基本不等式的证明

基本不等式的证明

1.代数法

定理1：如果,a b R ∈,那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

证明: ()2

222a b ab a b +-=- 当a b ≠时()2a b ->0当a b =时()2

a b -=0，所以 ()2

a b -≥0，

即 22a b +≥2ab.

定理2：如果,0a b >，那么

2a b +≥a b =时，等号成立。

证明： 22+≥

∴ a b +≥

即

2

a b +≥

显然，当且仅当a b =时，

2a b +

这里,a b 均为正数，我们就称2

a b +为,a b ,a b 的几何平均数，因而，这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。

2.几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为

。这样，4个直角三角形的面积的和是

，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：

。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。

得到结论：如果，那么（当且仅当a b =时，等号成立） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当a b =时，等号成立）.

通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当a b =时，等号成立）

最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时。其和有最 小值。

现给出这一定理的一种几何解释（图1）.

以a b +长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a ，CB=b .过点C 作

垂直于直径AB 的弦'DD ，连接AD 、DB ，易证

,那么

即

CD =这个圆的半径为

2

a b +，显然，它大于或等于CD ，即 2

a b +

≥ 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 如果把2a b +看作是正数,a b

,a b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

例1. 如果,a b R +

∈，试比较2a b +

211a b +的大小 解： ,a b R +∈， ∴b a 11+≥ab 12即211a b

+

≤又22⎪⎭

⎫ ⎝⎛+b a =4222ab b a ++≤42222b a b a +++=222b a + ∴2a b +

≤a b =时，等号成立

而由定理2≤2

a b +

≥2a b +≥≥211a b

+（当且仅当a b =时，等号成立）