全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总及答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知在平面直角坐标系中,点()()()3,0,3,0,3,8A B C --,以线段BC 为直径作圆,
圆心为E ,直线AC 交E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是
E 的切线;
(2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交E 于点G ,连接BG :
①当1
an 7
t ACF ∠=时,求所有F 点的坐标 (直接写出); ②求
BG
CF
的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)①143,031F ??
???
,2(5,0)F ;② BG CF 的最大值为12.
【解析】 【分析】
(1)连接DE ,证明∠EDO=90°即可;
(2)①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可; ②作GM BC ⊥于点M ,证明1~ANF ABC ??,得1
2
BG CF ≤,从而得解. 【详解】
(1)证明:连接DE ,则:
∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠
∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即:EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为
E 的切线.
(2)①如图1,当F 位于AB 上时: ∵1~ANF ABC ??
∴
11
NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =,则114,5NF x AF x ==
∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-,解得:10
31
x = ∴150531AF x ==
15043
33131
OF =-=
即143,031F ??
???
如图2,当F 位于BA 的延长线上时: ∵2~AMF ABC ??
∴设3AM x =,则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241
tan 1037
F M x ACF CM x ∠===+ 解得:25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图,作GM BC ⊥于点M , ∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=? ∴~CBF CGB ??
∴
8BG MG MG
CF BC == ∵MG ≤半径4=
∴
41
882BG MG CF =≤= ∴BG CF
的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形;相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.
(1)求证:KE=GE;
(2)若KG2=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= .
【解析】
试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出
∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;
(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD?GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;
(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.
试题解析:(1)如图1,连接OG.
∵EG为切线,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.
∵KG2=KD?GE,即,
∴,
又∵∠KGE=∠GKE,
∴△GKD∽△EGK,
∴∠E=∠AGD,
又∵∠C=∠AGD,
∴∠E=∠C,
∴AC∥EF;
(3)连接OG,OC,如图3所示,
∵EG为切线,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
∵sinE=sin∠ACH=
,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,
∵KE=GE,AC∥EF,
∴CK=AC=5t,
∴HK=CK-CH=t.
在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,
即(3t)2+t2=(2)2,解得t=.
设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,
即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.
∵EF为切线,
∴△OGF为直角三角形,
在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH=,
∴FG=
【点睛】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,锐角三角函数定义,圆周角定理,平行线的判定,以及等腰三角形的判定,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
3.如图,PB为☉O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交☉O于点A,连接PA,AO.并延长AO交☉O于点E,与PB的延长线交于点D.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)若=,且OC=4,求PA的长和tan D的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)PA =3,tan D=.
【解析】
试题分析: (1)连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得:OP是线段AB的垂直平分线,进而可得:PA=PB,然后证明△PAO≌△PBO,进而可得∠PBO=∠PAO,然后根据切线的性质可得∠PBO=90°,进而可得:∠PAO=90°,进而可证:PA是⊙O的切线;
(2)连接BE,由,且OC=4,可求AC,OA的值,然后根据射影定理可求PC的值,从而可求OP的值,然后根据勾股定理可求AP的值.
试题解析:(1)连接OB,则OA=OB,
∵OP⊥AB,∴AC=BC,
∴OP是AB的垂直平分线,∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中,∵,∴△PAO≌△PBO(SSS)
∴∠PBO=∠PAO,PB=PA,
∵PB为⊙O的切线,B为切点,∴∠PBO=90°,∴∠PAO=90°,即PA⊥OA,
∴PA是⊙O的切线;
(2)连接BE,
∵,且OC=4,∴AC=6,∴AB=12,
在Rt△ACO中,由勾股定理得:AO=,
∴AE=2OA=4,OB=OA=2,
在Rt△APO中,∵AC⊥OP,∴AC2=OC PC,解得:PC=9,∴OP=PC+OC=13,
在Rt△APO中,由勾股定理得:AP==3.
易证,所以,解得,
则,在中,.
考点:1.切线的判定与性质;2.相似三角形的判定与性质;3.解直角三角形.
4.已知:△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点,OD⊥BC,垂足为H.
(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;
(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB 于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣
∠ABD=2∠BDN,AC=,BN=,tan∠ABC=,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)24.
【解析】
试题分析:(1)易证OH为△ABC的中位线,可得AC=2OH;(2)∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,又∵∠PAC =∠BCD,可证∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,易证∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ.
在Rt△BNQ中,根据tan∠ABC=,可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度,设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度,利用垂径定理可求得ED的长度,最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度,最后由垂径定理可求得BF的长度.
试题解析:(1)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴BH=HC,∵点O是AB的中点,∴AC=2OH;(2)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴弧BD=弧CD,∴∠PAC=∠BCD,∵∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB 与OD相交于点M,连接OB,
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,∵∠ABD+∠BDN=∠AND,∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,∵∠ACD+∠ABD=180°,∴2∠AND=180°,∴∠AND=90°,
∵tan∠ABC=,∴,∴,
∴,∵∠BNQ=∠QHD=90°,
∴∠ABC=∠QDH,∵OE=OD,
∴∠OED=∠QDH,∵∠ERG=90°,∴∠OED=∠GBN,∴∠GBN=∠ABC,∵AB⊥ED,
∴BG=BQ=,GN=NQ=,
∵∠ACI=90°,tan∠AIC=tan∠ABC=,∴,∴IC=,∴由勾股定理可求得:
AI=25,
设QH=x,∵tan∠ABC=tan∠ODE=,∴,∴HD=2x,∴OH=OD﹣HD=,BH=BQ+QH=,
∵OB2=BH2+OH2,∴,解得:,当QH=
时,∴QD=,
∴ND=,∴MN=,MD=15,∵,∴QH=不符合题意,舍去,当QH=时,∴QD=
∴ND=NQ+QD=,ED=,∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=,
∵tan∠OED=,∴,
∴EG=RG,∴RG=,∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24.
考点:1圆;2相似三角形;3三角函数;4直角三角形.
5.(2013年四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,
AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=
2
2
.动点P
在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线
A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.
(1)点A的坐标为,直线l的解析式为;
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;
(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;
(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.
【答案】解:(1)(﹣4,0);y=x+4.
(2)在点P、Q运动的过程中:
①当0<t≤1时,如图1,
过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.
过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ?cos∠CBF=5t?3
5
=3t.
∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,
S=1
2
PM?PE=
1
2
×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t.
②当1<t≤2时,如图2,
过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t.
S=1
2
PM?PE=
1
2
×2t×(16﹣7t)=﹣7t2+16t.
③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,
即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=
16
7
.
当2<t<16
7
时,如图3,
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,
S=1
2
PM?MQ=
1
2
×4×(16﹣7t)=﹣14t+32.
综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为
()
()
2
2
5t14t0 S{7t16t1 16 14t322 7 -+≤ =-+≤ ?? -+ ? ?? . (3)①当0<t≤1时, 2 2 749 S5t14t5t 55 ?? =-+=--+ ? ?? , ∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=7 5 ,∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大. ∴当t=1时,S有最大值,最大值为9. ②当1<t≤2时, 2 2 864 S7t16t7t 77 ?? =-+=--+ ? ?? , ∵a=﹣7<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=8 7 , ∴当t=8 7时,S有最大值,最大值为 64 7 . ③当2<t<16 7 时,S=﹣14t+32 ∵k=﹣14<0,∴S随t的增大而减小. 又∵当t=2时,S=4;当t=16 7 时,S=0,∴0<S<4. 综上所述,当t=8 7 时,S有最大值,最大值为 64 7 . (4)t=20 9 或t= 12 5 时,△QMN为等腰三角形. 【解析】 (1)利用梯形性质确定点D的坐标,由sin∠DAB= 2 2 ,利用特殊三角函数值,得到 △AOD为等腰直角三角形,从而得到点A的坐标;由点A、点D的坐标,利用待定系数法求出直线l的解析式: ∵C(7,4),AB∥CD,∴D(0,4). ∵sin∠DAB=2 2 ,∴∠DAB=45°.∴OA=OD=4.∴A(﹣4,0). 设直线l的解析式为:y=kx+b,则有 4k b0 { b4 -+= = ,解得: k1 { b4 = = .∴y=x+4. ∴点A坐标为(﹣4,0),直线l的解析式为:y=x+4. (2)弄清动点的运动过程分别求解:①当0<t≤1时,如图1;②当1<t≤2时,如图2; ③当2<t<16 7 时,如图3. (3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值.(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论: ①如图4,点M在线段CD上, MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4, 由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=20 9 . ②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D, 此时△QMN为等腰三角形,t=12 5 . ∴当t=20 9 或t= 12 5 时,△QMN为等腰三角形. 考点:一次函数综合题,双动点问题,梯形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,由实际问题列函数关系式,一次函数和二次函数的性质,等腰三角形的性质,分类思想的应用. 6.如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,23)、D(0,33),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60o. (1)点B的坐标是,∠CAO= o,当点Q与点A重合时,点P的坐标 为; (2)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围. 【答案】(1)(6,3). 30.(3,3)(2) ) ) ) ) 2 43 x430x3 3 31333 3x5 S{ 23 x1235x9 3 543 x9 +≤≤ +<≤ = -+<≤ > 【解析】 解:(1)(6,3 30.(3,3 (2)当0≤x≤3时, 如图1, OI=x,IQ=PI?tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x;由题意可知直线l∥BC∥OA, 可得 EF PE DC31 == OQ PO DO3 33 ==,∴EF= 1 3 (3+x), 此时重叠部分是梯形,其面积为: EFQO 14343 S S EF OQ OC3x x43 233 ==+?=+=+梯形 ()() 当3<x≤5时,如图2, () HAQ EFQO EFQO 22 1 S S S S AH AQ 2 43331333 x43x3=x x 32232 ? =-=-?? =+---+- 梯形梯形 。 当5<x≤9时,如图3, 12 S BE OA OC3x 23 23 =x123 =+?=- -+ ()() 。 当x>9时,如图4, 11183543 S OA AH 6= 22x x = ?=?? . 综上所述,S 与x 的函数关系式为: ()()()()243 x 430x 33 31333x x 3x 5S {23x 1235x 93543 x 9+≤≤-+-<≤=-+<≤>. (1)①由四边形OABC 是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B 的坐标: ∵四边形OABC 是矩形,∴AB=OC ,OA=BC , ∵A (6,0)、C (0,23),∴点B 的坐标为:(6,23). ②由正切函数,即可求得∠CAO 的度数: ∵OC 233 tan CAO == OA ∠= ,∴∠CAO=30°. ③由三角函数的性质,即可求得点P 的坐标;如图:当点Q 与点A 重合时,过点P 作PE ⊥OA 于E , ∵∠PQO=60°,D (0,3∴3 ∴0 PE AE 3tan 60 = =. ∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3,∴点P 的坐标为(3,3). (2)分别从当0≤x≤3时,当3<x≤5时,当5<x≤9时,当x >9时去分析求解即可求得答案. 7.如图,已知二次函数2 12 y x bx c = ++的图象经过点A (-3,6),并与x 轴交于点B (-1,0)和点C ,顶点为点P . (1)求这个二次函数解析式; (2)设D 为x 轴上一点,满足∠DPC =∠BAC ,求点D 的坐标; (3)作直线AP ,在抛物线的对称轴上是否存在一点M ,在直线AP 上是否存在点N ,使AM +MN 的值最小?若存在,求出M 、N 的坐标:若不存在,请说明理由. 【答案】(1)点C 坐标为(3,0),点P (1,-2);(2)点P (7,0);(3)点N (- 75,14 5). 【解析】 【分析】 (1)将点A 、B 坐标代入二次函数表达式,即可求解; (2)利用S △ABC = 12×AC×BH= 12×BC×y A ,求出sinα= 222105 BH AB ==,则tanα= 12,在△PMD 中,tanα= MD PM 12 22x =+,即可求解; (3)作点A 关于对称轴的对称点A′(5,6),过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ,此时AM+MN 最小,即可求解. 【详解】 (1)将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得:96332 102b b c ?=-+????=--+?? ,解得:132b c =-???=-??, 故:抛物线的表达式为:y = 12x 2-x -3 2 , 令y =0,则x =-1或3,令x =0,则y =-3 2 , 故点C 坐标为(3,0),点P (1,-2); (2)过点B 作BH ⊥AC 交于点H ,过点P 作PG ⊥x 轴交于点G , 设:∠DPC=∠BAC=α, 由题意得:AB=210,AC=62,BC=4,PC=22, S△ABC=1 2 ×AC×BH= 1 2 ×BC×y A, 解得:BH=22, sinα=BH AB = 22 210 = 5 ,则tanα= 1 2 , 由题意得:GC=2=PG,故∠PCB=45°, 延长PC,过点D作DM⊥PC交于点M,则MD=MC=x, 在△PMD中,tanα=MD PM = 22 x+ = 1 2 , 解得:x=22,则CD=2x=4, 故点P(7,0); (3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6), 过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小, 直线AP表达式中的k值为:8 4- =-2,则直线A′N表达式中的k值为 1 2 , 设直线A′N的表达式为:y=1 2 x+b, 将点A′坐标代入上式并求解得:b=7 2 , 故直线A ′N 的表达式为:y =12x +7 2 …①, 当x =1时,y =4, 故点M (1,4), 同理直线AP 的表达式为:y =-2x …②, 联立①②两个方程并求解得:x =-7 5 , 故点N (-75 ,14 5 ). 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等知识,其中(3),利用对称点求解最小值,是此类题目的一般方法. 8.如图,正方形OABC 的顶点O 与原点重合,点A ,C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上,点 A 的坐标为(4,0),点D 在边A B 上,且tan ∠AOD = 1 2 ,点E 是射线OB 上一动点,EF ⊥x 轴于点F ,交射线OD 于点G ,过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H . (1)求B ,D 两点的坐标; (2)当点E 在线段OB 上运动时,求∠HDA 的大小; (3)以点G 为圆心,GH 的长为半径画⊙G .是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切?若不存在,请说明理由;若存在,请求出所有符合条件的点E 的坐标. 【答案】(1)B (4,4),D (4,2);(2)45°;(3)存在,符合条件的点为(8﹣ 2,8﹣2)或(2,2)或42164216++??或16421642,77?-- ?? ,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)由正方形性质知AB=OA=4,∠OAB=90°,据此得B (4,4),再由tan ∠AOD= 1 2 得 AD=1 2 OA=2,据此可得点D坐标; (2)由 1 tan 2 GF GOF OF ∠==知GF= 1 2 OF,再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF,即 GF=1 2 EF,根据GH∥x轴知H为AE的中点,结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位 线,即HD∥BE,据此可得答案; (3)分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况,设PG=x,结合题意建立关于x的方程求解可得. 【详解】 解:(1)∵A(4,0), ∴OA=4, ∵四边形OABC为正方形, ∴AB=OA=4,∠OAB=90°, ∴B(4,4), 在Rt△OAD中,∠OAD=90°, ∵tan∠AOD=1 2 , ∴AD=1 2OA= 1 2 ×4=2, ∴D(4,2); (2)如图1,在Rt△OFG中,∠OFG=90° ∴tan∠GOF=GF OF = 1 2 ,即GF= 1 2 OF, ∵四边形OABC为正方形,∴∠AOB=∠ABO=45°,∴OF=EF, ∴GF=1 2 EF, ∴G为EF的中点, ∵GH∥x轴交AE于H, ∴H为AE的中点, ∵B(4,4),D(4,2), ∴D为AB的中点, ∴DH是△ABE的中位线, ∴HD∥BE, ∴∠HDA=∠ABO=45°. (3)①若⊙G与对角线OB相切, 如图2,当点E在线段OB上时, 过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG=2x,OF=EF=22x, ∵OA=4, ∴AF=4﹣22x, ∵G为EF的中点,H为AE的中点, ∴GH为△AFE的中位线, ∴GH=1 2AF= 1 2 ×(4﹣22x)=2﹣2x, 则x=2﹣2x, 解得:x=22﹣2, ∴E(8﹣42,8﹣42), 如图3,当点E在线段OB的延长线上时, x2x﹣2, 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 2018年中考数学真题汇编:整式 (31题) 一、选择题 1. (2018四川内江)下列计算正确的是() A. B. C. D. 【答案】D 2.(2018广东深圳)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3.(2018浙江义乌)下面是一位同学做的四道题:①.② .③ .④ .其中做对的一道题的序号是() A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 4.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】A 5.下列运算正确的是()。 A. B. C. D. 【答案】C 6.下列运算:①a2?a3=a6 ,②(a3)2=a6 ,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3 ,其中结果正确的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】C 8.计算的结果是() A. B. C. D. 【答案】B 9.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】C 10.计算的结果是() A. B. C. D. 【答案】C 11.下列计算正确的是() A. B. C. D. 【答案】D 12.下列计算结果等于的是() A. B. C. D. 【答案】D 13.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】C 14.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】D 15.下列计算正确的是()。 A.(x+y)2=x2+y2 B.(-xy2)3=-x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2 【答案】D 16.下面是一位同学做的四道题①(a+b)2=a2+b2 ,②(2a2)2=-4a4 ,③a5÷a3=a2 , ④a3·a4=a12。其中做对的一道题的序号是() A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 17.下列计算正确的是() A.a3+a3=2a3 B.a3·a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a3)2=a5 【答案】A 18.计算结果正确的是() A. B. C. D. 【答案】B 19.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 20.在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1 ,图2中阴影部分的面积为S2 .当AD-AB=2时,S2-S1的值为() A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b 【答案】B 2019年全国中考数学真题分类汇编:数学文化 一、选择题 1. (2019年乐山市)《九章算术》第七卷“盈不足”中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”译为:“今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱。问人数、物价各多少?”根据所学知识,计算出人数、物价分别是( ) ()A 1,11 ()B 7,53 ()C 7,61 ()D 6,50 【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解:设人数人,物价y 钱. ? ??=+=-y x y x 4738 解得:?? ?==53 7 y x ,故选B. 2.(2019年重庆市)《九章算术》中有这样一个题:今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?其意思为:今有甲乙二人,不如其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的数为50;而甲把其 的钱给乙, 则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱?设甲的钱数为,乙的钱数为y ,则可建立方程组为( ) A . B . C . D . 【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解:设甲的钱数为,乙的钱数为y , 依题意,得:. 故选:A . 3. (2019年山东省德州市)《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四足五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余 4.5尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长多少尺,现设绳 长尺,木长y尺,则可列二元一次方程组为() A. B. C D 【考点二元一次方程组的解法与应用、数学文化 【解答】解:设绳长尺,长木为y尺, 依题意得, 故选:B. 4.(2019年湖北省襄阳市)《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如 下:今有人合伙买羊,每人出5钱,会差45钱;每人出7钱,会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为人,所列方程正确的是() A.5﹣45=7﹣3 B.5+45=7+3 C.=D.= 【考点】一元一次方程的应用 【解答】解:设合伙人数为人, 依题意,得:5+45=7+3. 故选:B. 5. (2019年湖北省宜昌市)古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三 角形的三边求面积的公式,称为海伦﹣秦九韶公式:如果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记p=,那么三角形的面积为S=.如图,在△ABC 中,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积为() A.6B.6C.18D. 【考点】二次根式的应用 【解答】解:∵a=7,b=5,c=6. ∴p==9, ∴△ABC的面积S==6; 故选:A. 6.(2019年福建省)《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增 中考数学真题汇编:平移与旋转 一、选择题 1.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是() A. B. C. D. 【答案】A 2.在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是() A. B. C. D. 【答案】C 3.在平面直角坐标系中,以原点为对称中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为() A.(4,-3) B.(-4,3) C.(-3,4) D.(-3,-4) 【答案】B 4.如图,在平面直角坐标系中,的顶点在第一象限,点,的坐标分别为、, ,,直线交轴于点,若与关于点成中心对称,则 点的坐标为() A. B. C. D. 【答案】A 5.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是() A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 6.下列图形中,既是轴对称又是中心对称图形的是() A. B. C. D. 【答案】B 7.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点;从点出 发引一条射线称为极轴;线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从 转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定,即或或 等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 8.如图,点是正方形的边上一点,把绕点顺时针旋转到的位置, 若四边形的面积为25,,则的长为() A. 5 B. C. 7 D. 【答案】D 9.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称图形的是() A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 10.如图,将沿边上的中线平移到的位置,已知的面积为9,阴影部分 三角形的面积为4.若,则等于() A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 11.如图,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(0, ).现将该三角板向右平移使点A与点O重合,得到△OCB’,则点B的对应点B’的坐标是() A. (1,0) B. (,) C. (1,) D. (-1,) 【答案】C 12.如图,直线都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1,正方形ABCD的边长为,对角线AC 在直线l上,且点C位于点M处,将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止,记点C平移 锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中,两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说:“来吧,你也该工作了。可是我有点担心,你走完三千两百万次以后,恐怕会吃不消的。” “天哪!三千两百万次。”小钟吃惊不已,“要我做这么大的事?办不到,办不到!”另一支旧钟说:“别 听他胡说八道,不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情?”小钟将信将疑,“如果这样,我就试试吧。”小钟很轻松地每秒滴答摆一 下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千两百万次。 成功就是这样,把简单的事做到极致,就能成功。 例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosB的值是() A.B.C.D. 例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为() A.1 B.C.3 D. 例3.cos 60°的值等于( ) A . B . C . D . 例4.如图,在半径为1的⊙O 中,∠AOB =45°,则sinC 的值为( ) A . B . C . D . 练习一 锐角三角函数 1.已知sinA= 2 1 (∠A 为锐角),则∠A=_________,cosA_______,tanA=__________. 2.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,1a =,2b =,则cosA=________,tanA=_________. 3.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AB=5,BC=3,则sinA=________, tanA=_________. 4.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,∠A=30o,4b =,则a =__________,c =__________. 5.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,若sinA= 5 3 ,则cosB=_________. 6.已知cosA= 2 3 ,且∠B=90o-∠A ,则sinB=__________. 7.若∠A 是锐角,且cosA=sinA ,则∠A 的度数是( ) A 、30o B 、45o C 、60o D 、不能确定 8.如图,电线杆AB 的中点C 处有一标志物,在地面D 点处测得标志物的仰角为45°,若点D 到电线杆底部点B 的距离为 a ,则电线杆AB 的长可表示为 A .a B .2a C .3 2a D .52 a D C B A 山西省中考数学计算真题汇总 一.选择题(共1小题) 1.分式方程的解为() A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.x=3 二.填空题(共8小题) 2.不等式组的解集是. 3.化简的结果是. 4.计算:=. 5.计算:9x3÷(﹣3x2)=. 6.方程=0的解为x=. 7.方程的解是x=. 8.分解因式:5x3﹣10x2+5x=. 9.分解因式:ax4﹣9ay2=. 三.解答题(共21小题) 10.(1)计算:(﹣3)2﹣()﹣1﹣×+(﹣2)0 (2)先化简,再求值:﹣,其中x=﹣2. 11.解方程:2(x﹣3)2=x2﹣9. 12.(1)计算:(﹣3﹣1)×﹣2﹣1÷. (2)解方程:=﹣. 13.阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务. 斐波那契(约1170﹣1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用. 斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示(其中,n≥1).这 是用无理数表示有理数的一个范例. 任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数. 14.(1)计算:(﹣2)2?sin60°﹣()﹣1×; (2)分解因式:(x﹣1)(x﹣3)+1. 15.解不等式组并求出它的正整数解:. 16.(1)计算:sin45°﹣()0; (2)下面是小明化简分式的过程,请仔细阅读,并解答所提出的问题. 解:﹣=﹣…第一步 =2(x﹣2)﹣x+6…第二步 =2x﹣4﹣x﹣6…第三步 =x+2…第四步 小明的解法从第步开始出现错误,正确的化简结果是. 17.解方程:(2x﹣1)2=x(3x+2)﹣7. 18.(1)计算:. (2)先化简,再求值.(2x+3)(2x﹣3)﹣4x(x﹣1)+(x﹣2)2,其中x=﹣. 19.解方程:. 20.(1)先化简.再求值:,其中. (2)解不等式组:,并把它的解集表示在数轴上. 21.(1)计算:°+ (2)先化简,再求值:?,其中x=﹣3. 22.化简: 2018中考数学专题练习《锐角三角函数》 (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.下列各数是有理数的是( ) A. B. 4π C. sin 45? D. 1 cos60? 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡,数据如图1所示,则下列关系或说法正确的是( ) A.斜坡AB 的坡度是10o B.斜坡AB 的坡度是tan10? C. 1.2tan10AC =?米 D. 1.2 cos10AB = ? 米 3.在ABC ?中,A ∠,B ∠都是锐角,且1 sin 2 A = ,cos 2B =,则ABC ?三个角 的大小关系是( ) A. C A B ∠>∠>∠ B. B C A ∠>∠>∠ C. A B C ∠>∠>∠ D. C B A ∠>∠>∠ 4.如图2,在R t A B C ?中,90A ∠=?,AD BC ⊥于点D ,:3:2BD CD =,则t a n B 的值是( ) A. 32 B. 2 3 C. D. 5.如图3,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的点,过点C 作⊙O 的切线,交AB 的延长 线于点E ,30A ∠=?,则s sin E 的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. D. 6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量,如图4,他们在A 处仰望塔顶,测得仰角为30o,再往楼的方向前进60 m 至B 处,测得仰角为60o,若学生的身高忽略不计, 1.7≈,结果精确到1m ,则该楼的高度CD 为( ) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 7.如图5,点O 是摩天轮的圆心,长为110米的AB 是其垂直地面的直径,小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33o,测得圆心O 的仰角为21o,则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65?≈,tan 210.38?≈)( ) 图 5 A.169米 B.204米 C.240米 D.407米 8.如图6,在ABC ?中,已知90ABC ∠=?,点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B , C 不重合),作BE AD ⊥于E ,CF AD ⊥交AD 的延长线于F ,则BE CF +的值( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大,再变小 9.如图7,轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30o方向匀速航行,在B 处观测灯塔A 位于南偏东75o的方向上,轮船航行半小时到达C 处,在C 处观测灯塔A 位于北偏东60o的方向上,则C 处与灯塔A 的距离是( ) A. B. 份全国中考数学真题汇编 100份全国中考数学真题汇编 一、选择题 1;如图.在△ABC 中,∠B=90°, ∠A=30°,AC=4cm ,将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A ′B ′C ′的位置,且A 、C 、B ′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为( ) A. B. 8cm C. 163cm π D. 8 3 cm π 【答案】D 2. 如图2,AB 切⊙O 于点B ,OA =23,AB =3,弦BC ∥OA ,则劣弧 ⌒BC 的弧长为( ). A .3 3π B .32π C .π D .32π 图2 【答案】A 3. (2011山东德州7,3分)一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称 为该图形的“直径”,封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”,下面四个平面 B′ A′ C B A (第11题图) 图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为1a ,2a ,3a , 4a ,则下列关系中正确的是 (A )4a >2a >1a (B )4a >3a >2a (C )1a >2a >3a (D )2a >3a >4a 【答案】B 4. (2011山东济宁,9,3分)如图,如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去1 3 圆周的一 个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为( ) A .6cm B .35cm C .8cm D .53cm 【答案】B 5. (2011山东泰安,14 ,3分)一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积是( ) A.5π B. 4π C.3π D.2π 【答案】C 6. (2011山东烟台,12,4分)如图,六边形ABCDEF 是正六边形,曲线 FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”,其中1FK ,12K K ,23K K ,34K K ,45K K , 56K K ,……的圆心依次按点A ,B ,C ,D ,E ,F 循环,其弧长分别记为l 1,l 2,l 3,l 4, l 5,l 6,…….当AB =1时,l 2 011等于( ) (第9题) 剪 2017年中考数学真题三角函数汇总 1、如图,在南北方向的海岸线MN上,有A、B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信号.已知A、B两船相距100(+1)海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上. (1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,请保留根号). (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:≈1.41, 2、18.(7分)如图,为测量某建筑物的高度AB,在离该建筑物底部24米的点C处,目测建筑物顶端A处,视线与水平线夹角∠ADE为39°,且高CD为1.5米,求建筑物的高度AB.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin39°=0.63,cos39°=0.78,tan39°=0.81) 3、如图,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE 和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE 的长(结果保留根号). 4、海中两个灯塔A、B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在正西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D,这是测得灯塔A在北偏西60°方向上,求灯塔A、B间的距离.(计算结果用根号表示,不取近似值) 5、如图,一堤坝的坡角∠ABC=62°,坡面长度AB=25米(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角∠ADB=50°,则此时应将坝底向外拓宽多少米?(结果保留到0.01米)(参考数据:sin62°≈0.88,cos62°≈0.47,tan50°≈1.20) 6、如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处与灯塔P的距离为()≈1.73) 7、如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题: A. 40海里 B. 40海里 初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括:正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠;把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即c b A A cos =∠=斜边的邻边;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法: 【解题方法指导】 例1. (2000年成都市)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =60°,D 是AC 的中点,那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数 分析:在Rt △ABC 中,由∠ABC =60°,可知3BC AC 60tan == ,即AC =3BC ,又CD = 1 2 AC ,tan ∠DBC 可求。 解:在△ABC 中, ∵∠C =90°,∠ABC =60°, ∴tan ∠ABC =tan60°=3BC AC =, ∴AC =3BC 。 又D 是AC 中点, ∴DC = 12AC =32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析:在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. (2001年四川)在Rt △ABC 中 ,CD 是斜边AB 上的高,已知3 2 ACD sin = ∠,那么=AB BC ______。 分析:由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ,可得∠ACD =∠B ,由sin ∠ACD = 2 3 ,那么sinB =23,设AC =2,AB =3,则BC =32522-=,则AB BC 可求。 解:∵∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D , ∴∠ACD =∠B 。 又sin ∠ACD =sinB = 23 , 可设AC =2,AB =3, ∴BC =32522-=。 2018年中考数学真题汇编:因式分解1.(2018安徽)下列分解因式正确的是() A. B. C. D. 【答案】C 2.(2018四川绵阳)因式分解:________。 【答案】y(x++2y)(x-2y) 3.(2018浙江舟山)分解因式m2-3m=________。 【答案】m(m-3) 4.(2018浙江绍兴)因式分解:4x2-y2=________。 【答案】(2x+y)(2x-y) 5.因式分解: ________. 【答案】 6.分解因式:________. 【答案】a(a+1)(a-1) 7.分解因式:________. 【答案】ab(a+b)(a-b) 8.分解因式:=________. 【答案】(4+x)(4-x) 9.因式分解:________. 【答案】 10.分解因式:x3-9x=________ . 【答案】x(x+3)(x-3) 11.分解因式:________. 【答案】 12.因式分解:________. 【答案】 13.分解因式:________. 【答案】 14.分解因式:________. 【答案】a(a-5) 15.因式分解:________ 【答案】 16.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”. (1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数,若四位数m 为“极数”,记D(m)= .求满足D(m)是完全平方数的所有m. 【答案】(1)解:如:1188,2475,9900(答案不唯一,符合题意即可);猜想任意一个“极数”是99的倍数,理由如下:设任意一个“极数”为(其中1≤x≤9,0≤y≤9,且x、y为整数), =1000x+100y+10(9-x)+(9-y) =1000x+100y+90-10x+9-y =990x+99y+99 =99(10x+y+1),∵x、y为整数,则10x+y+1为整数,∴任意一个“极数”是99点倍数 班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1.下列运算正确的是( ) A.()11a a --=-- B.( ) 2 3624a a -= C.()2 22a b a b -=- D.3 2 5 2a a a += 2.如图,由几个小正方体组成的立体图形的左视图是( ) 3.下列事件中确定事件是( ) A.掷一枚均匀的硬币,正面朝上 B.买一注福利彩票一定会中奖 C.把4个球放入三个抽屉中,其中一个抽屉中至少有2个球 D.掷一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的均匀正方体骰子,骰子停止转动后奇数点朝上 4.如图,AB CD ∥,下列结论中正确的是( ) A.123180++=∠ ∠∠ B.123 360++=∠ ∠∠ C.1322+=∠∠∠ D.132+=∠∠∠ 5.已知24221 x y k x y k +=??+=+?,且10x y -<-<,则k 的取值范围为( ) A.112 k -<<- B.102 k << C.01k << D. 1 12 k << 6.顺次连接矩形各边中点所得的四边形( ) A.是轴对称图形而不是中心对称图形 B.是中心对称图形而不是轴对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.没有对称性 7.已知点()3A a -,,()1B b -,,()3C c ,都在反比例函数4 y x = 的图象上,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a b c >> B.c b a >> C.b c a >> D.c a b >> 8.某款手机连续两次降价,售价由原来的1185元降到580元.设平均每次降价的百分率为x ,则下面列出的方程中正确的是( ) A.2 1185580x = B.()2 11851580x -= C.( )2 11851580x -= D.()2 58011185x += A. B. C. D. A B D C 3 2 1 第4题图 A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1,点C 的坐标为(–4,0),平行四边形OABC 的顶点A ,B 在抛物线上,AB 与y 轴交于点M ,已知点Q (x ,y )在抛物线上,点P (t ,0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标; (2) 当四边形CMQP 是以MQ ,PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围; ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1:2时,求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图,已知在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,P 是线段AD 边上的任意一点(不含端点 A 、D ),连结PC , 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E (1)在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ,使得QC ⊥QE ?若存在,求线段AP 与AQ 之间的数量关系;若不存在,请说明理由; (2)当点P 在AD 上运动时,对应的点E 也随之在AB 上运动,求BE 的取值范围. (3)存在,理由如下: 如图2,假设存在这样的点Q ,使得QC ⊥QE. 由(1)得:△PAE ∽△CDP , ∴ , ∴ , ∵QC ⊥QE ,∠D =90 ° , ∴∠AQE +∠DQC =90 ° ,∠DQC +∠DCQ =90°, ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°, ∴△QAE ∽△CDQ , ∴ , ∴ ∴ , 即 , ∴ , ∴ , ∴ . ∵AP≠AQ ,∴AP +AQ =3.又∵AP≠AQ ,∴AP≠ ,即P 不能是AD 的中点, ∴当P 是AD 的中点时,满足条件的Q 点不存在, 综上所述, 的取值范围8 7 ≤ <2; 3.如图,已知抛物线y =-1 2 x 2+x +4交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式; (2)设P (x ,y )(x >0)是直线y =x 上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作正方形PEQF ,若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值. (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4 中考数学真题汇编:锐角三角函数 (WORD版本真题试卷+名师解析答案,建议下载保存) 一、选择题 1.的值等于() A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图,过点,,,点是轴下方上的一点,连接,,则的度数是() A. B. C. D. 【答案】B 3.如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D 4.如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角,升旗台底部到教学楼底部的距离米,升旗台坡面CD的坡度,坡长米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离米,则旗杆AB的高度约为()(参考数据:,,) A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据:)() A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 6.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为() A. B. C. D. 【答案】B 7. 如图,已知在中,,,,则的值是() A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(A、D、B 在同一条直线上)() A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图.一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上,继续航行1.5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 ________小时即可到达(结果保留根号) 【答案】 10.如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=________。 2018年中考数学真题汇编:实数与代数式(解答题21题) 解答题 1.计算:. 【答案】原式=1-2+2=0 2. (1)计算: (2)化简:. 【答案】(1)解:原式=1+2× -(2- )-4=1+ -2+ -4 = (2)解:原式= = = 3. (1)计算: (2)化简: 【答案】(1)=4- +1=5- (2)=m2+4m+4+8-4=m2+12 4. (1). (2)化简. 【答案】(1)原式 (2)解:原式 5. (1)计算: (2)解分式方程: 【答案】(1)原式= ×3 - × +2- + , = - +2- + , =2. (2)方程两边同时乘以x-2得: x-1+2(x-2)=-3, 去括号得:x-1+2x-4=-3, 移项得:x+2x=-3+1+4, 合并同类项得:3x=2, 系数化为1得:x= . 检验:将x= 代入最简公分母不为0,故是原分式方程的根, ∴原分式方程的解为:x= . 6. (1)计算:2(-1)+|-3|-(-1)0; (2)化简并求值,其中a=1,b=2。 【答案】(1)原式=4 -2+3-1=4 (2)原式= =a-b 当a=1,b=2时,原式=1-2=-1 7. (1)计算: (2)解方程:x2-2x-1=0 【答案】(1)解:原式= - -1+3=2 (2)解:∵a=1,b=-2,c=-1 ∴?=b2-4ac=4+4=8, ∴x= x= ∴x1= ,x2= 8.计算:+-4sin45°+. 【答案】原式= 9.计算: 【答案】原式=2-3+8-1=6 10.计算: 【答案】解:原式= = 11.计算:. 【答案】解:原式=4+1-6=-1 12.计算或化简. (1); (2). 【答案】(1)解:()-1+| ?2|+tan60° =2+(2- )+ =2+2- + =4 (2)解:(2x+3)2-(2x+3)(2x-3) =(2x)2+12x+9-[(2x2)-9] =(2x)2+12x+9-(2x)2+9 =12x+18 13.计算: 【答案】解: =1+2+ 全国各地2018年中考数学真题汇编(含答案) 实数与代数式(选择+填空28题) 一、选择题 1. (2018山东潍坊)( ) A. B. C. D. 【答案】B 2.(2018四川内江)已知:,则的值是() A. B. C. 3 D. -3 【答案】C 3.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是() A. B. C. D. 【答案】C 4.下列无理数中,与最接近的是() A. B. C. D. 【答案】C 5.四个数0,1,,中,无理数的是() A. B.1 C. D.0 【答案】A 6.下列计算正确的是() A. B. C. D. 【答案】D 7.估计的值在() A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】D 8.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用下图的三角形解释二项式 的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”. 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为() A. 84 B. 56 C. 35 D. 28 【答案】B 9.如果规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[2.3]=2,那么函数y=x﹣[x]的图象为() A. B. C. D. 【答案】A 10.某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品,将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合),现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉,如果作品有角落相邻,那么相邻的角落共享一枚 图钉(例如,用9枚图钉将4张作品钉在墙上,如图),若有34枚图钉可供选用,则最多可以展示绘画作品( ) A. 16张 B. 18张 C. 20张 D. 21张 【答案】D 11.把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有6个三角形,第③个图案中有8个三角形,…,按此规律排列下去,则第⑦个图案中三角形的个数为() A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 12.在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令,从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1m,其行走路线如图所示,第1次移动到,第2次移动到……,第n 次移动到,则△的面积是() A.504 B. C. D. 【答案】A 13.将全体正奇数排成一个三角形数阵 1 3 5 7 9 11 中考数学真题汇编:锐角三角函数 一、选择题 1.的值等于() A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图,过点,,,点是轴下方上的一点,连接,, 则的度数是() A. B. C. D. 【答案】B 3.如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的 直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D 4.如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角,升旗台底部到教学楼底部的距离米,升旗台坡面CD的坡度 ,坡长米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离米,则旗杆AB的高度约为 () (参考数据:,,) A. 12.6米 B. 13.1 米 C. 14.7 米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后 两位)(参考数据:)() A. 4.64海里 B. 5.49海 里 C. 6.12海 里 D. 6.21海里 【答案】B 6.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为() A. B. C. D. 【答案】B 7. 如图,已知在中,,,,则的值是() A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(A、D、B 在同一条直线上)() A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图.一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上,继续航 行1.5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在 北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航 行________小时即可到达 (结果保留根号) 【答案】 10.如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=________。 【答案】 11.如图,把三角形纸片折叠,使点、点都与点重合,折痕分别为,,得到 ,若厘米,则的边的长为________厘米. 【答案】 12.如图,在菱形中,,分别在边上,将四边形沿翻折, 使的对应线段经过顶点,当时,的值为________. 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC 内接于⊙O ,2,BC AB AC ==,点D 为AC 上的动点,且10 cos B =. (1)求AB 的长度; (2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD?AE 的值是否变化?若不变,请求出AD?AE 的值;若变化,请说明理由. (3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD ,求证:BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB ;(2) 10AD AE ?=;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长; (2)连接DG ,则可得AG 为⊙O 的直径,继而可证明△DAG ∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ,连接BG ,求得AF=3,FG= 1 3 ,继而即可求得AD?AE 的值; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,通过证明△ADC ≌△ADN ,可得AC=AN ,继而可得AB=AN ,再根据AH ⊥BN ,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G , ∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF=1 2BC=1, 在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=10 cos 10 BF B == (2)连接DG , ∵AF ⊥BC ,BF=CF ,∴AG 为⊙O 的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°, 又∵∠DAG=∠FAE ,∴△DAG ∽△FAE , ∴AD :AF=AG :AE , ∴AD?AE=AF?AG , 连接BG ,则∠ABG=90°,∵BF ⊥AG ,∴BF 2=AF?FG , ∵22AB BF -=3, ∴FG= 13 ,2018年中考数学真题汇编:二次函数(含答案)
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