第10章强度理论与组合变形的强度计算.
最大剪应力计算公式 The formula of maximum shear stress
s x s y 2 s max s min s 1 s 2 t max t x 2 2 2
2
极值剪应力面与主平面的关系 The relation between the plane subjected maximum shear stress and the principle plane
规定sign convention
s 1 s max s x s y s x s y 2 t x s 2 s min 2 2
2
s与截面外法线同向为正；绕研究对象顺时针转为正
The normal stress is positive if the direction of the normal stress is the coordinate external normal line . The shear stress is positive if the shear stress tend to clockwise rotation .
第十章强度理论与组合变形的强度计算
theorem of strength and the
calculation of compose deformation strength §7–1 应力状态的概念
§7–2 平面应力状态分析——解析法
§7–3 平面应力状态分析——图解法
10–１ 应力状态分析 To analysis State of Stress at a Given Point
Two characteristics: 1. The magnitude of stresses in parallel planes is equal 2. the distribution of stress is uniform in parallel planes
七、主单元体、主平面、主应力：
sy
y
sz
z
txy
sx
x
三、单元体：
单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
Per unit body: surrounded the point we obtain a small body with six planes , we called the body “Per unit body”.
P M
2、组合变形杆将怎样破坏？ How to failure of the members subjected to the composite loadings?
二、一点的应力状态概念：the concept of State of Stress at a Given Point
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力 状态.
例10-1 圆轴受力偶矩m=700kN· m作用 试求圆轴表面K点的主 应力和最大剪应力。 The shaft is subjected moment as shown in Fig10-1,to determine the principle stress and maximum stress at given K.
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德 国工程师：Otto Mohr引入）
s
sx
y
O
sy
x
txy
t
n
A graphical solution to analysis the plane stress transformation (MOHR’s circle)
t
sy s
t
y x t n D( s , t) C O 2 O
一、引言 guiding
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ How to create the tension, compression and torsion test phenomena of cast iron and steel?
P 铸铁拉 伸 M
低碳钢 P 铸铁
铸铁压缩 P
s 1 s max
s3
s x s y
2
s x s y 2 t x 55.7 2
2
2
s x s y
2
s x s y 2 t x 55.7 2
2t x tan 2 0 s x s y
20 90 0
n
二、应力圆的画法 the procedures to draw Stress Circle
建立应力坐标系，如下图所示
First; Establish a coordinate system such that the abscissa represents the normal stress,
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）：
三个主应力都不为零的应力状态。 Three Principal Stresses are not zero. 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 There is a principle stress is zero. 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 Only subjected to one dimensional normal stress 8.纯剪应力状态 shearing state of stress only subjected to shearing stress
Through a given point has incalculability crosses,the gather of the
stress of each section is called State of Stress at a Given Point By choosing different ordinations, we obtain different stresses, but the states of stress are equivalent.
解:solution
（1）取单元体。Take per unit body.
t x t max
T WT
t y t x
3
T m 16 700 10 tx 55.7 3 WT d 3 40 16
（2）求主应力和最大剪应力 to calculate the principle stress and maximum shear stress
45 t max
s x s y 2 t x 55.7 2
2
例2 分析受扭构件的破坏规律。 To analysis the reason of failure the members subjected tensional moments. 确定危险点并画其单元体 解：
Principal body Principal Plane Principal Stress 主单元体(Principal body)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。 The shear stresses are zero on side sections of the body
主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。 The plane that the shear stress is zero is called Principal Plane. 主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。 The stresses on the Principal Plane are called Principal Stress 主应力排列规定：按代数值大小 The array convention of Principal Stress Based on the magnitude of algebra
s x s y tg21 0 10 2t xy
低碳钢 : s s 240MPa;t s 200MPa
低碳钢
Cast iron
灰口铸铁 : s Lb 98~280MPa
s yb 640 ~960MPa;t b 198 ~300MPa
铸铁
小节 summarize Through experiment it has been found that materials that are ductile will fail due to shear stress .As a result, if a torque is applied to a bar made from mild steel, the maximum in-plane shear stress will cause it to fail as shown in the adjacent photo. Materials that are brittle fail due to normal stress. That is why when a brittle material, such as cast iron, is subjected to torsion it will fail in tension at a 45 inclination as seen in the adjacent photo.
2 t xy t
s 1t ;s 2 0;s 3 t
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
破坏分析 failure analysis mild steel
第10章-组合变形
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料）
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
单辉祖:材料力学教程
15
例 题
例10-3 图示钢质传动轴，Fy = 3.64 kN, Fz= 10 kN, F’z =1.82 kN, F’y = 5 kN, D1 = 0.2 m, D2 = 0.4 m, [] = 100 MPa, 轴径 d=52 mm, 试按第四强度理论校核轴的强度
③ 将所得结果叠加，即得杆件组合变形时的应力。
单辉祖:材料力学教程 5
§2 弯拉（压）组合 §3 偏心压缩
弯拉（压）组合 例题
偏心压缩
单辉祖:材料力学教程
6
弯拉（压）组合
产生弯曲与轴向拉压的组合变形的情况：
杆上除作用有横向力外，同时还作用有轴向力； 外力作用线虽然平行于杆轴，但不通过截面形心。
max
8.66 103 N 8.27 103 N m 111.5MPa [ ] 3 2 5 3 1.8110 m 7.75 10 m
9
单辉祖:材料力学教程
例10-2 图中所示结构，承受载荷F=12kN作用。横梁AC用 No14工字钢制成，许用应力[σ]=160MPa，试校核其强度。
2 2 M T r3 [ ] W
2 2 r4 M 3 T [ ]
2 2 M 0 . 75 T r4 [ ] W 单辉祖:材料力学教程
14
弯拉(压)扭组合强度计算
弯拉扭组合 危险截面－截面A 危 险 点－ a
a M N M
工程力学之组 合 变 形
工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。
10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。
又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。
此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。
再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。
10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。
研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。
(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。
(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。
(4)判断危险点的位置，建立强度条件。
10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。
斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。
图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。
第十章-强度理论28页
《失效准则》
最大拉应力 1 是引起材料断裂的原因
具体说：无论材料处于什么应力状态，
只要微元内的最大拉应力 1 达到了单向拉伸
的强度极限 b ，就发生断裂破坏
eq3 1-3
1 e4 q 2
1-222-323-12
e qM1-[[ct]]3
b,0.2,s
n
四、强度计算的步骤：
1、外力分析：确定所需的外力值 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面
3. 失效准则 (Failure Criteria) • 材料发生脆断或塑性屈曲的具体原因
强度理论：基于“构件发生强度失效（Failure） 起因”假设或实验的理论
研究方法 • 宏观唯象 —— 材料力学
假定 —— 公式 —— 实验验证 • 微观机理 —— 细观力学
从细观上着手
§10.2 适用于脆断的强度理论
《推导》
•失效方程（或极限条件）1 b 此时断裂
•强度条件
1
b
n
此时不断裂（n为安全因数）
《评价》
二向时：当 12 0 该理论与实验基本一致
三向时：当 1230同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 误差较
大三向压应力不适用
二、最大线应变理论
1682年，Mariote提出 《失效准则》
〈 怎样引出---强度理论？〉 • 为了解决组合变形问题，导致应力状态理论 从一点应力状态的无穷个微元中，找到了主单元体
（没有剪应力的微元）
材料力学(单辉祖)第十章组合变形
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
组合变形的强度计算
组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。
取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。
梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。
第十章 应力状态,强度理论与组合变形1
2 2
s
2 3
2(s1s 2
s 2s 3
s 3s1 )]
(10 11)
用主应力表示的体积改变比能为：
uV
= 1 2
6E
(s1 s 2
s 3 )2
用主应力表示的形状改变比能为：
usd
=
u
uv
=
1
6E
s 1
s2 2
s 2
s3
2
s 3
s
1
2
(10-13)
14
强度理论
问题：
复杂应力状态下 的强度？
屈服判据 s1-s3= sys Tresca条件, 1864, 法
实验验证： 很好地预测了塑性材料屈服。
设计：
强度条件： s1-s3[s]=sys/n
19
10.2.2 延性材料的屈服强度理论
四、形状改变比能理论（第四强度理论）
？ ？ 思考： Tresca条件与s2无关
滑移改变形状 能量
假说： 延性材料屈服取决于其形状改变比能 ud。
1 2
(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] = s ys / n
21
强度理论汇总：
强度条件的一般形式： 工作应力许用应力
相当应力
破 s1 理论 坏
e1 理论
sr [s]
sr1 = s1 常用
脆性破坏 [s]=sb/n 塑性屈服 [s]=sys /n
5
注意到txy=tyx，解得：
sa=sxcos2a+s ysin2a-2t xy sinacosa t a=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)
上篇 工程力学部分 第10章 组合变形
返回
下一页
第二节
斜 弯 曲
外力F的作用线只通过横截面的形心而不 与截面的对称轴重合，梁弯曲后的挠曲线不再 位于梁的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯 斜弯 曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，下面将讨 论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
一、正应力计算
斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和剪应力，但因剪应 力值很小，一般不予考虑。 斜弯曲梁的正应力计算的思路可以归纳为“先分后合”，具体 计算过程如下： 1．外力的分解：由图10-3（a）可知：Fy=Fcosφ，Fz=Fsinφ 2．内力的计算 距右端为l1的横截面上由Fy、Fz引起的弯矩分别是： Mz=Fya=Facosφ My=Fza=Fasinφ 3．正应力的计算 由Mz和My在该截面引起K点正应力分别为σ’=±Mzy/Iz ， σ’’=±Myz/Iy Mz和My共同作用下K点的正应力为
上一页
返回
下一页
二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
图10-7(a)所示的偏心受拉杆，平行于轴线的拉力 的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z轴、y轴 的距离分别为ey和ez，此变形称为双向偏心拉伸 双向偏心拉伸，当F 双向偏心拉伸 为压力时，称为双向偏心压缩 双向偏心压缩。 双向偏心压缩 双向偏心压缩（拉伸）实际上是轴向压缩（拉伸） 与两个平面弯曲的组合变形。任一点的正应力由三部 分组成，计算这类杆件任一点正应力的方法，与单向 偏心压缩（拉伸）类似。 三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总 正应力为以上三部分叠加，即 F Mz y M yz / // /// (10-6) σ = σ +σ +σ = ± ± A Iz Iy
Mz FN (b) _ h (a) +
材力第十章
向力 Fz = 10 kN；在齿轮 2 上，作用有切向力 F'y = 5 kN、径向力 F'z = 1.82 kN。若许用应力 [ ]=100 MPa，试根据第四强度理论确定轴径。
题 10-13 图 解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图 10-13a 所示。内力图（ M z , M y 和 T ）分 别示如图 b,c 和 d。
其相当应力为 (b)
比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面 A-A 上水平直径的左端点，其相当应力如 式(b)所示。 顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求 ( ) 与 τ ( ) ，再求 σ r3 ( ) 。这里的
5
从截面 A-A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将 σ r3 ( ) 对 求导，寻找其极值位置，找 到的极值位置是 0 ，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。
5.19 102 m 51.9 mm
10-16
图示钢质拐轴，承受铅垂载荷 F1 与水平载荷 F2 作用。已知轴 AB 的直径为
d，轴与拐臂的长度分别为 l 与 a，许用应力为[]，试按第四强度理论建立轴 AB 的强度条件。
题 10-16 图 解：将载荷 F1 与 F2 平移到截面 B 的形心，得轴 AB 的受力如图 b 所示。 显然，固定端处的横截面 A 为危险截面，该截面的轴力、扭矩与弯矩分别为
试求偏心距 a 的许用值。
题 10-8 图 解：1.确定内力
FN 250kN，M y Fa 2.50 105 a (N m) M z 0.050F 0.050 250103 N m 1.25104 N m
2．计算 Iz，Iy 及 A
0.100 0.1203 0.080 0.0803 4 )m 1.099105 m 4 12 12 3 0.020 0.100 0.080 0.0203 4 Iy ( 2 )m 3.39 106 m 4 12 12 A (0.100 0.020 2 0.080 0.020)m2 5.60 103 m 2 Iz (
材料力学第六版答案第10章
第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。
试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。
组合变形的强度计算
o
z
Mz y0 M yz0 0
Iz
Iy
y0 cos z0 sin 0
F
Iz
Iy
y
当 y0 0, z0 0时，此方程成立，
说明中性轴通过截面的形心。
设中性轴与 y轴的夹角为，即
tan z0 I y sin I y tan
y0
Iz cos
Iz
tan I y tan
Iz
中性轴的位置确定后，离中性轴最远的点有最大的拉压应力。
①外力分解：Fy F cos， Fz F sin
②内力分析：（找危险截面）
b
z
F y M y Fz x Fx sin
固定端截面为危险截面：Mz Fyl Fl cos
M y Fzl Fl sin
z
z
Fz F sin
b
Fz z
y
x
h
z
A
z
F
y
yx
Fy y Fy F cos
F y
l
§8-1 概述 §8-2 两相互垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲 §8-4 扭转与弯曲
§8-1 概述
组合变形：由两种或两种以上基本变形组合形成的变形。 工程实例：
●组合变形的分析方法
叠加原理 当材料处于线弹性阶段时，杆件上的各种荷载所 引起的内力和基本变形互不影响，即各种内力、应力 和变形、应变是彼此独立的。
●组合变形的中性轴的确定
横截面上正应力为零的点连成的直线
z
z
Fz z
b
y
xh
z
A
z
F
A( y, z)
y
yx
Fy y