平面向量数乘运算的坐标表示
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示和运算
解：设b (x, y),则4b (4x,4 y),3a (6,3)
所以：3a 4b (6 4x,3 4 y) (3,4)
即：6344xy43, 得x
9 4
,
y
1 4
所以：b ( 9 , 1 ) 44
由题意知：3a (6,3)
4b
（
3,4）
3a
（
3,4）（6,3）（
9,1）
得b ( 9 , 1 ) 44
同理可得 a b=(x1-x2,y1-y2) 这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差.
典例剖析
例4.已知a (2,1),b (3,4),求a b, a b的坐标.
探究:如图，已知 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2，) 求 AB 的坐标.
y
解：AB = OB - OA A
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
O
x
且AB DC
(1,2) (3 x,4 y) 1 3 x
24 y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
例5.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
向量 a 的坐标 一 一 对 应 点A坐标（x ，y）
例3.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d ，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3);
第六章 平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加减法的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
7.1.4平面向量的数乘
3a与a的方向相反 3a 3 a
一、向量的数乘运算的定义：
实数与向量a的积是一个确定的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下： （1） a a ; （2） 当 0, a与a 的方向相同；当 0, a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
因为O分别为AC，BD的中点，所以 1 1 1 1 AO AC （a＋b）＝ a＋ b， 2 2 2 2 1 1 1 1 OD BD （b − a）＝ a＋ b， 2 2 2 2
AO、 OD 可以用向量a，b线性表示．
运用知识
强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
例1：计算下列各式
(1)(3) 4a (2)3(a b ) 2(a b ) a
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
ad????b试用ab表示向量解ac????abbd????b?a因为o分别为acbd的中点所以1122????????aoac1212abab1122????????odbd12?12b?aab1212ab和12?12ab都叫做向量ab的线性组合或者说aood????????可以用向量ab线性表示
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
向量的数乘
一、①λ
a 的定义及运算律 b=λa 向量a与b共线
②向量共线定理 (a≠0)
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
【2019秋人教必修2】6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【训练1】 (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12)B.(23，12)
贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).
晶晶：502×4＝2 008(km).
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.
问题1 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
提示 横纵坐标均不为0时成比例.
两向量共线的坐标表示为x1y2－x2y1＝0，故2错，3正确.
[微训练]
1.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A.(－2，－4)B.(－3，－6)
C.(－4，－8)D.(－5，－10)
解析பைடு நூலகம்由a∥b得到m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8).
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－ .
此时ka＋b＝ ＝－ (a－3b)，
∴当k＝－ 时，ka＋b与a－3b平行，并且反向.
规律方法 1.向量共线的判定方法
2.利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
问题2 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
ห้องสมุดไป่ตู้
ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).
- = ,
得
解得 k=λ=- .
,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,
解得 k=- .
所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
Page ▪ 5
5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
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33
a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
Page ▪ 1
1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)
[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1. 对于平面内的任一向量a，由 平面向量基本定理可得，有且 只有一对实数x、y，使得
y yj a
a=xi+yj。我们把有序数对（x，
xi
y）叫做向量a的坐标，记作a= j
（x，y）
Oi
x
2. 向量的坐标运算： ar (x1，y1)
r b (x2，y2 )
ar ar
a b
思考: 设 a =(x1，y1),b =(x2，y2)，若向 量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0），则这两个向 量的坐标应满足什么关系？
结论r : 设r a =(x1，y1),b =(x2，y2),（其 中 b 0）,当且仅当
x1y 2 -x2y1 = 0
向量 a与向量 b 共线。
r rr r 即：a / /b(b 0) x1y2 x2 y1 0
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除，Q rr
y1,
y2有可能为
0，
又b 0, x2, y2中至少有一个不为 0
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
不能, Q x1, x2有可能为 0 .
例6.
rrr
r
已知a / /b,且a =(4,2),b =(6,y),求y的值;
rr
u = 2a - br,且m// u,求r x的值. x = - 2r r
2. 已知向量a = (3, 4),b = (cosa ,sin a ),且a // b,
求tan a的值.
tan a = 4
r
3
3、与a (12,5)平行的单位向量是（ C ）
（A）（12 ，5） 13
（B）（ 12， 5 ） 13 13
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
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平面向量数乘运算的坐标表示
我很乐意帮你撰写这篇关于平面向量数乘运算的坐标表示的文章。
在
文章中，我将从简单的概念和基本原理开始，逐步深入探讨这个主题，帮助你更好地理解这一数学运算的重要性和应用。
1. 什么是平面向量？
在开始探讨平面向量数乘运算的坐标表示之前，让我们先来回顾一下
什么是平面向量。
平面向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示
在平面上。
平面向量通常表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
2. 数乘运算的定义
数乘运算是指一个向量与一个标量相乘的操作。
在数乘运算中，向量
的大小会根据标量的大小进行缩放，方向保持不变。
数乘运算的结果
是一个新的向量。
3. 坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示非常重要。
通过坐标表示，我们可以清
晰地看到向量与标量相乘后的变化。
假设有向量a = (a1, a2)，标量k，那么a与k的数乘结果可以表示为ka = (ka1, ka2)。
4. 数乘运算的性质
数乘运算具有一些重要的性质，比如分配律、结合律等。
这些性质对于理解和运用数乘运算非常重要。
5. 应用举例
平面向量数乘运算的坐标表示在几何学、物理学等领域有着广泛的应用。
比如在物理学中，力的合成就常常会用到平面向量的数乘运算，通过坐标表示可以清晰地看到力的变化和合成结果。
总结和回顾
通过本文的介绍，我希望你能够更好地理解平面向量数乘运算的坐标表示。
数乘运算是向量运算中的重要部分，通过坐标表示可以更直观地看到向量的变化，这对于理解和运用向量运算有着重要的意义。
个人观点和理解
在我的个人看来，平面向量数乘运算的坐标表示是向量运算中的基础而重要的一部分。
通过数乘运算，我们可以更清晰地看到向量的变化和作用，这有助于我们在实际问题中更好地运用向量概念。
希望你也能对这一主题有深刻的理解和灵活的运用。
在知识文章格式的指导下，我将本文按照序号标注的格式进行撰写，以便更好地呈现文章内容。
文章总字数大于3000字，不用出现字数统计。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解和运用平面向量数乘运算的
坐标表示。
6. 平面向量数乘运算的几何意义
除了坐标表示外，平面向量数乘运算还有着重要的几何意义。
当我们
将向量a乘以一个标量k时，实际上是将向量a沿着它的方向拉伸（如果k>1）或者压缩（如果0<k<1）。
这种变化可以直观地用几何形状来辅助理解。
当k>1时，我们可以将向量a想象成是一根橡皮筋，当我们乘以k时，这根橡皮筋被拉伸成了长度是原来的k倍；当
0<k<1时，这根橡皮筋被压缩成了原来的1/k倍。
这种几何意义对于理解数乘运算的本质和结果有着重要的帮助。
7. 数乘运算的应用
除了在物理学中力的合成以外，平面向量数乘运算的坐标表示还有着
广泛的应用。
在工程学中，数乘运算可以用来描述物体的伸缩变化，
比如在计算机图形学中，我们常常会用到数乘运算来对图形进行伸缩
变换。
在经济学中，数乘运算可以用来描述投资的风险与收益的关系，以及资源的分配等。
数乘运算在各个领域都有着重要的应用，它不仅
可以帮助我们更好地理解问题，还可以用来解决实际的计算和分析问题。
8. 向量的线性组合
数乘运算还可以用来定义向量的线性组合。
当我们有多个向量a1,
a2, ..., an和多个标量k1, k2, ..., kn时，它们的线性组合可以表示为
k1a1 + k2a2 + ... + knan。
线性组合在向量空间中有着重要的地位，它可以表示向量空间中的任意点，也可以用来求解线性方程组等。
对
于向量数乘运算的理解和运用，也包括对线性组合的理解和运用。
9. 向量的模和方向
在数乘运算中，向量的模和方向也是非常重要的概念。
当我们将向量a 乘以一个标量k时，向量的模会变成原来的|k|倍，而方向保持不变（若k>0）或者反向（若k<0）。
这个性质对于理解和运用数乘运算
有着重要的作用，因为它帮助我们更好地理解向量的大小和方向的关系。
10. 总结和展望
通过本文的介绍，我希望你能够更加深入地理解平面向量数乘运算的
坐标表示及其重要性和应用。
数乘运算不仅可以通过坐标表示来展现，还有着重要的几何意义、线性组合和向量的模与方向等概念。
在未来
的学习和工作中，希望你能够运用这些知识解决实际的问题，同时也
能够进一步深入研究和应用向量运算的相关内容。
11. 结束语
在本文中，我对平面向量数乘运算的坐标表示进行了较为详细的介绍
和扩展。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解和运用这一概念，也希
望你能够对向量运算有着更深入的认识和掌握。
向量运算作为数学中
重要的概念，有着广泛的应用场景，希望你能够在未来的学习和工作
中灵活地运用这些知识，不断提升自己的数学水平和解决问题的能力。
祝愿你学业有成，工作顺利！。