（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，点(1,1)P 满足2PA PB ⋅=-．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(,0)B a 且斜率为正数的直线l 与抛物线24y ax =交于D ,E 两点，其中点D 在x 轴上方，直线l 与椭圆C 交于异于点B 的一点M ，若ABE △的面积为1S ，ABM △的面积为2S ，且1279S S =，求直线l 的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln ()f x x x m m =--∈R .
（Ⅰ）当0=m 时，求函数()f x 在],0(a 上的最大值；
（Ⅱ）若()()(2)e 0x g x f x x =+-<在(0,3]x ∈上恒成立（其中e 2.718,e =L 为自然对数的底
数），求实数m 的取值范围.
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理科数学试题 第16页（共14页） 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线2221:2sin 3C ρρθ+=（0πθ≤≤）.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴
建立直角坐标系xOy ，点(2,0)A ，设曲线1C
经过伸缩变换:x x y ϕ'=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C ，点M 是曲线2C 上任一点，且动点P 满足OP OA OM =+.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的参数方程；
（Ⅱ）设曲线C 在点(,)P x y 处的切线斜率为k
，且k ≤≤
x 的取值范围. 23．（本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()2f x x ≥+的解集；
（Ⅱ）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.。
【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题+Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,0,1,2,3,4A B =-=,则()B C A B I =（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,1,4 C ．{}14， D ．{}0,12.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii∙=+,则3z +=（ ）A ． D ．53.已知具有线性相关的两个变量x y ，之间的一组数据如下表所示:若x y ，满足回归方程 1.5y x a =+,则以下为真命题的是（ ） A.x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5 个单位长度 B.x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5 个单位长度 C.所有样本点的中心为(1,4.5) D.当8x =时,y 的预测值为13.54.已知点(),4P n 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点,12,F F 是椭圆C 的两个焦点,若12PF F ∆的内切圆的直径为3,则此椭圆的离心率为（ ）A ．57 B ．23 C.35 D ．455.如图,已知ABC ∆与AMN ∆有一个公共顶点A ,且MN 与BC 的交点O 平分BC ,若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．2C.32．66.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧梭垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵111,ABC A B C AC BC -⊥,若12A A AB ==,当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外 接球的体积为（ ）A ．B ．3 C.3D ． 7.“34πϕ=”是“函数= 2y cos x 与函数()=2y sin x ϕ+在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,上的单调性相同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图,若输出1007S =-,则判断框内应填的内容是（ ）A ．2015?k <B ．2016?k < C.2017?k < D ．2014?k <9.如图所示，直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线,12,F F 是双曲线C 的左、右焦点,1F 关于直线的对称点为1'F ,且1'F 是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A．310.某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人,则不同的分配方法共有（ ） A ．114种 B ．150种 C. 120种 D ．118种11.如图,正方体1111ABCD A BC D -的对角线BD 上存在一动点P ,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于,M N 两点.设,BP x BMN =∆的面积为S ,则当点P由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知()'f x 为函数()= y f x 的导函数,当02x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭，是斜率为k 的直线的倾斜角时,若不等式()()'0f x f x k -∙<恒成立，则（ ）A()3()4f f ππ>B ．(1)2()sin16f f π<()()064f ππ-> D()()063f ππ-<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2221f x cosx sinx sin x =+-+,则其最小正周期为 ．14.过()()3,1,0,M N a -两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点,则实数a 的取值范围为 ．15.如图,将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ,并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45°,PQ 为正方形BCEF 内一条直线,则直线PQ与BD 所成角的取值范围为 ．16..已知菱形ABCD ,E 为AD 的中点,且3BE =,则菱形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和221,S n n n N *=++∈n . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn .18.如图所示,已知三棱锥P ABC -中,底面ABC 是等边三角形,且=2,,PA PB AC D E ==分别是,AB PC 的中点.(1)求证:AB ⊥平面CDE ;(2)若PC =求二面角A PB C --的余弦值19.伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:(1)若以“年龄55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:(2)若从年龄在[)55,65,[]65,75内的被调查人中各随机选取2 人进行追踪调查.记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ. ①求随机变量ξ的分布列; ②求随机变量ξ的数学期望. 参考数据如下:参考公式：22(),()()()()n ad bd K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++20. 已知点()0,1A ,过点()0,1D -作与x 轴平行的直线1l ，点B 为动点M 在直线1l 上的投影,且满足MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)已知点P 为曲线C 上的一点,且曲线C 在点P 处的切线为2l ,若的与直线2l 相交于点Q ,试探究在y 轴上是否存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ? 若存在,求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.已知函数()1f x x nx =.(1)若函数()()()()2 '20g x f x ax a x a ==+-+>,试研究函()g x 数的极值情况; (2)记函数()() x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为o x ，记()(),x x m x min f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,若 ()() m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不等实根()1212, x x x x <，证明∴122o x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知圆cos 1:x C y xin αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为4 sin ρθ=. (1)分别写出圆1C 的普通方程与圆2C 的直角坐标方程;(2)设圆1C 与圆2C 的公共弦的端点为,A B ,圆1C 的圆心为1C ,求1AC B ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知,a b 均为正实数,且 1a b +=.(1)求2的最大值; (2)求1aba+的最大值.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二)一、选择题1-5:BADCC 6-10:BAACA 11、12：DD 二、填空题13.π【解析】因为()21 221= 2 +?cos 21214f x sin x sin x sin x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-++=++,所以其最小正周期为22T ππ==. 14.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[解析]点() 3,1M -关于y 轴的对称点为()'3,1M ,则直线'M N 的方程为11?(303)a y x -=---,即()1330a x y a -+-=,由题意可知，圆心(0,0)到直线()1330a x y a -+-=的距离1d =≤,即282100a a +-≤，解得5-14a ≤≤,故实数a 的取值范围为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.30,90⎡⎤⎣⎦【解析】不妨设正方形的边长为1,作DG CE ⊥,垂足为G ,由,BC CE BC CD ⊥⊥,得BC ⊥平面CDG .故BC DG ⊥.又BC CE C = ,得DG ⊥平面BCEF ,故直线BD 在平面BCEF BCEF 内的射影为BG .易知2DG =,则BD 与平面BCEF 所成的角为30DBG ∠= ,所以BD 与平面BCEF 内的直线所成的最小角为30°,而直线PQ 与BD 所成角的最大角为90°(当PQ 与CF 重合时,PQ 与BD 所成角为90°),所以直线PQ 与BD 所成角的取值范围为30,90⎡⎤⎣⎦16.12【解析】设AE x =,则2AB AD x ==,因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,所以+>,<,AB AE BE AB AE BE ⎧⎨-⎩即231233x x x x x x +>>⎧⎧⇒⎨⎨-<<⎩⎩，所以(1,3)x ∈.设BAE θ∠=,在ABE ∆中,由余弦定理可知()229222x x x xcos θ=+-∙∙,即22594x cos x θ-=，2 2.4ABCD S x x sin xθ=∙∙==菱形2t x =，则()1,9t∈，则A B C D S =菱形当5t=，即x =,ABCD S 菱形有最大值12.三、解答题17.解:(1)当1n =时,114a S ==; 当2n ≥时，()2211221,n n n a S S n n n -=-=--+=+对14a =不成立，所以数列{}n a 的通项公式为4,121,2,n an n n nN*=⎧=⎨+≥⎩ (2)当1n =时,1120T = 当2n ≥时，111(21(23)n n a a n n +=++ =111)22n+123n -+（所以111111111161(...)2025779212320101520(23)n n n T n n n n --=+-+-++-=+=++++ 又1n =时，1120T =符合上式， 所以61()20(23)N n n n n T *=-∈+18.解:(1)连接PD ,因为PA PB AC ==,底面ABC 是等边三角形， 又因为D 是AB 的中点， 所以,PD AB AB CD ⊥⊥. 又因为CD PD D = , 所以AB ⊥平面CDE . (2)因为2PA PB AC === 由(1),可知PD CD ==而PC ,所以PD CD ⊥.以D 为原点,以DB uu u r的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示，则()()()(1,0,0,1,0,0,,A B C P -,由题意,得平面ABP 的一个法向量为()0,1,0m =u r. 设平面BCP 的一个法向量为(),,n x y z =r.因为()(,BC PC =-=-uu u r uu u r,所以((,,)0(,,)0BC n x y z PC n x y z ⎧∙=-∙=⎪⎨∙=∙=⎪⎩uu u r,即00x ⎧-+=⎪= 令1z =,得1,x y =.所以)n =,所以,cos m n <>==由题意知二面角A PB C --为锐角， 所以二面角A PB C --的余弦值为519.解:(1)22⨯列联表如下:2K 的观测值250(38732)9.524 6.63510403515k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. (2)①由题意,可知ξ所有可能取值有0,1,2,3,()229340225055C C P C C ξ==∙=,()1122112234340+2222255555C C C C C P C C C C ξ==∙∙=,()221113242342+2222105555CC C C C P C C C C ξ==∙∙=,()211243222555CC P C C ξ==∙=， 所以ξ的分布列是②912316()0123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解:(1)设(),M x y ,由题得(),1B x -.又()0,1A ,∴()-, 1MA x y =-uuu r ,()()0, 1 ,, 2MB y AB x =--=-uuu r uu u r ,由MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r ,得()0MA MB AB =∙+uuu r uuu r uu u r . 即()()2,2,204x y x x y --∙-=⇒=, ∴轨迹C 的方程为24x y =. (2)设点()0200,,4x N n P x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，， 由214y x =，得1'2y x =， ∴201 '2l k y x x x == ∴直线2l 的方程为0020)4(2xx y x x -=-).令-1y =,可得0020()42xx x x x ==- ∴Q 点的坐标为2,12o o x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴220=,,,142o o o x x NP x n NQ n x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭uu u r uuu r ∵点N 在以PQ 为直径的圆上 ∴22002(1+)()24x x NP NQ n n ∙=---uu u r uuu r =220(1-)()+20()4xn n n n -+-=* 要使方程(* )对o x R ∈恒成立，则必有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩，解得1n =. 即在y 轴上存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ,其坐标为(0,1).21.解:(1)由题意,得()'1f x lnx =+,故()()221g x ax a x lnx =-+++, 故()()()()2111 '22x ax g x ax a x x--=-++=, 00.x a >>， 令()'0g x =,得2111,2x x a== ①当02a <<时，112a >， ()1 '002g x x >⇒<<或1x a >;()11'02g x a<⇒<， 所以() g x 在12x =处取极大值1 ln 224a g =-- ②当2a =时，()11,'02g x a =≥恒成立,所以不存在极值; ③当2a >时，112a ， ()1'00g x x a >⇒<<或12x >， ()11'02g x x a <⇒<, 所以()g x 在1x a =处取极大值11()ln g a a a=-- 在12x =处取极小值1()1224a g n =--. 综上,当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值,124a n --，在1x a =处取极小值ln 4a a --; 当2a =时,不存在极值;当2a >时,() g x 在1x a =处取极大值ln 4a a --, 在12x =处取极小值ln 24a --. (2)()x x F x xlnx e=-,定义域为()0,x ∈+∞, ()1'1x x F x lnx e-=++,而()1,2x ∈, 故()'0F x >,即()F x 在区间(1,2)内单调递增.又()()21210,2220F F ln e e=-<=->, 且)(F x )在区间(1,2)内的图象连续不断，故根据零点存在性定理,有)(F x 在区间(1,2)内有且仅有唯一零点.所以存在()1,2o x ∈,使得()()000o o x x F x f x e =-=, 且当1o x x <<时,()x x f x e <; 当o x x >时，()xx f x e >,所以()ln ,1,o o x x x x m x x x x ex <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时,() m x xln x =,由()'1 0m x ln x =+>,得()m x 单调递增; 当o x x >时,()x x m x e =, 由()1'0x x m x e-=<,得()m x 单调递减. 若()m x n =在区间()1,+∞内有两不等实根1212,()x x x x <, 则 ()()211, ,,o o x x x x ∈∈+∞. 要证122o x x x +>,即证212o x x x >-. 又12o o x x x ->,而()m x 在区间()o x +∞，内单调递减， 故可证()()212o m x m x x <-,又由()()12m x m x =,即证()()112o m x m x x <-, 即111212 o o x x x ln x e x x -<-. 记()22 ,1o o o x x h x xln x x x e x x-=-<<-,,其中()=0o h x ()220121'1 1ln o o x x h x ln x x e x x e x x +-=++=++---022o x x e x x --, 记()t t t e ϕ=,则()1't t t eϕ-=. 当()0,1t ∈时,()'0t ϕ>;当()1,t ∈+∞时,()'0t ϕ<',故()1max t eϕ=.而()0t ϕ>,故()10t eϕ<<, 而21xo x ->, 所以2021-0o x x e e x x-<-<- 因此()22211 '1 10o o o x x h x ln x e x x e x x e -=++->->-- 即()h x 单调递增.故当1o x x <<时,()()0o h x h x <= 即111212 o o x x e x x x x ln -<- 故122o x x x +>,得证.22.解:(1)因为圆1cos 1:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数）， 所以圆1C 的普通方程是()2211x y -+=. 因为圆2:4C sin ρθ=,所以圆2C 的直角坐标方程是224 0x y y +-=.(2)因为圆()221:11C x y -+=, 圆222:40C x y y +-=,两式相减,得-20x y =,即公共弦所在直线为20x y -=,所以点(1,0)到-20x y =所以公共弦长为=，所以1122555Ac B S ∆=⨯=23.解:(l)2=211（ 221+14141)a b ≤∙+++（）（ =()()242241212a b ⎡⎤⎣⎦++=⨯+=,=即12a b ==时,取等号， 故原式的最大值为12.(2)原式=112122ab b a b a ab a b==+++. 因为1212()()a b a b a b+=++ =221+23()b a b a a b a b ++=++3≥=+a 当且仅当2b a a b=，即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,取等号.所以原式≤故原式的最大值为。
2018届高考理科数学押题卷2(新课标卷)教师用卷
2018届高考理科数学押题卷2（新课标卷）教师用卷一、选择题1．设集合()22,| 1 416x y A x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭， (){},|3 x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是：（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 12，则2x y +=（ ） A. 1 B. 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增.若实数a 满足，则a 的最大值是（ ）A. 1B.C. D. 4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A. B. C. D.5. 设(){,|0,01}A x y x m y =<<<<， s 为()1ne +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ）A.B. C. D. 6. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数：第2017行的第项为2的正整数幂.已知，那么该款软件的激活码是（ ）A. 1040B. 1045C. 1060D. 10657. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.8. 已知实数,x y 满足）A.B.C.D. 9. 在正方体1111ABCD A BC D -中边长为2，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，若三棱锥P ABC -的外接则此时点P 构成的图形面积为（） A. π B.C. D. 2π 10.为（ ）A.B. C.11. 已知点I 在ABC ∆内部， AI 平分BAC ∠， ABC ∆，下列说法正确的是（ ）A. ABC ∆的三边长一定成等差数列B. ABC ∆的三边长一定成等比数列C. ABI ∆， ACI ∆， CBI ∆的面积一定成等差数列D. ABI ∆， ACI ∆， CBI ∆的面积一定成等比数列 12. 已知函数()f x 满足若对任意正数,a b 都有则x 的取值范围是 （ ）A. (),1-∞B. (),0-∞C. ()0,1D. ()1,+∞二、填空题13. 将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放方法共有2个，其中标号为1,2的小球不能放入同一盒子中，则不同的种。
2018年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(二)含解析
log 2
an 1 a1
log 2 2n
n，
nn 1
∴数列 bn 的前 n项和
，故选： C．
2
9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（
）
A ．12 【答案】 C
B．18
C．120
D．125
【解析】 第一次运行： a 0 1 1 ， i 1 为奇数， S 1 1 2 ， i 1 1 2；
3
16 B．
3
20 C．
3
D．8
【答案】 B
【解析】 由图可知该几何体底面积为 8，高为 2 的四棱锥，如图所示：
∴该几何体的体积 V
182
16 ，故选 B．
3
3
7．已知函数 f x Asin x ( A 0, 0,
示，则 f
（）
4
) 在一个周期内的图象如图所 2
A． 2 2
B． 2 2
C． 2
D． 2
4．已知曲线 y x4 ax2 1 在点 1， f 1 处切线的斜率为 8，则 f 1 （ ）
A．7 【答案】 B 【解析】 y
B．－ 4
C．－ 7
4x3 2ax， 4 2a 8 ， a 6， f
D．4 1 1a1
4 ，故选
B．
5．已知 a 1 ， b 2 ，且 a a b ，则向量 a 在 b方向上的投影为（
第二次运行： a 1 2 3 ， i 2 为偶数， S 3 2 6 ， i 2 1 3 ；
第三次运行： a 3 3 6 ， i 3 为奇数， S 6 6 12 ， i 3 1 4 ；
第四次运行： a 6 4 10 ， i 4 为偶数， S 10 12 120 ， i 4 1 5 ；
2018年高考数学(理)原创押题预测卷 01(新课标Ⅱ卷)(参考答案)
2018年高考原创押题预测卷01【新课标Ⅱ卷】理科数学·参考答案123456789101112D ABAAB DCCDCD13．−16014．4.515．2716．①④17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在Rt ADB △中，AB =4，ABD ∠=60°，ADB ∠=90°，∴260cos =︒=AB BD ，在BCD △中，由题知，︒=∠120BDC ，BCD ∠sin =1，由正弦定理得，BCD BDBDC BC ∠=∠sin sin ，∴BDC BD BC ∠∠=sin =31120sin 2︒=33.……………………………6分18．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，锻炼时间在[20，40）的频率为0.0025×20=0.05，锻炼时间在[40，60）的频率为0.0075×20=0.15，锻炼时间在[60，80]的频率为0.0200×20=0.4，∴锻炼时间的中位数在[60，80）内，设锻炼时间的中位数为x ，则0.050.15(60)0.020.5x ++-⨯=，解得75=x ，∴人们锻炼时间的中位数为75分钟.………………………………5分（Ⅱ）由频率分布直方图知，锻炼时间在[20，40）的人数为0.0025×20×40=2，锻炼时间在[40，60）的人数为0.0075×20×40=6，锻炼时间在[100，120）的人数为0.0050×20×40=4，锻炼时间在[120，140]的人数为0.0025×20×40=2，∴X 的可能取值为0，1，2，3，4，………………………………7分∴)0(=X P =22642286C C C C =143，)1(=X P =1122112646422286C C C C C C C C +=3516，)2(=X P =22111122242642622286C C C C C C C C C C ++=14039，)3(=X P =1122112622422286C C C C C C C C +=211，)4(=X P =22222286C C C C =4201，………………………………9分∴X 的分布列为X 01234P1433516140392114201…………………………10分∴()E X =0×143+1×3516+2×14039+3×211+4×4201=67.…………………………12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在Rt PAD △中，因为AP PD ==AB 3，PD AP ⊥，所以AB AP AD 362==，在ABD △中，22222)33()36(AB AB AB BD AD =+=+，所以AD BD ⊥，......................................................................................................................................1分又因为平面P AD ⊥平面ABD ，平面P AD I 平面ABD =AD ，⊂BD 平面ABD ，所以⊥BD 平面P AD ，...........................................................................................................................2分又∵⊂AP 平面P AD ，所以AP BD ⊥，............................................................................................3分因为PD AP ⊥，PD BD D =I ，........................................................................................................4分所以⊥AP 平面PBD ，因为⊂AP 平面PBA ，所以平面PBA ⊥平面PBD ................................................................................................................5分（Ⅱ）设AD 、AB 的中点分别为O ，F ，连接OP ，OF ，∴BD OF //，∵AD BD ⊥，∴AD OF ⊥，∵PD AP =，∴AD OP ⊥，∵平面P AD ⊥平面ABD ，平面P AD I 平面ABD =AD ，⊂OP 平面P AD ，∴⊥OP 平面ABD ，................................................................................................................................6分∴OP OF OA ,,两两互相垂直，以O 为原点，向量OA ，OF ，OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），另设2PA =，则22=AD ，则)0,0,2(A ，)0,02(-D ，)0,2,2(-B ，2,0,0(P ，∴AD =)0,0,22(-，AP =)2,0,2(-，AB =)0,2,22(-，....................................................7分设(),,x y z =n 是平面P AB 的法向量，则00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0222022y z x ，令1=z ，则1=x ，2=y ，则n =)1,2,1(.……………………9分设直线AD 与平面P AB 所成角的大小为θ（θ为锐角）.∴θsin |||AD |AD ⋅n =2221)2(122|122|++⨯⨯-=21，………………11分∴直线AD 与平面P AB 所成角的正弦值为21.................................................................................12分20．（本小题满分12分）（Ⅱ）①当直线MN PQ ,有一条斜率不存在时，437PQ MN +=+=．……6分②当PQ 斜率存在且不为0时，设方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y .联立方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=1)1(22y x x k y ，消去y 整理得01248)43(2222=-+++k x k x k ．2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+∴．……9分221212(1)[()4]PQ k x x x x ∴=++-2(1)k +22222431244)438(k k k k +-⨯-+-=2243)1(12k k ++．把1k -代入上式，得2234)1(12k k MN ++=，222284(1)(43)(34)k PQ MN k k +∴+=++，设1),0(12>≠+=t k k t ，28411+12PQ MN t t∴+=-+，1t >，设211()12g t t t =-++=49)11(2+--，1t >，令t m 1=，则)1,0(1∈=t m ，)(m g =44921(2+--m （10<<m ），∴449)()(12≤=<t g m g ，∴7)(84748<≤t g ，48[7)7PQ MN ∴+∈，．综上，PQ MN +的取值范围是[7,748].……12分21．（本小题满分12分）学科！网【解析】（Ⅰ）易知函数)(x f 的定义域为),1(+∞，)(x f '=b bx a x a -+++-12)1ln(，由题知，⎩⎨⎧=-++='=+++=114)2(3112)2(b b a f a b f ，解得⎩⎨⎧-==13b a .……………………4分（Ⅱ）当1=b 时，)(x f =1)1)(1()1ln()1(++-++--a x x x x a ，由当2>x 时，)(x f ＞0知)(-x x f =11)1ln(++-++-x a x a ＞0，设)(x g =1)(-x x f =111)1ln(++-++-x x a x a (2>x )，………………6分∴)(x g '=1)1(112+-+--x a x a =22)1(2)2(---+x a x a x =2)1())(2(-+-x a x x ，………7分当2-≥a 时，2≤-a ，)(x g '＞0，∴)(x g 在），（∞+2上是增函数，∴当2>x 时，)(x g ＞)2(g =121+++a ≥0，解得4-≥a ，∴2-≥a 时，满足题意，……………………9分当2-<a 时，2>-a ，∴当a x -<<2时，)(x g '＜0，当a x ->时，)(x g '＞0，∴)(x g 在区间),2(a -上是减函数，在区间),(+∞-a 上是增函数，∴min )]([x g =)(a g -=111)1ln(+---++--a a a a a =a a a ---)1ln(，由题知min )]([x g =a a a ---)1ln(＞0，即1)1ln(<--a ，即21e a a <-⎧⎨--<⎩，解得e 12a --<<-，……………………11分综上所述，实数a 的取值范围为(e 1,)--+∞.………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）消去直线l 参数方程中的t 得，250x y --=，………2分由0cos 2=+θρ得，0cos 22=+θρρ，将222y x +=ρ，x =θρcos 代入得圆C 的直角坐标方程为0222=++x y x .…………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C 的圆心C （−1，0），半径为1，∴||AB 表示圆C 上点B 与直线上点A 的距离，………………7分∵圆心C 到直线l 的距离为22|1205|2(1)d =+-=557，∴||AB 的最小值为157-.………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅱ）由题知)3()(++x f x f =|1||2|++-x x ≥|12|---x x =3，∴)3()(++x f x f 的最小值为3，∴322≤+m m ，解得13≤≤-m ，∴实数m 的取值范围为]1,3[-.………………10分。
2018年高考数学(理)原创押题预测卷 01(新课标Ⅱ卷)(全解全析)
2018年高考原创押题预测卷01【新课标Ⅱ卷】理科数学·全解全析123456789101112D ABAABDCCDCD1．【答案】D【解析】由题意得]1(12B =，，所以1(,(1,)2B =-∞+∞R U ð，所以()A B =R ð1[1,]2-，故选D ．2．【答案】A【解析】由题意知i 1,i 2121-=-=z z ，所以12z z =1i 12i --=)i 21)(i 21()i 21)(i 1(+-+-=5i53+，其共轭复数为5i 53-，故选A ．3．【答案】B【解析】设各节气日影长依次成等差数列{}n a ，n S 是其前n 项和，则9S =199()2a a +=59a =85.5，所以5a =9.5，由题知147a a a ++=43a =31.5，所以4a =10.5，所以公差54d a a =-=−1，所以12a =57a d +=2.5，故选B ．5．【答案】A【解析】由三视图知对应的几何体为三棱锥ABC P -，其中，P A ⊥平面ABC ，P A 2，底面为等腰三角形且底边BC =2，BC 边上的高为1，∴该几何体的体积为1121232⨯⨯⨯⨯=23，故选A ．6．【答案】B【解析】由当0x ≥时，()2(+3)f x f x =得，1(3)()2f x f x +=，所以(2018)f =1(2015)2f =1(2012)4f = =6721(2)2f =6721(2)2f --=36721log [1(2)]2---=67212-，故选B ．7．【答案】D【解析】将三棱锥ABC P -补成以ABC △为底面的直三棱柱，该三棱柱内接于球O ，设ABC △的外接圆圆心为D ，则DO =3，∵BC =3，BAC ∠=60︒，∴AD =2sin BCBAC∠=3，∴球O 的半径R 22AD OD +=3，∴球O 的表面积为24πR =48π，故选D ．8．【答案】C【解析】由题意得()f x =22cos 2sin cos x x x ωωω+=sin 2cos 21x x ωω++=π214x ω++.设()g x =π24x ω+，∵(0)g =π4，1()2g =π4ω+，∴π3ππ42ω≤+<，解得3π4ω≤<5π4，故实数ω的取值范围为[3π4，5π4），故选C ．10．【答案】D【解析】解法一：运行程序，1i =，x =10-<，执行是，121x =-+=；2i =，x =10>，执行否，12>不成立，执行否，2123x =+=；3i =，x =30>，执行否，32>成立，执行是，328x ==，此时结束循环，输出8x =，故选D.解法二：由程序框图知，该框图的功能是已知)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<+2,220,20,22x x x x x x，求((()))f f f x 的值，因为)1(-f =121=+-，所以))1((-f f =321)1(2=+=f ，所以(((1)))f f f -=)3(f =823=，故选D ．11．【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知要使目标函数z ax y =+仅在点（2，2）处取最小值，则直线z ax y =+的斜率大于直线+40x y -=的斜率且小于直线220x y --=的斜率，即12a -<-<，解得21a -<<，故选C．12．【答案】D13．【答案】−160【解析】在n x )12(+的展开式中，令1=x ，得7293=n ，解得6=n ，则二项式262()x x-的展开式的通项为26162C ()()rrr r T x x-+=-=1236(2)C r r rx--，由题意令1233r -=，解得3r =，故含3x 项的系数为336(2)C -=－160.14．【答案】4.5【解析】根据回归方程计算出在样本（4，3）处的预报值为0.74y a =⨯+=a +8.2，由题意可知，3(2.8)0.15a -+=-，解得a =0.35，所以线性回归方程为0.70.35y x =+，因为1(3456) 4.54x =⨯+++=，则0.70.350.7 4.50.35 3.5y x =+=⨯+=，由1(2.534) 3.54y m =⨯+++=，解得 4.5m =.15．【答案】27【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为1y x =-，将其代入4y x =中并整理得2610x x -+=，所以126x x +=，所以AB 的中点即以AB 为直径的圆的圆心，其横坐标为3，所以圆心到y 轴的距离为3，|AB |=128p x x ++=，所以以AB 为直径的圆的半径为4，由已知及垂径定理得以AB 为直径的圆被y 轴截得的弦长为2243-=2716．【答案】①④17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在Rt ADB △中，AB =4，ABD ∠=60°，ADB ∠=90°，∴260cos =︒=AB BD ，在BCD △中，由题知，︒=∠120BDC ，BCD ∠sin =31，由正弦定理得，BDBC ∠=∠sin sin ，∴BCDBDC BD BC ∠∠=sin sin =1120sin 2︒=33.……………………………6分（Ⅱ）由题知，︒=∠+∠60BCD CBD ，︒=∠+∠60ABC CBD ，BCD ABC ∠=∠∴，∴BCD ABC ∠=∠sin sin =31，∴ABC ABC ∠-=∠2sin 1cos =322，在ACB △中，2222cos AC BC AB BC AB ABC =+-⋅∠=32243324)33(22⨯⨯⨯-+=61643-，∴AC =61643-.………………………………12分18．（本小题满分12分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，锻炼时间在[20，40）的人数为0.0025×20×40=2，锻炼时间在[40，60）的人数为0.0075×20×40=6，锻炼时间在[100，120）的人数为0.0050×20×40=4，锻炼时间在[120，140]的人数为0.0025×20×40=2，∴X 的可能取值为0，1，2，3，4，………………………………7分∴)0(=X P =22642286C C C C =143，)1(=X P =1122112646422286C C C C C C C C +=3516，)2(=X P =22111122242642622286C C C C C C C C C C ++=14039，)3(=X P =1122112622422286C C C C C C C C +=211，)4(=X P =22222286C C C C =4201，………………………………9分∴X 的分布列为X 01234P1433516140392114201…………………………10分∴()E X =0×143+1×3516+2×14039+3×211+4×4201=67.…………………………12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在Rt PAD △中，因为AP PD ==AB 33，PD AP ⊥，所以AB AP AD 362==，在ABD △中，22222)33()36(AB AB AB BD AD =+=+，所以AD BD ⊥，......................................................................................................................................1分又因为平面P AD ⊥平面ABD ，平面P AD I 平面ABD =AD ，⊂BD 平面ABD ，所以⊥BD 平面P AD ，...........................................................................................................................2分又∵⊂AP 平面P AD ，所以AP BD ⊥，............................................................................................3分因为PD AP ⊥，PD BD D =I ，........................................................................................................4分所以⊥AP 平面PBD ，因为⊂AP 平面PBA ，所以平面PBA ⊥平面PBD ................................................................................................................5分（Ⅱ）设AD 、AB 的中点分别为O ，F ，连接OP ，OF ，∴BD OF //，∵AD BD ⊥，∴AD OF ⊥，∵PD AP =，∴AD OP ⊥，∵平面P AD ⊥平面ABD ，平面P AD I 平面ABD =AD ，⊂OP 平面P AD ，∴⊥OP 平面ABD ，................................................................................................................................6分∴OP OF OA ,,两两互相垂直，以O 为原点，向量，，的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），另设2PA =，则22=AD ，则)0,0,2(A ，)0,02(-D ，)0,2,2(-B ，2,0,0(P ，∴AD =)0,0,22(-，AP =)2,0,2(-，AB =)0,2,22(-，....................................................7分设(),,x y z =n 是平面P AB 的法向量，则00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0222022y z x ，令1=z ，则1=x ，2=y ，则n =)1,2,1(.……………………9分设直线AD 与平面P AB 所成角的大小为θ（θ为锐角）.∴θsin |||AD |AD n =2221)2(122|122|++⨯⨯-=21，………………11分∴直线AD 与平面P AB 所成角的正弦值为21 (12)分20．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）连接22,BF AF ，由2AB OB =知直线AB 过原点，根据椭圆的对称性知||||21AF BF =，由椭圆的定义知4||||||||21121=+=+=BF AF AF AF a ，∴2=a ，由题知21=a c ，∴1=c ，∴3222=-=c a b ，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……4分（Ⅱ）①当直线MN PQ ,有一条斜率不存在时，437PQ MN +=+=．……6分②当PQ 斜率存在且不为0时，设方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y .联立方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=134)1(22y x x k y ，消去y 整理得01248)43(2222=-+++k x k x k ．2221222143124,438kk x x k k x x +-=+-=+∴．……9分221212(1)[()4]PQ k x x x x ∴=++-2(1)k +22222431244)438(kk k k +-⨯-+-=2243)1(12k k ++．把1-代入上式，得2234)1(12k k MN ++=，222284(1)(43)(34)k PQ MN k k +∴+=++，设1),0(12>≠+=t k k t ，28411+12PQ MN t t∴+=-+，1t >，设211()12g t t t=-++=449)211(2+--t ，1t >，令m 1=，则)1,0(1∈=m ，)(m g =491(2+--m （10<<m ），∴449)()(12≤=<t g m g ，∴7)(84748<≤t g ，48[7)7PQ MN ∴+∈，．综上，PQ MN +的取值范围是[7,48].……12分21．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）易知函数)(x f 的定义域为),1(+∞，)(x f '=b bx a x a -+++-12)1ln(，由题知，⎩⎨⎧=-++='=+++=114)2(3112)2(b b a f a b f ，解得⎩⎨⎧-==13b a .……………………4分（Ⅱ）当1=b 时，)(x f =1)1)(1()1ln()1(++-++--a x x x x a ，由当2>x 时，)(x f ＞0知1)(-x x f =111)1ln(++-++-x x a x a ＞0，设)(x g =1)(-x x f =111)1ln(++-++-x x a x a (2>x )，………………6分∴)(x g '=1)1(112+-+--x a x a =22)1(2)2(---+x a x a x =2)1())(2(-+-x a x x ，………7分当2-≥a 时，2≤-a ，)(x g '＞0，∴)(x g 在），（∞+2上是增函数，∴当2>x 时，)(x g ＞)2(g =121+++a ≥0，解得4-≥a ，∴2-≥a 时，满足题意，……………………9分当2-<a 时，2>-a ，∴当a x -<<2时，)(x g '＜0，当a x ->时，)(x g '＞0，∴)(x g 在区间),2(a -上是减函数，在区间),(+∞-a 上是增函数，∴min )]([x g =)(a g -=111)1ln(+---++--a a a a a =a a a ---)1ln(，由题知min )]([x g =a a a ---)1ln(＞0，即1)1ln(<--a ，即21ea a <-⎧⎨--<⎩，解得e 12a --<<-，……………………11分综上所述，实数a 的取值范围为(e 1,)--+∞.………………………………12分学-科网22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）由题知不等式2)42()(<+-x f x f 即2|22||2|<+--x x ，等价于⎩⎨⎧<+++--<22221x x x 或⎩⎨⎧<--+-≤≤-222221x x x 或⎩⎨⎧<--->22222x x x ，解得2-<x 或232≤<-x 或2>x ，∴原不等式的解集为2(,2)(,)3-∞--+∞U .………………5分（Ⅱ）由题知)3()(++x f x f =|1||2|++-x x ≥|12|---x x =3，∴)3()(++x f x f 的最小值为3，∴322≤+m m ，解得13≤≤-m ，∴实数m 的取值范围为]1,3[-.………………10分。
衡水中学2018年高考押题理数理数(二)试卷
理数试卷（二）
第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 A {x | x2 x 6 0, x Z} ， B {z | z | x y |, x A, y A} ，则集合 A B =（ ）
（1）试将曲线 C1 与 C2 化为直角坐标系 xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时 a 的取值范围；
（2）当 a 3 时，两曲线相交于 A ， B 两点，求 | AB | .
23. 选修 4-5：不等式选讲.
已知函数 f (x) | 2x 1| | x 1| .
（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数 y f (x) 的图象，并由图象找出满足不等式 f (x) 3 的解集；
n
项和为
Sn
， a1
1 2
，
2Sn
S n 1
1
(n
2, n
N *)
.
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）记 bn
log 1
2
an
(n
N
*
)
求
{1 bnbn
1
}
的前
n
项和
Tn
.
18.如图所示的几何体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形， AB 2a ， ABC 120 ， AC 与 BD 相交于
x2
：
a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 ，且过点 P( 2
2, 2
3 ) ，动直线 l ： y kx m 交 2
椭圆 C 于不同的两点 A ， B ，且 OA OB 0 （ O 为坐标原点） （1）求椭圆 C 的方程. （2）讨论 3m2 2k 2 是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.
2018年高考数学(理)原创押题预测卷 02(新课标Ⅱ卷)(全解全析)
x2 3
y2
1
（
y
0
），所以曲线
理科数学 第 2页（共 12页）
9．【答案】B
【解析】输入 n 2, k 1，继续运行程序， k 3, n 3 ； k 7, n 4 ； k 5, n 5 ，符合输出 k 的值
为 5 ，跳出循环，故判断框中的条件应该为 n 5? ，故选 B.
10．【答案】C
【解析】设等比数列 an 的公比为 q ，由已知得 2a2n1 a2n1q 0 ，因为 a3 0 ，则 a2n1 0 ，所以
2
2
2
所以 T 2n 1 3n 1 ，（10 分）
4
4
故数列 nan
的前
n
项和为
2n 4
1
3n
1 4
n(n
1)
.（12
分）
18．（本小题满分 12 分）学-科网
【答案】（Ⅰ） y bx2 a ；（Ⅱ） y 2.0x2 60.0 ；（Ⅲ）见解析.
【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断， y bx2 a 适合作为销售量综合指数与销售价格指数的回归方程类
理科数学 第 7页（共 12页）
(e3 ln 3 3, ) .
（Ⅱ）由已知得 g(x) ln x x m (x 2)e x 0 ，
m (x 2)ex ln x x 在 x (0,3]上恒成立，（6 分）
设 h(x) (x 2)e x ln x x, x (0,3] ，
x (0, x0 ) 时， h(x) 0; x (x0 ,1) 时， h(x) 0 ，
函数 h(x) 在 (0, x0 ) 上单调递增，在 (x0 ,1) 上单调递减，在 (1,3) 上单调递增，
由 u(x0 )
2018年高考数学(理)精准押题卷(全国II卷)答案
2018年高考精准押题卷03（全国II 卷）数学·理一、选择题1.设集合P= Q= . 则P Q=（ ） A. B C. D.2.设复数Z 满足Z · =+1-3i.则 ） A.B.C.-D.-3.对于任意三角形内一点P ，若存在2 - = + -.则P 点是三角形的（ ） A.内心 B.外心 C. 重心 D. 垂心4.学校举行春季运动会，百米决赛赛跑共有1 号占位的同学参加。
甲、乙、丙、丁四位同学竞猜第一名，结果只有一名猜中。
甲说：1号肯定是第一名；乙说：肯定不是4、5、6号；丙说：是4、5、6号中的一名；丁说：是2、3号中的一名。
猜中的同学是（ ） A.甲 B.丙 C.乙 D.丁5.设a 、b 是空间中不同直线，α、β、 是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若a . b 则a 、b 是异面直线。
B.a . b .且 . 则a 。
C.若a . β⊂b . a . 且 . 则a 。
D. 若a . b . a .且 . 则a 。
6.已知 + = +. 则 =（ ）A.B.C.D.-7.圆 = （r ），经过双曲线 -=1的焦点F 1、F 2 且与双曲线有4个不同的交点，设p 是其中一个交点，若 的面积为9，双曲线c 长轴长为4，则双曲线的方程是（ ） A.-42y =1 B.42x -92y =1 C. - =1 D. -=18.如图所示，为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A. 72B. 48C. 30D.24 9.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）A.5B.6C.7D.810.已知的三个内角C,所对的边分别是a，b，c，且满足bsinBsinC+ccos2B=2a 则的值是（）A. B.- C. D.-11.已知F1、F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点p使得，则离心率e的取值范围是（）A.，）B.（0，）C.（0，D. ，）12.已知曲线f(x)=在点（，）处的切线与直线x-2 y+1=0垂直，若关于x的方程f(x)+ln=m有3个不同的实根，则m的取值范围是（）A.（2，3-ln2）B.（ln2，3- ln2）C.（2- ln2，1+2 ln2）D.（ln2，2）二、填空题13.设x、y满足条件则z=4x-2y最小值是＿＿＿＿＿＿。
2018年高考数学(文)原创押题预测卷 02(新课标Ⅱ卷)(参考答案)
易得 g x 0 ，∴ g x g 1 3 0 ，则 h x 0 .
∴ x 1, , h x h 1 1 ，∴ b 1 .
2
2
综上所述，实数
b
的取值范围是
1 2
,
.……12
分
22．(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程
【解析】（I）由 2
2 2sin2
2
lnx 1 x2 bx 0 在 x 1, 上恒成立，
2
即 bx lnx 1 x2 ，∴ b lnx 1 x ……7 分
2
x2
设 h x
lnx x
1 2
x
，则
h x
2
2lnx 2x2
x2
.
文科数学 第 3页（共 7页）
设 g x 2 2lnx x2 ，则 g x 2 2x, x 1, ，
m
m
8
∴ 1 k 1 ，且 k 0 .
8
8
综合①②，可知直线
BG
的斜率
k
的取值范围是
1 8
,
0
0,
1 8
.……12
分
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（1） f (x) 1 1 1 x ，令 f (x) 0 ，得 x 1 ，……2 分
x
x
当 a 1时， x (0,1) ， f (x) 0 ； x (1, a) ， f (x) 0 ，所以，当 x 1 时， f (x) 取到最大值
种选法；其中价格之和大于 12 元，即选取的 2 片都为“一级”瓷砖的有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共
文科数学 第 1页（共 7页）
6 种选法. …………11 分
【数学】【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题 含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,0,1,2,3,4A B =-=,则()B C A B I =（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,1,4 C ．{}14， D ．{}0,12.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii∙=+,则3z +=（ ）A ． D ．53.已知具有线性相关的两个变量x y ，之间的一组数据如下表所示:若x y ，满足回归方程 1.5y x a =+,则以下为真命题的是（ ） A.x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5 个单位长度 B.x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5 个单位长度 C.所有样本点的中心为(1,4.5) D.当8x =时,y 的预测值为13.54.已知点(),4P n 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点,12,F F 是椭圆C 的两个焦点,若12PF F ∆的内切圆的直径为3,则此椭圆的离心率为（ ）A ．57 B ．23 C.35 D ．455.如图,已知ABC ∆与AMN ∆有一个公共顶点A ,且MN 与BC 的交点O 平分BC ,若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．2C.32．66.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧梭垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵111,ABC A B C AC BC -⊥,若12A A AB ==,当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外 接球的体积为（ ）A ．B ．3 C.3D ． 7.“34πϕ=”是“函数= 2y cos x 与函数()=2y sin x ϕ+在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,上的单调性相同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图,若输出1007S =-,则判断框内应填的内容是（ ）A ．2015?k <B ．2016?k < C.2017?k < D ．2014?k <9.如图所示，直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线,12,F F 是双曲线C 的左、右焦点,1F 关于直线的对称点为1'F ,且1'F 是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A．310.某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人,则不同的分配方法共有（ ） A ．114种 B ．150种 C. 120种 D ．118种11.如图,正方体1111ABCD A BC D -的对角线BD 上存在一动点P ,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于,M N 两点.设,BP x BMN =∆的面积为S ,则当点P由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知()'f x 为函数()= y f x 的导函数,当02x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭，是斜率为k 的直线的倾斜角时,若不等式()()'0f x f x k -∙<恒成立，则（ ）A()3()4f f ππ>B ．(1)2()sin16f f π<()()064f ππ-> D()()063f ππ-<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2221f x cosx sinx sin x =+-+,则其最小正周期为 ．14.过()()3,1,0,M N a -两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点,则实数a 的取值范围为 ．15.如图,将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ,并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45°,PQ 为正方形BCEF 内一条直线,则直线PQ与BD 所成角的取值范围为 ．16..已知菱形ABCD ,E 为AD 的中点,且3BE =,则菱形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和221,S n n n N *=++∈n . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn .18.如图所示,已知三棱锥P ABC -中,底面ABC 是等边三角形,且=2,,PA PB AC D E ==分别是,AB PC 的中点.(1)求证:AB ⊥平面CDE ;(2)若PC =求二面角A PB C --的余弦值19.伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:(1)若以“年龄55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:(2)若从年龄在[)55,65,[]65,75内的被调查人中各随机选取2 人进行追踪调查.记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ. ①求随机变量ξ的分布列; ②求随机变量ξ的数学期望. 参考数据如下:参考公式：22(),()()()()n ad bd K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++20. 已知点()0,1A ,过点()0,1D -作与x 轴平行的直线1l ，点B 为动点M 在直线1l 上的投影,且满足MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)已知点P 为曲线C 上的一点,且曲线C 在点P 处的切线为2l ,若的与直线2l 相交于点Q ,试探究在y 轴上是否存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ? 若存在,求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.已知函数()1f x x nx =.(1)若函数()()()()2 '20g x f x ax a x a ==+-+>,试研究函()g x 数的极值情况; (2)记函数()() x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为o x ，记()(),x x m x min f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,若 ()() m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不等实根()1212, x x x x <，证明∴122o x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知圆cos 1:x C y xin αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为4 sin ρθ=. (1)分别写出圆1C 的普通方程与圆2C 的直角坐标方程;(2)设圆1C 与圆2C 的公共弦的端点为,A B ,圆1C 的圆心为1C ,求1AC B ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知,a b 均为正实数,且 1a b +=.(1)求2的最大值; (2)求1aba+的最大值.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二)一、选择题1-5:BADCC 6-10:BAACA 11、12：DD 二、填空题13.π【解析】因为()21 221= 2 +?cos 21214f x sin x sin x sin x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-++=++,所以其最小正周期为22T ππ==. 14.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[解析]点() 3,1M -关于y 轴的对称点为()'3,1M ,则直线'M N 的方程为11?(303)a y x -=---,即()1330a x y a -+-=,由题意可知，圆心(0,0)到直线()1330a x y a -+-=的距离1d =≤,即282100a a +-≤，解得5-14a ≤≤,故实数a 的取值范围为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.30,90⎡⎤⎣⎦ 【解析】不妨设正方形的边长为1,作DG CE ⊥,垂足为G ,由,BC CE BC CD ⊥⊥,得BC ⊥平面CDG .故BC DG ⊥.又BC CE C =,得DG ⊥平面BCEF ,故直线BD 在平面BCEF BCEF 内的射影为BG .易知2DG =,则BD 与平面BCEF 所成的角为30DBG ∠=,所以BD 与平面BCEF 内的直线所成的最小角为30°,而直线PQ 与BD 所成角的最大角为90°(当PQ 与CF 重合时,PQ 与BD 所成角为90°),所以直线PQ 与BD 所成角的取值范围为30,90⎡⎤⎣⎦16.12【解析】设AE x =,则2AB AD x ==,因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,所以+>,<,AB AE BE AB AE BE ⎧⎨-⎩即231233x x x x x x +>>⎧⎧⇒⎨⎨-<<⎩⎩，所以(1,3)x ∈.设BAE θ∠=,在ABE ∆中,由余弦定理可知()229222x x x xcos θ=+-∙∙,即22594x cos x θ-=，2 2.4ABCD S x x sin xθ=∙∙==菱形2t x =，则()1,9t∈，则A B C D S =菱形当5t=，即x =,ABCD S 菱形有最大值12.三、解答题17.解:(1)当1n =时,114a S ==; 当2n ≥时，()2211221,n n n a S S n n n -=-=--+=+对14a =不成立，所以数列{}n a 的通项公式为4,121,2,n an n n nN*=⎧=⎨+≥⎩ (2)当1n =时,1120T = 当2n ≥时，111(21(23)n n a a n n +=++ =111)22n+123n -+（所以111111111161(...)2025779212320101520(23)n n n T n n n n --=+-+-++-=+=++++ 又1n =时，1120T =符合上式， 所以61()20(23)N n n n n T *=-∈+18.解:(1)连接PD ,因为PA PB AC ==,底面ABC 是等边三角形， 又因为D 是AB 的中点， 所以,PD AB AB CD ⊥⊥. 又因为CDPD D =,所以AB ⊥平面CDE . (2)因为2PA PB AC === 由(1),可知PD CD ==而PC ,所以PD CD ⊥.以D 为原点,以DB uu u r的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示，则()()()(1,0,0,1,0,0,,A B C P -,由题意,得平面ABP 的一个法向量为()0,1,0m =u r. 设平面BCP 的一个法向量为(),,n x y z =r.因为()(,BC PC =-=-uu u r uu u r,所以((,,)0(,,)0BC n x y z PC n x y z ⎧∙=-∙=⎪⎨∙=∙=⎪⎩uu u r,即00x ⎧-+=⎪= 令1z =,得1,x y =.所以)n =,所以,cos m n <>==由题意知二面角A PB C --为锐角， 所以二面角A PB C --的余弦值为519.解:(1)22⨯列联表如下:2K 的观测值250(38732)9.524 6.63510403515k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. (2)①由题意,可知ξ所有可能取值有0,1,2,3,()229340225055C C P C C ξ==∙=,()1122112234340+2222255555C C C C C P C C C C ξ==∙∙=,()221113242342+2222105555CC C C C P C C C C ξ==∙∙=,()211243222555CC P C C ξ==∙=， 所以ξ的分布列是②912316()0123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解:(1)设(),M x y ,由题得(),1B x -.又()0,1A ,∴()-, 1MA x y =-uuu r ,()()0, 1 ,, 2MB y AB x =--=-uuu r uu u r ,由MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r ,得()0MA MB AB =∙+uuu r uuu r uu u r . 即()()2,2,204x y x x y --∙-=⇒=, ∴轨迹C 的方程为24x y =. (2)设点()0200,,4x N n P x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，， 由214y x =，得1'2y x =， ∴201 '2l k y x x x == ∴直线2l 的方程为0020)4(2xx y x x -=-).令-1y =,可得0020()42xx x x x ==- ∴Q 点的坐标为2,12o o x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴220=,,,142o o o x x NP x n NQ n x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭uu u r uuu r ∵点N 在以PQ 为直径的圆上 ∴22002(1+)()24x x NP NQ n n ∙=---uu u r uuu r =220(1-)()+20()4xn n n n -+-=* 要使方程(* )对o x R ∈恒成立，则必有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩，解得1n =. 即在y 轴上存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ,其坐标为(0,1).21.解:(1)由题意,得()'1f x lnx =+,故()()221g x ax a x lnx =-+++, 故()()()()2111 '22x ax g x ax a x x--=-++=, 00.x a >>， 令()'0g x =,得2111,2x x a== ①当02a <<时，112a >， ()1 '002g x x >⇒<<或1x a >;()11'02g x a<⇒<， 所以() g x 在12x =处取极大值1 ln 224a g =-- ②当2a =时，()11,'02g x a =≥恒成立,所以不存在极值; ③当2a >时，112a ， ()1'00g x x a >⇒<<或12x >， ()11'02g x x a <⇒<, 所以()g x 在1x a =处取极大值11()ln g a a a=-- 在12x =处取极小值1()1224a g n =--. 综上,当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值,124a n --，在1x a =处取极小值ln 4a a --; 当2a =时,不存在极值;当2a >时,() g x 在1x a =处取极大值ln 4a a --, 在12x =处取极小值ln 24a --. (2)()x x F x xlnx e=-,定义域为()0,x ∈+∞, ()1'1x x F x lnx e-=++,而()1,2x ∈, 故()'0F x >,即()F x 在区间(1,2)内单调递增. 又()()21210,2220F F ln e e=-<=->, 且)(F x )在区间(1,2)内的图象连续不断，故根据零点存在性定理,有)(F x 在区间(1,2)内有且仅有唯一零点.所以存在()1,2o x ∈,使得()()000o o x x F x f x e =-=, 且当1o x x <<时,()x x f x e <; 当o x x >时，()xx f x e >,所以()ln ,1,o o x x x x m x x x x ex <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时,() m x xln x =,由()'1 0m x ln x =+>,得()m x 单调递增; 当o x x >时,()x x m x e =, 由()1'0x x m x e-=<,得()m x 单调递减. 若()m x n =在区间()1,+∞内有两不等实根1212,()x x x x <, 则 ()()211, ,,o o x x x x ∈∈+∞. 要证122o x x x +>,即证212o x x x >-. 又12o o x x x ->,而()m x 在区间()o x +∞，内单调递减， 故可证()()212o m x m x x <-, 又由()()12m x m x =,即证()()112o m x m x x <-, 即111212 o o x x x ln x e x x -<-. 记()22 ,1o o o x x h x xln x x x e x x-=-<<-,,其中()=0o h x ()220121'1 1ln o o x x h x ln x x e x x e x x +-=++=++---022o x x e x x --, 记()t t t e ϕ=,则()1't t t eϕ-=. 当()0,1t ∈时,()'0t ϕ>;当()1,t ∈+∞时,()'0t ϕ<',故()1max t eϕ=.而()0t ϕ>,故()10t eϕ<<, 而21xo x ->, 所以2021-0o x x e e x x-<-<- 因此()22211 '1 10o o o x x h x ln x e x x e x x e -=++->->-- 即()h x 单调递增.故当1o x x <<时,()()0o h x h x <= 即111212 o o x x e x x x x ln -<- 故122o x x x +>,得证.22.解:(1)因为圆1cos 1:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数）， 所以圆1C 的普通方程是()2211x y -+=. 因为圆2:4C sin ρθ=,所以圆2C 的直角坐标方程是224 0x y y +-=.(2)因为圆()221:11C x y -+=, 圆222:40C x y y +-=,两式相减,得-20x y =,即公共弦所在直线为20x y -=,所以点(1,0)到-20x y =所以公共弦长为=，所以1122555Ac B S ∆=⨯=23.解:(l)2=211（ 221+14141)a b ≤∙+++（）（ =()()242241212a b ⎡⎤⎣⎦++=⨯+=,=即12a b ==时,取等号， 故原式的最大值为12.(2)原式=112122ab b a b a ab a b==+++. 因为1212()()a b a b a b+=++ =221+23()b a b a a b a b ++=++3≥=+a 当且仅当2b a a b=，即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,取等号.所以原式≤故原式的最大值为。