浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课时分层训练
课时分层训练(四十七) 椭 圆
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M 是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( ) A．4 B．3
C．2 D．5
A [由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，
∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
B [原方程化为＋＝1(m>0)，
∴a2＝，b2＝，则c2＝a2－b2＝，
则e2＝，∴e＝.]
3．(2017·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2
＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
( )
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
D [设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1，故选D.]
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( ) 【导学号：51062287】
A．2 B．3
C．6 D．8
C [由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
A [∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.
又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，
∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.]
二、填空题
6．(2017·绍兴质检)已知椭圆：＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别
为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是__________．
[由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦
点的弦中，通径最短，则＝3，所以b2＝3，即b＝.]
7．(2017·嘉兴一中月考)如图853，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为
__________．
图853
＋＝1 [设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|
＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，
解得b2＝2，则a＝2b＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.]
8．如图854，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心
率是 ________. 【导学号：51062288】
图854
[将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2
＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．]
三、解答题
9．如图855所示，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
图855
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
【解】 (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，
所以e＝.7分
(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，10分
所以|AB|＝·＝c.12分
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.15分
法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.10分
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2at cos 60°可得，t＝a.13分
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，
a＝10，b＝5.15分
10．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
[解] (1)由题设条件知，点M的坐标为，2分
又k OM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.6分
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.8分
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2).12分
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.15分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为
( )
A. B．1
C．2 D．4
C [圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．
又直线l过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴，
∴直线l的方程为x＝－c.
又∵直线l与圆M相切，
∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.]
2．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点相同，记为F，设点M是两曲线在第一象限内的公共点，且|MF|＝，则M 点的横坐标是________，a＋b＝________. 【导学号：51062289】 2＋ [设M(x M，y M)．易知F(1,0)，|MF|＝1＋x M＝，∴x M＝.从而y ＝.
由解得∴a＋b＝2＋.]
3．(2017·舟山调研)如图856，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
图856
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
[解] (1)由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝.3分
所以椭圆的方程为＋y2＝1.6分
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.8分
由已知Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.10分
从而直线AP，AQ的斜率之和
k AP＋k AQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.15分。
2018年高考数学(理)一轮复习文档 第八章 平面解析几何 第5讲 椭 圆 Word版含答案
第讲 椭 圆
)
．椭圆的定义
.椭圆的标准方程和几何性质
．辨明两个易误点
()椭圆的定义中易忽视＞这一条件，当＝时，其轨迹为线段，当＜时，不存在轨迹．()求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝(＞＞)．
．求椭圆标准方程的两种方法
()定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
()待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出、；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为＋＝(＞，＞，≠)．
椭圆：＋＝的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，则△的周长为( )
．．
．．
△的周长为
＋＋
＝＋＋＋
＝＋＝.
在椭圆＋＝中，＝，＝，
所以△的周长为＝，故选.
．若直线－＋＝经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
＋＝
．＋＝
＋＝或＋＝
．以上答案都不对
直线与坐标轴的交点为(，)，(－，)，
由题意知当焦点在轴上时，＝，＝，
所以＝，所求椭圆的标准方程为＋＝.
当焦点在轴上时，＝，＝，
所以＝，所求椭圆的标准方程为＋＝.故选.
．(·高考全国卷乙)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短。
2018届高考数学一轮复习8.5
所以点A的坐标为 ������, ±
2 ������
,
������ 1+������2 ������ 2
故AF1所在的直线方程为x-acy+c=0, 所以坐标原点O到直线AF1的距离为 =
������ ������2 −1
.
又|OF1|=c,
所以
������ ������2 −1
知识清单 基础自测
第五节
椭
圆
主干知识回顾 名师考点精讲
-5-
3.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. (1)直线与椭圆相离的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组无解,即转化所 得的一元二次方程的判别式小于0; (2)直线与椭圆相切的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组有唯一解,即转 化所得的一元二次方程的判别式等于0; (3)直线与椭圆相交的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组有两组不同的 解,即转化所得的一元二次方程的判别式大于0.
第五节 椭 圆
第八章
第五节
椭
圆
主干知识回顾 名师考点精讲
-2-
考纲概述 (1)了解椭圆的实际背景,了解椭圆 在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用; (2)掌握椭圆的定义、几何图形、 标准方程及简单几何性质(范围、 对称性、顶点、离心率); (3)了解椭圆的简单应用; (4)理解数形结合的思想
考查热点 椭圆的定义、标准方程与几何性
第五节
椭
圆
主干知识回顾 名师考点精讲
-8-
������ 2 5.设椭圆C: 2 ������
点,������������2 ·
������ 2 + =1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆C上的一 2 1 ������1 ������2 =0,坐标原点O到直线AF1的距离为 |OF1|. 3
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第8章 平面解析几何8-5含答案
（时间：40分钟）1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0)，离心率等于错误!，则C的方程是( ）A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C。
错误!＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1答案D解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝错误!＝错误!⇒a＝2,b2＝a2－c2＝3,因此椭圆C的方程是错误!＋错误!＝1。
2．已知椭圆错误!＋错误!＝1的长轴在x轴上，焦距为4,则m等于( ）A．8 B．7C．6 D．5答案A解析∵椭圆错误!＋错误!＝1的长轴在x轴上，∴错误!解得6〈m<10.∵焦距为4,∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.3．椭圆错误!＋错误!＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则｜ON｜等于（)A．2 B．4C．8 D.错误!答案B解析如图,连接MF2，已知｜MF1｜＝2，又｜MF1｜＋｜MF2|＝10，∴｜MF2|＝10－｜MF1｜＝8.由题意知|ON｜＝错误!｜MF2|＝4.故选B。
4．设F1，F2是椭圆E：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左、右焦点，P为直线x＝错误!上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!答案C解析设直线x＝32a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q＝60°，|F2P|＝|F1F2｜＝2c，｜F2Q|＝错误!a－c，所以错误!a－c＝错误!×2c,e＝错误!＝错误!，故选C.5．椭圆错误!＋y2＝1的右焦点为F，直线x＝t与椭圆相交于点A、B,若△FAB的周长等于8，则△FAB的面积为( ）A．1 B. 2C。
错误!D．2答案C解析∵a＝2,△FAB的周长为8＝4a,∴由椭圆的定义得直线x ＝t经过椭圆的左焦点，把x＝－错误!代入椭圆方程，得错误!＋y2＝1，|y|＝错误!，∴△FAB的面积为错误!·2｜y｜·2c＝错误!。
浙江新高考数学理科一轮复习创新方案主干知识8.5椭圆(含答案详析)
第五节 椭 圆【考纲下载 】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．认识圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形联合的思想．1． 椭圆的定义(1)知足以下条件的点的轨迹是椭圆 ①在平面内；②与两个定点 F 1， F 2 的距离的和等于常数； ③常数大于 |F 1 F 2 |.(2)焦点：两定点． (3)焦距：两焦点间的距离．2． 椭圆的标准方程和几何性质x 2y 2标准方程 x 2 y 2学科王a 2＋ b2＝ 1(a ＞ b ＞0)b 2 ＋ a 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)图形－ a ≤x ≤ a ，－ b ≤ x ≤ b ， 范围学科王－ b ≤ y ≤ b－ a ≤ y ≤ a学科王对称性对称轴：坐标轴，对称中心： (0,0)性极点A 1(－ a,0)， A 2 (a,0)， A 1(0，－ a) ，A 2(0， a)，B 1(0，－ b)， B 2(0 ， b) B 1(－ b,0)， B 2(b,0)轴长轴 A 1 A 2 的长为 2a ，短轴 B 1B 2 的长为 2b学科王质焦距 |F 1F 2|＝ 2c离心率e ＝ c， e ∈ (0,1)aa ，b ，c c 2＝ a 2－ b 2的关系1．在椭圆的定义中，若 2a ＝ |F 1 F 2 |或 2a<|F 1F 2|，则动点的轨迹如何？提示：当 2a ＝ |F 1 F 2 |时动点的轨迹是线段 F 1F 2；当 2a<|F 1F 2|时，动点的轨迹是不存在的． 2．椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有如何的关系？提示：离心率 e ＝a c越靠近 1，a 与 c 就越靠近， 进而 b ＝ a 2 －c 2就越小， 椭圆就越扁平；同理离心率越靠近 0，椭圆就越靠近于圆．1．已知 F 1，F 2 是椭圆x 2 ＋ y2＝ 1 的两焦点，过点 F 2 的直线交椭圆于 A ， B 两点，在△16 9 AF 1B 中，如有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3分析：选A依据椭圆定义，知△ AF 1B 的周长为 4a ＝ 16，故所求的第三边的长度为 16－ 10＝ 6.222．椭圆 x＋ y＝ 1 的离心率为 ()16 81 132A. 3B.2C. 3D. 2分析：选 D在椭圆 x 2 y 2222222，＋＝ 1 中， a ＝ 16， b ＝ 8，所以 c＝a － b ＝ 8，即 c ＝ 216 8所以，椭圆的离心率e ＝ c ＝22＝ 2x2y2a 42.3．椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 的右焦点到直线 y ＝ 3x 的距离是 ()1 3 C ．1 D. 3 A.2 B. 2分析：选 B在椭圆 x2＋ y 2＝ 1 中， a 2＝ 4，b 2 ＝3，所以 c 2＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝ 1，所以，其4 3右焦点为 (1,0)．该点到直线y ＝ 3x 的距离 d ＝| 3－0|＝ 332＋ －122 .4．已知椭圆的方程为2x2＋3y 2 ＝m(m>0) ，则此椭圆的离心率为 ________．m2 226 ＝分析： 椭圆 2x 2＋3y 2＝ m(m>0)可化为 x ＋y＝1，所以 c 2＝ m －m＝ m，所以 e 2＝c2＝mm236am2 321，即 e ＝ 333 .答案：335．椭圆 x 2＋ my 2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的2 倍，则 m ＝ ________.2 2 2 y 221 2分析： 椭圆 x＋ my ＝1 可化为 x ＋＝ 1，由于其焦点在y 轴上，∴ a ＝， b ＝ 1，1mm依题意知11＝ 2，解得 m ＝ .m4答案：14压轴大题巧打破 (一 )与椭圆相关的综合问题求解x 2y 23[典例 ](2013 天·津高考 )(13 分 )设椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0)的左焦点为 F ，离心率为 3，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1) 求椭圆的方程；(2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右极点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C ，D 两点．若AC ·DB ＋ AD ·CB ＝ 8，求 k 的值．[ 化整为零破难题 ](1)基础问题 1：如何获得 a 与 c 的关系？ 利用椭圆的离心率．基础问题 2：如何求过 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长？直线 x ＝－ c 与椭圆订交，两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长． (2)基础问题 1：如何求 A ，B 两点的坐标？ A ，B 分别为左右极点即为 (－ a,0)， (a,0) ．基础问题 2：设 C(x 1， y 1)， D (x 2， y 2)，如何找寻 x 1＋ x 2， x 1x 2 呢？将直线方程与椭圆方程联立， 消去 y 获得对于 x 的一元二次方程． 利用根与系数关系即可获得．基础问题 3：如何表示 AC ·DB ＋ AD ·CB ？ 利用向量的坐标运算即可．[规范解答不失分](1) 设 F ( － c, 0) ，由 c＝ 3 ，知 a ＝3c ，a 3过点 F 且与 x 轴垂直的直线为x ＝－ c ，代入椭圆方程有解得 y ＝ ± 6b ， ①32 6b 4 32于是 3 ＝ 3 ，解得 b ＝ 2，则 b ＝2. 又由于 a 2－ c 2＝ b 2，进而 a 2＝ 3， c 2＝ 1，x 2 y 2 所以所求椭圆的方程为 3 ＋2＝1.4(2)设点 C x 1，y 1 ， D x 2， y 2，②由 F ( － 1,0) 得直线 CD 的方程为 y ＝k(x ＋1)，由方程组－ c 22 y＝ 1，a 2＋ b 22 分分y ＝ k x ＋ 1 ，2 2 x ＋ y ＝ 1，3 2消去 y 得2＋ 3k 2x 2＋6k 2 x ＋3k 2－ 6＝ 0.③63k 2－ 6分依据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－ 6k 2 8分2， x 1x 2＝2.2＋ 3k2＋ 3k由于 A ( － 3，0) ，B (3，0)，所以 AC ·DB ＋AD ·CB= x 13, y 13 x 2 , y 2 x 23, y 2 3 x 1, y 1④＝ 6－2x 1x 2 － 2y 1y 2＝ 6－2x 1x 2－ 2k 2( x 1＋ 1)(x 2＋ 1)＝ 6－(2＋ 2k 2 2 22k 2＋ 12 .11 分)x 1x 2－ 2k (x 1＋ x 2)－ 2k ＝6＋ 2 2k 2＋12 2＋ 3k由已知得 6＋13分2 ＝ 8，解得 k ＝ ± 2. 2＋ 3k[易错警告要切记 ]易错点一①处易用 a，b，c 三个量来表示 y，造成运算大而出现错误，原由是忽视a，b，c 三者的关系易错点二②处易忽视设点，尔后边直接用根与系数的关系，造成不谨慎，出现错误易错点三③方程整理错误易错点四④处公式记忆禁止，向量坐标运算错误。
最新-2018届高考数学一轮复习 第8章第五节 椭圆课件 文 精品
其中 A，B 为不相等的正常数或由已知条件 设椭圆系(如xa22＋yb22＝λ，λ＞0)来求解，以避 免讨论和繁琐的计算．
例1 (1)求两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)， 并且经过点(－32，52)的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴 长的 3 倍，并且过点 P(3,0)，求椭圆的方程； (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，
∴O→A＋O→B＝(2xM,2yM)＝(1200kk2＋2m6，－ 101k22＋km6)， 即 N 点的坐标为(1200kk2＋2m6，－ 101k22＋km6)． 由 N 点在椭圆上， 则15×(1200kk2＋2m6)2＋13×(1－0k122＋km6)2＝m22， 即 5k4－2k2－3＝0，∴k2＝1 或 k2＝－35(舍去)． 故存在 k＝±1，使对任意 m＞0，
答案：(3,4)∪(4,5) 3．椭圆xm2＋1y52 ＝1 的焦距等于 2，则 m 的值是________． 答案：16或14
4．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴 长、离心率依次是________．
答案：10,6，45
考点探究·挑战高考
考点突破
椭圆的定义及标准方程
椭圆标准方程的求法 (1)定义法； (2)待定系数法．若已知焦点的位置可惟一 确定标准方程；若焦点位置不确定，可采 用分类讨论法来确定方程的形式，也可以 直接设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1，
轴
对称轴：_x_轴__、__y_轴___，长轴长：_A__1A__2＝__2_a___， 短轴长：_B__1B__2＝__2_b___
条
{M|MF1＋MF2＝2a，(2a>F1F2)}
件
{M|MdF1 1＝MdF2 2＝e(0<e<1)}
最新-浙江省2018高考数学总复习 第8单元 第5节 椭圆
第五节 椭圆1. (原创题)已知F 1，F 2是椭圆x236＋y 225＝1的两个焦点，A 、B 是椭圆上的两个点且其连线过F 1，则△ABF 2的周长为( )A. 12B. 24C. 36D. 482. “m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝12，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)在( )A. 圆x 2＋y 2＝2内B. 圆x 2＋y 2＝2上C. 圆x 2＋y 2＝2外D. 以上三种情况都有可能4. 已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)与y 轴交于A 、B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为( )A. 1B. 2C. 4D. 85. 点P (x ，y )是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2≤90°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. 0<e ≤22 B. 22≤e <1 C. 0<e <1 D. e ＝226. (2018·福建)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A. 2B. 3C. 6D. 87. ( 改编题)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为椭圆的一个焦点和顶点，则适合上述条件的椭圆的标准方程为 ________.8. (2018·山东潍坊高三模拟)已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为______．9. 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______，∠F 1PF 2的大小为______．10. 已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆C 上一动点，点P 是线段AM 的中点，点N 在CM 上，且满足NP ⊥AM ，则点N 的轨迹方程为________.11. (2018·宁夏)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．12. (2018·皖南八校联考)已知圆C ：(x －4)2＋(y －m )2＝16(m ∈N *)，直线4x －3y －16＝0过椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且交圆C 所得的弦长为325，点A (3,1)在椭圆E上．(1)求m 的值及椭圆E 的方程； (2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AC →·AQ →的取值范围．答案6. C 解析：由题意，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP→取得最大值224＋2＋3＝6，选C.7. x 216＋y 212＝1 解析：圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，令x ＝0，无解．令y ＝0⇒x 2－6x ＋8＝0，得圆C 与坐标轴的交点分别为(2,0)，(4,0)，则a ＝4，c ＝2，b 2＝12，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.8. 12 解析：因为AB ＝2c ＝4，所以c ＝2，又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，所以a ＝4，e ＝c a＝24＝12. 9. 2 120° 解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴|F 1F 2|＝27，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝2，又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－ 27 22×2×4＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.10. x 22＋y 2＝1(y ≠0) 解析：由已知，得|CM |＝|NC |＋|NM |＝|NC |＋|NA |＝22＞|AC |＝2，因此动点N 的轨迹是以点A (1,0)，C (－1，0)为焦点、长轴长2a ＝22的椭圆，其中a＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，故动点N 的轨迹方程是x 22＋y 2＝1(y ≠0)．11. (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)直线l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2.因为直线AB 的斜率为1， 所以|AB |＝2|x 2－x 1| 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4 1－b 2 1＋b 2 2－4 1－2b 2 1＋b 2＝8b 41＋b 2 2， 解得b ＝22. 12. (1)因为直线4x －3y －16＝0交圆C 所得的弦长为325，所以圆心C (4，m )到直线4x －3y －16＝0的距离等于42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝125，即|4×4－3×m －16|5＝125，所以m ＝4或m ＝－4(舍去)，又因为直线4x －3y －16＝0过椭圆E 的右焦点，所以右焦点坐标为F 2(4,0)，则左焦点F 1的坐标为(－4,0)，因为椭圆E 过A 点，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，即2a ＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，则b 2＝2，故椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1. (2)方法一：AC →＝(1,3)，设Q (x ，y )， 则AQ →＝(x －3，y －1)．设x ＋3y ＝n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 22＝1，x ＋3y ＝n ，消去x ，得18y 2－6ny ＋n 2－18＝0，由于直线x ＋3y ＝n 与椭圆E 有公共点，所以Δ＝(6n )2－4×18×(n 2－18)≥0，解得－6≤n ≤6，故AC →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围为[－12,0]．方法二：AC →＝(1,3)，设Q (x ，y )， 则AQ →＝(x －3，y －1)，AC →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6.∵x 2＋(3y )2≥2|x |·|3y |，而x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y )2＝18，∴－18≤6xy ≤18，∴(x ＋3y )2＝x 2＋(3y )2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]， 即x ＋3y 的取值范围是[－6,6]， ∴AC →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]．。
2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆学案文
直线y=2与椭圆交于B,C两点，且/BFC=90°,则该椭圆的离心率是
答案：电6
02
热点一椭圆的定义及标准方程
【例1】(1)过椭圆4X+y=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点，贝UA与B
和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF的周长为()
A.2B.4
C.8D.2 2
(2)一个椭圆的中心在原点， 焦点F1,F2在x轴上，P(2,■3)是椭圆上一点，且|PF|, |F1F2I,
(2)设椭圆的标准方程为
2 2
Xy43
-2+b^=1(a>b>0).由点P(2,^3)在椭圆上知一2+甘=1.又|PF|,
|F1F2|,|PF成等差数列，则
C1222
|PF|+1P冋=2|F1F2|，即2a=2X2c,：=孑又c=a—b，联
a2
2 2
得a=8,b=6,故椭圆方程为X8+碁=1.
【答案】(1)B (2)A
知识点二椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
2 2
x y
r+1
a b
(a>b>0)
2 2
y x
二+72=1a b
(a>b>0)
图形
y
*
OkX
7
性质
范围
—awxwa
—bwywb
—bwxwb
—awywa
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A(―a,0),A( a,0)
B(0,—b),B(0,b)
A(0,—a),A(0,a)
「10—T>0,
2 2
Xy
解析：因为椭圆+=1的焦点在x轴上.所以」m-2>0,解得6<m<10.
2018年高考数学文一轮复习文档：第八章 平面解析几何
第5讲椭圆,)1．椭圆的定义2.椭圆的标准方程和几何性质1．辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|时，不存在轨迹．(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．2．求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a 、b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．1.教材习题改编 椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24C △F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，所以△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C.2.教材习题改编 椭圆C 的一个焦点为F 1(0，1)，并且经过点P (32，1)的椭圆的标准方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 22＋y 23＝1C ．x 23＋y 22＝1D ．y 24＋x 23＝1D 由题意可设椭圆C 的标准方程为 y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，且另一个焦点为F 2(0，－1)，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋（1＋1）2＝4. 所以a ＝2，又c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3.故所求的椭圆方程为y 24＋x 23＝1，故选D.3.教材习题改编 椭圆C 的长轴是短轴的3倍，则C 的离心率为( ) A ．63 B ．23C ．33D ．223D 不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则 2a ＝2b ×3，即a ＝3b .所以a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)．即c 2a 2＝89， 所以e ＝c a ＝223，故选D.4．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________． 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.(3，4)∪(4，5)5.教材习题改编 P 是椭圆x 25＋y 24＝1上一点，F 1、F 2为焦点，若△PF 1F 2的面积S ＝1，则|OP |＝________．由椭圆x 25＋y 24＝1，得F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设P (m ，n )，则12|F 1F 2|·|n |＝1，所以|n |＝1.又m 25＋n 24＝1， 所以m 25＝1－14＝34，即m 2＝154.所以|OP |＝m 2＋n 2＝154＋12＝192. 192椭圆的定义及应用(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 (2)(2017·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】 (1)由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3， 又c a＝c3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2， 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.【答案】 (1)A (2)3若本例(2)中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．由本例(2)得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等．1．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积为( )A ．4B ．6C ．2 2D ．4 2A 因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6，又因为|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又易知|F 1F 2|＝25，显然|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，故△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积为12×2×4＝4.故选A.2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8<16，所以动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝48，又焦点C 1、C 2在x 轴上，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.x 264＋y 248＝1椭圆的标准方程(1)(2017·湖南省东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 28＋y 26＝1C ．x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 2＝1(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的标准方程为________．【解析】 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2) 不妨设点A 在第一象限，如图所示．因为AF 2⊥x 轴，所以|AF 2|＝b 2. 因为|AF 1|＝3|BF 1|， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2.将B 点代入椭圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b 2＝1，所以259c 2＋b 29＝1.又因为b 2＋c 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23.故所求的方程为x 2＋y 223＝1.【答案】 (1)A (2)x 2＋y 223＝11．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． 因为椭圆经过P 1，P 2两点， 所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. x 29＋y 23＝1 2．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．则椭圆C 2的方程为________．法一(待定系数法)：由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32， 解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.法二(椭圆系法)：因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24＋x2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1.又2k ＝2×2，故k ＝4，故C 2的方程为y 216＋x 24＝1.y 216＋x 24＝1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大． 高考对椭圆几何性质考查主要有以下三个命题角度： (1)利用椭圆性质求椭圆方程； (2)由椭圆的性质求参数的值或范围； (3)求离心率的值或范围．(1)(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23D ．34(2)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2【解析】 (1)如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.(2)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， 所以PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2. 因为点P 在椭圆上， 所以0≤y 20≤1，所以当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值为2. 【答案】 (1)B (2)C(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．角度一 利用椭圆性质求椭圆方程1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1 D 右焦点为F (1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.角度二 由椭圆的性质求参数的值或范围2. (2017·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.4角度三 求离心率的值或范围3．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34A 设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋ym＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，m －mc a ，⎝⎛⎭⎪⎫0，m 2和B (a ，0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13.直线与椭圆的位置关系(2016·高考全国卷甲)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2. 【解】 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k ＞0)代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增．又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内．所以3＜k ＜2.(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤 ①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 |AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率，k ≠0)．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程．(1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫|kc |k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ， 整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0， 解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1., )——数形结合思想在椭圆求值中的应用已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.【解析】 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ， 则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.因为D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， 所以|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， 所以|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. 【答案】 12(1)本题利用了数形结合的思想，把DF 1和DF 2分别看作△MAN 和△MNB 的中位线，再结合椭圆定义即可求解．(2)在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．如图，|PF 1|＋|PF 2|＝10， |PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|， 易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2| ＝10＋（6－3）2＋42＝15.15, )1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C 因为方程x 22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，2k －1>0，2k －1>2－k 得⎩⎪⎨⎪⎧k <2，k >12，k >1，故k 的取值范围为(1，2)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)D 因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c ＝3.又b ＝4， 所以a ＝b 2＋c 2＝5. 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的左顶点为(－5，0)．3．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A ．32B ．±32C ．±12D ．12B 由题意可得，c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32.4．已知椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率为32，过点F 2的直线交椭圆C 于M ，N 两点，且△MNF 1的周长为8，则椭圆C 的焦距为( )A ．4B ．2C ．2 3D ．2 2C 由题意得|MF 1|＋|NF 1|＋|MN |＝|MF 1|＋|NF 1|＋|MF 2|＋|NF 2|＝2a ＋2a ＝8，解得a＝2，又e ＝c 2＝32，故c ＝3，即椭圆C 的焦距为23，故选C.5．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 为直线y ＝2b 上的一点，△F 1MF 2是等边三角形，则椭圆C 的离心率为( )A ．714B ．77C ．277D ．3714C 因为△F 1MF 2是等边三角形，故M (0，2b )，|MF 1|＝|F 1F 2|，即4b 2＋c 2＝2c ，即4b 2＋c 2＝4c 2，4a 2＝7c 2，e 2＝c 2a 2＝47，故e ＝277，故选C.6．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 |PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B b 2＝2，c ＝a 2－2，故|F 1F 2|＝2a 2－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3，故选B.7．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为________．由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.128．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c ，0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧2c <a ，c 2a 2＋c 2b2<1⇒0<c a <12.即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 9．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2为两焦点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.710．(2017·宜昌调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. 5311．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点， |AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.12. 如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1>0即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，113．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． (1)由已知得c ＝22，e ＝ca ＝63. 解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4， 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ， 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且|BF 2|＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1， 解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15，因此e ＝55.。
2018年高考数学浙江专用一轮复习练习：第8章 平面解析
第3讲 圆的方程,[学生用书P169])1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．辨明两个易误点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一条件． 2．求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离． (2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形．1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A.设圆心坐标为(0，b )，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 2．(2016·杭州模拟)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >1解析：选B.由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.3．圆心在y 轴上且经过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 解析：选B.设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， 所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. 因为点(3，1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. 所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.4．点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 所以－1<a <1. 答案：(－1，1)5．(必修2 P124习题4.1 A 组T4改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1，3)，则圆C 的方程为________． 解析：设圆心坐标为C (a ，0)，因为点A (－1，1)和B (1，3)在圆C 上，所以|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C (2，0)， 半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案：(x －2)2＋y 2＝10考点一 求圆的方程[学生用书P170](1)(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N两点，则|MN |＝( )A ．26B ．8C ．4 6D ．10 (2)(2015·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________． [解析] (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝04D ＋2E ＋F ＋20＝0D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝4F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝4 6.(2)直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. [答案] (1)C (2)(x －1)2＋y 2＝2求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．1.(1)(2016·宁波效实中学模拟)已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程；(2)若不同的四点A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)、D (a ，3)共圆，求a 的值．解：(1)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（－6）2－6E ＋F ＝012＋（－5）2＋D －5E ＋F ＝0D －E －2＝0，消去F 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0， 标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112， 直线AB 的斜率k AB ＝－5－（－6）1－0＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0. 圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)． 圆的半径长r ＝|AC |＝（0＋3）2＋（－6＋2）2＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设过A 、B 、C 三点的圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别代入A 、B 、C 三点坐标，得 ⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝01－D ＋F ＝09＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝－253F ＝－5.所以A 、B 、C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a ，3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7.考点二 与圆有关的最值问题(高频考点)[学生用书P170]与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题．高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度： (1)半径、面积型最值； (2)斜率型最值； (3)截距型最值； (4)距离型最值．(1)(2014·高考江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π(2)(2016·河南省豫西五校联考)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3)．①求|MQ |的最大值和最小值；②若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．[解] (1)选A.因为∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， 所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. (2)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2. ①|QC |＝ （2＋2）2＋（7－3）2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.②可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.考点三 与圆有关的轨迹问题[学生用书P171]已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求与圆有关的轨迹方程的方法3.(2016·绍兴质检)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解：(1)法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A 、B 、C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·y x －3＝－1，即x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)． 因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．,[学生用书P172]) 考题溯源——求圆的方程(2015·高考全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43[解析] 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝03＋3E ＋F ＝04＋3＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，所求距离为12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 法二：在平面直角坐标系xOy 中画出△ABC ，易知△ABC 是边长为2的正三角形，其外接圆的圆心为D ⎝⎛⎭⎫1，233.因此|OD |＝12＋⎝⎛⎭⎫2332＝ 73＝213.[答案] B本题源于人教A 版必修2 P122例4“求过三点O (0，0)，M 1(1，1)，M 2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标”．如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则该三角形的外接圆方程为________．解析：因为三角形三边所在的直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0， 所以可得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，1)． 设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＝－52D ＋2E ＋F ＝－83D ＋E ＋F ＝－10，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－3E ＝－1F ＝0，所以该三角形外接圆的方程为x 2＋y 2－3x －y ＝0， 答案：x 2＋y 2－3x －y ＝01．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4 解析：选A.AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D2，0，而D 可以大于0. 3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A.由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)，a ＞0，又圆与直线4x－3y ＝0相切，可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2016·辽宁省五校联考)直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( )A ．k ＜－35或k ＞35B ．－35＜k ＜35C ．－34＜k ＜34D ．k ＜－34或k ＞34解析：选A.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝02x －3y －k ＝0得交点坐标为(－4k ，－3k )．由题意知 (－4k )2＋(－3k )2＞9，解得k ＞35或k ＜－35，故选A.5．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13 解析：选C.由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 6．(2016·洛阳统考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ≥0，b ≥0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为( )A.45B.95C ．2 D.94解析：选B.因为直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，从而2a ＋b －1＝0.a 2＋b 2－2a －2b ＋3＝(a －1)2＋(b －1)2＋1，而(a －1)2＋(b －1)2表示点(1，1)与直线2a ＋b －1＝0上任一点距离的平方，其最小值d 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2×1＋1×1－1|22＋122＝45，所以a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为45＋1＝95，故选B. 7．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1 8．(2016·温州模拟)已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心C 的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3.答案：39．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：因为圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， 所以其圆心为(－1，2)，且5－a >0， 即a <5.又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，所以2＝－2＋b ，所以b ＝4.所以a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1) 10．(2016·台州高三质检)已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则圆的方程为________．解析：由题意设圆心为(m ，0)(m ＞0)，则圆的半径r ＝|1－m |，圆心到直线l ：y ＝x －1的距离d ＝|m －1|2，又直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，所以2|1－m |2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|m －1|22＝22，整理得|1－m |＝2，解得m ＝3(m ＝－1不符合题意，舍去)，则r ＝2，故圆的方程为(x－3)2＋y 2＝4.答案：(x －3)2＋y 2＝411．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝049＋100＋7D ＋10E ＋F ＝081＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.12．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上， 得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)． 所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.1．已知两点A (0，－3)、B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8 D.212解析：选B.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 2．(2016·嘉兴模拟)设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0k －x ≥0x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ， 则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0＜k ≤6. 答案：(0，6]3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解：(1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1004x －3y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－8舍去，即AB →＝(6，8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0， 即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心C (3，－1)，半径r ＝10，因为OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6，8) ＝(10，5)，所以直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， 所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8b a ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2. 由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16（x ＋2）2＋（y －2）2＝8， 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)． 所以存在点Q ⎝⎛⎭⎫45，125，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．。
2018版高考一轮总复习数学理课件 第8章 平面解析几何 8-5 板块一 知识梳理 自主学习 精品
1 因为其焦点在 y轴上，所以 a ＝ ， b2＝ 1， m 依题意知 1 1 ＝ 2，解得 m＝ . 4 m
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例1
椭圆的定义及标准方程
[2017· 北京东城模拟] 过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点 )
F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦 点F2构成的△ABF2的周长为( A．2 C．8 B．4 D．2 2
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2 |＝2a}，|F1 F2|＝2 c，其中 a>0，c>0，且a，c为常数：
a >c (1)若______ ，则集合P为椭圆；
(2)若______ a＝c ，则集合P为线段；
a <c (3)若______ ，则集合P为空集．
考点2
椭圆的标准方程和几何性质
[ 必会结论] 椭圆的常用性质 x2 y2 (1)设椭圆 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当x a b ＝0时，|OP|有最小值b， P点在短轴端点处；当 x＝± a 时， |OP|有最大值a， P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角 三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋ c2. (3)已知过焦点 F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
二、小题快练 x2 y2 1．[2015· 广东高考] 已知椭圆 ＋ 2 ＝1(m>0)的左焦点 25 m 为F1 (－4,0)，则m＝ ( A．2 C．4 B ．3 D ．9 )
解析
由左焦点为 F1(－ 4,0)知 c＝ 4.又 a＝ 5，∴25－ m2＝
16，解得 m＝3或－ 3.又 m>0，故 m＝ 3.
【变式训练1】