考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1．平面的基本性质2．等角定理（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，,OA O A OB O B ''''∥∥，则AOB A O B ∠=∠'''或180AOB A O B ∠+∠'''=︒.图（1） 图（2）二、空间两直线的位置关系 1．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线. 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．常用结论（1）唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．考向一平面的基本性质及应用（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1（1）在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】（1）A （2）B1．如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证：（1）E,C,D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略：(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.典例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为 A ．③④ B ．①② C ．①③D ．②④【答案】A故选A ．2．若直线l与平面α相交，则A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交典例3如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:（1）AM和CN是否是异面直线?说明理由.（2）D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.3．如图，平面,,,a b b a A c αβαβ=⊂=⊂ 平面,且c a ∥，求证:b ,c 是异面直线.考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. (3)判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．典例4 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠= ，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A ．90B ．75C ．60D ．45【答案】A则222AG GH AH =+，所以90AEF ∠= ，故选A.【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD 和PB 所成的角转化为平面角AEF ∠，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.4．如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,设M,N分别是A1B1,BC的中点.（1）求MN与A1C1所成角的正切值;（2）求B1D与A1C1所成角的大小.1．在正方体中，与成异面直线的棱共有A．条B．条C．条D．条2．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A．空间中任意三点B．空间中两条直线C．一条直线和一个点D．两条平行直线3．已知直线平面,直线平面,则A．B．异面C．相交D．无公共点4．若直线a α,给出下列结论：①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线其中成立的个数是A．0 B．1C．2 D．35．如图,在四面体中,若直线和相交,则它们的交点一定A ．在直线上B ．在直线上C ．在直线上D ．都不对6．在空间中,下列命题正确的是A ．若平面内有无数条直线与直线l 平行,则l α∥B ．若平面内有无数条直线与平面平行,则αβ∥C ．若平面内有无数条直线与直线l 垂直,则l α⊥D ．若平面内有无数条直线与平面垂直,则αβ⊥ 7．给出下列四种说法:①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③若四点不共面, 则每三点一定不共线； ④三条平行线确定三个平面． 正确说法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．48．已知,m n 为异面直线,平面平面，直线满足,则A ．αβ∥且l α∥B ．且C ．与相交,且交线垂直于D ．与相交,且交线平行于9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定 10．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A B ．57C D 11．已知在正方体1111ABCD A B C D -中（如图），l ⊂平面1111A B C D ，且l 与11B C 不平行，则下列一定不可能的是A ．l 与AD 平行B ．l 与AB 异面C ．l 与CD 所成的角为30°D ．l 与BD 垂直12．在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点.若AC BD a ==，且AC 与BD所成的角为60 ，则四边形EFGH 的面积为A 2B 2C 2D 213．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ．14．如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．415．若直线和平面平行,且直线,则两直线和的位置关系为 _____ .16．如图所示，1111ABCD A B C D 是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、A 1不共面；③A 、M 、C 、O 共面；④B 、B 1、O 、M 共面． 其中正确结论的序号为____________．17．已知m ,n 是两条不同的直线，,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若⊥β,∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β;②若α∩β=m,n//α,n//β,则n//m ;③若m不垂直于平面α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;④若m⊥α,n⊥β,α//β,则m//n .其中正确的是__________.(填上所有正确的序号)18．在四面体中,分别是的中点,若所成的角为,且,则的长度为__________.19．如图，已知四棱锥中，底面为菱形，分别是的中点，在上，且13PG PD.证明:点四点共面.20．已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线;(2)求证:EG与FH相交.21．如图,等腰直角三角形ABC中,∠A＝90°,BC＝,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA＝1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BC D 2．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A BC D 3．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是 A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A BC D ．135．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）6．（2015浙江理科）如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．7．（2016上海理科）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为2π3， 11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.1．【解析】（1）如图,连接EF ,CD 1,BA 1.因为E ,F 分别是AB ,AA 1的中点,所以EF ∥BA 1. 又BA 1∥CD 1,所以EF ∥CD 1. 所以E ,C ,D 1,F 四点共面.（2）因为EF ∥CD 1,EF <CD 1,所以CE 与D 1F 必相交,设交点为P ,如图所示.2．【答案】A【解析】当直线l 与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l 平行的直线，故B 错误；该平面内有无数条直线与直线l 垂直，所以C 错误；平面α内的直线与l 可能异面，故D 错误，故选A ． 3．【解析】反证法：若b 与c 不是异面直线,则或b 与c 相交.①若,∵,∴,这与矛盾. ②若b ,c 相交于点B ,则.∵,∴，∴AB β⊂,即b β⊂,这与矛盾.∴b ,c 是异面直线.4．【解析】（1）如图,取B 1C 1的中点Q ,连接MQ ,∵M 是A 1B 1的中点,∴MQ //A 1C 1,∴MQ 与MN 所成的角为MN 与A 1C 1所成的角,即∠NMQ .连接QN ,则QN ⊥平面A 1B 1C 1D 1,而MQ ⊂平面A 1B 1C 1D 1,∴QN ⊥MQ . 在Rt △MQN 中,QN =a ,MQ =a ,∴tan ∠NMQ =.即MN 与A 1C 1所成角的正切值为.（2）如图,连接BD ,B 1D 1.∵DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1,∴DD 1⊥A 1C 1. 又A 1C 1⊥B 1D 1,DD 1∩B 1D 1=D 1,∴A 1C 1⊥平面BDD 1B 1. ∵B 1D ⊂平面BDD 1B 1,∴A 1C 1⊥B 1D , ∴B 1D 与A 1C 1所成角的大小为90°.1．【答案】A 【解析】如图，与成异面直线的棱有、、、，共4条.故选A.2．【答案】D3．【答案】D【解析】若直线平面,直线平面,则或异面,即无公共点.故选D．4．【答案】A【解析】∵直线a α,∴a∥α或a∩α=A.如图,显然①②③④都有反例,所以应选A.【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.5．【答案】A【解析】根据条件可知,和的交点都在平面ABD与平面BCD中,故和相交于两平面的交线BD 上.故选A.6．【答案】D【解析】由题可得,要使直线与平面平行,则直线应平行于平面内的一条直线,且该直线在平面外,由此可得,选项A错误;要使平面与平面平行,则只需平面内两条相交直线与平面平行即可,选项B中,没说明直线是否相交,所以结论不一定成立,所以选项B错误;要使直线垂直平面,则直线垂直于平面内的任意一条直线,而无数条直线不能代表任意条,所以选项C错误,所以正确的选项是D．7．【答案】A8．【答案】D【解析】若，则由平面，知平面，而平面，所以，与为异面直线矛盾，所以平面与平面相交.由平面，且，可知,，同理可知，所以与两平面的交线平行.故选D ． 9．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l .若取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；若取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；若取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA10．【答案】D【解析】取DD 1的中点G ,连接BG,FG ,易知四边形BED 1G 是平行四边形,则BG //ED 1,则∠FBG 是异面直线与所成的角或其补角,令正方体的棱长为2,则BF =FG =BG =3,cos ∠FBG=. 11．【答案】A【解析】假设l AD ∥，则由11AD BC B C ∥∥，可得11l B C ∥，这与“l 与11B C 不平行”矛盾，所以l 与AD 不平行． 12．【答案】A13．【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为尺，尺，且侧面为等腰梯形，则尺，间的距离为尺，故尺，由勾股定理得尺，所以,故选B.14．【答案】C【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：15．【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线和没有公共点,故直线和的位置关系为平行或异面. 学……科网16．【答案】①③【解析】连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．17．【答案】②④【解析】若,则与的位置关系不确定,即①错误;由线面平行的性质和平行公理可得②正确;若不垂直于平面,则可垂直于内的无数条直线,即③错误;若,则,又,所以,即④正确.故填②④.18．【答案】19．【解析】在平面内,连接并延长，交的延长线于点,则有, 在平面内,连接并延长，交于点．取中点,连接,AF，20．【解析】(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾.所以BC与AD是异面直线.(2),因此;同理,则EFGH为平行四边形.又EG,FH是平行四边形的对角线,所以EG与HF相交.21．【解析】取AC的中点F,连接BF、EF,【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.2．【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠===== ，易得22211C D BD BC =+，因此111cos BC BC D C D ∠===，故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．4．【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ， 因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n .连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒，故,m n ，选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. 5．【答案】②③【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围. 6．【答案】87【解析】如下图，连接DN ，取DN 中点E ，连接EM ，EC ，则可知EMC ∠即为异面直线AN ，CM 所成角（或其补角），易得12EM AN ==EC ===，2222=-=AM AC CM ， ∴7cos8EMC ∠==，即异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为87. 7．【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 由 11A B 长为π3，可知111π3ΑΟΒ∠=．11111111111sin 2ΟΑΒS ΟΑΟΒA ΟΒ=⋅⋅∠=△11111113C O A B ΟΑΒV S h -=⋅=△．【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.。