人教版八年级下册数学：二次根式的混合运算
2、已知 x 3 1, y 3 1,
求下列各式的值
(1)x2 y2 (2)x2 3xy y2
解： x y 3 1 3 1 2 3
x y 3 1 ( 3 1) 2
xy ( 3 1)( 3 1) 2
(1)x2 y2 (x y)(x y) 2 32 4 3
(2) x 2 3xy y 2 x 2 2xy y 2 xy ( x y)2 xy (2 3)2 2 12 2 14
方法2、
解：原式 ( 2 2 2) 3 [( 2)2 2 2 3 ( 3)2]
3 2 3 (2 2 6 3) 3 6 (5 2 6) 3 652 6 5 65
归纳:
(1)二次根式的混合运算的法则： 先 乘方，开方 ，再 乘除 ，最后 加减 ， 有括号的先算 括号里面的 。
根 乘法公式 (a b)2 a2 2ab b2
式
的
(a b)2 a2 2ab b2
混
合
运 算
运算法则：先乘方，开方，再乘除， 最后加减，有括号的先
算括号里面的
作业布置
教材第15页 ，第4题 （2）（3） 第6题
学习目标：
（1）熟练掌握二次根式混合运算的法则； （2）会利用运算法则和运算顺序进行二次 根式的混合运算。
重点：混合运算的法则，明确运算顺序及乘法
公式的运用。
难点：灵活运用乘法公式使计算简便。
1、计算：(3 x)(3 x) (x 1)2 22
解：原式 32 x2 x2 2x 1 4 9 2x 1 4 2x 6
3、已知 10 的整数部分为a，小数
部分为b，求 a2 b2 的值。 解： 3 10 4 a 3 b 10 3 a2 b2 (a b)(a b) (3 10 3)[3 ( 10 3)] 10(6 10) 6 10 10
课堂小结
二
次
(a b)(a b) a2 b2
例题精讲
(1)( 5 3)( 5 3)
解：原式 ( 5)2 ( 3)2 53 2
(2)( 2 1)2
解：原式 ( 2)2 2 2 112 22 2 1 32 2
计算：
合作探究
( 2 8) 3 ( 2 3)2
方法1、
解：原式 2 3 8 3 [( 2)2 2 2 3 ( 3)2] 6 24 (2 2 6 3) 6 2 6 (5 2 6) 62 652 6 5 65
(3) 5 2 (2 5 2)2
解：原式 10 [(2 5)2 2 2 5 2 ( 2)2 ] 10 (20 4 10 2) 10 20 4 10 2 5 10 22
拓展延伸
1、(2018 3)0 2 3 1 2 2
解：原式 1 3 2 1 3 2
2、从上题的计算中，应用到哪些乘法公式？
（1）平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b 2
（2）完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab 则运算顺序，先 乘方，开方 ,
再 乘除
，最后 加减
，
有括号的先算 括号里面的 。
计算：
（2）整式运算中所有乘法公式 （ 平方差公式 ，完全平方公式 等） 在二次根式的运算中仍然适用。
展示反馈
(1) 27 2( 2 6)
解：原式 3 3 2 12 3 322 3 32
(2)( 10 7 )( 10 7 ) ( 2)2
解：原式 ( 10)2 ( 7)2 2 10 7 2 1
人教版八年级下册数学知识点汇总
八年级下册第十六章：二次根式（1）)0a ≥号，a 叫做被开方数.2，即：2可以省略 .（2） 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即：被开方数大于或等于0.在实数范围内有意义的条件为： . 由20x -≥，可以得出：2x ≥.20x ≥，x 属于任意实数.在实数范围内有意义的条件：30x ≥，0x ⇒≥.在实数范围内有意义的条件：10121202x x x x x -≥≤⎧⎧⇒⇒-<≤⎨⎨+>>-⎩⎩. (分析：分子、分母都要有意义，分式有意义：分母不为0)（3） 负数没有平方根也没有算术平方根，0的平方根是0，0的算术平方根是0.（4） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（5） 一个正数有两个平方根，互为相反数. 一个正数有一个算术平方根方根，且为正根. （6） 二次根式的双重非负性：0a ≥0≥.21a =-，则a 的取值范围是： .根据二次根式的双重非负性，()2120a -≥，则210a -≥，所以：12a ≥. （7）()20a a=≥.例如：21.5=；(22224520=⨯=⨯=.提示：2=2倍根号5”.（8()()()0000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩.4==5== .11=-=；14==；π==-；110==. （9）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.例如：3，x ，x y +)0x ≥，ab -，()0st t≠，3x 都是代数式.（10）二次根式的乘法法则：一般地，=()0,0a b ≥≥，=.=； 3=== ；2612==⨯=；33===；14===== ；⑥((32-=⨯-=-=-=-=-；====；（11=()0,0a b ≥>，=()0,0a b ≥>利用它可以进行二次根式的化简 .====；=====；==； 53=== ；⑤===；（12）最简二次根式：最简二次根式是指满足下列两个条件的二次根式①被开方数不含分母；②被开方数中不含开的尽方的因数或因式..（13）化简最简二次根式的一般方法：①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.====.②化去根号下的分母，即：分母有理化.====；=====；====；==.（14）二次根式的加减:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并.例：==；==；==；-==；同类二次根式：根指数相同、化简后被开方数相同的二次根式；=.注：合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将它们的“系数”相加减，最简结果，不能合并.（15）二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的，同级运算从左往右依次计算； ②在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用 .例： ① ⎛÷ ⎝解原式(=÷(2=+2==②)23-解原式22223⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦()5329=---229=-+9=注：运算结果是根式的，应表示为最简二次根式 .（16 解：2150126=+ ； 令：12a =，6b =；61212.25224b a a ≈+=+≈第十七章：勾股定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c =＋ . 勾股定理的证明方法：全世界共有370多种证明方法.其中赵爽正弦图、毕达哥拉斯证法、美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法比较出名；勾股定理的变式：① 222c a b =＋；②()()222a cbc b c b =-=+- ；③ ()()222b c a c a c a =-=+-；④c =⑤a =⑥b =（2）勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c =＋，那么这个三角形是直角三角形 .（3）定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理 .（4）我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 .（例如：勾股定理与勾股定理逆定理） （5）常见的勾股数（勾股数是正整数）：①3、4、5，222345⇒+= ； ②5、12、13，22251213⇒+=； ③6、8、10，2226810⇒+=； ④7、24、25，22272425⇒+=；注：只要三角形的三边长都是勾股数的k （k 为正整数）倍时，构成的三角形仍然是直角三角形.（6）蚂蚁吃食物最短路径问题：①如下图，是一个边长为2的正方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一： 情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为AB = 42 + 22 =20 =25AbacCBAAAB = 42 + 22 =20 =25AAB = 42 + 22 =20 =25②如下图，是一个长为2，宽为4，高为8的长方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一： 情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为10.③如下图，是一个底面半径为2，高为8的圆柱体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程.（注：表面爬行）情况一： 情况二:把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为（7）如图：直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c .以两直角边为边长的正方形的面积等于以斜边为边长的正方形的面积.即：123S S S +=，或222a b c +=.AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2A8AB = 62 + 82 =100 =10AB AB = 122 + 22 =148AAB = 62 + 82 =100 =10bac S 3S 2S 1（8）三角形面积的计算方法：海伦秦九韶公式（知道三角形的三边长可以直接求面积）.2a b cP ++=（其中,,a b c 为三角形的三边长 ）；S =.例：在下列ABC ∆中，边长如图所示，计算其面积. 解：由海伦秦九韶公式得：6810122P ++==ABC S ∆∴==24==（9）如图，AB BC ⊥，3,4,12,13,AB BC CD AD ====求四边形ABCD 的面积. 解：（法一）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===22222251216913AC CD AD +=+===∴根据勾股定理得逆定理得：ACD ∆是直角三角形. AC CD ∴⊥，即：90ACD ∠=︒. ∴S 四边形ABC ACD S S ∆∆=+ 111134512362222AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=.解：（法二）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===在ACD ∆中，由海伦秦九韶公式得：51213152P ++==A C D S ∆∴=30== ∴S 四边形113034306303622ABC ACD S S AB BC ∆∆=+=⋅+=⨯⨯+=+=. 6108CBA341213DCBA第十八章：平行四边形（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“”表示，如平行四边形ABCD 记作“ABCD ”.即：若AB ∥CD ，AD ∥BC ，则四边形ABCD 是平行四边形. （2）平行四边形的性质：①平行四边形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC .AB =CD ，AD =BC .②平行四边形的两组对角相等.即：BAD BCD ∠=∠，ABC ADC ∠=∠.平行四边形的邻角互补.即：180BAD ABC ∠+∠=︒，180BCD ABC ∠+∠=︒. ③平行四边形的对角线互相平分.即：OA OC =，OB OD =.（3）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形.即：14AOBBOCCODAODABCDSSSSS ====.4444ABCDAOBBOCCODAODSSS SS====.（4）两平行线间的距离处处相等. （5）平行四边形的面积：底⨯高.（6）平行四边形的判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ③对角线互相平分的四边形是平行四边形. ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ⑤两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （7）三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 在ABC ∆中，点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，所以DE 是ABC ∆的中位线.即：12DE BC =，DE ∥BC .（8）梯形中位线定理：梯形的中位线平行且等于上底与下底和的一半. 在梯形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，所以EF 是梯形ABCD 的中位线.即：2AD BCEF +=，EF ∥AD ∥BC .（9）矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （10）矩形的性质：①矩形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②矩形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒. ③矩形的对角线相等且互相平分.即：AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==.ODCB AED CBAFEDCBAODCBAA OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是等腰三角形. （11）矩形的面积：长⨯宽.即：S AB BC =⋅.（12）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.如：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是斜边AC 的中线，则12BD AD DC AC ===.（13）矩形的判定：①对角线相等的平行四边形是矩形. ②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ④有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （14）菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （15）菱形的性质：①菱形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②菱形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===. ③菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即：AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. 1122ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠.1122BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 菱形ABCD .（16）菱形的面积：两条对角线乘积的12.即：12S AC BD =⋅.（17）菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（18）正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形. （19）正方形的性质：①正方形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②正方形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===.正方形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒ ③正方形的对角线相等且互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即： A C B D ⊥，AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. DCBAODCB AODCB A114522ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.114522BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 正方形ABCD .（20）正方形的面积：边长⨯边长或对角线乘积的一半.即：S AB BC =⋅或12S AC BD =⋅. （21）正方形的判定：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③有一个角是直角的菱形是正方形.④对角线相等且互相垂直平分的四边形是菱形. ⑤对角线相等的菱形是正方形. ⑥对角线互相垂直的矩形是正方形.（22）平行四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形；矩形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形. （23）平行四边形不是轴对称图形；矩形是轴对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，有2条对称轴；正方形是轴对称图形，有4条对称轴.第十九章：一次函数（1）常量与变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.（2）函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y 是x 的函数，x 是自变量. （3）函数值：函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值.如果当x a =时，y b =，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.（4）解析式：像23y x =-+这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.（5）函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. （6）描点法画函数图象的步骤：①列表； ②描点； ③连线；（7）判断分析函数图象的突破点：①明确两坐标轴所表示的意义；②明确图象上的点所表示的意义；③弄清图象上的转折点、最高（低）点所表示的意义；④弄清上升线和下降线所 表示的意义.（8）函数的表示方法：解析式法；列表法；图象法.例1：小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.如图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系. 第（1）段：小明从家到食堂，相距0.6km ，用时8min . 第（2）段：小明在食堂用餐，用时()25817min -=. 第（3）段：小明从食堂到图书馆，食堂与图书馆相距()0.80.60.2km -=，用时()28253min -=.食堂与家相距()0.800.8km -=.第（4）段：小明在图书馆看书，用时()582830min -=. 第（5）段：小明从图书馆到家，用时()685810min -=，速度()0.8100.08/min v km =÷=.例2：画出函数21y x =+的图象.第三步：连线（9）正比例函数：一般地，形如()0y kx k =≠（k 是常数）的函数，叫做正比例函数，其/miny /中k 叫做比例系数或斜率.例：①0.2y x =-； ②2xy =； ③22y x =； ④24y x =. 在上面式子中： ①②是正比例函数；③④不是正比例函数.（10）正比例函数()0y kx k =≠的图象性质：①正比例函数()0y kx k =≠的图象是一条经过原点的直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数），函数图象经过第一、三象限.③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数），函数图象经过第二、四象限.④k 越大，直线越倾斜（越陡）.⑤正比例函数()0y kx k =≠的图象经过点()0,0和()1,k .（11）一次函数：一般地，形如()0y kx b k =+≠（,k b 是常数）的函数，叫做一次函数.当0b =时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. （12）一次函数()0y kx b k =+≠的图象性质： ①一次函数()0y kx b k =+≠的图象是一条直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数）. ③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数）. ④当0b >时，函数图象交y 轴的正半轴. ⑤当0b =时，函数图象经过原点. ⑥当0b <时，函数图象交y 轴的负半轴.⑦k 越大，直线越倾斜（越陡）.正比例函数和一次函数的图象都是直线，画函数图象时只需要找两个点，即两点作图法.（13）函数的平移：x ：左+右-；y ：上+下-.例：6y x =-向上平移5个单位长度得到：65y x =-+. 6y x =-向下平移3个单位长度得到：63y x =--.2y x =-向左平移3个单位长度得到：()2326y x x =-+=--.2y x =-向右平移2个单位长度得到：()2224y x x =--=-+.22y x =--向左平移2个单位，向下平移3个单位得到：()222329y x x =-+--=--. 32y x =-+向右平移2个单位，向上平移3个单位得到：()3223311y x x =--++=-+.（14）在一次函数()11110y k x b k =+≠和()22220y k x b k =+≠中：①当12k k =时，1y ∥2y . ②当121k k =-时，12y y ⊥.例：直线21y x =--与26y x =-+互相平行；直线21y x =--与162y x =+互相垂直. （15）直线与x 轴相交0y =；直线与y 轴相交0x =（16）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.例：已知一次函数的图象过点()3,5和()4,9--，求这个一次函数的解析式.解：设这个一次函数的解析式为()0y kx b k =+≠.函数图象经过点()3,5和()4,9--∴3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：21k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为21y x =-.（17）一次函数与方程、不等式：①一次函数与方程的关系：函数值y 为某一特定值时，求自变量x 的值. ②一次函数与不等式的关系：函数值y 为某一范围时，求自变量x 的取值范围.（18）两个一次函数图象相交时，它们有相同的横坐标，相同的纵坐标.例：求函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标. 解：50.525x x +=+ 20x =把20x =代入5y x =+中得20525y =+=.∴函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标为()20,25. （19）一次函数的实际应用：①方案选择问题 ②租车问题. 两个问题的考察实则是考察自变量的取值范围 例题：重点掌握人教版教材109页的第15题.第二十章：数据的分析（1）算术平均数：一般地，我们把n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，的和与n 的比值，叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作“__x ”.即__12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.（2）加权平均数：一般地，若n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅的权分别是12,,,n w w w ⋅⋅⋅，则__112212n nnx w x w x w x w w w ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+叫做这n 个数的加权平均数.（3）在求n 个数的平均数时，如果1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次，（这里12k f f f n ++⋅⋅⋅+=），那么这n 个数的平均数为__1122k kx f x f x f x n++⋅⋅⋅+=.也叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅这k 个数的加权平均数，其中12,,,k f f f ⋅⋅⋅分别叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅的权.（4）中位数：将-组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.（5）众数：把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.（6）平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点.平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.当一组数据中某些数据多次重复出时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响.中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响.（7）方差：设__x 是n 个数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数，各个数据与平均数只差的平方的平均数，叫做这n 个数据的方差.用“2s ”表示，即：222______2121n s x x x x x x n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.（8）标准差：方差的算术平方根称为标准差.s =（9）极差：一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.。
人教版数学八年级下册第16章二次根式混合运算 综合测试卷(含答案)
人教版数学八年级下册第16章二次根式混合运算综合测试卷（含答案）一、填空题（本关共计 12小题，每题 3 分，共计36分）1. 若√2=a，√10=b，则√20用含a，b的式子表示是( )A.2aB.2bC.a+bD.ab2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.√20B.√13C.√27D.√123. 下列计算正确的是()A.3√2×4√2=12√2B.√(−9)×(−25)=√9×√−25=(−3)×(−5)=15C.−3√23=√(−3)2×23=6D.√132−122=√(13+12)(13−12)=54. 若m<0，n>0，把代数式m√n中的m移进根号内结果是()A.√m2nB.√−m2nC.−√m2nD.|√m2n|5. 计算：√2x⋅√12xy=()A.√xyB.x√yC.2x√yD.4x√y6. 若a，b为实数，且b=√a2−1+√1−a2a+7+4，则a+b的值为()A.±1B.4C.3或5D.57. 下列计算：①(√2)2=2；②√(−2)2=2；③(−2√3)2=12；④(√2+√3)(√2−√3)=−1．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8. 下列计算正确的是()A.√20=2√10B.√4−√2=√2C.√2×√3=√6D.√(−2)2=−29. 估计(2√30−√24)⋅√16的值应在()A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间10. 下列四个运算中，只有一个是正确的．这个正确运算的序号是（）①30+3−1＝−3；②√5−√2=√3；③(2a2)3＝8a5；④−a8÷a4＝−a4．A.①B.②C.③D.④11. 与√5可以合并的二次根式是( )A.√10B.√15C.√20D.√2512. 若a＝2−√7，则代数式a2−4a−2的值是（）A.9B.7C.√7D.1二、填空题（本关共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）×√2=________．13. 计算：√9214. √12×√3=________．)×√3=________．15. 计算：(√12+√1316. 计算(√3+1)(√3−1)的结果等于________．17. 如果最简二次根式a√1+a与√4a−2是同类二次根式，那么a=________．=________．18. 已知：m+n＝10，mn＝9，则√m−√n√m+√n三、解答题（本关共计49分）)−219. (5分) 算一算：√6×(−√2)+|1−√3|+(−13220. （15分）计算：(1)√27−13√18−√12；(2)(√20+√5+5)÷√5−√13×√24−√5；(3)√18−√92−√3+√6√3(√3−2)0+√(1−√2)2.21. （10分）计算：(1)(√48−√27)÷√3；(2)(√5−√3)(√5+√3)−(√2+√6)2.22. （10分）计算：(1)12√24−√3×2√2；(2)√32−4√18+√6×√23.23. （6分）已知实数x满足|1−x|−√x2−8x+16=2x−5，求x的取值范围．24.（10分）比一比看谁细心哟！（1）43−(√48÷√64)+√27（2）3√90+√25−4√14025.（10分）已知a＝2+√3，b＝2−√3，求（1）ab −ba；（2）a2−ab+b24参考答案1.D2.B3.D4.C5.B6.C7.D 8.C 9.B 10. D 11.C 12.D 13.3 14. 6 15.7 16. 2 17.1 18. ±12 19.【答案】原式＝−2√3+√3−1+9＝8−√3．20.【答案】解：(1)√27−13√18−√12=√3×9−13√2×9−√4×3 =3√3−√2−2√3=√3−√2.(2)(√20+√5+5)÷√5−√13×√24−√5 =√20÷√5+√5÷√5+5÷√5−√33×2√6−√5 =2+1+√5−2√2−√5=3−2√2.(3)√18−√92√3√6√3+(√3−2)0+√(1−√2)2 =3√2−3√22−(1+√2)+1+√2−1 =3√22−1.21.【答案】解：(1)原式=(4√3−3√3)÷√3=√3÷√3=1.(2)原式=5−3−(8+4√3)6 =5−3−8−4√3 =−6−4√3.22.【答案】解：(1)12√24−√3×2√2 =√6−2√6=−√6. (2)√32−4√1+√6×√2=4√2−√2+2=3√2+2.23.【答案】解：|1−x|−√x 2−8x +16 =|1−x|−|x −4| =x −1+x −4=2x −5，即1−x ≤0且x −4≤0， ∴ 1≤x ≤4，即x 的取值范围是1≤x ≤4． 24.【答案】原式=43−4√48×16+3√3 =43−8√2+3√3； 原式＝9√10+√105−√105＝9√10．25.【答案】当a ＝2+√3，b ＝2−√3时，原式=√32−√3√3 2+√3=(2+√3)2(2+√3)(2−√3)(2−√3)2(2+√3)(2−√3)=7+4√34−3−7−4√34−3＝7+4√3−7+4√3＝8√3；当a＝2+√3，b＝2−√3时，原式＝(a+b)2−3ab＝(2+√3+2−√3)2−3×(2+√3)(2−√3)＝16−3×(4−3)＝16−3＝13．。
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
【八下】二次根式的混合运算专项训练(50题)(人教版)(原卷版)
二次根式的混合运算专项训练（50题）考卷信息：本卷试题共50道大题，本卷试题针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了二次根式的混合运算的所有情况！一．解答题（共50小题）1．（2022春•安庆期末）计算：（1）√48÷√3+2√15×√30−（2√2+√3）2（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−√2)0−√(−4)2+√252．（2022春•岳池县期中）计算：√2×√6√3+（√3−2）2−√2（√2−√6）3．（2022春•朝阳县期末）计算：（1）12√12−（3√13+√2）；（2）（√3+1）（√3−1）+√24−（12）0．4．（2022春•越秀区校级期末）计算：（1）（2√12−6√13+3√48）÷2√3；（2）（2√5+5√2）（2√5−5√2）﹣（√5−√2）2．5．（2022春•围场县期末）计算：（1）√27×√50÷√6（2）（√12+√20）+（√3−√5）（3）23√9x+6√x4（4）（2√48−3√27）÷√6．6．（2022春•河东区期末）计算：（√3+√2）（√3−√2）−√54√6．7．（2022春•博乐市月考）计算：（1）√18+√98−√27（2）（π﹣1）0+（−12）﹣1+|5−√27|﹣2√3（3）（√48−14√6）÷√27；（4）|1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+…+|√99−√100|8．（2022秋•灞桥区校级月考）计算：（1）（√12−3√13）﹣（√18−√18）（2）√27−√60√3+2√5（3）（√2+√3）（√2−√3）+（2√2+3√3）2（4）（4√3−2√12+3√18）÷√13．9．（2022春•龙门县期末）计算：（3+√5）（3−√5）﹣（√3−1）2． 10．（2022春•保定期末）计算题（1）√27−√12（2）√27×√13−（√5+√3）（√5−√3）11．（2022春•鄞州区期中）计算：（1）2√10×√15+3√2；（2）（﹣2√6）2﹣（√5−√3）（√5+√3） 12．（2022春•龙口市期中）计算（1）（√2−√3）2+2√13•3√2；（2）（5√48−6√27+4√15）÷√3．13．（2022春•嘉兴期中）计算： （1）[√2−√(−2)2]⋅√2+2√2（2）（√5+1）2﹣（√5+1）（√5−1） 14．（2022春•天心区校级期中）计算：（1）（√20+√5+5）÷√5−√13×√24−√5； （2）√18−√92√3+√6√3+（√3−2）0+√(1−√2)2． 15．（2022春•定州市期末）计算：（1）√18−√2√82+（√5+1）0（2）（√a +√b ）2﹣（√a −√b ）2．16．（2022秋•雁塔区校级期中）（1）化简：√12+√27+14√48−15√13．（2）计算：（5+√6）（5√2−2√3）17．（2022秋•琅琊区校级期中）计算：（1）√18−√95−（√10−1）÷√5（2）（√12+5√8）⋅√3（3）√402−242（4）√8−√(1−√2)2+（π﹣2）0−√2|√2−√3| 18．（2022秋•资中县月考）计算：（1）（√3+2−√7）（√3−2−√7）（2）（√3+2−√7）2﹣（√3−2−√7）2．19．（2022春•卢龙县校级期中）计算（1）√214÷3√28×（﹣5√227）（2）3√12−3√13+12√48−√27（3）（√3+2）2007×（√3−2）2008（4）（√5+√2）2﹣（√5−√2）2．20．（2022春•潜江校级月考）计算（1）（√5√20−3√5）×√10；（2）√12−（﹣2013）0+（12）﹣1+|√3−1|；（3）5√15+12√20−（√3−2）（√3+2）；（4）（2√3−1）（√3+1）﹣6√48÷2√3−（3√2）2．21．（2022春•凉州区校级月考）计算：（1）√24（−√23+3√56+√5）；（2）√2−1+√18−4√12（3）（5√48−6√27+4√15）÷√3．22．（2022春•泰山区期中）计算：（1）√18+2√3−（√27−√2）；（2）﹣6√8×2√6÷4√27；（3）（√13+√2）（√13−√2）﹣（√3+2√2）2；（4）（6√32−5√12）（14√8+√23）23．（2022春•涿州市校级期中）计算：（1）（√24−√12）﹣（2√18+√6）（2）(√2−√3)2+2√13−3√2．24．（2022春•平舆县期中）计算（1）（3+2√5）2﹣（4+√5）（4−√5）﹣|24﹣12√5|（2）2√12×√34÷5√2+（2√48−3√27）÷√6．25．（2022春•江津区期中）计算：（1）√8+2√3−（√27−√2）；（2）（10√48−6√27+4√12）÷√12．26．（2022春•红桥区期中）计算下列各题（1）12√12•（3√13+√2）（2）√123÷√213×√125（3）√48−√54÷√2+（3−√3）（1√3）（4）（3+√7）（3−√7）﹣（1−√2）2．27．（2022春•防城港期中）计算：（1）3√3−√8+√2−√27；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）+（4√2−3√6）÷2√2．28．（2022春•武城县校级月考）计算（1）（2−√3）2013•（2+√3）2014﹣2|−√32|﹣（−√3）0 （2）（√48−4√18）﹣（3√13−2√0.5）29．（2022春•广饶县校级月考）计算： （1）√(−2)2+√10÷2√5−√13×√6． （2）（√3−2）2015•（√3+2）2016（3）2−√3+√27−√12+（√48−√24）÷√6（4）2√3−3√13−√8+12√12+15√50．30．（2022秋•通州区校级月考）计算：（1）（√5+√3）2﹣（√5−√3）2（2）（3√12−2√13+√48）÷2√3．31．（2022秋•广饶县校级月考）计算（1）（√48−√50+√75）（−√6）（2）√8−18√48−（23√412−2√34）（3）（1+√2）2（1+√3）2（1−√2）2（1−√3）2（4）（√3−2√5）（√15+5）﹣（√10−√2）2．32．（2022秋•浦东新区月考）计算：（1）√3+√12−3√18+7√2．（2）3√18×16√3÷2√6（3）√3√3−1．（4）8√a2b÷2√ab×√ab（a＞0）．33．（2022春•红桥区期中）计算下列各式．（Ⅰ）（√3−√2）（4√12+√3）−√6；（Ⅱ）（a√8a+√32a3）÷√2a．34．（2022春•伽师县校级期中）计算（1）5√ab•（﹣4√a2b）（2）(−1)101+(π−3)0+(12)−1−√(1−√2)2．35．（2022春•茌平县校级月考）计算（1）√15×√48−√12×√274；（2）（√2−√3）2﹣（√2+√3）2（3）（2+√3）（2−√3）+（﹣1）2016（2﹣π）0﹣（−12）﹣1（4）（√5+√3−√2）（√5−√3+√2）36．（2022春•芝罘区校级月考）计算：（1）√12x −√12x +√127x −√50x（2）(32√3−√12)÷12√3；（3）12√10•（3√15−5√6）（4）(2√5−√3)2．37．（2022春•上杭县校级月考）计算：（1）(√24−√2)−(√8+√6)；（2）(2−√3)2013⋅(2+√3)2014−2|−√32|−(−√3)0（3）(√6+√2)(√6−√2)（4）(2√48−3√27)÷√6（5）(√48−4√18)−(3√13−2√0.5)（6）√8×√12+(√2)0．38．（2022秋•商河县校级期中）计算（1）√17+√28−√700（2）√72−√16√8−（√3+√2）（√3−√2）（3）2√32−3√12+（2√2−1）2．39．（2022秋•桐柏县校级月考）计算：（1）3√12x ×12√3xy ÷(−34√3x 2y )； （2）(√12−√0.5−3√13)−(√75−√18+10√150)； （3）(2√2+√3)(2√2−√3)−√(−2)2+√3+2．40．（2022秋•桐柏县校级月考）计算：1+√2√2+√3√3+√4+⋯√2012+√2013．41．（2022秋•三台县月考）计算：5√15+12√20−√54×√45+√45÷√5．42．（2022春•北京校级期中）计算：（1）√8+2√3−(√27−√2)（2）√12×√6√18(√6+2)(2−√6)（3）34√16a+6√a9−3a√1a．43．（2022秋•北川县校级期中）计算：(2√5+√6)(2√5−√6)+√5−√(1−√5)2．44．计算（1）2√18−√12−（√18+√2−2√13）；（2）2b √ab5•（−32√a3b）÷3√ba（a＞0，b＞0）45．（2022春•文昌校级月考）计算√1+x√1+x+√1−x√1−x2−1+x．46．（2022秋•阳山县期中）计算：（√7−√13）（√7+√13）+（√3+1）2√6×√3√2+|−√3|．47．（2022春•文昌校级月考）计算：①（3√2−√12）（√18+2√3）②（232−√12）×（12√8+√23）③2y √xy5（−32√x3y）÷（13√yx）④√122−√3（2+√3）2．48．（2022春•涪陵区校级期中）计算：4−√113+√73−√7−√7√11．49．（2022春•文昌校级月考）计算与化简（1）√50−（√8+25√12）+√(√2−3)2；（2）√214÷3√28×(−5√227)；（3）5x2√xy÷12√x3y ⋅3√y2x（x＞0，y＞0）；（4）(√5+√2)2−(√5−√2)2．50．（2022春•文昌校级月考）计算：(√2+√1√3+√2√4+√3+⋯√2005+√2004)(√2005+1)二次根式的混合运算专项训练（50题）【答案版】考卷信息：本卷试题共50道大题，本卷试题针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了二次根式的混合运算的所有情况！一．解答题（共50小题）1．（2022春•安庆期末）计算：（1）√48÷√3+2√15×√30−（2√2+√3）2（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−√2)0−√(−4)2+√25【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算．【解答】解：（1）原式=√48÷3+2√15×30−（8+4√6+3）＝4+2√6−11﹣4√6＝﹣7﹣2√6；（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5＝4﹣1﹣4+5＝4．2．（2022春•岳池县期中）计算：√2×√6√3+（√3−2）2−√2（√2−√6）【分析】利用乘法公式展开，化简后合并同类二次根式即可．【解答】解：√2×√6√3+（√3−2）2−√2（√2−√6）＝2+3﹣4√3+4﹣2+2√3＝7﹣2√33．（2022春•朝阳县期末）计算：（1）12√12−（3√13+√2）；（2）（√3+1）（√3−1）+√24−（12）0．【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（2）利用平方差公式和零指数幂的意义计算．【解答】解：（1）原式=√3−√3−√2=−√2；（2）原式＝3﹣1+2√6−1＝1+2√6．4．（2022春•越秀区校级期末）计算：（1）（2√12−6√13+3√48）÷2√3；（2）（2√5+5√2）（2√5−5√2）﹣（√5−√2）2．【分析】（1）先计算括号，再计算除法即可；（2）利用乘法公式计算即可；【解答】解：（1）（2√12−6√13+3√48）÷2√3；＝（4√3−2√3+12√3）÷2√3＝14√3÷2√3＝7（2）（2√5+5√2）（2√5−5√2）﹣（√5−√2）2．＝（2√5）2﹣（5√2）2﹣（5﹣2√10+2）＝20﹣50﹣（7﹣2√10）＝﹣37+2√10．5．（2022春•围场县期末）计算：（1）√27×√50÷√6（2）（√12+√20）+（√3−√5）（3）23√9x+6√x4（4）（2√48−3√27）÷√6．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则运算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（4）先把括号内的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：（1）原式＝3√3×5√2÷√6＝15；（2）原式＝2√3+2√5+√3−√5＝3√3+√5；（3）原式＝2√x+3√x＝5√x；（4）原式＝（8√3−9√3）÷√6=−√3÷√6=−√2．26．（2022春•河东区期末）计算：（√3+√2）（√3−√2）−√54．√6【分析】先利用平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后进行加减运算．【解答】解：原式＝3﹣2−√546＝1﹣3＝﹣2．7．（2022春•博乐市月考）计算：（1）√18+√98−√27（2）（π﹣1）0+（−1）﹣1+|5−√27|﹣2√32√6）÷√27；（3）（√48−14（4）|1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+…+|√99−√100|【分析】（1）首先化简二次根式进而合并求出答案；（2）首先利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案；（3）首先化简二次根式，进而利用二次根式除法运算法则求出答案；（4）直接去绝对值，进而求出答案．【解答】解：（1）√18+√98−√27＝3√2+7√2−3√3＝10√2−3√3；（2）（π﹣1）0+（−1）﹣1+|5−√27|﹣2√32＝1﹣2+3√3−5﹣2√3（3）（√48−14√6）÷√27＝（4√3−√64）÷3√3 =43−√212；（4）|1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+…+|√99−√100|=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1＝9．8．（2022秋•灞桥区校级月考）计算：（1）（√12−3√13）﹣（√18−√18） （2）√27−√60√3+2√5 （3）（√2+√3）（√2−√3）+（2√2+3√3）2（4）（4√3−2√12+3√18）÷√13． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可；（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（3）利用平方差各完全平方公式计算；（4）先把各二次根式化为最简二次根式和除法运算化为乘法运算，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算． 【解答】解：（1）原式＝2√3−√3−√24+3√2 =√3+11√24； （2）原式=√273−√603+2√5＝3﹣2√5+2√5＝3；（3）原式＝2﹣3+8+12√6+27（4）原式＝（4√3−4√3+9√2）÷√3＝9√2•√3＝9√6．9．（2022春•龙门县期末）计算：（3+√5）（3−√5）﹣（√3−1）2．【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算，再进一步合并即可．【解答】解：原式＝9﹣5﹣4+2√3＝2√3．10．（2022春•保定期末）计算题（1）√27−√12−（√5+√3）（√5−√3）（2）√27×√13【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘法法则和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝3√3−2√3=√3；−（5﹣3）（2）原式=√27×13＝3﹣2＝1．11．（2022春•鄞州区期中）计算：+3√2；（1）2√10×√15（2）（﹣2√6）2﹣（√5−√3）（√5+√3）【分析】（1）先计算乘法，再合并同类二次根式即可得；（2）先计算乘方、利用平方差公式计算，再进一步计算可得答案．+3√2【解答】解：（1）原式＝2×√10×15＝2√2+3√2＝5√2；（2）原式＝24﹣（5﹣3）＝24﹣2＝22．12．（2022春•龙口市期中）计算（1）（√2−√3）2+2√1•3√2；3（2）（5√48−6√27+4√15）÷√3．【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．×3√2【解答】解：（1）原式＝2﹣2√6+3+2√33＝5﹣2√6+2√6＝5；（2）原式＝（2022√3+4√15）÷√3＝（2√3+4√15）÷√3＝2+4√5．13．（2022春•嘉兴期中）计算：（1）[√2−√(−2)2]⋅√2+2√2（2）（√5+1）2﹣（√5+1）（√5−1）【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的乘法法则运算，最后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝（√2−2）•√2+2√2＝2﹣2√2+2√2＝2；（2）原式＝5+2√5+1﹣（5﹣1）＝6+2√5−4＝2+2√5．14．（2022春•天心区校级期中）计算：×√24−√5；（1）（√20+√5+5）÷√5−√13（2）√18−√92√3+√6√3+（√3−2）0+√(1−√2)2．【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果；（2）原式各项后，计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝（√4+1+√5）−√8−√5=3+√5−2√2−√5=3﹣2√2；（2）原式＝3√2−32√2−（1+√2）+1+（√2−1）=32√2−1−√2+1+√2−1=32√2−1．15．（2022春•定州市期末）计算：（1）√18−√2√82+（√5+1）0（2）（√a+√b）2﹣（√a−√b）2．【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂的性质计算；（2）根据完全平方公式把原式展开，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）√18√2−√82+（√5+1）0＝3√2−√2−√2+1=√2+1；（2）（√a+√b）2﹣（√a−√b）2＝a+2√ab+b﹣a+2√ab−b＝4√ab．16．（2022秋•雁塔区校级期中）（1）化简：√12+√27+14√48−15√13．（2）计算：（5+√6）（5√2−2√3）【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）把后面括号内提√2，然后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝2√3+3√3+√3−5√3=√3；（2）原式＝（5+√6）•√2（5−√6）=√2×（25﹣6）＝19√2．17．（2022秋•琅琊区校级期中）计算：（1）√18−√95−（√10−1）÷√5（2）（√12+5√8）⋅√3（3）√402−242（4）√8−√(1−√2)2+（π﹣2）0−√2|√2−√3|【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先利用平方差公式计算根号内的运算，然后利用二次根式的乘法法则运算；（4）根据二次根式的性质和零指数幂的意义运算．【解答】解：（1）原式＝3√2−3√55−√10÷5+√1÷5＝3√2−3√55−√2+√55＝2√2−2√55；（2）原式=√12×3+5√8×3＝6+10√6；（3）原式=√(40+24)(40−24)=√64×√16＝8×4＝32；（4）原式＝2√2+1−√2+1−√22+√3−√2＝2+√3−√22．18．（2022秋•资中县月考）计算：（1）（√3+2−√7）（√3−2−√7）（2）（√3+2−√7）2﹣（√3−2−√7）2．【分析】（1）原式变形为[(√3−√7)+2][(√3−√7)−2]，利用平方差公式计算可得；（2）利用平方差公式计算即可得．【解答】解：（1）(√3+2−√7)(√3−2−√7)=[(√3−√7)+2][(√3−√7)−2]，=(√3−√7)2−22，＝3﹣2√21+7﹣4，＝6﹣2√21；（2）(√3+2−√7)2−(√3−2−√7)2=[(√3+2−√7)+(√3−2−√7)]⋅[(√3+2−√7)−(√3−2−√7)]，=(2√3−2√7)×4，=8√3−8√7．19．（2022春•卢龙县校级期中）计算（1）√214÷3√28×（﹣5√227）（2）3√12−3√13+12√48−√27（3）（√3+2）2007×（√3−2）2008（4）（√5+√2）2﹣（√5−√2）2．【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据积的乘方得到原式＝[（√3+2）（√3−2）]2007•（√3−2），然后利用平方差公式计算；（4）先利用完全平方公式计算，然后去括号后合并即可．【解答】解：（1）原式=13×（﹣5）×√94×128×167=−57；（2）原式＝6√3−√3+2√3−3√3＝4√3；（3）原式＝[（√3+2）（√3−2）]2007•（√3−2）＝（3﹣4）2007•（√3−2）＝2−√3；（4）原式＝5+2√10+2﹣（5﹣2√10+2）＝7+2√10−7+2√10＝4√10．20．（2022春•潜江校级月考）计算（1）（√5√20−3√5）×√10；（2）√12−（﹣2013）0+（12）﹣1+|√3−1|；（3）5√15+12√20−（√3−2）（√3+2）；（4）（2√3−1）（√3+1）﹣6√48÷2√3−（3√2）2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算；（3）先利用平方差公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（4）先利用二次根式的乘除法则运算，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝（√55+2√5−3√5）×√10=−4√55×√10＝﹣4√2；（2）原式＝2√3−1+2+√3−1＝3√3；（3）原式=√5+√5−（3﹣4）＝2√5+1；（4）原式＝6+2√3−√3−1﹣3√48÷3−18＝6+√3−1﹣12﹣18=√3−25．21．（2022春•凉州区校级月考）计算：（1）√24（−√23+3√56+√5）；（2）√2−1+√18−4√12（3）（5√48−6√27+4√15）÷√3．【分析】（1）先进行二次函数的乘法运算，然后化简后合并即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用二次根式的除法法则运算．【解答】解：（1）原式＝2√6（−√63+√302+√5）＝﹣4+6√5+2√30；（2）原式＝2（√2+1）+3√2−2√2＝2√2+2+√2＝3√2+2；（3）原式＝5√48÷3−6√27÷3+4√15÷3＝20﹣18+4√5＝2+4√5．22．（2022春•泰山区期中）计算：（1）√18+2√3−（√27−√2）；（2）﹣6√8×2√6÷4√27；（3）（√13+√2）（√13−√2）﹣（√3+2√2）2；（4）（6√32−5√12）（14√8+√23）【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘除法则运算；（3）利用平方差公式和完全平方公式计算；（4）先把二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式＝3√2+2√3−3√3+√2＝4√2−√3；（2）原式＝﹣6×2×14×√8×6×127＝﹣4；（3）原式＝13﹣2﹣（3+4√6+8）＝11﹣11﹣4√6＝﹣4√6；（4）原式＝（3√6−5√22）（√22+√63）＝3√3+6−52−5√33=72+4√33．23．（2022春•涿州市校级期中）计算：（1）（√24−√12）﹣（2√18+√6）（2）(√2−√3)2+2√13−3√2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式即可．【解答】解：（1）原式＝2√6−√22−√22−√6=√6−√2；（2）原式＝2﹣2√6+3+2√33−3√2＝5﹣2√6+2√33−3√2．24．（2022春•平舆县期中）计算（1）（3+2√5）2﹣（4+√5）（4−√5）﹣|24﹣12√5|（2）2√12×√34÷5√2+（2√48−3√27）÷√6．【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式＝9+12√5+20﹣（16﹣5）+24﹣12√5＝42；（2）原式=12×15√12×3×12+（8√3−9√3）÷√6=3√210−√22=−√25．25．（2022春•江津区期中）计算：（1）√8+2√3−（√27−√2）；（2）（10√48−6√27+4√12）÷√12．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：（1）原式＝2√2+2√3−3√3+√2＝3√2−√3；（2）原式＝（40√3−18√3+8√3）÷2√3＝30√3÷2√3＝15．26．（2022春•红桥区期中）计算下列各题（1）12√12•（3√13+√2）（2）√123÷√213×√125（3）√48−√54÷√2+（3−√3）（1√3）（4）（3+√7）（3−√7）﹣（1−√2）2．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算；（3）先把（3−√3）提√3，再利用平方差公式计算，然后进行二次根式的除法法则运算后合并即可；（4）利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式=12×3×√12×13+12×√12×2＝3+√6；（2）原式=√53×37×75＝1；（3）原式＝4√3−√54÷2+√3（√3−1）×√3+1√3＝4√3−3√3+3﹣1=√3+2；（4）原式＝9﹣7﹣（1﹣2√2+2）＝2﹣3+2√2＝2√2−1．27．（2022春•防城港期中）计算：（1）3√3−√8+√2−√27；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）+（4√2−3√6）÷2√2．【分析】（1）先化简二次根式，再合并二次根式即可；（2）根据二次根式的除法以及平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝3√3−2√2+√2−3√3=−√2；（2）原式＝（2√3）2﹣（√6）2+2−32√3＝6+2−32√3＝8−32√3．28．（2022春•武城县校级月考）计算（1）（2−√3）2013•（2+√3）2014﹣2|−√32|﹣（−√3）0（2）（√48−4√18）﹣（3√13−2√0.5）【分析】（1）根据平方差公式和零指数幂可以解答本题；（2）先化简题目中的式子，再根据二次根式的加减法即可解答本题．【解答】解：（1）（2−√3）2013•（2+√3）2014﹣2|−√32|﹣（−√3）0=[(2−√3)(2+√3)]2013⋅(2+√3)−2×√32−1=2+√3−√3−1＝1；（2）（√48−4√18）﹣（3√13−2√0.5）=(4√3−√2)−(√3−√2)=4√3−√2−√3+√2=3√3．29．（2022春•广饶县校级月考）计算：（1）√(−2)2+√10÷2√5−√13×√6．（2）（√3−2）2015•（√3+2）2016（3）2−√3+√27−√12+（√48−√24）÷√6 （4）2√3−3√13−√8+12√12+15√50．【分析】（1）首先化简二次根式进而合并求出答案；（2）首先乘法公式以及二次根式乘法化简进而求出答案；（3）分别化简二次根式进而合并求出答案；（4）首先化简二次根式进而合并求出答案．【解答】解：（1）√(−2)2+√10÷2√5−√13×√6＝2+√10÷√20−√13×6＝2+√12−√2＝2−√22；（2）（√3−2）2015•（√3+2）2016＝[（√3−2）（√3+2）]2015×（√3+2）＝﹣（√3+2）=−√3−2；（3）2−√3+√27−√12+（√48−√24）÷√6＝2+√3+3√3−√22+2√2−2＝4√3+3√22；（4）2√3−3√13−√8+12√12+15√50＝2√3−√3−2√2+√3+√2＝2√3−√2．30．（2022秋•通州区校级月考）计算：（1）（√5+√3）2﹣（√5−√3）2（2）（3√12−2√13+√48）÷2√3．【分析】结合二次根式混合运算的运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）原式＝5+3+2√15−5﹣3+2√15＝4√15．（2）原式＝（6√3−2√33+4√3）÷2√3=28√332√3=143．31．（2022秋•广饶县校级月考）计算（1）（√48−√50+√75）（−√6）（2）√8−18√48−（23√412−2√34）（3）（1+√2）2（1+√3）2（1−√2）2（1−√3）2（4）（√3−2√5）（√15+5）﹣（√10−√2）2．【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用平方差公式计算；（4）利用乘方公式展开，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝（4√3−5√2+5√3）•（−√6）＝（9√3−5√2）•（−√6）＝﹣27√2+10√3；（2）原式＝2√2−√32−√2+√3=√2+√32；（3）原式＝[（1+√2）（1−√2）]2•[（1+√3）（1−√3）]2＝（1﹣2）2•（1﹣3）2＝1×4＝4；（4）原式＝3√5+5√3−10√3−10√5−（10﹣4√5+2）＝3√5+5√3−10√3−10√5−10+4√5−2＝﹣3√5−5√3−12．32．（2022秋•浦东新区月考）计算：（1）√3+√12−3√18+7√2．（2）3√18×16√3÷2√6（3）√3√3−1．（4）8√a2b÷2√ab×√ab（a＞0）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘除法则运算；（3）先分母有理化，然后合并即可；（4）利用二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式=√3+2√3−9√2+7√2＝3√3−2√2；（2）3×16×12×√18×3×16=34；（3）原式＝2√3−（√3+1）＝2√3−√3−1=√3−1；（4）原式＝8×12×√a2b×1ab×ab=4a√bb．33．（2022春•红桥区期中）计算下列各式．（Ⅰ）（√3−√2）（4√12+√3）−√6；（Ⅱ）（a√8a+√32a3）÷√2a．【分析】（1）先化简二次根式，再根据乘法分配律去括号，最后合并可得；（2）先化简二次根式，再合并括号内同类二次根式，最后计算除法即可得．【解答】解：（Ⅰ）原式＝（√3−√2）（2√2+√3）−√6＝2√2×√3+（√3）2﹣2√2×√2−√2×√3−√6＝2√6+3﹣4−√6−√6＝﹣1；（Ⅱ）原式＝（2√2a•√a+4√2a•√a）÷√2a＝6√2a•√a÷（√2•√a）＝6a．34．（2022春•伽师县校级期中）计算（1）5√ab•（﹣4√a2b）（2）(−1)101+(π−3)0+(12)−1−√(1−√2)2．【分析】（1）根据二次根式的乘方法则化简即可．（2）根据负指数、零指数幂的性质化简计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣20√a3b2=−20ab√a．（2）原式＝﹣1+1+2﹣（√2−1）＝3−√235．（2022春•茌平县校级月考）计算（1）√15×√48−√12×√274；（2）（√2−√3）2﹣（√2+√3）2（3）（2+√3）（2−√3）+（﹣1）2016（2﹣π）0﹣（−12）﹣1（4）（√5+√3−√2）（√5−√3+√2）【分析】（1）先化简二次根式再进行计算即可；（2）运用平方差公式进行计算即可；（3）根据平方差公式、零指数幂、负指数幂进行计算即可；（4）根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝12√5−9；（2）原式＝（√2−√3+√2+√3）（√2−√3−√2−√3）＝2√2×（﹣2√3）＝﹣4√6；（3）原式＝4﹣3+1+2＝4；（4）原式＝[√5+（√3−√2）][√5−（√3−√2）]＝（√5）2﹣（√3−√2）2＝5﹣（3+2﹣2√6）＝5﹣5+2√6＝2√6．36．（2022春•芝罘区校级月考）计算：（1）√12x−√12x+√127x−√50x（2）(32√3−√12)÷12√3；（3）12√10•（3√15−5√6）（4）(2√5−√3)2．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的除法法则运算；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）利用完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝2√3x −√2x 2+√3x 9−5√2x=19√3x 9−11√2x 2；（2）原式=32•2﹣2√4＝3﹣4＝﹣1；（3）原式=32√10×15−52√10×6=15√62−5√15；（4）原式＝20﹣4√15+3＝23﹣4√15．37．（2022春•上杭县校级月考）计算：（1）(√24−√2)−(√8+√6)；（2）(2−√3)2013⋅(2+√3)2014−2|−√32|−(−√3)0（3）(√6+√2)(√6−√2)（4）(2√48−3√27)÷√6（5）(√48−4√18)−(3√13−2√0.5)（6）√8×√12+(√2)0．【分析】（1）先化简二次根式，然后合并二次根式；（2）根据同底数幂的乘法和积的乘方、绝对值的性质以及零指数的意义进行计算，求出即可．（3）利用乘法公式计算；（4）根据多项式除以单项式的法则进行计算；（5）去括号，化简二次根式，然后合并二次根式；（6）根据混合运算的顺序进行计算．【解答】解：（1）(√24−√2)−(√8+√6)＝2√6−√2−2√2−√6=√6−3√2；（2）(2−√3)2013⋅(2+√3)2014−2|−√32|−(−√3)0＝[（2−√3）（2+√3）]2013（2+√3）−√3−1＝2+√3−√3−1＝1；（3）(√6+√2)(√6−√2)＝6﹣2＝4；（4）(2√48−3√27)÷√6＝4√2−92√2=−√22；（5）(√48−4√18)−(3√13−2√0.5)＝4√3−√2−√3+√2＝3√3；（6）√8×√12+(√2)0＝2+1＝3．38．（2022秋•商河县校级期中）计算（1）√17+√28−√700（2）√72−√16√8−（√3+√2）（√3−√2）（3）2√32−3√12+（2√2−1）2．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的除法法则和平方差公式计算；（3）先根据完全平方公式计算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式=√77+2√7−10√7=−55√77；（2）原式=√728−√168−（3﹣2）＝3−√2−1＝2−√2；（3）原式＝8√2−3√22+8﹣4√2+1=5√22+9．39．（2022秋•桐柏县校级月考）计算：（1）3√12x ×12√3xy ÷(−34√3x 2y )；（2）(√12−√0.5−3√13)−(√75−√18+10√150)；（3）(2√2+√3)(2√2−√3)−√(−2)2+√3+2．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（3）先利用平方差公式计算，再根据二次根式的性质计算和分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3×12×（−43）√12x ⋅3xy ⋅x 2y3 ＝﹣4√3；（2）原式＝2√3−√22−√3−5√3+3√2−√2 ＝﹣4√3+3√22；（3）原式＝8﹣3﹣2+2−√3＝5−√3．40．（2022秋•桐柏县校级月考）计算：1+√2√2+√3√3+√4+⋯√2012+√2013．【分析】先分母有理化，再合并同类项即可．【解答】解：1+√2√2+√3√3+√4+⋯+√2012+√2013=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2013−√2012 =√2013−1．41．（2022秋•三台县月考）计算：5√15+12√20−√54×√45+√45÷√5．【分析】首先化简二次根式，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝5×√55+12×2√5−1+3=√5+√5+2＝2√5+2．42．（2022春•北京校级期中）计算：（1）√8+2√3−(√27−√2)（2）√12×√6√18(√6+2)(2−√6)（3）34√16a+6√a9−3a√1a．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（2）先利用二次根式的乘除法则和平方差公式计算，然后合并即可；（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝2√2+2√3−3√3+√2＝3√2−√3；（2）原式=√12×618+4﹣（√6）2＝2+4﹣6＝0；（3）原式＝3√a+2√a−3√a＝2√a．43．（2022秋•北川县校级期中）计算：(2√5+√6)(2√5−√6)+√5−√(1−√5)2．【分析】原式第一项利用平方差公式化简，最后一项利用二次根式的化简公式化简，合并即可得到结果．【解答】解：原式＝20﹣6+√5−（√5−1）＝20﹣6+√5−√5+1＝15．44．计算（1）2√18−√12−（√18+√2−2√13）；（2）2b √ab5•（−32√a3b）÷3√ba（a＞0，b＞0）【分析】（1）原式各项化为最简二次根式后，合并即可得到结果；（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝2×√24−√22−3√2−√2+2√33=2√33−4√2；（2）原式＝2b√ab•（−3a2√ab）÷3√aba=−3a2b2•3√ab=−a2b√ab．45．（2022春•文昌校级月考）计算√1+x√1+x+√1−x√1−x2−1+x．【分析】观察式子，后一部分可提公因式再约分计算．【解答】解：原式=√1+x√1+x+√1−x√1−x(√1+x−√1−x)，=√1+x(√1+x−√1−x)+√1−x(√1+x+√1−x)(√1+x+√1−x)(√1+x−√1−x)=1+x−√1−x2+√1−x2+1−x1+x−1+x，=22x，=1x．46．（2022秋•阳山县期中）计算：（√7−√13）（√7+√13）+（√3+1）2√6×√3√2+|−√3|．【分析】先利用乘法公式计算，再进行二次根式的乘除法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝7﹣13+3+2√3+1﹣3+√3＝﹣5+3√3．47．（2022春•文昌校级月考）计算：①（3√2−√12）（√18+2√3）②（232−√12）×（12√8+√23）③2y √xy5（−32√x3y）÷（13√yx）④√122−√3（2+√3）2．【分析】①利用平方差公式计算；②先把各二次根式化为最简二次根式，然后利用多项式乘多项式展开即可；③根据二次根式的乘除法则运算；④先利用完全平方公式计算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：①原式＝（3√2−2√3）（3√2+2√3）＝（3√2）2﹣（2√3）2＝18﹣12＝6；②原式＝（72−√22）•（√2+√63）=7√22+7√66−1−√33；③原式=2y •（−32）•3•√xy5⋅x3y⋅xy＝﹣9x2y√xy；④原式＝2√3+2+√3−（4+4√3+3）＝3√3+2﹣7﹣4√3=−√3−5．48．（2022春•涪陵区校级期中）计算：4−√113+√73−√7−√7√11．【分析】首先利用分母有理化的方法将各项化为最简二次根式，然后合并同类项即可解答．【解答】解：原式＝4+√11+32−√72+32+√72−√11−√7711=7−√7711．49．（2022春•文昌校级月考）计算与化简（1）√50−（√8+25√12）+√(√2−3)2；（2）√214÷3√28×(−5√227)；（3）5x2√xy÷12√x3y ⋅3√y2x（x＞0，y＞0）；（4）(√5+√2)2−(√5−√2)2．【分析】（1）原式利用二次根式的化简公式变形，合并即可得到结果；（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果；（3）原式利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；（4）原式利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝5√2−2√2−25×√22+3−√2=9√25+3；（2）原式=32×6√7×（−20√77）=−57；（3）原式＝5x2÷12×3√xy×yx3×y2x=5x24•2x√x=5y2√x4；（4）原式＝7+2√10−（7﹣2√10）＝4√10．50．（2022春•文昌校级月考）计算：(√2+√1√3+√2√4+√3+⋯√2005+√2004)(√2005+1)．【分析】把各项分母有理化得：√2+√1=√2−1，√3+√2=√3−√2，√4+√3=√4−√3，√2005+√2004=√2005−√2004，据此作答．【解答】解：原式＝（√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2005−√2004）（√2005+1）＝（√2005−1）（√2005+1）＝2005﹣1＝2004．。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
16.3.2 二次根式的混合运算-人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册16.3.2 二次根式的混合运算同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．计算：（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将括号内化为最简二次根式，合并，再计算除法即可．【详解】故选B．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．3．化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分子分母同时乘以即可求解．【详解】解：．故选B．【点睛】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．4．估计的值在（ ）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【答案】B【分析】先根据二次根式的混合计算法则计算原式，然后对所得的结果进行估算即可得到答案．【详解】解：，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，正确根据二次根式的相关计算法则求出原式的结果是解题的关键．5．与的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．以上都不对【答案】A【分析】根据与的积为1，可得出与互为倒数，再选择即可．【详解】解：，与互为倒数，【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题时要注意观察式子的形式，灵活借助平方差公式进行运算．6．已知，，则的值为（）A．-32B．32C．D．【答案】C【分析】直接将原式变形，结合因式分解、二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．【详解】解：∵，，∴＝ab（a﹣b）＝（4+2）（4﹣2）（4+24+2）＝（16﹣20）×4＝﹣16．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用因式分解是解题关键．7．计算：的结果是（）A．B．6C．D．【答案】C【分析】利用平方差公式及积的乘方的法则对式子进行运算，从而可求解．【详解】解：=====【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二、填空题：8．计算：＝_____．【答案】【分析】利用二次根式的乘法法则和加减运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．9．计算：______．【答案】##【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及二次根式的混合运算法则．10．化简：_____．【答案】【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简．【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键．11．比较大小_____．【分析】利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．【详解】解：作差法可得：，∵与0的大小并不能直接观察得出，∴利用平方法比较与的大小，∵，又∵，∴，则，∴即＜0，∴，得出：，故答案为：．【点睛】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．12．已知，，则的值为_________．【答案】【分析】先把二次根式进行化简，然后把，，代入计算，即可得到答案.【详解】解：=，∵，，∴原式=；故答案为：.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.13．已知，，则ab＝_____；a2+b2＝_____．【答案】 1 14【分析】先求出a+b、ab，再利用平方差公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：∵，，∴a+b＝2+2﹣＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1．∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2＝14．故答案为：1，14．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．三、解答题：14．计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．……第一步……第二步……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】一；运用完全平方公式错误，去括号错误；；注意二次根式的化简要彻底（答案不唯一，合理即可）【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：任务一：根据题意可得第一步错误，错误的原因是运用完全平方公式错误，去括号错误；故答案为：一；运用完全平方公式错误，去括号错误；任务二：；任务三：除上述错误外，二次根式的化简要彻底．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．15．计算：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（2）首先利用平方差公式以及完全平方公式化简求出即可；（3）首先运算乘法和化简，以及进行零次幂的运算，最后再进行合并，即可求解；（4）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（5）首先绝对值运算，负指数幂运算，利用平方差公式进行化简，再进行合并，即可求解；（6）首先运算乘法和化简，再进行合并，最后进行除法运算，即可求解．【详解】（1）解：原式==；（2）解：原式==；（3）解：原式===；（4）解：原式===；（5）解：原式====；（6）解：原式===．【点睛】此题考查实数的运算，二次根式的混合运算，负指数幂、零次幂的运算，正确应用乘法公式是解题关键．16．先化简．再求代数式的值，其中【答案】，【分析】先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把x的值代入计算即可求解．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查分式化简求值，二次根式化简，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．17．已知，求的值．【答案】【分析】先化简，然后计算的值，再根据完全平方公式变形求得代数式的值．【详解】解：∵∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．已知，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计算即可.【详解】解：当x＞0，y＞0时，=2=；当x＜0，y＜0时，=-2=-；综上所述本题答案应为：C.【点睛】二次根式的化简求值是本题的考点，分类讨论是解题的关键.2．对于任意的正数m，n定义运算※为：，计算的结果为（ ）A．2﹣4B．3C．2D．20【答案】B【分析】根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．3．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】欲求S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，SLMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，进而解决此题．正方形【详解】解：如图：由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，∴HC=4cm，LM=LF=cm．∴S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF=HL•LF+MC•ME=HL•LF+MC•LF=（HL+MC）•LF=（HC-LM）•LF==cm2．故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．二、填空题：4．设实数的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝_____．【答案】##【分析】根据题意先估算的大小，求得的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：∵实数的整数部分为a，小数部分为b，，∴；（2a+b）（2a﹣b）＝．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，平方差公式，求得的值是解题的关键．5．观察下列三个等式：①；②；③；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式________________．【答案】【分析】利用数字之间的变化规律：，，…进而得出等式的规律，求解即可．【详解】解：可化为：，可化为：，可化为：，∴用n（n为正整数且n≥2）表示以上各等式所反映的规律为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数字变化的规律性问题，分式的规律性问题，二次根式的应用等知识，根据已知数据得出数字之间的关系是解题的关键．三、解答题：6．（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据阴影部分面积=边长为的正方形面积-边长为的正方形面积求解即可；（2）分别求出图2中长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得；（2）由题意得，图2中长方形的长为：，图2中长方形的宽为：，∴；【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，完全平方公式和平方差公式，正确得到阴影部分的面积与图1与图2中图形的关系是解题的关键．7．比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．【详解】解：（1），，∴＞，，，∴＞，，，∴=，故答案为：＞，＞，=；（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．8．已知且，求的值．【答案】【分析】根据完全平方公式可得，然后由题意及平方差公式可进行求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键．。
八年级数学下册《二次根式的混合运算》教案、教学设计
3.创设情境，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂力，提高解题效率，增强学生自信心。
在此基础上，教师应充分了解学生的需求，调整教学策略，使学生在本章节的学习中取得更好的效果。
（四）课堂练习
1.教学内容：通过课堂练习，巩固二次根式混合运算知识。
教学过程：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成。
-教师巡回指导，解答学生疑问，纠正错误。
-选取部分学生的作业进行展示，让学生互评，教师总结。
-针对共性问题，进行讲解，帮助学生巩固知识。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，梳理知识体系。
（二）教学设想
1.采用情境教学法，导入实际问题时，让学生感受到数学知识在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2.采用问题驱动法，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并理解二次根式混合运算的法则。
3.教学过程中，注重分层教学，针对不同水平的学生设计不同难度的题目，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生严谨、细致的学习态度，提高数学学习的自信心；
2.培养学生合作交流、互相帮助的精神，增强团队意识；
3.激发学生对数学美的追求，培养学生的审美情趣；
4.引导学生认识到数学在现实生活中的应用价值，提高学生的数学素养。
在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时调整教学方法，使学生在掌握知识的同时，提高能力，培养良好的情感态度与价值观。
教学过程：
-利用多媒体展示一个实际情景：小华家有一块长方形的菜地，长是2√3米，宽是√5米，他想计算菜地的面积。
-提问：同学们，你们知道这块菜地的面积是多少吗？我们可以用二次根式来表示它的面积，那么如何进行计算呢？
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
人教版数学八年级下册16.3二次根式的混合运算优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学八年级下册16.3二次根式的混合运算，学生在学习了二次根式的性质和乘除运算法则后，对二次根式的混合运算有了基本的认识和理解。但在实际操作中，学生往往对运算顺序、运算律的应用以及如何合理化简二次根式存在困惑。因此，设计本节课的教学案例，旨在通过实例解析，让学生掌握二次根式的混合运算方法，提高运算技巧，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
（二）问题导向
1.设计有针对性的问题，引导学生思考和探讨二次根式混合运算的顺序和运算律应用。
2.鼓励学生提出问题，培养学生的提问意识和解决问题的能力。
3.引导学生通过讨论、交流等方式解决问题，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
（三）小组合作
1.合理分组：根据学生的学习能力和特点，合理分组，确保小组合作的效果。
在教学方法上，我将采用启发式教学，注重师生互动，引导学生主动探索、发现和总结二次根式混合运算的规律。同时，运用多媒体教学手段，展示典型例题的解题过程，使学生更直观地理解二次根式混合运算的方法。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次根式混合运算的顺序，能够正确进行二次根式的混合运算。
2.掌握二次根式混合运算的运算律应用，能够灵活运用运算律简化运算过程。
五、案例亮点
1.生活情境的导入：通过引用生活情境，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。这种情境创设不仅能够引起学生的注意力，还能够使学生明白学习数学的实际意义，从而提高学生的学习积极性。
2.问题导向的教学策略：在教学过程中，教师设计了一系列有针对性的问题，引导学生思考和探讨二次根式混合运算的顺序和运算律应用。这种问题导向的教学策略，有助于培养学生的思考和解决问题的能力，使学生在解决问题的过程中，更深入的理解和掌握二次根式混合运算的知识。