山东省郓城县实验中学高中数学 1.1.1函数的平均变化率学案(无答案)理 新人教版选修2-2
1.1.1函数的平均变化率
学案1.1 .1 函数的平均变化率编者：刘志英2009.2.18【课标点击】（一）学习目标（1）掌握平均变化率的概念；能通过计算平均变化率了解曲线的陡峭程度，能理解平均变化率的实际意义；（2）能熟练计算函数在某区间上平均变化率．（二）教学重点，难点（1）掌握平均变化率的概念并能熟练地计算．【课前准备】（一）问题导引问题一：如图，某市2004年4月20号最高气温为33.4C，而此前的两天，4月19号和4月18号最高气温分别为24.4C和18.6C，短短两天时间气温“陡增”14.8C，人们无不感叹：“天气热得太快了”．问题二：（1）将该市2004年3月18号最高气温为3.5C与4月18号最高气温18.6C进行比较，两者的温差为15.1C，甚至超过了14.8C，人们却不发出上述感叹，为什么？（2）从图象上观察，,B C 之间的曲线较,A B 之间的曲线谁更“陡峭”？问题答案： 用比值33.418.6()3432C B C By y x x ----来近似地量化,B C 之间的曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间[32,34]上的平均变化率．即气温在区间[1,32]上的平均变化率为18.6 3.515.10.532131-=≈-． 即气温在区间[32,34]上的平均变化率为33.418.614.87.434322-==-． 虽然,B C 与,A B 之间温差几乎相同，但平均变化率却相差很大．【学习探究】（一）自学课本第3、4页知识点梳理：1， 自变量的改变量2， 函数值的该变量3， 函数的平均变化率（二）思考与讨论函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率表示为：2121()()f x f x x x --． 可以吗？ 在图形上的表现为：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。
（三）．典例示范例1．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化 率为：6.5 3.51(/)30kg -=-月． 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化 率为：118.60.4(/)126kg -=-月． 例2． 如图水经过缸吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()5t V t e-=（单位3)cm 计算第一个10s 内V 的平均变化率．解：区间[0.10]上，体积V 的平均变化率为：3(10)(0) 1.83950.3161(/)10010V V cm s --≈=--． 负号表示容器甲中的水在减少．例3．已知2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1,3]； （2）[1,2]； （3）[1,1.1] ； （4）[1,1.001]．解：（1）()f x 在[1,3]上的平均变化率为：22(3)(1)3143131f f --==--； （2）()f x 在[1,2]上的平均变化率为：22(2)(1)2132121f f --==--； （3）()f x 在[1,1.1]上的平均变化率为：22(1.1)(1) 1.11 2.11.11 1.11f f --==--； （4）()f x 在[1,1.001]上的平均变化率为：22(1.001)(1) 1.0011 2.0011.0011 1.0011f f --==--． 例4．已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算()f x ，()g x 在区间[31]--，[0,5]上的平均变化率．解：()f x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)f f ---=---． ()f x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250f f -=-． ()g x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)g g ---=----． ()g x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250g g -=--． （四）变式拓展1、一次函数y kx b =+在区间[,]m n 上的平均变化率有什么特点？（等于它的斜率）．2．函数()f x 在区间[,]m n 上的平均变化率与曲线上两点(,())m f m ，(,())n f n 间的斜率有何关系？3．练习：书5P 练习A 1，2，题（五）归纳总结：（六）当堂检测 书P 5练习A3题【巩固提高】A 组：书P 5练习B1、2题B 组：1．已知曲线212y x =上两点的横坐标是0x 和0x x +∆，求过AB 两点的直线斜率；2．一物体按规律210s t t =+作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平 均速度；。
1.1.1 函数的平均变化率 学案(含答案)
1.1.1 函数的平均变化率学案（含答案）1.1导导数数1.1.1函数的平均变化率函数的平均变化率学习目标1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题知识点函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yfx表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yfx表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为x1，y1，点B的坐标为x2，y2思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少答案自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值的改变量为y2y1，记作y.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度答案对山路AB来说，用yxy2y1x2x1可近似地刻画其陡峭程度梳理函数yfx在区间x0，x0x或x0x，x0的平均变化率1条件已知函数yfx，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0fx1fx0fx0xfx02结论当x0时，商fx0xfx0xyx称作函数yfx 在区间x0，x0x或x0x，x0上的平均变化率3实质函数值的改变量与自变量的改变量之比4作用刻画函数在区间x0，x0x或x0x，x0上变化的快慢1在平均变化率中，函数值的增量为正值2平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢类型一求函数的平均变化率例1已知函数fx3x25，求fx1从0.1到0.2的平均变化率；2在区间x0，x0x上的平均变化率解1因为fx3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为30.22530.1250.20.10.9.2因为fx0xfx03x0x253x2053x206x0x3x253x2056x0x3x2，所以函数fx在区间x0，x0x上的平均变化率为6x0x3x2x6x03x.反思与感悟求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y，求平均变化率的主要步骤跟踪训练1如图是函数yfx的图象，则1函数fx在区间1,1上的平均变化率为________；2函数fx在区间0,2上的平均变化率为________答案112234解析1函数fx在区间1,1上的平均变化率为f1f11121212.2由函数fx的图象知，fxx32，1x1，x1，1x3，所以函数fx在区间0,2上的平均变化率为f2f020332234.类型二比较平均变化率的大小例2求函数yfxx2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为13，哪一点附近的平均变化率最大考点变化问题与变化率题点变化率大小的比较解在x1附近的平均变化率为k1f1xf1x1x21x2x；在x2附近的平均变化率为k2f2xf2x2x222x4x；在x3附近的平均变化率为k3f3xf3x3x232x6x.当x13时，k121373，k2413133，k3613193.由于k1k2v乙Bv甲s20，所以s1t0s10t0s2t0s20t0，所以v甲0上的平均变化率，其中x的值为12；21；30.1；40.01.解函数fxx2在1,1xx0上的平均变化率为f1xf1x1x21x2x.1当x2时，平均变化率的值为4.2当x1时，平均变化率的值为3.3当x0.1时，平均变化率的值为2.1.4当x0.01时，平均变化率的值为2.01.1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢2求函数fx的平均变化率的主要步骤1先计算函数值的改变量yfx1fx02再计算自变量的改变量xx1x0.3得平均变化率yxfx1fx0x.。
学案3：1.1.1 函数的平均变化率~1.1.2 瞬时速度与导数
1.1.1 函数的平均变化率~1.1.2 瞬时速度与导数学习目标1．理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(重点)2．理解瞬时变化率、导数的概念．(难点、易混点)3．会用导数的定义求函数的导数．基础·初探教材整理1 函数的平均变化率函数的平均变化率的定义一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________＝Δy Δx称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx 表示x 2－x 1，是相对于x 1的一个增量，Δx 可以为零．( )(2)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(3)Δy Δx表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．( ) 教材整理2 瞬时速度与导数1．物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是s ＝f (t )，当______________时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率________________趋近于常数，我们把这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．2．函数的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0及其附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率______________________________趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．记作：当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l . 还可以说：当Δx →0时，函数平均变化率的极限等于函数在x 0的瞬时变化率l ， 记作lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝l . 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在点x 0的__________，通常称为f (x )在点x 0处的导数，并记作________，即f ′(x 0)＝____________.4．函数的导数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x __________的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个________________．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为________________．预习自测2-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( )(3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( )2-2．函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是_________________________．合作探究类型1 求函数的平均变化率例1 (1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．名师指津1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式． 跟踪训练1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2类型2 求瞬时速度 例2 (1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12g t 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是__________.名师点津1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求平均速度v ＝Δs Δt； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于常数v ，即为瞬时速度． 2．求Δy Δx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．(2)求出Δy Δx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可． 跟踪训练2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．探究共研型探究点 求函数在某点处的导数一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间．探究1 试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．探究2 当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？例3 (1)求函数f (x )＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．名师指津1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．2．用定义求函数在x ＝x 0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx； (3)求极限，得导数为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 简记为：一差、二比、三趋近．跟踪训练3．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．课堂检测1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx的值为( ) A ．4 B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2Δx2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s3．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________．(g ＝10 m/s 2) 4．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，则常数a ＝________.5．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求：(1)Δy Δx； (2)f ′(1)．参考答案基础·初探教材整理1 函数的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx预习自测1.【答案】 (1)× (2)√ (3)√教材整理2 瞬时速度与导数1.Δt 趋近于0f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt 2.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx3．瞬时变化率 f ′(x 0) lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 4．都是可导 确定的导数f ′(x ) f ′(x )或y ′(或y ′x )预习自测2-1．【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy 可以为零，故错误．2-2．【答案】 2【解析】 ∵f (x )＝x 2，∴函数f (x )在x ＝1处的瞬时变化率是limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0(1＋Δx )2－12Δx＝limΔx →0(2＋Δx )＝2.例1 (1) 【解析】Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.【答案】 B(2)解：自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12； 自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎫3＋132＝1415. 因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快． 跟踪训练1．【答案】 C【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋Δx ，故选C. 例2 【答案】 (1)v 0－gt 0 (2)6【解析】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g(t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12g t 20＝v 0Δt －g t 0Δt －12gΔt 2， ∴Δs Δt ＝v 0－g t 0－12gΔt ， ∴lim Δt →0Δs Δt ＝v 0－g t 0，即t 0时刻的瞬时速度为v 0－g t 0. (2)∵当t ＝1时，Δs ＝2(1＋Δt )3－2×13＝2[1＋(Δt )3＋3Δt ＋3(Δt )2]－2＝2＋2(Δt )3＋6Δt ＋6(Δt )2－2＝2(Δt )3＋6(Δt )2＋6Δt ，∴Δs Δt ＝2(Δt )3＋6(Δt )2＋6Δt Δt＝2(Δt )2＋6Δt ＋6， ∴lim Δt →0Δs Δt＝6，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是6. 跟踪训练2．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt＝lim Δt →0(3－Δt )＝3， 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1，即物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反．(3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1，即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.探究1 【答案】 Δs Δt ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt . 探究2 【答案】 当Δt 趋近于0时，Δs Δt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时 速度．例3 解：(1)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2＝3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝3Δx －(Δx )2Δx＝3－Δx ， ∴f ′(－1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(3－Δx )＝3. (2)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2，∴Δy Δx＝6＋3Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.跟踪训练3．解：∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2.课堂检测1．【答案】 D【解析】 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2×12Δx＝4＋2Δx . 2．【答案】 C【解析】 ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ， ∴lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0(5＋Δt )＝5(m/s)． 3．【答案】 30＋5Δt【解析】 Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝30＋5Δt . 4．【答案】 2【解析】 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故当t ＝2时，瞬时速度为lim Δt →0Δs Δt＝4a ，所以4a ＝8，所以a ＝2. 5．解：(1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx . (2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教学目标：1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；2. 学会计算函数的平均变化率；3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的平均变化率的概念1.1 引入函数的平均变化率的概念1.2 解释函数的平均变化率的含义1.3 举例说明函数的平均变化率的应用第二章：函数的平均变化率的计算2.1 引入计算函数的平均变化率的方法2.2 讲解如何计算函数的平均变化率2.3 给出计算函数的平均变化率的例题第三章：函数的平均变化率的性质3.1 引入函数的平均变化率的性质3.2 讲解函数的平均变化率的性质3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题第五章：巩固练习5.1 给出巩固练习的题目5.2 讲解巩固练习的解法5.3 给出巩固练习的答案教学资源：1. 教学PPT；2. 教材或教案；3. 练习题。
教学评估：1. 课堂参与度；2. 练习题的完成情况；3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。
教学步骤：Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）1. 讲解函数的平均变化率的定义；2. 举例说明函数的平均变化率的应用。
Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）1. 讲解如何计算函数的平均变化率；2. 给出计算函数的平均变化率的例题。
Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）1. 讲解函数的平均变化率的性质；2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。
Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。
Step 5：巩固练习（15分钟）1. 给出巩固练习的题目；2. 讲解巩固练习的解法；3. 给出巩固练习的答案。
高中数学人教B版选修2—2第一章1.1.1《函数的平均变化率》优秀教案
1.1.1 《函数的平均变化率》教案教学目的：理解函数的平均变化率，为进一步学习导数的概念做好准备.重点难点：数学符号语言的理解.学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法.一、引入与新课：【提出问题】问题1：春游爬山的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁。
怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度？【抽象概括】假设图一是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．我们先假定一小段山路是直的（曲化直）。
设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)（如图二）．问题2：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 提示：自变量x 的改变量为x 1－x 0，记作Δx =x 1－x 0，函数值y 的改变量为y 1－y 0，记作Δy ＝y 1－y 0. 问题3：根据Δx 与Δy 的大小能否判断山坡陡峭程度？提示：图三可知，Δy 相同，Δx 不同，山坡AB 与BC 陡峭程度不同；图四可知，Δy 不同，Δx 相同，山坡AB 与BC 陡峭程度也不同。
所以根据Δx 与Δy 的大小不能判断山坡陡峭程度图一 图二图三图四问题4：观察图三和图四，可以用怎样的数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：观察图三和图四可知，两边山坡的倾斜的角度可以刻画山路的陡峭程度。
联想到直线的倾斜角的定义，可知1010tan y y y k x x xθ-∆===-∆可近似地刻画． 【解决问题】显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy Δx的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？一个很自然的想法是将弯曲山路分成许多小段（分割），每一小段山坡可视为平直的。
1.1.1函数的平均变化率
x
x
2(2 x)
lim x0
y x
lim[1
x0
2(2
1
] x)
1
1 4
3 4
,
y
|x2
3 4
.
基本方法:
思考5：由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0 );
2. 求平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) ;
思考3：同学们能用数 形给合的思想进行验
证吗？
探 究: h(t) 4.9t2 6.5t 10
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
t 0
9.8t0
6.5)
0 0.5 1.0
65 2.0
49
T 【s】
h(t) 4.9t2 6.5t 10
思考2：当△t趋近于 0时，平均速度有什 么样的变化趋势？
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051当△t = 0.01时, v 13.149
跳水运动中,运动员从t 到t 这段内的平均速度： 12
h(t) 4.9t2 6.5t 10 v h h(t2 ) h(t1)
H 【m】
t
t2 t1
当0 t 0.5时, v 4.05(m / s)
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教案：函数的平均变化率一、教学目标1.了解函数的平均变化率的概念和意义。
2.掌握计算函数在给定区间内的平均变化率的方法。
3.掌握函数的平均变化率在实际问题中的应用。
二、教学准备1.准备一些能够让学生实际体验函数的平均变化率的例子。
2.准备一些函数图像，以帮助学生理解平均变化率的概念。
3.检查计算函数平均变化率的方法和公式。
三、教学过程第一部分：引入概念1.导入问题：首先，向学生提出以下问题：如果我们关注一些物体的运动，我们如何描述它的平均速度？请学生回答。
引导学生思考速度的概念：速度是距离关于时间的变化率，即速度等于位移与时间的比值。
3.定义平均变化率：引导学生思考平均变化率的定义：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数在这个区间的平均变化率为：平均变化率=(f(b)-f(a))/(b-a)解释上述定义的含义。
引导学生通过举例来解释平均变化率的意义和计算方法。
第二部分：计算平均变化率1.案例讲解：通过一个实际问题来计算平均变化率。
例如，一辆汽车在段时间内的行驶距离。
假设汽车在0到5秒之间的行驶距离由函数f(t)=2t^2表示。
按照平均变化率的定义，可以计算出从0到5秒的平均变化率为：平均变化率=(f(5)-f(0))/(5-0)2.练习训练：让学生计算以下函数在给定区间内的平均变化率：a)f(x)=3x-1,在区间[1,5]上的平均变化率。
b)g(t)=t^2+2,在区间[-2,3]上的平均变化率。
第三部分：平均变化率的应用1.实际问题应用：给学生提供一些实际问题的例子，并要求他们计算相应的平均变化率。
例如：一个婴儿的身高和年龄的关系由函数h(t)=0.05t^2+0.5t表示（其中t表示年龄，单位为岁，h(t)表示身高，单位为米）。
学生需要计算出从1到5岁之间身高的平均变化率。
2.探究问题：让学生思考平均变化率的物理和经济含义，并展示一些相关问题的实际应用。
例如，学生可以考虑一张成绩单上各门功课的平均变化率，或者市场上其中一种商品的价格随时间的变化率。
山东省郓城县实验中学高中数学1.1.3导数的几何意义学案(无答案)理新人教版选修22
1.1.3 导数的几何意义【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系，理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。
【自主学习】1.如图课本7页 1.1-2，当(,())(1,2,3,n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？曲线在点P 处的切线概念如何定义？割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？切线PT 的斜率k 为多少？归纳导数的几何意义是什么?2.求曲线在某点处和过某点的切线方程的基本步骤是什么?3.什么是导函数？函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系是什么？【自主检测】1．求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程______________.2．求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数______________.3．求函数y =3x 2在点(1,3)处的导函数______________.【典型例题】例（1）求曲线1y x x=+在点(1,2)P 的切线方程； （2）求抛物线2y x =过点5(,6)2P 的切线方程. (3)若曲线32y x x =-+上一点P 处的切线恰好平行于直线y=11x －1，求P 点坐标.(4)已知曲线2:23C y x x =-+,直线:40l x y --=,在曲线C 上求一点P,使P 到直线L 的距离最短，并求出最短距离.(5)若曲线3222y x ax ax =-+上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，求a 的取值范围.【课堂检测】1.已知曲线313y x =和点A(1,0) , 求过点A 的切线方程( ) .10A x y --= .10B x y -+= .10C x y ++= .10D x y +-=2. 设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为_______.3. 已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232xf x x f +=，则()=5'f .4.设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2)f ，处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【总结提升】1．在定义了曲线在某一点处的切线的基础上给出函数在某一点处的导数的几何意义，即函数的图像在该点的切线的斜率；2．会求曲线在某点处的切线方程；3．注意区分曲线“在”与 “过”某点处的切线方程.。
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§1.1.1函数的平均变化率 【学习目标】 1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程． 2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．
【自主学习】
１.平均变化率的概念是什么？
２．Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？
３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？
４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x
∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么? ５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？
６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与
Δx 有关吗？ 【自主检测】
1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆x
y ． 3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当
Δx =0.1时割线的斜率 ．
【典型例题】
例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.
(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx
； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率
Δy Δx ； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
例2．求函数f (x )=3x x -+图象从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率. 例3．求1y x
=在区间00[,]x x x ∆+的平均变化率. 【课堂检测】
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为
A.3
B.6
C.9
D.12 （ ）
2. 已知函数2
()f x x ，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化率 ；()f x 在
[1，2]区间上的平均变化率 .
3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率 .
4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.
【总结提升】
定义中的x 1，x 2是指其定义域内不同的两个数，记Δx＝x 2－x 1，Δy＝f(x 2)－f(x 1)，则当
Δx≠0时，f x 2－f x 1x 2－x 1＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：
(1)函数f(x )在x 1，x 2处有定义；
(2)x 2是x 1附近的任意一点，即Δx＝x 2－x 1≠0，但Δx 可正可负；
(3)注意变量的对应，若Δx＝x 2－x 1，则Δy＝f(x 2)－f(x 1)，而不是Δy＝f(x 1)－f(x 2)；
(4)平均变化率可正可负，也可为零．。