电子科大随机信号分析随机期末试题答案完整版
电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.12.22.3 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos t 出现正面X(t)2t 出现反面设“出现正面” 和“出现反面” 的概率相等。
试求：( 1 ) X(t) 的一维分布函数F X (x,12) ，F X (x,1)；(2) X(t)的二维分布函数F X ( x1, x2 ;1 2,1) ；(3)画出上述分布函数的图形。
2.3 解：1)一维分布为:F X (x;0.5) 0.5u x 0.5u x 1F X (x;1) 0.5u x 1 0.5u x 2X (0.5) 0, X (1) 1 , 依概率 0.5发生X (0.5) 1, X (1) 2 ,依概率 0.5发生 二维分布函数为F ( x 1, x 2 ;0.5,1) 0.5u x 1,x 2 1 0.5u x 1 1,x 2 22.4 假定二进制数据序列 {B(n), n=1, 2, 3, , .} 是伯努利随机序列， 其每一位数据对 应随机变量 B(n) ，并有概率 P[B(n)=0]=0.2 和P[B(n)=1]=0.8 。
试问，( 1)连续 4 位构成的串为 {1011}的概率是 多少？(2)连续 4 位构成的串的平均串是什么？( 3)连续 4 位构成的串中，概率最大的 是(2) cos X(t) c 2o t s 出现正面出现反面什么？( 4 )该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4 解：解：(1)P 1011P B n 1 P B n 1 0 P B n 2 1 P B n 3 10.8 0.2 0.8 0.8 0.10242)设连续 4 位数据构成的串为B(n) ，B(n+1) ，B(n+2) ，B(n+3) ，n=1, 2, 3,⋯.其中B(n) 为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：3k串(4bit 数据)为：X (n) 2k B(n k)，k0其矩特性为：因为随机变量B(n) 的矩为：均值： E[B(n)] 0 0.2 1 0.8 0.802 0.2 12 0.8 0.8220.8 0.82 0.16 所以随机变量 X(n) 的矩为：均值：3E[X(n)] E k0332k E B(n k) 2k 0.8 12k 0 k 0方差：3k D[X(n)] D 2k B(n k) k03 2 3 2k 2 D B(n k) 4k 0.16 13.6k 0 k 0如果将 4bit 串看作是一个随机向量 ， 则随机向量的均值和方差为： 串平均 ：B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 3 0.8,0.8,0.8,0.8方差：Var B(n) Bn 2Bn 2k B(n k)串方差：Var B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 30.16,0.16,0.16,0.163) 概率达到最大的串为1,1,1,14) 该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0 或1，与前面的序列没有任何关系。
(完整word版)随机信号分析习题.(DOC)
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
电子科技大学随机信号分析CH3习题及答案
3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。
3.1解： (1)21(;)exp{}4uf u t =-1,2121,12,22212(;,)()()1exp{}44f u u t t f u t f u t u u π=+=-1,212,121(,,;,,)()1exp{}4kk k i i i kii f u u u t t t f u t u====-∏∑(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。
也是严格循环平稳的；因为是高斯随机信号，所以()U t 也是广义平稳的和广义循环平稳的。
3.23.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设[()]X m E X t =，[()]Y m E Y t =，()[X ()X ()]XRE t t ττ=+，()[Y ()Y ()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y ()][()][()]XYm t E t E X t t E X t E Y t mm ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y ()()Y ()][X ()()][Y ()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⋅+=⋅=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()()Y()t X t t =也是平稳过程。
3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。
2006随机信号分析试题与标准答案(B)
………….……密 …..……….封……..……线 ………..…以………..…内………....答 …………...题…………..无……. …….效…..……………..
6. （7 分）随机信号 X(t)=Acos(ωt)与 Y(t)=（ 1－ B） cos(ωt)，其中 A 与 B 同为均值 2、方差 σ 2 的高斯随机变量， A、 B 统计独立，ω 为非零常数。 （1） 求两个随机信号的均值 E X ( t ) 、E Y ( t ) ，互相关函数 RXY (t1 , t2 ) 、互协方差函数 C XY (t1 , t2 ) ；并讨论两个随机 信号的正交性、互不相关性、统计独立性 （2） 求 f XY ( x, y;0,0) 。 解 ：（1）
E [ X (t − τ= E[X ( = t )] 0 1 )] (t ) ] E [α X (t − τ 1 ) + N= (t ) ] 所以： E [Y=
α E [ X (t − τ 1 ) ] + E [ N= (t ) ] 0
RY (t + = τ , t) E (α X (t + τ − τ 1 ) + N (t + τ ) )(α X (t − τ 1 ) + N (t ) ) 2 = α E [ X (t + τ − τ 1 ) X (t − τ 1 ) ] + α E [ X (t + τ − τ 1 ) N (t ) ] + α E [ X (t − τ 1 ) N (t + τ ) ] + E [ N (t + τ ) N (t ) ]
a2 −a τ cos ω1τ + b 2 e , 2
( a, b, ), τ < , a是常数 a R(τ ) = 1 0 τ ≥ a
电子科技大学随机信号分析中期考题2006随机(A)
1.设随机过程21)(cos )(2-Θ+=t t X ω，Θ 是随机变量，其特征函数为)(υφΘ。
证明：)(t X 是广义平稳随机过程的充要条件是0)4()2(==ΘΘφφ。
证明：（1）)(t X 的均值为：()21()[()][cos ()]2111[1cos 2()][cos(22)]22211cos(2)[cos(2)]sin(2)[sin(2)]22X m t E X t E t E t E t t E t E ωωωωω==+Θ-=++Θ-=+Θ=Θ-Θ由上式可知，当且仅当0)]2sin()2[cos(][)2(2=Θ+Θ==ΘΘj E e E j φ时，()0X m t =，才与t 无关。
（2）)(t X 的相关函数为：22(,)[()()]11[(cos ())(cos ())]2211[cos(222)cos(22)]22[cos(2)][cos(424)]811cos(2)cos(42)[cos(4)]881sin(42)][sin(4)]8X R t t E X t X t E t t E t t E E t t E t E ττωωτωωωτωωτωωτωτωωτωωτ+=+=++Θ-+Θ-=++Θ⨯+Θ+++Θ==++Θ-+Θ同理可得，当且仅当0)]4sin()4[cos(][)4(4=Θ+Θ==ΘΘj E eE j φ时，)cos(21),(ωττ=+t t R X 与t 无关。
2.设随机过程)sin()(0Θ+Ω=t A t X ，其中0A 为常数，ΘΩ和为相互独立的随机变量，Ω在]2010[ππ内均匀分布，Θ在]20[π内均匀分布。
证明：（1） )(t X 是广义平稳随机信号；（2） )(t X 的均值是各态历经的。
解： （1）00000[()][sin()][sin()cos()cos()sin())][sin()][cos()][cos()][sin())]0E X t E A t E A t A t A E t E A E t E =Ω+Θ=ΩΘ+ΩΘ=ΩΘ+ΩΘ= 202020(,)[()()][sin()sin()]cos()cos(22)2cos()2X R t t E X t X t A E t t t A E A E ττττττ+=+=Ω+Ω+ΘΩ+ΘΩ-Ω+Ω+Θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以)(t X 是广义平稳随机信号 （2）[]00000001[()][sin()]lim sin()lim sin()lim cos()|0TT T T T T A X t A A t A t dtT A A t d t t T T →+∞→+∞→+∞=Ω+Θ=Ω+Θ=Ω+ΘΩ=-Ω+Θ=ΩΩ⎰⎰时间平均等于统计平均，所以)(t X 的均值是各态历经的。
2008电子科技大学随机信号分析期末考试
一、 设相互独立的 随机变量,X Y 的概率密度函数分别()()1212(),()x y X Y f x e U x f y e U y λλλλ--==，（1） 求Z=X +Y 的特征函数；（2）求X+Y 的均值？（10分） 解：（1）因为XY 相互独立，所以()()()Z X Y u u u φφφ=110()()xjuxjuxX x x f x e dx ee dx λφλ∞∞--∞==⎰⎰11101x juxe e dx juλλλλ∞-==-⎰，()Y y φ=22202xjuxee dx juλλλλ∞-==-⎰1212()Z u ju juλλφλλ=-- （1分）（2） E （X+Y ）=EX+EY 121200xyxedx yedy λλλλ∞∞--=+⎰⎰1211λλ=+二、（10分）随机信号X(t)的均值()10cos(/40)X m t t π=，相关函数()[],50cos((2)/40)cos(/40)X R t t t ττπτπ+=++。
现有随机信号()()Y t X t =-Θ，Θ均匀分布于[0，80]区间。
求：1． [(168)],[(166)(161)]E X E X X2． [(168)],[(171)(161)]E Y E Y Y ,讨论()Y t 的平稳性解:1. [(168)](168)10cos(168/40)X E X m π==[(166)(161)]50[cos(327/40)cos(5/40)]E X X ππ=+2.因为Y (t ) 是周期平稳信号X(t)在一个周期内的均匀滑动,根据定理,它是一个广义平稳信号，且80801[(168)](168)()80110cos(/40)080Y X E Y m m t dtt dt π====⎰⎰ ()[]808001[(171)(161)],80150cos((2)/40)cos(/40)8050cos(/40)X E Y Y R t t dtt dt ττπτπτπ=+=++==⎰⎰三、 若随机信号()cos X t A t ω=，其中A 是一个贝努里型的随机变量，且满足1[1][1]2P A P A ===-=，ω为常数。
电子科技大学2009年随机信号分析试题A与标准答案
（1） 试判断 X ( t ) 和 Y ( t ) 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关 性及正交性； （2） 试判断 X ( t ) 和 Y ( t ) 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于 X ( t ) 和 Y( t ) 包含同一随机变量 θ ，因此非独立。 根据题意有
f (θ ) = 1 2π
π
−π
1 1 = cos[ w0 ( t1 − t2 )] cos( w0τ ) 2 2
同理可得 RY ( t1 ,t2 ) = RX ( t1 ,t2 ) ，因此 X ( t ) 和 Y( t ) 均广义平稳。
,t2 ) C XY ( t1= ,t2 ) 由于 RXY ( t1= 1 1 sin [w0 ( t1 − = t2 )] sin (w0τ ) ，因此 X ( t ) 和 2 2
。
π
−π
E[ X ( t )] E [sin(ω = = 0 t + Θ) ]
E[Y( t )] E [ cos(ω = = 0 t + Θ) ]
π
∫
1 sin( w0= t + θ )dθ 0 ， 2π
−π
∫
1 cos( w0= t + θ )dθ 0 2π
C XY ( t1 ,t2 ) = RXY ( t1 ,t2 ) = E[ X ( t1 )Y( t2 )] = E[sin (w0t1 + θ )co s( w0t2 + θ )]
1 1 1 1 − τ 1 −3 τ = P R(0)= += R (τ )= e + e ，所以 4 12 3 4 12
1 ∞ 1 10 20 P S ( ) d 2 d = = = ω ω ω （3） 可以。 2π ∫−∞ 2π ∫−10 π
电子科大随机信号分析随机期末试题答案完整版
电子科大随机信号分析随机期末试题答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。
(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω=当34t πω=时，3()42X πω=-，随机过程的一维概率密度函数为：3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。
(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互相关函数其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。
3.两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。
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电子科大随机信号分析
随机期末试题答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷
一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，
其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀
分布的随机变量。
（ 共10分）
1．画出该过程两条样本函数。
(2分)
2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的
一维概率密度函数，并画出其图形。
(5
分)
3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平
稳？(3分)
解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函
数如题解图(a)所示：
2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，
此时概率密度函数为：
(;)()2X f x x πδω
=
当34t πω=时，3()42
X πω=-，随机过程的一
维概率密度函数为：
3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平
稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与
()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均
匀分布随机变量。
（ 共10分）
1．求两个随机信号的互相关函数
12(,)XY R n n 。
(2分)
2．讨论两个随机信号的正交性、互不
相关性与统计独立性。
(4分)
3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)
解：1.两个随机信号的互相关函数
其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦
2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，
故两个随机信号正交。
又
故两个随机信号互不相关，
又因为
故两个随机信号不独立。
3.
两个随机信号的均值都平稳、相关函数
都与时刻组的起点无关，故两个信号分
别平稳，又其互相关函数也与时刻组的
起点无关，因而二者联合平稳。
三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙
长度T 。
在时隙内的任一点
()30.3P W t =+=⎡⎤⎣⎦和 ()30.7P W t =-=⎡⎤⎣⎦，试求
（ 共10分）
1．()W t 的一维概率密度函数。
(3分)
2．()W t 的二维概率密度函数。
(4分)
3．()W t 是否严格平稳？(3分)
解：下面的讨论中，t 不在时隙分界点
上：
1. 在时隙内的任一点上，()W t 为二进制
离散随机变量，因此，随机信号的
一维概率密度函数为：
2. 当1t ,2t 在同一时隙时，随机变量
()1t W ,()2
t W 取值相同，此时二维概率密度
函数为：
当1t ,2t 不在同一时隙时，随机变量
()1t W ,()2t W 取值独立，此时二维概率密度函
数为：
3. ()W t 不严格平稳。
四、设正弦随机信号X(t) =
Acos(ωt+Θ), ω是常数，A ∽U(-
1,+1) , Θ∽ U(0,π), 且A
和Θ统计独立，令Y(t)=X2(t)。
（共10分）
讨论：
1．Y(t)的均值。
(3分)
2．Y(t)的相关函数。
(4分)
3．Y(t)是否是广义平稳？。
(3分) 解：1. Y(t)的均值：
2. Y(t)的相关函数：
3. 因为Y(t)的均值和相关函数都与
t无关，因此Y(t)是广义平稳随机信号。
五、高斯随机信号X(t)的自相关函数
如图所示（共10分）
1．求X(t)的一维概率密度函数。
(3
分)
2．求X(t)上间隔为的任意两个采样时刻的二维密度函数。
(4分)
3．对一段时长为1秒的信号，最多能够获取多少了独立的采样点？(3分)
解：
（3
因为：R X(∞)=m2，故m = 0
σ2 = R X(0)- m2 = 4
2. 求X(t)上间隔为τ=的任意两个
采样时刻的二维密度函数；（4分）
因为：C X(τ) = R X(τ) - m2，故C X =
高斯随机变量不相关，则其统计独立，因此任意两个间隔为的两个随机变量的二维密度函数为：
3. 对一段时长为1秒的信号，最多能够获取多少了独立的采样点？（3
分）
因为不相关的最小间隔为秒，则在1秒间隔内，最多可采集的独立采样点为： 1/ + 1 = 10001 六、功率谱密度为20N 的零均值平稳高
斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为0f ，带
宽为B 2。
（ 共10分）
1．)(t n i 的同相分量)(t i 及正交分量)(t q 的自相关函数和相关系数。
(4分)
2．)(t i 的二维概率密度函数。
)21,;,(21B t t i i f i + (3分)
3．)(t i 及)(t q 的二维联合概率密度函数。
(3分)
解：依题 1. ⎩⎨⎧≤-++==其它,00),()()()(00ωωωωωωωX X q i S S S S 2. 2,1,2,2k B k k B πτπ
τ=→==±±是()i R τ的
零点 3. 因为)(t n i 的功率谱关于0f 偶对称，
故)(t i 与)(t q 处处正交、无关、独立
七、已知平稳过程{}+∞<<-∞t t X ),(的均值函数为1)(=t m ，相关函数为
ττ2cos 2)(=R ，讨论其均值各态历经性。
（ 共10分）
解：
所以{}+∞<<-∞t t X ),(具有均值各态历经性。
八、设有随机过程
{}+∞<<-∞+=t t A t X ),cos()(φω，其中φ,A 是相互独立的随机变量，ω是正常数，)2,0(~),3,3(~πφU U A -，试讨论
{}+∞<<-∞t t X ),(的广义平稳性和广义各态历经性。
（ 共10分）
解：
{}+∞<<-∞t t X ),(广义平稳。
{}+∞<<-∞t t X ),(均值各态历经，相关函数不具有各态历经性。
九、假设某积分电路的输入X(t)与输出Y(t)之间满足关系：
ττd X t Y t t ⎰-=4)()(，积分时间为4秒。
（ 共10分）
1．求该积分电路的冲激响应h(t)。
(5分)
2．若输入)cos()(0θω+=t A t X ，其中
A=2，0ω为常数，θ为服从)2,
0[π 均匀分布的随机变量，求输出Y(t)的功率谱。
(5分)
解：（1）4()()t
t Y t X d ττ-=⎰
故)4()()(--=t u t u t h
（2）
故X(t)为平稳随机信号，其功率谱
为
因为积分电路为LTI 系统，当输入
为平稳随机信号时，输出也是平稳随机信号。
则
[]22002sin 8)()()(ωωπωωδωωδω⋅++-=Y S
十、已知平稳白噪声信号X(t)通过下图所示的低通滤波器，X(t)的均值为零，自相关函数为)()(τδτ=X R 。
（ 共10分）
求：
1．输出信号的功率谱。
(5分)
2．输出信号的平均功率。
(5分)
解：（1）求输出信号功率谱。
因为输入为平稳随机过程，故输出Y(t)也是平稳随机过程。
由图
（2）求输出信号平均功率。
由于输出信号是平稳的，则
故输出信号的平均功率为。