大一高数课件第二章-习题课-
合集下载
高数数学必修一《第二章 章末复习课》教学课件
考点三 一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不 等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联 系这三个“二次”的枢纽． (1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时 解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两 种情况进行讨论． (2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和 方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之 间的关系．
跟踪训练4 已知函数y＝x2＋ax＋2. (1)若对∀x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2恒成立，求实数a的取值 范围； (2)若∃x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2成立，求实数a的取值范 围．
考点五 不等式在实际问题中的应用 1．不等式的实际问题常以函数为背景，多以解决实际生活、生产中 的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值． 2．通过对不等式实际问题的考查，提升学生数学建模和数学运算素 养．
所以不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．
(2)由x2－x＋a－a2≤0，得(x－a)[x－(1－时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，
当a＝1－a，即a＝12时，不等式的解集为
1 2
，
当a>1－a，即a>12时，不等式的解集为{x|1－a≤x≤a}，
综上，当a<12时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，当a＝12时，不等式的解集为
例3 (1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解是α<x<β，其中β>α>0，求不 等式cx2＋bx＋a<0的解集；
(2)解关于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0(a∈R)．
《高等数学》课件第2章
2.2 函数的求导法则
2.2.1 导数的四则运算法则
引例2-3(物体的运动速度) 已知某物体作直线运动，路 程s(单位m)与时间t(单位s)的函数关系为s=t2－tlnt+5，t∈[1， 5]. 求物体在t=2 s时的速度.
分析: 问题即为求导数 ds . 因为s的表达式较复杂，
dt t=2
所以直接用定义求解很繁琐，是否有便捷的方法呢？可以看 到，s是由t2、t、lnt、5这四个基本初等函数通过加、 减、 乘 法运算组成的，而这四个基本初等函数的导数都有现成的公 式可用，因此若能找到导数的四则运算法则，则问题迎刃 而解.
解 因为y′=3x2，由导数的几何意义可知，曲线y=x3 在 点(1，1)处的切线斜率为
K=y′|x=1=3
y－1=3(x－1)
y=3x－2
y 1 1 (x 1) 3
即
y 1x 4
33
2.1.4 可导与连续的关系
设函数y=f(x)在点x处可导，即 lim y f (x) 存在，由极
x0 x
限的运算法则得
如图2-1所示，设曲线y=f(x)上有定点M0(x0，y0)和动点 M(x+Δx，y+Δy)，作割线M0M. 当动点M沿着曲线趋向于定 点M0时，割线M0M的极限位置M0T就定义为曲线在点M0处的 切线，过M0且与切线垂直的直线叫做曲线在点M0处的法线.
图2-1
割线M0M
tan y
x
其中φ为割线M0M的倾斜角. 当Δx→0时，点M将沿着 曲线无限趋于点M0，上式的极限存在，即
ds [2t ln t 1] 4 ln 2 1 2.3069 dt t=2
即物体在t=2 s时的速度约为2.3069 m/s.
大一高讲义数课件第二章2-6-1
(2)炮弹在时t刻 0的速度大.小
解 (1) 在t0时刻的运动方向即 轨迹在t0时刻的切线方向, 可由切线的斜率来反映.
dy(v0tsin12gt2) dx (v0tcos)
v0 sin gt v0 cos
dy dxtt0
v0si ng0t. v0cos
y
vy v
v0
vx
o
x
xv0tcos ,
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t时 ,xa ( 1 ),ya .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1) 即yxa(2)
2
2
例7 不计空气的阻, 以 力初速度 v0, 发射角发射炮弹 ,
其运动方程为xy
v0t cos, v0tsin
1 gt2, 2
求(1)炮弹在时t刻 0的运动方;向
x
x
一般地 f(x ) u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 )
lf ( n x ) v ( x ) l u ( x n )
又 dln f(x)1df(x) dx f(x)dx
f(x)f(x)dln f(x) dx
f(x ) u (x )v (x )[v (x )lu n (x ) v (x )u (x )] u (x )
设xx(t)及y y(t)都是可导,函 而数 变量 x与y之间存在
某种关,从 系而它们的变 dx化 与d率 y之间也存在一,定 dt dt
这样两个相互依化赖率的称变为相关.变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
三、由参数方程所确定的函数的导数
若 参 数 x y 方 ((tt))程 确 定 y与 x间 的 函,称 数此 关为 系由
高等数学课件-习题课2
哈 尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨 工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程 大 学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工 解 首,先 f(x)在x0处必须 ,从 连 而 续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都 的 存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数 学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈 尔 滨 工 程 大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高 等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在
大一高数课件第二章 2-1-1
不存在
函数y f ( x )在x 0点不可导.
o
x
四、导数的几何意义
1.几何意义
f ( x0 )表 示 曲 线y f ( x )上 点 M ( x0 , f ( x0 ))处 切 线 的 斜 率 ,即 f ( x0 ) tan , (为 倾 角 )
y
y f ( x)
T
3 2
3 y x 3 2
1 2
x4
y8
( 4, 8 )点的切线与y 3 x 1 平行
五、可导与连续的关系
定理
证
函数在一点可导，则函数在该点必连续.
y f ( x 0 ) x
y f ( x 0 ) x 0 x lim
设函数 f ( x )在点 x0可导,
k y
பைடு நூலகம்
1 x 2
4.
切线方程为 法线方程为
1 y 2 4( x ), 2
即 4 x y 4 0.
即 2 x 8 y 15 0.
1 1 y 2 ( x ), 4 2
例8 曲线 y x 上哪一点的切线与 3 x 1 平行？ y 解
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然 科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.
1665年他提出正 流数(微分)术,次年又提出反流数 (积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版). 他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .
切线的斜率
f ( x0 x ) f ( x0 ) k lim x 0 x
大一高数上 PPT课件 第二章
xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
精品课件-高等数学-第二章
(2) 算比值：Δy/Δx=[f(x+Δx)－f(x)]/Δx；
(3) 取极限：y f (x) lim y . 我们根据这三个步骤来求x解0 一x 些基本初等函数的导数.
例1 求函数f(x)=C (C为常数)的导数.
解 在x处给自变量一个增量Δx，相应的函数值的增量为
Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0
(2-6)
第二章 导数与微分
(loga
x)
1 x
loga
x
1 x ln a
(2-7)
特别地，当a=e时，有
(ln x) 1 x
(2-8)
例2 [切线与法线方程] 曲线y=x3/2上哪个点处的切线与
直线y=3x－1平行？试求该曲线在点(1，1)处得切线方程和法
线方程.
解 设曲线y=x3/2在点M(x0，y0)处得切线的斜率为k，则有
v s s(t0 t) s0
t
t
第二章 导数与微分
图2-1
第二章 导数与微分
因此，当|Δt|越小，v 就越接近质点在t0时刻的瞬时速度.
据此，当Δt→0时，若v 的极限存在，就将此极限值称为质 点在时刻t0的(瞬时)速度，即
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
s t
lim
t 0
s(t0
k tan y f x0 x f x0
x
x
当点Q沿曲线L趋于点P时， Δx→0，割线PQ的倾斜角j就
趋于切线PT的倾斜角α，于是割线PQ的斜率 的极k 限(如果存 在)，就是曲线L在点P处的切线的斜率，即
k切
tan
lim k
x0
lim
大一高数课件第二章
微分的计算方法：微分的计算方法包括基本初等函数的微分公式和微分运算法则。通 过这些方法，我们可以快速地计算出函数的微分值。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
添加标题
添加标题
多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
PPT,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
添加标题
添加标题
多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
PPT,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。