几类非线性发展方程的定解问题
非线性发展方程的精确解
其 中 ａ（ ＝１ … ， ，ｎ ｉ ， ）６ ≠０是待 定 常数 。 由（） （） ｌ 一
（） ５
，
㈦ ＝ ＝（） 一 罟 （）（（） ）２ ）２罟， 一 一 （ 。 ） ＝ ＝ 罟 ＋（ （） （ ３／ ）＝６ ）８ ）２， 罟 ２ ）２罟） 一（ ４ （ ＝ （ ＋ （ 罟 — 罟 一ｚ ￣
Ｋ Ｋ方 程 Ｂ
／ ＋“ ｚ ＋ 心 ＋ 黝 ＝０ ｄ ， “ ＋ａ 盯 ￡ （） １
其 中参 数 ａ 』， 都 为常数 。Ｋ Ｋ 方程 包含 了许 多著 名 的方 程 ， ， ９ Ｂ
（） Ｔ ｉ当 ＝０时 ， 可得到 Ｋｄ －ｕｇｒ方 程 Ｖ Ｂ ｒｅｓ
“ ｆ ＋ Ｚ Ｕ ＋ 口“ Ｃ
２ ［）开求 Ｋ 方 ． 法解Ｂ 程 用 展 Ｋ
对 方程 （ ） 行波 变换 １作
毒＝ ＋ ｃ 、 ｔ
令 （ ， ） ｔ ＝Ｕ（ ， ）则方 程 （ ） １ 可化作
ｃ Ｕ ＋ ＋ ａＵ ＋ Ｌ ＋ ７Ｕ （）＝０
（） ２
两 边 积分 可得
ｃ ，＋ 己 ｕ ＋ 口己 ＋ ， ＋ ｒＵ＂一 Ｂ ＝ ０，
Ｕ２ ＿ ２
，
－
印一 寸 ， ，
，
Ｇ
一
／ａ ｎ － ／
（）＋， 罟 ． ． ・ （） ． 罟 ＋． ． ， （ ＋・ ） ． ． ，
乜
㈦
Ｌ ＝ ７７ １（ ２ａ （ ） ＋ 一ｚｚ ） （ ＋ ＋ ） 专 …， 『 ＿
平 衡方 程 （） ３ 中 和 Ｕ 可确定 ＝３ ， 。所 以可 以设 Ｋ Ｋ方 程 的解 为 Ｂ
频散 的 系统 ， 即便 有 较大 的 Ｒ ｙ ｏｄ 数 ， 不一 定 足 以产 生不 规则 的湍 流运 动 ， 须考 虑 流动 的不 稳 定 性［ 因 ｅ ｎ ｌｓ 也 必 ，
(2+1)维非线性发展方程的对称约化及精确解
（ ２ ＋ １ ）维 非线性发展方程 的对称约化及精确解
李 宁，刘 希 强， 张颖 元
（ 聊城 大学数 学科 学 学 院， 山东 ，聊 城 ２ ５ ２ ０ ５ ９ ）
摘
要 ：利用相容性方法 ，得 ￣ Ｊ Ｉ Ｔ（ ２ ＋ Ｉ ） 维 ｍＫｄ Ｖ － Ｋ Ｐ的非经典对称及相似约化，并进 一步得 到了该方程 的一些新
的精确解 ，包括双 曲函数解 ，三角 函数解，有理函数解，椭圆函数解 等。 关键词 ：相容性方法 ；（ ２ ＋ １ ） 维 ｍＫ ｄ Ｖ － ＫＰ方程 ；精确解 ；对称 ；相似约化
中图分类号 ：Ｏ１ ７ ５ ． ２ 文献标识码：Ａ １ ３ ０１ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４ － ８ ０ ８ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ３ ． ０ ０ ２
’
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｔ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｙ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ，ｗｅ ｆ ｅｄ ｒ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ － ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｒ ｙ ， ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｎ ｄ ｎ ｅ ｗ ｅ ｘ ａ ｃ ｔ
ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓａ ｎ ｄｔ ｅ ｈ ｅ ｌ ｌ ｉ ｐ ｔ ｉ ｃｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ Ｏ ｏ ｎ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｈｅ ｔ ｃ ｏ ｐａ ｍ ｔ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｙ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ； （ ２ ＋ １ ） － ｉｍｅ ｄ ｍｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｍＫ ｄ Ｖ － Ｋ Ｐ ｅ ｑ ａｔ ｕ ｉ ｏ ｎ ； ｅ ｘ ａ ｃ ｔ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ； ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｒ ｙ ； ｓ ｉ ｍｉ ｌ ａ ｒ
半线性发展方程的cauchy问题及自相似解
半线性发展方程的cauchy问题及自相似解以《半线性发展方程的Cauchy问题及自相似解》为标题，本文旨在探讨半线性发展方程及其Cauchy问题及自相似解，以期为相关领域的研究提供理论支持。
半线性发展方程是一类非线性发展方程，其数学模型由以下方程式组成：$$frac{partial u(x, t)}{partial t}+A(x, t)u(x, t)^alpha=f(x, t)$$其中，$u(x,t)$为时间$t$和空间$x$的组合，$A(x,t)$为一个复变函数，$α$为实常数，$f(x, t)$为源函数。
Cauchy问题是理论分析及模型求解的重要部分，其定义为：当$t=0$时，给定$u(x, 0)=g(x)$，求解半线性发展方程的解析解$u(x, t)$。
将原问题变换至相应参数空间，即引入$T=frac{t}{a(x)}$和$N=frac{u(x,t)}{g(x)}$，则半线性发展方程变换为：$$frac{partial N(x,T)}{partialT}+An(x,T)N(x,T)^alpha=f(x,T)$$若它满足：使得$N(x,0)=1$且$f(x,T)$无显式$x$依赖性，则称此新问题为Cauchy问题的自相似解。
自相似解的求解可以由变换参数量求解，可以转化为求解某半线性发展方程的解，从而得到自相似解。
从上可知，半线性发展方程的Cauchy问题及自相似解是理论分析与模型求解的重要结构性基础，其关系及机理至关重要。
为了更好地深入讨论半线性发展方程的Cauchy问题及自相似解，本文还将探讨以下主题：（1）Cauchy问题的求解过程，（2）参数转换的解析和数值方法，（3）利用自相似解进行参数空间的分析，（4）利用自相似解进行发展方程的模拟。
首先，考虑Cauchy问题求解过程，对应于半线性发展方程，Cauchy问题可以使用不同方法求解。
数值方法和解析方法是常用的求解方法，可以有效将原问题转换为可计算的问题。
一类非线性发展方程整体弱解的存在性
Ｙａ ｇＬｉ ｎ ，Ｘｉ ｎ ｑｎ ｅＹｏ ｇ ｉ
（ ｃｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｄＣ ｍｐ ｔ ｇＳｉｎｅ ｈ ｇｈ ｎｖｒｉ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏｏｙ ｈ ｇｈ １０ ６ ｈｎ Ｓ ｈｏ ｈ ｍａｃ ｏ ｕ ｎ ｃ ｃ ，Ｃ ａ ｓａ ｉ ｅｓｙｏ ｉ ｃ ｄＴ ｃｎ ｌｇ ，Ｃ ａ ｓａ ０ ７ ，Ｃ ｉ ｏ Ｍａ ｉ ａ ｎ ｉ ｅ ｎ Ｕ ｔ Ｓｅ ａ ｎ ４ ａ）
第 ２卷 第 １ ４ 期
２ １年 １ ００ 月
湖 南
工
业
大
学
学
报
ＶＯ ．４ Ｎｏ １ １ ． ２ Ｊｎ ０ ０ ａ ．２ ｌ
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｈ ｏ ｏ ｙ ｙ Ｔｅ
ｗｈｃ ｅｎ ｎｉ ｅ ｒｔｒ ａ ｓ ｅ ｒｔｃ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｒ ｗｔ ． ｎ ｋ ｅ ｇ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｎｔ ｅｆｎ ｉｇｓ ｆ ｉｈ ｔ ｏ ｌｎ ａ ｍ ｓ ｔ ｆ ｓｃ ｉ ａ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓｏ ｅ ｐ ｎ ｎ ａ ｏ ｈ Ａ ｄ ｍａ ｓａｌ ｅｉ ｈ ｅ ｉｉ ｉ ｌ ｉ ｉ ｇ ｒ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｄｎ ｏ ｈ ｉ ｏ
ｕ一 ｕ一 ｕ Ａ ． Ａ ＝ｆ．
收稿 日期 ：２０ —０ １ ０ ９ １— ２
巧 ，证 明方程 （ ）一（ 的整体弱解的存 在性 ，并得 １ ３） 到其解 是唯一 性 连续 的 ，且 依赖 于初始 值 。
ｕｘ０ ＝Ｕ（） ， ，） ｌ ） （，） ｏ ， （ ０ ＝Ｕ（ ， 甜
∈．。
（ ３）
其 中， ， ，１ 具有适当光滑边界ａ ． ３ －ｃＲ ２ 的有界
非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题
非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题_______________________________非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题是当前数学中一个非常重要的研究方向。
从抽象的数学角度来看，非线性发展方程是一个复杂的问题，它通常具有非常复杂的行为，甚至有时会导致无界的情况出现。
在数学分析中，有界性和渐近行为是非线性发展方程解的一个重要特征。
在讨论非线性发展方程解的有界性和渐近行为之前，必须先了解其背景信息。
非线性发展方程是一类微分方程，它们描述了一个变量随时间变化的情况。
这些方程以其变量的函数作为结果，并对变量的函数进行不同的分析。
例如，在经济学中，非线性发展方程可以用来描述一个国家的经济增长情况。
在讨论有界性和渐近行为时，首先要明确的是，有界性是一个重要的数学特征，它指的是函数值是否存在上限或下限。
通常来说，如果一个函数值存在上限和下限，并且不会超出这些限制，则它是有界的。
而渐近行为则是指函数值在时间上是否存在某种趋势。
例如，如果一个函数值随时间不断增大或不断减小，则它具有渐近行为。
当然，函数值也可能在时间上呈正弦波动，或者不断地上升后再不断地下降，也可以被认为具有渐近行为。
对于非线性发展方程解的有界性和渐近行为的分析，理论上可以采用多种方法，包括几何分析、泛函分析、动力学分析以及数学定理证明等。
但是，在实际应用中，由于复杂性原因，很难完全证明一个非线性发展方程解的有界性和渐近行为。
因此，在处理实际问题时，通常会采用一些数值方法来对有界性和渐近行为进行近似的分析。
此外，对于复杂的非线性发展方程解，我们也可以使用人工神经网络（ANNs）或其他相关工具来对其有界性和渐近行为进行数值估计。
ANNs是一类由大量神经元构成的人工神经网络，它们可以对各种复杂问题进行估计、分析和预测。
ANNs对于分析复杂的非线性发展方程解的有界性和渐近行为尤其有用。
总之，非线性发展方程解的有界性和渐近行为是一个重要的数学问题。
几何非线性力学中的定解问题研究
几何非线性力学中的定解问题研究几何非线性力学是以物体的形状和变形为主要研究对象，涉及到多个学科的交叉，如数学、力学、材料科学等。
其中，定解问题是研究重要的方向之一。
本文旨在简要介绍几何非线性力学中的定解问题研究。
一、定解问题概述定解问题是研究微分方程的重要领域，从物理学的角度来讲，定解问题是描述力学系统的运动规律，因此在几何非线性力学中，定解问题也是研究物体受力时的变形与运动规律的重要工具。
在几何非线性力学中，一般研究以下两类定解问题：1.初值问题初值问题是指在某一时刻，物体的形状与位置已知，要求预测在后续时间内的形状和位置的变化情况。
这类问题通常用泰勒级数来进行近似求解，但是要求计算过程中不受舍入误差的影响，也需要对误差进行估计和控制。
2.边值问题边值问题是指在一个密闭区域内，物体受到一定约束力的情况下，求解物体的形状与运动规律。
这类问题通常需要建立较为复杂的数学模型，涉及到微分方程、变分原理等多种数学工具。
二、定解问题的数学模型与求解方法几何非线性力学中的定解问题，有时需要建立复杂的非线性微分方程，因此需要借助于数值计算方法来进行求解。
目前常用的数值计算方法有以下几类：1.差分法差分法是一种离散化求解微分方程的方法，将空间和时间分为若干个网格，根据物体的受力情况，利用有限差分法来逼近微分方程的解。
这种方法简单易行，在一些简单的模型中表现良好。
2.有限元法有限元法是一种将物体分割成有限个单元，建立每个单元的形状函数和位移函数，从而建立起整个物体的数学模型。
这种方法具有一定的通用性，在处理非线性问题时有很好的效果。
3.辛普森法辛普森法是一种以积分为基础的数值计算方法，通过对微分方程的积分逼近来求解方程的解。
辛普森法具有高精度和高效率的特点，但在处理非线性问题时，需要对误差进行较为精细的控制。
三、应用与展望几何非线性力学中的定解问题广泛应用于材料科学、工程力学、地质力学等各个领域，在地震预测、纳米器件设计等领域具有重要的应用价值。
一类非线性发展方程的显式精确解
步骤 ３ 把式 （ ） ５ 代入方程 （ ） ４ 并考虑一数 的项 ，并 令 Ｇ（ ‘ ）的各 次 系数 为零 ， 到关 于 口（ 得 ｉ＝０ １ ，，
２ … ，）Ａ ｃ ， ／ ， ， 的非线性代数方程组。 ７ ，
线性发展方程新 的显式精确解 ， 中包括一般 形式的行波解、 其 扭状正则孤 立波解和奇异孤立波
解。
关键 词 ： １Ｇ 一 开法 ； （／ ）展 齐次平衡 原 则 ； 波解 ； 立波 解 行 孤
中图分类 号 ： １ ５ ２ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ
孤立 波作 为非 线 性科 学 中的一 类 重 要 的物 理 现象 ， 长期 以来 成 为众 多 学 者研 究 的热 点 问题 ， 而
文章编号
１０ ５ ６ （０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０－ ２９ ２ １ ）６— ０ ４— ４
一
类非 线性 发展 方程 的显 式精 确解
陈 自高 ， 张愿章
（ 华北水利水 电学院 数学与信息科学学院 ， 河南 郑州 ４ ０ １ ） ５０ １
摘
要： 应用 （／ － 开法 ， １Ｇ） 展 并借助 于计算机 系统 Ｍａ ｅ ａｅ 齐次平 衡 原则 ， 得 了一 类 非 ｔ ｍ ｔａ和 ｈ ｉ 获
步骤 ４ 解 上 述 代 数 方 程组 ， 所 得 结 果 以 及 式 将 （） ６ 的通解
１ （／ １ Ｇ）一 开 法 展
假 设给定 一个 （ １＋１ 维非 线性偏 微分方 程 ） Ｆ（ ， ， ， ， ）＝０ ， “，缸 … （） ２ 式中， Ｆ是关 于 ＝ （ ￡ ， ）和它 的各 阶导 数 的多
寻找非线性发展方程 的各种精巧求解方法则更成 为非线性发展方程领域的研究热点之一 。近年来 ， 多 种获取非 线性 数 学 物理 方 程精 确 解 的方 法 陆 续 被 提出 ， 齐 次 平 衡 法 … ， 曲正 切 函数 法 ［ ， 如 双 ２ 试 ］ 探 函数法 Ｊｓ ｅｃｓ ｅ ，ｉ 。ｏｉ 法 ， ｃｂ 椭 圆函数展 开 ｎ ｎ ］Ｊ ｏ ｉ ａ 法 鲥， ， Ｆ展开法 － 等。最近 ， Ｗａｇｍ等创立 ’９ 由 ｎ［ 了 （ ／ ） 展开法 ， Ｇ 一 并成 功应用于求解非线性 发 展方 程 ｌ 孤 立 波 解 。受 益 于 Ｗａｇ等 创 立 的 的 ｎ
用MATLAB模拟几类非线性偏微分方程组的定性性质
ｕ （ ｕ ， 一 ＋ １ ， ｐ ） ＝０ ， Ｖ （ 一 ＋Ｕ ） ＝０ ， （ ＋ １ ， ｆ ） ＝１ ， （ ＋ １ ， ｆ ） ＝０ ， ｕ （ ｘ ， ０ ） ＝Ｕ ０ （ ） ， ｖ （ ｘ ， ０ ） ＝ （ ｘ ） ，
（ ３ ． ５ ）
∈ ［ － １ ， １ 】 ，
第 ２ ２ 卷
第 ７期
牡丹江大学学报
Ｍ ｕ ｄ ａ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｔ Ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ１ ． ２２ Ｎｏ ．７
２ ０ １ ３ 年 ７月
文章编号：１ ０ ０ ８ ． ８ ７ １ ７（ ２ ０ ｌ ３ ）０ ７ ． ０ １ ３ ｌ 一 ０ ５
收稿 日期：２ ０ １ ３ ． ０ ３ — ２ ３ 基金项 目：大学生实践创新计划项 目 （ 编号：２ ０ １ ２ Ｊ Ｓ Ｓ Ｐ Ｉ Ｔ Ｐ １ ４ ９ ３ ） 作者简介：陈玉娟 （ １ ９ ６ ９ ～） ，女 ，教授 ，博士，研究方 向：偏微分方程。
０ ， ｖ ０ ，
Ｕｔ一
Ｐｑ＝ｍｒ ／ ，且 充 分 大（ 或 者 区域 的直 径充分 小） ， 那 么 当初值 适 当 小时 ，（ ２ ． ４ ） 存 在解 在有 限时刻熄
灭 。据作 者所 知 ，这似乎 是第 一个研 究 具有源 项 的快扩 散方 程组 解 的熄灭 的工作 。
４ 周期生态系统 的 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 模拟
Ｊ ｕ１ ． ２０ ｌ ３
用 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ模拟几 类非线性 偏微分 方程组 的定性性质
陆 晨 陈 玉娟
（ 南通大学理学院 ， 江苏 南通 ２ ２ ６ ０ ０ ７ ）
摘
要 ：非线性偏微 分方程组广泛应 用于物理 、化 学、生 态学 、经济学等领域 ，对它的研 究有重要
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几类非线性发展方程的定解问题
非线性发展方程是一个庞大的研究领域，它涉及到数学、物理学、化学等多个学科，在科学研究领域有着广泛的应用。
这类方程通常具有复杂的形式，它们的特点是变量（例如温度、能量、势函数等）都是运动变化的，从而使得求解的复杂程度上升。
本文将从数学的角度，以及四类非线性发展方程：椭圆型方程、超越型方程、抛物型方程、解析平面方程的定解进行深入的阐述。
首先，椭圆型方程通常可以定义为：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$，其中A、B、C、D、E、F都是实数，其中A和C不能同时为0。
它可以被用来描述椭圆、圆和双曲线，椭圆型方程可以得到两个简单的定解。
1、解析解：在这种情况下，方程有两个变量可以求解，一般阐述为：解一般形式为$x=f(t),y=g(t)$，其中
$t$是参数。
2、特殊解：如果两个变量满足某个条件，比如$x=y$或$Bx+Ey+F=0$，那么这类方程得到特殊解，一般可以简化为一个一元方程来求解。
其次，超越型方程是一类常用的非线性方程，它通常由一元方程转化为多元方程。
它一般可以表示为：$$x+yf(x,y)=g(x,y)$$，其特点是后一变量与前一变量存在着某种关系，超越型方程可以得到两个简单的定解，如变量变换法（将超越型方程变换为椭圆型方程来求解）和特征函数法（将超越型方程转换为积分方程来求解）
继续，抛物型方程通常可以定义为：$$y=ax^2+bx+c$$，其中a、b、c是实数，抛物型方程表示的是若干变量与他们的平方或者立方次方存在一定关系的函数。
抛物型方程的定解可以使用特征函数法或变量变换法，特征函数方法通过讲抛物型方程转换成积分方程来求解，而变量变换法则将抛物型方程转换成椭圆型方程来求解。
最后，解析平面方程通常可以定义为：$$3x^3-7xy^2-17x+11y=0$$，其中x和
y是变量。
解析平面方程也是一类非线性发展方程，它是由一个三次多项式表达式构成的，它的特点是变量和它们的次方有一定的关系，解析平面方程的定解可以是通过变量变换法将平面方程转换为椭圆型方程来求解，也可以通过特征函数法将其转换为积分方程来求解。
总而言之，上述四类非线性发展方程的定解可以通过变量变换法和特征函数法两类方法来求解，且定解的求解过程各异，但本质上均是基于数学上恒定结构的拟
合求解过程。
因此，四类非线性发展方程的定解问题一直是科学研究领域的研究热点。