4.2相似三角形的判定和性质(2013年)

（第8题）1. (2013 浙江省台州市) 如图，在△ABC 中，点E D ，分别在边AC AB ，上,且12AE AD ABAC==,则:ADE BCED S S △四边形的值为A. 3:1 B. 2:1C. 3:1D. 4:1答案：C20130924150105327041 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-242. (2013 重庆市綦江县) 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA的延长线交于点F ，若2AE ED =，3cm CD =，则AF 的长为 （A ）5cm （B ）6cm （C）7cm （D ）8cm答案：B20130922111122125151 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基本技能 2013-09-223. (2013 湖北省宜昌市) 如图1，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC AO BC =⊥，于点O ，F 是线段AO 上的点（与A O ，不重合），90EAF AE AF ∠==°，，连结F E F C B E B F ，，，． （1）求证：BE BF =；（2）如图2，若将AEF △绕点A 旋转，使边AF 在BAC ∠的内部，延长CF 交AB 于点G ，交BE 于点K ．①求证：AGC KGB △∽△；②当BEF △为等腰直角三角形时，请你直接写出．．．．AB BF ∶的值．答案：解：（1）证明（如图1）：，°．=∴∠=∠=AB AC OAC OABAO BC⊥且45∴∠=∠．∴∠=∠-∠=°，EAB BAF EAB EAF BAF45=，且AB AB=，EAB FABAE AF∴△≌△．∴=．BE BF（2）①证明：（如图2）9090BAC EAF ∠=∠=°，°，90EAB BAF BAF FAC ∴∠+∠=∠+∠=°． EAB FAC ∴∠=∠．AE AF =，且AB AC =， AEB AFC ∴△≌△，EBA FCA ∴∠=∠．又KGB AGC ∠=∠， GKB GAC ∴△∽△．②GKB GAC △∽△，90GKB GAC ∴∠=∠=°． 90EBF ∴∠<°．Ⅰ）当90EFB ∠=°时，AB BF ∶=Ⅱ）当90FEB ∠=°时，2AB BF ∶=．20130922103714671251 4.2 相似三角形的判定和性质 复合题 解决问题 2013-09-224. (2013 湖北省宜昌市) 如图，点A B C D ，，，的坐标分别是()17，，()11，，()41，，()61，，以C D E ，，为顶点的三角形与ABC △相似，则点E 的坐标不可能．．．是（ ）． （A ）()60，（B ）()63，（C ）()65，（D ）()42，答案：B20130922103714453002 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基本技能 2013-09-225. (2013 湖北省孝感市) 如图，在△ABC 中，AB AC a ==，()BC b a b =>．在△ABC内依次作CBD A ∠=∠，DCE CBD ∠=∠，EDF DCE ∠=∠．则EF 等于A、32baB、32abC、43baD、43ab答案：C20130922102755562463 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识2013-09-22 6. (2013 浙江省绍兴市) 在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD 交于点G，点F在BC上.（1）如图1，AC:AB=1:2，EF⊥CB，求证：EF=CD；（2）如图2，AC:AB=1:3，EF⊥CE，求：EF:EG的值.答案：（1）证明：:1:2,AC AB =点E 为AB 的中点，∴AC BE =.,AD BC ⊥90CAB ∠=°,∴B DAC ∠=∠.,AD BC ⊥,EF CB ⊥∴,EFB CDA △≌△ ∴EF CD =.（2）解：过点E 作EM ,,BD EN AD ⊥⊥,AD BC ⊥∴90,NEM ∠=°,CE EF ⊥∴NEG MEF ∠=∠.90,ENG EMF ∠=∠=°∴,EF EMEMF ENG EG EN∴=△∽△.,AD BC⊥1AC AB =∶∴60,30,NAE B ∠=∠=°°∴,EN AE =同理可得EM =12BE .点E 为AB 的中点，∴,AE BE =∴13BEEF EM EG EN ===20130922090204094236 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-227. (2013 黑龙江省绥化市) 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，点E F 、分别是边AD AB 、的中点，EF 交AC 于点H ，则AHHC的值为（ ） （A ）1 （B ）12 （C ）13 （D ）14答案：C20130922084405562233 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-228. (2013 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是 ．（填一个即可）答案：2AB BDC BAD BAC ADB AB BC BC AB∠=∠∠=∠==或或或·BD20130922083136015663 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-229. (2013 黑龙江省龙东地区) 梯形ABCD 中，38AB CD AB CD ==∥，，，点E 是对角线AC 上一点，连结DE 并延长交直线AB 于点F ，若2AFBF=，则AE EC = ．答案：1344或20130922081115875767 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-2210. (2013 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在ABC △中，M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，则AMN △的面积与四边形MBCN 的面积比为（ ）．（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）23答案：B20130922075309921102 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-2211. (2013 四川省眉山市) 在矩形ABCD 中，DC ＝32，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF 。

⑴求证：△DEC ∽△FDC ；⑵当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度。

F答案：解：（1）证明：∵CF BD ⊥， ∴90DEC ∠=°.在矩形ABCD 中，90ADC ∠=°，∵ECD DCF ∠=∠， ∴DEC FDC △∽△.（3分） （其它方法酌情给分） （2）当F 为AD 中点时，∴12DF DF BC AD ==. ∵DEF BCE △∽△， ∴12EF DF EC BC ==， ∴13EF EF FC EF CE ==+.（4分） ∵AB=CD ，A CDF ∠=∠，AF=DF ， ∵ABF CDF △≌△，∴BF=CF .∴1sin 3EF EF FBD BF FC ∠===（5分） 由（1）可知12FE EC =， 设EF=x ，则FC=CE+EF =3x ，（6分）∵DEC FDC △∽△， ∴EC CD CD CF=即2CD EC CF =·，（7分） (223x x ⨯=，2612x =， 22x =，x =x =.（8分）∵FCD △为直角三角形、由勾股定理得((222226FD FC CD =-=-=，∴FD =∴BC=AD =2DF =（9分）20130918135125015840 4.2 相似三角形的判定和性质 计算题 基础知识 2013-09-1812. (2013 四川省眉山市) 如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且21==FC AF EB AE ，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF 的面积为_________答案：1620130918135123843822 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1813. (2013 四川省巴中市) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．答案：解：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，设AD=4x，OD=3x，∵OA=5，在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，∴A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（﹣6，n）代入y=中，解得n=﹣2，则B的坐标为（﹣6，﹣2），把A（3，4）和B（﹣6，﹣2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，∵点C在x轴上，令y=0，得x=﹣3即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．20130917141130250750 4.2 相似三角形的判定和性质应用题基础知识2013-09-1714. (2013 四川省巴中市) 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．答案：（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵▱ABCD，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE===6．20130917141130187924 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-1715. (2013 四川省成都市)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=o，BD BE ⊥，AD BC =. （1）求证：CE AD AC +=；（2）若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作DP PQ ⊥，交直线BE 于点Q ；i ）当点P 与A ，B 两点不重合时，求DPPQ的值； ii ）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）答案：解：(1)证明：∵BD ⊥BE ，A ，B ，C 三点共线， ∴∠ABD +∠CBE ＝90°．（1分） ∵∠C ＝90°，∴∠CBE +∠E ＝90°． ∴∠ABD ＝∠E ．又∵∠A ＝∠C ，AD ＝BC ， ∴△DAB ≌△BCE (AAS)．（2分）∴AB=CE ．∴AC=AB+BC=AD+CE ．（3分）(2)ⅰ)连接DQ ，设BD 与PQ 交于点F ． ∵∠DPF ＝∠QBF ＝90°，∠DFP ＝∠QFB ， ∴△DFP ∽△QFB ．（4分） ∴DF PFQF BF=． 又∵∠DFQ ＝∠PFB ， ∴△DFQ ∽△PFB ．（5分） ∴∠DQP ＝∠DBA ．∴tan tan DQP DBA ∠=∠． 即在Rt △DPQ 和Rt △DAB 中，DP DAPQ AB=． ∵AD=3，AB=CE=5， ∴35DP PQ =．（7分） ⅱ)线段DQ 的中点所经过的路径(线段)长为2334．（10分）20130916162045347400 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-1616. (2013 贵州省六盘水市)如图，添加一个条件： ，使△ADE ∽△ACB ，（写出一个即可）答案：∠ADE=∠ACB （答案不唯一）20130916142704616316 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1617. (2013 山东省枣庄市) 如图，已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD = ．20130916125731248089 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1618. (2013 广西省桂林市) 如图，已知边长为4的正方形ABCD ， P 是BC 边上一动点(与B 、C 不重合)，连结AP ，作PE ⊥AP 交∠BCD 的外角平分线于E ，设BP ＝x ，△PCE 面积为y ，则y与x 的函数关系式是A. 21y x =+B. 2122y x x =- C. 2122y x x =- D. 2y x =FE DCBA第18题图A DBPEC第12题图答案：C20130916104925953093 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-1619. (2013 海南省万宁市) 直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3 的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图5放置，顶点A 、B 、C 恰好分别落在三条直线上， AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为A ．425B ．325C ．320D ．415答案：A20130916103150671891 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-1620. (2013 广西钦州市) 如图所示，DE 是△ABC 的中位线，则△ADE 与△ABC 的面积比为____▲____．答案：1：420130916102720029812 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1621. (2013 山东省潍坊市) 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ，6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF △沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ；AD 的中点E 的对应点记为1E .若11E FA △∽1E BF △，则AD =________.A BC D E 图5A DBC l 1l 2l 3答案：16520130916092126061569 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1622. (2013 山东省威海市) 如图，AC ⊥CD ,垂足为点D ,AB 与CD 交于点O ，若AC=1，BD=2，CD=4，则AB= .答案：520130914174633390028 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1423. (2013 山东省泰安市) 如图，四边形ABCD 中，AC 平分D A B ∠，90ADC ACB ∠=∠=°，E 为AB 的中点.（1）求证：AD AB AC ⋅=2; （2）求证：CE AD ∥； （3）若4AD =，6AB =，求AFAC的值.答案：解：（1）∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠.又∵90ADC ACB ∠=∠=°，（1分） ∴ADC ACB △∽△.∴ABAC AC AD =，所以AD AB AC ⋅=2.（3分） （2）∵E 为AB 的中点，∴AE AB CE ==21，EAC ECA ∠=∠. （5分）∵AC 平分DAB ∠，∴CAD CAB ∠=∠. ∴DAC ECA ∠=∠，∴CE AD ∥. （7分） （3）∵CE AD ∥， ∴DAF ECF ∠=∠. ∴ADF CEF ∠=∠， AFD CFE △∽△.∴CFAFCE AD =. （9分） ∵AB CE 21=， ∴3621=⨯=CE .又∵4AD =，由CF AF CE AD =，得CFAF=34， ∴74=AC AF ，47=AF AC . （11分）20130914160253265420 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-1424. (2013 山东省聊城市) 如图，点D 是∆ABC 的边BC 上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B ．若∆ABD 的面积为a ，则∆ACD 的面积为（ ）． A ．a B ．12a C ．13a D ．25a答案：C20130913202335562337 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-1325. (2013 山东省菏泽市) 如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =31CE 时，EP +BP = .答案：1220130913150839281112 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1326. (2013 山东省东营市) 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个答案：BD CBA20130913134811453624 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-1327. (2013 宁夏回族自治区) △ABC 中，D 、E 分别是边AB 与AC 的中点，BC = 4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE ∽△ABC ；③△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4；④△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为 1 : 4；其中正确的有 ．（只填序号）答案：①②③20130913113826937696 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1328. (2013 贵州省贵阳市) 如图，AD 、AC 分别是O ⊙的直径和弦，30CAD ∠=°，B 是AC上一点，BO AD ⊥，垂足为O ，5cm BO =，则CD 等于________cm ．答案：20130913083200828184 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基本技能 2013-09-1329. (2013 贵州省贵阳市) 如图，M 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，这样的直线共有（ ）． （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条答案：C20130913083200625219 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-1330. (2013 浙江省湖州市) 如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连结DE ，若DE:AC=3:5，则ABAD的值A.21 B. 33 C. 32 D. 22答案：A20130912151423068346 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-1231. (2013 贵州省安顺市) 如图，在ABCD 中，E 在DC 上，若12DE EC =::，则BF BE =: ．答案：3:520130912143015484426 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1232. (2013 广东省) 如题22图，矩形ABCD 中,以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1, Rt △BFC 的面积为S 2, Rt △DCE 的面积为S 3 ,则S 1______ S 2+ S 3(用“>”、“=”、“<”填空)；（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.答案：（1） S1= S2+ S3；（2）△BCF∽△DBC∽△CDE;选△BCF∽△CDE证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.20130912141110256843 4.2 相似三角形的判定和性质应用题基础知识2013-09-12 33. (2013 福建省厦门市) 如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=答案：620130912134431709708 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识2013-09-12△中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD∶DC=5∶34. (2013 辽宁省沈阳市) 如图，ABC3，则DE的长等于（A ）203 （B ）154 （C ）163 （D ）174答案：B20130911172414718349 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-1135. (2013 江苏省徐州市) 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，翻折C ∠，使点C 落在斜边AB上的某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上）. （1）若CEF △与ABC △相似.①当2AC BC ==时，AD 的长为__________； ②当34AC BC ==，时，AD 的长为__________.（2）当点D 是AB 的中点时，CEF △与ABC △相似吗？请说明理由.答案：解：（1（2分）②1.8或2.5；（4分） （2）相似.（5分）连接CD ，与EF 交于点O ，CD 是Rt ABC △的中线，12CD DB AB ∴==，DCB B ∴∠=∠.（6分） 由折叠知，90COF DOF ∠=∠=°，90DCB CFE ∴∠+∠=°， 90B A ∠+∠=°，CFE A ∴∠=∠，（7分）又ECF BCA ∠=∠，CEF CBA ∴△∽△.（8分）20130910160331453993 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-1036. (2013 新疆乌鲁木齐) 如图，点A B C D ，，，在O 上，AC BD ⊥于点E ，过点O 作OF BC ⊥于点.F 求证：（1）AEB OFC △∽△； （2）2AD FO =.答案：证明：（1）连接OB ，则12BAC BOC =∠∠，而OF BC ⊥， ∴1.2COF BOC =∠∠ ∴BAC COF =∠∠，又90BEA CFO ==∠∠°，∴AEB OFC △∽△；（4分）（2）∵CBD CAD =∠∠，90BEC AED ==∠∠°，∴AED BEC △∽△，∴AE AD BE BC =，由（1）知AE OF BE CF =，∴.AD OFBC CF = 又∵OF BC ⊥于F ，∴2BC CF =，∴2.AD FO =（10分）20130910160214314831 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-1037. (2013 新疆乌鲁木齐) 如图，AB GH CD ∥∥，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ．23AB CD ==，，则GH 的长为 ．答案：6520130910160213605047 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1038. (2013 天津市) 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，3BD =，60ADE ∠=°，则AE的长为________．答案：720130910151902817761 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-1039. (2013 江苏省苏州市) 如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．(1)求证：△APB ≌△APD ；(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式； ②当x ＝6时，求线段FG 的长．答案：（1）证明：四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，AC 平分DAB ∠． DAP BAP ∴∠=∠．在APB △和APD △中，AB AD BAP DAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，．APB APD ∴△≌△． （2）①四边形ABCD 是菱形，AD BC ∴∥，AD BC =．AFP CBP ∴△∽△． AF FPBC BP∴=．12DF FA =∶∶， 23AF BC ∴=∶∶．23FP BP ∴=．由（1）知PB PD x ==．又PF y =，23y x ∴=．23y x ∴=．即y 与x 的函数关式式为23y x =．②当6x =时，2643y =⨯=．10FB FP PB ∴=+=．DG AB ∥．DFG AFB ∴△∽△． FG FD FB FA ∴=．12FG FB ∴=．11052FG ∴=⨯=． FG ∴的长度为5．20130909170109303991 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 基础知识 2013-09-0940. (2013 江苏省苏州市) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ， )．答案：(24-．20130909170108210656 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-0941. (2013 四川省宜宾市) 如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OFOE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OFOE的值．答案：解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°．90BAC BAF C ∠=∴∠=∠°，． 90OE OB BOA COE ∴∠+∠=⊥，°，90BOA ABF ∠+∠=°，ABF COE ∴∠=∠． ABF COE ∴△∽△；（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ．2AC AB =，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==． 由（1）有ABF COE △∽△，ABF COE ∴△≌△， BF OE ∴=．90BAD DAC ∠+∠=°，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，， 又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =．ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==．OG OA ⊥，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△， OF OG BF AB ∴=，2OF OF OG OE BF AB===． 解法二：902BAC AC AB AD BC ∠==°，，⊥于D ， Rt Rt BAD BCA ∴△∽△．2AD ACBD AB∴==．设1AB =，则2AC BC BO ===，BBAACE D DECO F 图1图2F BADE COF12AD BD AD ∴===． 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴°，△∽△， BD BO DF OE∴=． 由（1）知BF OE =，设OE BF x ==，5DF =x ∴=． 在DFB △中2211510x x =+，3x ∴=．OF OB BF ∴=-=322OF OE ∴==．（3）OFn OE=．20130909160748625163 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-0942. (2013 吉林省长春市) 如图，90ABD BDC ∠=∠=°,A CBD ∠=∠，AB=3，BD=2，则CD的长为（A ）34. （B ）43. （C ）2. （D ）3.答案：B20130908142630078647 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-0843. (2013 湖南省怀化市) 如图6，已知：在A B C ∆与DEF ∆中，54=∠C , 47=∠A , 54=∠F , 79=∠E ．求证： ABC ∆∽DEF ∆.答案：证明：在DEF ∆中，475479180180=--=∠-∠-=∠F E D , (2)分∵54==∠F C ,47=∠=∠D A ,…………………………………………………….4分 ∴ABC ∆∽DEF ∆………………………………………………………………………..6分20130905170924062871 4.2 相似三角形的判定和性质 证明题 基础知识 2013-09-0544. (2013 四川省内江市) 如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）答案：B20130905155641766331 4.2 相似三角形的判定和性质 选择题 基础知识 2013-09-05 45.(2013四川省南充市)如图，等腰梯形ABCD 中，376A D B C A D B C B ===∥，，，∠，P 为BC 边上一点（不与B C ，重合），过点P作APE B =∠∠，PE 交CD 于E ． （1）求证：APB PEC △∽△； （2）若3CE =，求BP 的长．答案：（1）证明：梯形ABCD 中，AD BC AB DC =∥，，60B C ∴==∠∠．（1分）APC B BAP =+∠∠∠，即APE EPC B BAP +=+∠∠∠∠． APE B =∠∠， BAP EPC ∴=∠∠．（2分）APB PEC ∴△∽△．（3分）（2）过点A 作AF CD ∥交BC 于F ．则四边形ADCF 为平行四边形，ABF △为等边三角形．（4分）3734CF AD AB BF ∴====-=，． APB PEC △∽△． BP AB EC PC∴=．（5分） 设BP x =．则7PC x =-，又34EC AB ==，， 437x x∴=-．（6分） 整理，得27120x x -+=． 解得1234x x ==，．（7分）经检验，1234x x ==，是所列方程的根．BP ∴的长为3或4．（8分）20130905152807937364 4.2 相似三角形的判定和性质 应用题 基础知识 2013-09-0546. (2013 湖南省长沙市) 如图，在ABC △中，点D ，点E 分别是边AB AC ，的中点，则ADE △与ABC △的周长之比等于 ．答案：12:20130905144940343141 4.2 相似三角形的判定和性质 填空题 基础知识 2013-09-05。