定比、定比分点公式

8.1（3）定比、定比分点公式

一、教学内容分析

本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法.

本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别.

根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计

1理解定比的概念，掌握定比分点公式；

2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式；

3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合

思想. 三、教学重点及难点

定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、 情景引入

观察思考，引入新课

问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ，那么实数λ= . 而若 BC CA λ=，则λ= .

[说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P

的坐标吗？（引出课题）

[说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式

一般地，设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.

解：由12PP PP λ= ，可知

{

)

()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++

=++=λ

λλ

λ112

121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.

师生通过上面的结论共同解决（一）中的问题2.

[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段21P P 的定比分点

公式. 2．小组交流

（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系？当λ=1时，点

P 的坐标是什么？ （2）满足式子12PP PP λ=的点P 称为向量 12PP 的分点.

思考：上式中正确反映 P 1，P ，2P 三点位置关系的是（ ） A 、 始→分，分→终.B 、始→分，终→分.C 、终→分，分→始 （3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是

1）点P 在线段21P P 中点时，λ=1;2）点P 在线段21P P 上时，λ≥0 3）点P 在线段21P P 外时，λ﹤0; 4）定比λR ∈

[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2

2

2

121x x x y y y ，此公式叫做线

段21P P 的中点公式. 此公式应用很广泛.

3．例题辨析

例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.

解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中

点，于是点D 的坐标是（

2

,22

121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =

则由定比分点公式得 ⎪⎩

⎪⎨⎧+++=+++=2

12221222

13213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=333

2121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.

[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概念，

而且用到了中点公式、定比分点公式.（2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.

例2、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值.

解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .

（-15）， 所以定比λ=-3

2

.

解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式

得12=

λλ+-⨯+1)3(2 解出实数λ=-3

2

.

解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又

21

PP PP = 32

，

所以λ=-3

2 .

[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.

三、演练反馈，巩固知识

1设12PP PP λ= ，21P P PP

λ'= ，则下列正确的是（ ） （A ）λλ'= （B ）λλ'=- （C ） 1λλ=

' （D ）1

λλ=-'

2、△ABC 中，A （2，3），B （-3，4），重心G （-)3

4

,32，求C 点的坐标.

3、已知：A （3，-1），B （-4，-2），点P 在直线AB 上，且2AP =3BP ，

求P 点坐标.

四、知识梳理，提升思维

1知识与技能小结：（1）主要的知识点有定比λ的概念，中点公式、定比分点公式，及定比分点公式的多元化表示.（2）主要的应用有定比λ的意义与范围，三点共线问题，三角形重心公式及综合应用.