同济大学概率论与数理统计复习题4(2014)

总复习4

备用数据：

(1)0.8413,(2)0.9772Φ=Φ=,220.9750.0250.975(8) 2.3060,(8) 2.1797,(8)17.5345t χχ===。

一. 填空题(共20分)

1.(6分) 设()0.4,()0.3,()0.5P A P B P A B ==?=，则()P AB = ,()P A B -= , ()P A B = .

2.(6分) 设随机变量X 的密度函数为 ,02()0,cx x f x <

，则常数c = ，

()E X = ，X 的中位数为 .

3.(4分) 设随机变量X 的概率函数为1(1)(1)(2)3P X P X P X =-=====,记{}1.5A X =≤，Y 表示在三次重复独立试验中事件A 发生的次数,则()P A = ，()2P Y == 。

4. (4分)设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且服从相同的分布，()~,1i X N μ, 221234()()Y a X X b X X =-+-,其中0ab ≠,则当常数a = ,b = 时，Y 服从自由度为 的 分布。

二．（10分）设随机变量,X Y 相互独立且服从相同的分布，X 的密度函数为

23,02()80,x x f x ?<

， 记{}{}{}1,11A X B X Y =≤=≤?≤，求 ()P A 、()P A B -和()P A B ?.

三．(16分) 设随机变量12,X X 相互独立且服从相同的分布,12(),1,2,3k P X k k ===.

记随机变量 12Z X X =+.

（1）求 1(,)X Z 的联合概率函数； （2）求Z 的概率函数；

（3）问：1,X Z 是否相互独立？请说明理由；（4）求1(),()E X E Z 。

四．（16分）设随机变量(,)X Y 服从区域 2

(,):2x G x y y x y ??=≥≥????

且上的均匀分布. (1) 求(,)X Y 的联合密度函数; (2）分别求,X Y 的边缘密度函数;

（3）问：,X Y 是否相互独立？请说明理由； （4）求 (1,1)P X Y ≤≤.

五．(10分). 假设一个复杂系统由400个相互独立工作的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,试用中心极限定理求该系统中至少有348个部件正常工作的概率..

六．(12分) 设某厂生产的零件重量X （单位：克）服从正态分布2(,)N μσ，现从该厂生产的零件中抽取了9只零件,测得其重量（单位：克）为19,,x x ，并由此算出99

211414,19044.32i i i i x

x ====∑∑.分别求μ和2σ的置信水平0.95的双侧置信区间.

七.(16分)设12,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本，2n ≥，X 的密度函数为

221(ln ),0()20,x x f x μσ??-->??=???

其他 ，其中 2,μσ 未知。 即 ln X 服从2(,)N μσ. 这里函数exp()x x e =.

(1)求2,μσ的极大似然估计量2??,μ

σ； (2)问：μ的极大似然估计量?μ

是否为μ的无偏估计量？请说明理由; (3)问：μ的极大似然估计量?μ是否为μ的相合估计量？请说明理由.