人教中考数学锐角三角函数综合经典题含答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线．

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．

（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20

【解析】

试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；

（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．

试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵点D在⊙O上，

∴直线CP是⊙O的切线；

（2）如图，作BF⊥AC

∵AB=AC ，∠ANC=90°， ∴CN=CB=

，

∵∠BCP=∠CAN ，sin ∠BCP=，

∴sin ∠CAN=，

∴

∴AC=5， ∴AB=AC=5， 设AF=x ，则CF=5﹣x ，

在Rt △ABF 中，BF 2=AB 2﹣AF 2=25﹣x 2， 在Rt △CBF 中，BF 2=BC 2﹣CF 2=2O ﹣（5﹣x ）2， ∴25﹣x 2=2O ﹣（5﹣x ）2， ∴x=3，

∴BF 2=25﹣32=16， ∴BF=4，

即点B 到AC 的距离为4． 考点：切线的判定

2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4

cos 5

AOC ∠=

．设OP x =，CPF ?的面积为y ．

（1）求证：AP OQ =；

（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ?是直角三角形时，求线段OP 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）236030050

(10)13

x x y x x -+=<<；（3）8OP =

【解析】 【分析】

（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结

OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻

找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；

（2）根据PFC ?∽PAO ?，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4

cos 5

AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】

（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ?和ODQ ?中，

{OP DQ

POA QDO OA DO

=∠=∠=， ∴AOP ?≌ODQ ?， ∴AP OQ =；

（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5

AOC ∠=， ∴4455OH OP x =

=，35

PH x =，

∴1

32

AOP S AO PH x ?=

?=． ∵//CD AB ， ∴PFC ?∽PAO ?， ∴

22

10(

)()AOP

y CP x S OP x

?-==， ∴2360300

x x y x

-+=，当F 与点D 重合时，

∵4

2cos 210165

CD OC OCD =?∠=??=， ∴

101016x x =-，解得50

13

x =， ∴2360300x x y x

-+=

50

(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=时，90OPA ∠=， ∴4

cos 1085

OP OA AOC =?∠=?

=； ②当90POE ∠=时，

101025

4cos cos 25OC CQ QCO AOC =

===

∠∠，

∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622

=-=， ∵

50

1013

OP <<， ∴7

2

OP =

（舍去）； ③当90PEO ∠=时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ?≌ODQ ?， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，

∴90AEO AOP ∠=∠=，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．

3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P ′，当点P ′在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”．已知A (1，0)，B (0，2)，C (3，3) (1)当⊙O 的半径为1时，

①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是；

②已知点M在直线y＝﹣3

x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值

范围；

(2)已知点D(23，0)，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．

【答案】(1)①B；②0≤m3(2)﹣3t＜3

【解析】

【分析】

(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；

②设M(m，﹣

3

3

m+2 )，根据“友好点”的定义，OM

2

2

3

22

2

m m

??

+-+≤

?

?

??

，由此

求解即可；

(2)B(0，2)，C(3，3)，D30)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点

H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT 3

，直线BD：y

3

x+2，可知H(t，﹣

3 3t+2)，继而可得NT＝﹣

1

2

t+

33

2

，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.

【详解】

(1)①∵r＝1，

∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，

∴点B是⊙O“友好点”，

∵OC22

33

+2>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，

故答案为B；

②如图，

设M (m ，﹣

3

m +2 )，根据“友好点”的定义， ∴OM ＝2

23

22

2m m ??+-+≤ ? ???

， 整理，得2m 2﹣23m ≤0， 解得0≤m ≤3；

∴点M 的横坐标m 的取值范围：0≤m ≤3；

(2)∵B (0，2)，C (3，3)，D (23，0)，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，点N 是⊙T “友好点”， ∴NT ≤2r ＝2，

∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．

∵tan ∠BDO ＝

3

3

23OB OD ==

∴∠BDO=30°， ∴∠OBD ＝60°， ∴∠THN=∠OBD=60°， ∴NT ＝HT?sin ∠3

，

∵B (0，2)，D (23，0)， ∴直线BD ：y ＝﹣3

3

x +2， ∵H 点BD 上， ∵H (t ，﹣3

t +2)， ∴HT ＝﹣33t +2﹣(﹣1)＝﹣33

t +3， ∴NT ＝3HT ＝3(﹣3t +3)＝﹣12t +33，

∴﹣

12t +33

≤2， ∴t ≥﹣4+33，

当H 与点D 重合时，点T 的横坐标等于点D 的横坐标，即t ＝33， 此时点N 不是“友好点”， ∴t ＜33，

故圆心T 的横坐标t 的取值范围：﹣4+33≤t ＜33． 【点睛】

本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．

4．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；

（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式． 【答案】（1）233

384

y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为3

34

y x =

+或3

34

y x =--.

【解析】

【分析】

（1）设出交点式，代入C点计算即可（2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过

点P作PD⊥BC于点D，易证△CDP∽△COB，得到比例式PC PD

BC OB

=，得到PD=

4

5

PC，所

以5PA+4PC＝5（PA+4

5

PC）＝5（PA+PD），当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5

（PA+PD）＝5AE最小，利用等面积法求出AE=18

5

，即最小值为18 （3）取AB中点F，

以F为圆心、FA的长为半径画圆, 当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°，即∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q，∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个；此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G，利用cos∠QFT求出QG，分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可

【详解】

解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣2，0）、B（4，0）

∴y＝a（x+2）（x﹣4）

把点C（0，3）代入得：﹣8a＝3

∴a＝﹣3

8

∴抛物线解析式为y＝﹣3

8（x+2）（x﹣4）＝﹣

3

8

x2+

3

4

x+3

（2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D ∴∠CDP＝∠COB＝90°

∵∠DCP＝∠OCB

∴△CDP∽△COB

∴PC PD

BC OB

=

∵B（4，0），C（0，3）

∴OB＝4，OC＝3，BC

∴PD＝4

5

PC

∴5PA+4PC＝5（PA+4

5

PC）＝5（PA+PD）

∴当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小∵A（﹣2，0），OC⊥AB，AE⊥BC

∴S△ABC＝1

2AB?OC＝

1

2

BC?AE

∴AE ＝

6318

55

AB OC BC ?== ∴5AE ＝18

∴5PA+4PC 的最小值为18．

（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，

∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q

∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个 此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT ＝90°

∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点 ∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3 ∵T （﹣4，0） ∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝

3

5

FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝3

5

FG FQ = ∴FG ＝

35FQ ＝95

∴x Q ＝1﹣9455=-，QG ＝2

222

912FQ 355FG ??-=-= ???

①若点Q 在x 轴上方，则Q （412

55

-，） 设直线l 解析式为：y ＝kx+b

∴404125

5k b k b -+=???-+=?? 解得：343k b ?

=??

?=? ∴直线l ：3

34

y x =

+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255

--，

） ∴直线l ：3

34

y x =-

- 综上所述，直线l 的解析式为3

34

y x =

+或3

34

y x =--

【点睛】

本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论

5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣6，0），点

C在y轴正半轴上，且cos B＝3

5

，动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向D点

移动（P点到达D点时停止运动），移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其它边交于点Q．

（1）求点D坐标；

（2）求△OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）在直线l移动过程中，是否存在t值，使S＝3

20ABCD

S

菱形

？若存在，求出t的值；若

不存在，请说明理由．

【答案】（1）点D的坐标为（10，8）．（2）S关于t的函数关系式为S＝

24(04)

220

(410)3

3t t t t t ??

?-+

. 【解析】 【分析】

（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，2220

1233

t t -+= 【详解】

解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝

35

， 10cos OB

BC B

∴=

=

8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，

∴点D 的坐标为（10，8）．

（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0）， ∴点A 的坐标为（4，0）． 分两种情况考虑，如图1所示． ①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，

∴S ＝

1

2PQ ?OQ ＝4t ， ∵4＞0，

∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；

②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：

4k b 010k b 8+=??

+=?，解得：4k 3

16b 3?=????=-??

， ∴直线AD 的解析式为416

33

y x =-． 当x ＝t 时，416

33

y t =

-， 4164

8(10)3

33PQ t t ??∴=--=- ???

21220

233

S PQ OP t t ∴=

?=-+

2

2202502

(5),033333S t

t t =-+=--+-<∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为

503

． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)

220(410)3

3t t t t t ??

?-+

（3）S 菱形ABCD ＝AB ?OC ＝80． 当0≤t ≤4时，4t ＝12， 解得：t ＝3； 当4＜t ≤10时，2220

33

t t -

+＝12， 解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝

3

20

ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．

【点睛】

考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.

6．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°．位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，

3≈1.7）

【答案】潜艇C 离开海平面的下潜深度约为308米

【解析】试题分析：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，则AD 即为潜艇C 的下潜

深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．

试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，

设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，

在Rt△ACD中，CD=

tan AD ACD

∠ =

tan30

x

= 3x

在Rt△BCD中，BD=CD?tan68°，

∴325+x=3x?tan68°

解得：x≈100米，

∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．

视频

7．如图，半圆O的直径AB＝20，弦CD∥AB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD相交于点E（点E与点C、D不重合），设OM＝m．

（1）求DE的长（用含m的代数式表示）；

（2）令弦CD所对的圆心角为α，且sin

4 =

25α

．

①若△DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围；

②若动点N在CD上，且CN＝OM，射线BM与射线ON相交于点F，当∠OMF＝90°时，求DE的长．

【答案】（1）DE＝10010m

m

-

；（2）①S＝

2

360300

m m

m

-+

，（

50

13

＜m＜10），

②DE ＝

52

. 【解析】 【分析】

（1）由CD ∥AB 知△DEM ∽△OBM ，可得

DE DM

OB OM

=，据此可得； （2）①连接OC 、作OP ⊥CD 、MQ ⊥CD ，由OC ＝OD 、OP ⊥CD 知∠DOP ＝1

2

∠COD ，据此可得sin ∠DOP ＝sin ∠DMQ ＝45、sin ∠ODP ＝3

5

，继而由OM ＝m 、OD ＝10得QM ＝DM sin ∠ODP ＝

3

5

（10﹣m ），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD ＝8、CD ＝16，证△CDM ∽△BOM 得

CD DM BO OM =，求得OM ＝50

13

，据此可得m 的取值范围； ②如图3，由BM ＝OB sin ∠BOM ＝10×3

5

＝6，可得OM ＝8，根据（1）所求结果可得答案． 【详解】 （1）∵CD ∥AB ， ∴△DEM ∽△OBM ， ∴

DE DM OB OM =，即1010DE m

m

-=， ∴DE ＝

10010m

m

-； （2）①如图1，连接OC 、作OP ⊥CD 于点P ，作MQ ⊥CD 于点Q ，

∵OC ＝OD 、OP ⊥CD ， ∴∠DOP ＝1

2

∠COD ， ∵sin

2

α

＝

45

， ∴sin ∠DOP ＝sin ∠DMQ ＝45，sin ∠ODP ＝35

， ∵OM ＝m 、OD ＝10，

∴DM ＝10﹣m ， ∴QM ＝DM sin ∠ODP ＝

3

5

（10﹣m ）， 则S △DEM ＝12DE ?MQ ＝12×10010m m -×35（10﹣m ）＝2360300

m m m

-+，

如图2，

∵PD ＝OD sin ∠DOP ＝10×4

5

＝8， ∴CD ＝16， ∵CD ∥AB ， ∴△CDM ∽△BOM ， ∴

CD DM BO OM =，即1610=10OM

OM

-， 解得：OM ＝50

13

， ∴

50

13

＜m ＜10， ∴S ＝2360300

m m m

-+，（5013＜m ＜10）．

②当∠OMF ＝90°时，如图3，

则∠BMO ＝90°，

在Rt △BOM 中，BM ＝OB sin ∠BOM ＝10×3

5

＝6， 则OM ＝8，

由（1）得DE＝1001085

82

-?

=．

【点睛】

本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的能力．

8．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，，求的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形

（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP

试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC

∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF

∵AD//BC

∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF

∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF

∴AB=BE AB=AF

∴AF=AB=BE

∵AD//BC

∴ABEF为平行四边形

又AB=BE

∴ABEF为菱形

（2）作PH⊥AD于H

由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5

∴tan∠ADP=

考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数

9．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．

（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；

（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．

①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．

②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时

tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1

2

3

【解析】

【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；

（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；

②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．

【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，

∵PF∥BC，

∴∠DFP=∠ADF ， ∴∠DFQ=∠ADF ， ∴△DEF 是等腰三角形；

（2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF ，

∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ， ∴∠P′DC=∠F′DB ，

由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ， ∵PF ∥BC ， ∴△DPF ∽△DCB ， ∴△DP′F′∽△DCB ∴

'

'

DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；

②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=1

2

BD ， ∴

'1

2

DF BD =， ∴tan ∠DBF′=

'1

2

DF BD =；

当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意； 当∠DF′B=90°时，如图所示，

∵DF′=DF=1

2

BD ， ∴∠DBF′=30°，

∴tan ∠3

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.

10．问题探究：

（一）新知学习：

圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．

（二）问题解决：

已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD 的垂线，垂足分别为N，M．

（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；

（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；

（3）若直径AB与CD相交成120°角．

①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；

②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；

（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；

（3）①MN=；②证明见解析；

（4）MN取得最大值2．

【解析】

试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直

径OP=2；

（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；

（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：

MN=QN?sin∠MQN，从而可得MN=OP?sin∠MQN，由此即可解决问题；

（4）由（3）②中已得结论MN=OP?sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．

试题解析：（1）如图一，

∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；

（2）如图一，

∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，

∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；

（3）①如图二，

∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，

P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．

∵P1M=OP1?sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；

②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，

交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，