现代控制理论知识点汇总
第一章
控制系统的状态空间表达式
１． 状态空间表达式 n 阶
Du
Cx y Bu Ax x
+=+=&1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?:
A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２． 状态空间描述的特点
①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）
已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４． 状态空间表达式的建立
① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积
分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式
注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。
5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量
i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。
状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，
设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。
系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。 6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W
D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。
状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。
子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。
第二章 控制系统状态空间表达式的解
一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x
=&）的解：0)(x e t x At =
二．矩阵指数函数——状态转移矩阵 1．At e t =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。5个基本性质。
2．At
e
的计算：
a 定义；
b 变换为约旦标准型 AT T J 1)(-=Λ或,11--Λ=T Te T Te e Jt t At 或
c 用拉氏反变换])[(11---=A sI L e
At
记忆常用的拉氏变换对
2
222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1)(1;1)(ωωωωωδ+?
+?+??+??
??-+-s s t s t a s te s n t a s e s t s t t at
n n at d 应用凯莱-哈密顿定理
三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x +=
&）的解：τττφφd Bu t x t t x t
)()()0()()(0
?-+
=。可由拉氏变换法证明（当
然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求At e t =)(φ，然后将B 和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
一．能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统） 二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统） 判别方法（一）：通过线性变换
Bu Ax x +=& Bu T ATz T z
11--+=→& １．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能控性充要条件：B T 1-没有全为０的行。
变换
矩阵T 的求法。
２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，
每个约当块对应的B T 1
-中最后一行元素没有全为０的。 ②B T
1
-中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为０的。变换矩阵
T
的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1
-T 、B T
1
-。
判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别
Bu Ax x +=& 能控的充要条件是 能控性判别矩阵),,,(12B A B A AB B M
n -=Λ的秩为n 。
在单输入系统中，M 是一个n n ?的方阵；
而多输入系统，M 是一个nr n ?的矩阵，可通过)(T MM rank rankM =
三．线性定常系统的能观性判别 判别方法（一）：通过线性变换
Cx y Ax x ==& →TCz
y ATz T z ==-1&
１．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能观性充要条件：TC 中没有全为０的列。
变换
矩阵T 的求法。
２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x
=）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，
每个约当块对应的TC 中第一列元素没有全为０的。 ②对应于互异特征根部分，对应的TC 中各列元素没有全为０的。变换矩阵T
的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1
-T 、TC 。
判别方法（二）：直接从Ａ，C 判别
能观性的充要条件是 能观性判别矩阵????
??
?
??=-1n CA CA C N M 的秩为n 。
在单输入系统中，N 是一个n n ?的方阵；
而多输入系统，N 是一个n nm ?的矩阵，可通过)(T MM rank rankM =
六．能控性与能观性的对偶原理 １．若
T A A 12=，T C B 12=，T B C 12=，则),,(1111C B A ∑与),,(2222C B A ∑对偶。
对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。 ２．1∑与2∑对偶，则1∑能控性等价于2∑能观性，1∑能观性等价于2∑能控性。 时变系统的对偶原理？？？？ 七．能控标准型和能观标准型
对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。 １． 能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）
①判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。③求变换矩阵????
?
????
???=-11111n c A p A p p T M ，1
11],,][1,,0,0[--=B A Ab b p n ΛΛ。④求11-c T ，计算?????
?
??????==-10011M b T b c ，1c cT c =，也可以验证是否有111c c AT T A -=。
２． 能控标准Ⅱ型
① 判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||a a a A I
n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。
③求变换矩阵],,,[1
2b A Ab b T n c -=Λ。④求12-c T ，计算?????
???????==-00112M b T b c ，2c cT c =，也可以验证是否有212c c AT T A -=。 ３． 能观标准Ⅰ型
①判别系统的能观性。②计算特征多项式0111||a a a A I
n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。③求变换矩阵????
?
?
???
???=--11
1
n o cA cA c T M 。④求1o T ，计算b T b
o 1
1-=，[]0011Λ==o cT c ，也可以验证是否有11
1o o AT T A -=。
４． 能观标准Ⅱ型
①判别系统的能观性。②计算特征多项式
111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出
A
。③求变换矩阵
[]
11112
,,,T A AT T T n o -=Λ，????
?
????????????????????=--1001
11M M n cA cA c T 。④求02T ，计算b T b 102
-=，[]10002Λ==cT c ，也可以验证
是否有
21
2o o AT T A -=。
５． 如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。
1221110
12211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=
---------ΛΛββββ
能控标准Ⅰ型：?????????????
???----=-1210100001000010n a a a a A Λ
ΛM ΛM M
ΛΛ ??
???
??
?
????????=1000M
b ][110-=n
c βββΛ
能观标准Ⅱ型：???
??
??
??????
???----=-12101
010
00100
0n a a a a A Λ
M ΛM M M ΛΛΛ ????????
????????=--1210n n b ββββM
]100[Λ=c
八．线性系统的结构分解
1．按能控性分解（状态不完全能控，即n n rankM
<=1），通过非奇异变换x
R x c ?=完成。 ()n n c R R R R R Λ
Λ
12
1
=，前1n 个列矢量是M 中1n 个线性无关的列，其他列矢量保证c R 非奇异的条件下是任意的。
2．按能观性分解（状态不完全能观，即n n rankN
<=1），通过非奇异变换x
R x o ?=完成。 ??????
???
?
??''''=-n n o
R R R R R M M 1211
，前1n 个行矢量是N 中1n 个线性无关的行，其他行矢量保证1-o R 非奇异的条件下是任意的。
3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。
步骤：①首先按能控性分解（c x 能控状态，c x 不能控状态）。②对不能控子系统按能观性分解（o c x 不能控能观状态，o c x 不能控不能观状态）。③将能控子系统按能观性分解（co x 能控能观状态，o c x 能控不能观状态）。④综合各步变换结果，写出最后的表达式。 另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。 九．传递函数阵的实现问题
1．实现的定义：由)(s W 写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。 条件：①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是s 的真有理分式。 注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵)(lim s W D s ∞
→=。
2．能控标准型和能观标准型实现
单入单出系统，)(s W 是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。
多输入多输出系统，
)
(s W 是矩阵，将
)
(s W 整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式，即
1221110
12211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=
---------ΛΛββββ；此时的110-n βββΛ是r m ?维常数阵。其能控标准型和能观
标准型实现与单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1变为单位矩阵I ，常数变为常数乘单位矩阵，即I a a 00-→-。
注意：能控标准型实现的维数是r n ?；能观标准型实现的维数是m n ?。 3．最小实现（维数最小的实现）
Cx
y Bu Ax x
=+=&为)(s W 最小实现的充要条件是),,(C B A ∑是完全能控能观的。
步骤：对给定的)(s W ，初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，即为最小实现。
注意：传递函数阵)(s W 的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。 十．传递函数)(s W 中零极点对消与能控性和能观性之间的关系
对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的（p147 例3-19）。
对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控还是不能观，还是既不能控又不能观。
第四章
稳定性与李雅普诺夫方法
一． 稳定性的定义
李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。 1．平衡状态
),(t x f x
=&为齐次状态方程。满足对所有t ，都有0),(≡t x f e 成立的状态矢量e x 称为系统的平衡状态。 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。 2．稳定性的几个定义
①李雅普诺夫意义下稳定，（相当于自控里的临界稳定）；②渐近稳定，（相当于自控里的稳定）；③大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；④不稳定。 二． 李雅普诺夫第一法（间接法） 1．线性定常系统的稳定判据 状态稳定性：平衡状态0=e
x 渐近稳定的充要条件是A 的所有特征值具有负实部。
输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于s 的左半平面。 2．非线性系统的稳定性
线性化处理。x A x ?=?&；e
x x x
f
A =??=
，若A 的所有特征值具有负实部，则原非线性系统在平衡状态e x 渐近稳定。若A 的
所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态e x 不稳定。若若A 的所有特征值至少有实部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。
三．李雅普诺夫第二法（直接法） 借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断。 1．预备知识
)(x V 是由n 维矢量x 定义的标量函数，且在0=x 处，恒有0)(=x V ，对任何非零矢量x ，如果0)(>x V ，则称之为正定；
如果0)( 则称之为负定；如果0)(≥x V 则称之为半正定或非负定；如果0)(≤x V 则称之为半负定或非正定；如果0)(>x V 或0) ( Px x x V T =)(为二次型标量函数，P 为实对称阵。要判别)(x V 的符号只要判别P 的符号即可。 P 的定号判据（希尔维特斯判据）：首先求出P 的各阶顺序主子式i ?，若所有的0>?i ，则P （)(x V ）正定；若偶数=i 的0>?i ，奇数=i 的0 2．李雅普诺夫函数 对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数)(x V ，而)(x V &是负定的，则这个系统是渐近稳定的，这个标量函数)(x V 叫做李雅普诺夫函数。 李雅普诺夫第二法的关键问题就是寻找李雅普诺夫函数)(x V 的问题。 ３．稳定性判据 ①设)(x f x =&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)( &，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当∞→x 时，∞→)(x V ，则系统是大范围渐近稳定的。 ②设)(x f x =&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ， 且满足0)(≤x V &，但除0≡x 外，即0≠x ，)(x V &不恒等于０，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当∞→x 时， ∞→)(x V ，则系统是大范围渐近稳定的。 ③设)(x f x =&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(≤x V &，但任意的0≠x ，)(x V &恒等于０，则称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 ④设)(x f x =&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ， 且满足0)(>x V &，，则称原点平衡状态是不稳定的。 需要注意：①这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。②如果)(x V 是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。③)(x V 最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。④构造)(x V 需要较多技巧。 四．李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 １．线性定常连续系统渐近稳定判据 定理：Ax x =&，若A 是非奇异的，原点0=e x 是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵Q ，李 雅普诺夫方程 Q PA p A T -=+，存在唯一的对称正定解P 。 该定理等价于Ａ的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。 步骤：选定正定矩阵Q ，通常为I Q =，代入李雅普诺夫方程，确定出P ，判断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。 第五章 线性定常系统的综合 综合：常规综合，使系统性能满足某种笼统指标要求；最优综合，使系统性能指标在某种意义下达到最优。 一．线性反馈控制系统的基本结构及其特性 1．状态反馈 将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。K 称为状态反馈增益阵，n r ?。 设原受控系统),,(0 C B A =∑，Ｄ=0。 状态反馈闭环系统的状态空间表达式 Cx y Bv x BK A x =++=)(& 简称),,(C B BK A K +=∑ 与原受控系统),,(0 C B A =∑比较，状态反馈增益阵Ｋ的引入，并不增加系统的维数，但可以通过Ｋ的选择改变闭环系统的特 征值，从而使获得所要求的性能。 2．输出反馈 由输出端y 引入输出反馈增益阵H （m r ?），然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。状态空间表达式为 Cx y Bv x BHC A x =++=)(& 简称),,(C B BHC A H +=∑ 通过Ｈ的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由度远比Ｋ小（通常n m <）。 ３．从输出到状态变量导数x &的反馈 从输出y 引入反馈增益阵 G （m n ?）到状态变量的导数x &，所得状态空间表达式为 Cx y Bu x GC A x =++=)(& 简称),,(C B GC A H +=∑ 通过Ｇ的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。 以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈。 ４．闭环系统的能控性与能观性 a 状态反馈不改变受控系统),,(0C B A =∑的能控性，但不保证系统的能观性不变。 b 输出反馈不改变受控系统),,(0 C B A =∑的能控性和能观性。 二．极点配置问题 就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。 只讨论单输入单输出系统 １．采用状态反馈 对系统),,(0 c b A =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能控。 给定),,(0 c b A =∑，给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法： ⑴能控规范型法，适合于3≥n 。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②通过线性变换x T x c 1=化为能控标准１型， 得到),,(c b A =∑ 。③加入状态反馈增益矩阵],,,[110-=n k k k K Λ,得到闭环系统),,(c b K b A K +=∑状态空间表达式，求 出对应的闭环特征多项式 |)(|)(K b A I f +-=λλ。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式)()(* *i f λλλ-∏=。 ⑤将 )(λf 与)(*λf 比较，即可得到],,,[110-=n k k k K Λ。⑥把对应与∑ 的K ，通过1 1 -=c T K K ],,,[110-=n k k k Λ。 ⑦进一步画出模拟结构图。 ⑵当阶次较低时，3≤n ，可直接由反映物理系统的A,b 矩阵求状态反馈增益矩阵],,,[110-=n k k k K Λ，不通过非奇异变换，使 设计工作简单。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②加入状态反馈增益矩阵],,,[110-=n k k k K Λ,得到闭环系统 ),,(c b bK A K +=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(bK A I f +-=λλ。③由给定的期望极点，求出期望 的闭环特征多项式)()(* *i f λλλ-∏=。④将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到],,,[110-=n k k k K Λ。⑤进一步画出模拟结构 图。 注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描述，然后做其他工作。 2．采用输出反馈 不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点。 ３．采用从输出到x &的反馈 对系统),,(0c b A =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能观。 设计0∑从输出到x &的反馈阵Ｇ的问题就是其对偶系统0~ ∑设计状态反馈阵Ｋ的问题。 方法：（１）能观标准型法，适合于3≥n 。①首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈Ｇ。②通过线性变换x T x o 2=化 为能观标准２型，得到),,(c b A =∑ 。③加入输出反馈增益矩阵T n g g g G ],,,[110-=Λ,得到闭环系统) ,,(c b c G A G +=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式 |)(|)(c G A I f +-=λλ。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式 )()(* *i f λλλ-∏=。⑤将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到T n g g g G ],,,[110-=Λ。⑥把对应与∑ 的G ，通过G T G O 2= ],,,[110-=n g g g Λ。⑦进一步画出模拟结构图。 ⑵当阶次较低时，3≤n ，可直接由反映物理系统的A,c 矩阵求状态反馈增益矩阵],,,[110-=n g g g G Λ，不通过非奇异变换，使 设计工作简单。①首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈Ｇ。②加入从输出到x &的反馈增益矩阵],,,[110-=n g g g G Λ,得到 闭环系统),,(c b Gc A G +=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(Gc A I f +-=λλ。③由给定的期望极点，求 出期望的闭环特征多项式)()(* *i f λλλ-∏=。④将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到],,,[110-=n g g g G Λ。⑤进一步画出模 拟结构图。 五．状态观测器 作用：闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反馈。但状态变量并不是都能直接检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。 １．定义：动态系统∑?以0 ∑的输入u 和输出y 作为输入量，产生一组输出量x ?逼近于x ，即0|?|lim =-∞ →x x t ，则称∑?为0 ∑的一个状态观测器。构造原则：0∑必须是完全能观或不能观子系统是渐近稳定的；∑ ?的输出x ?应以足够快的速度渐近于x ；∑?在结构上尽可能简单（具有尽可能低的维数），以便于物理实现。 ２．等价性指标 动态系统∑? x c y Bu x A x ???=+=& 原系统0∑ cx y Bu Ax x =+=& )?(?x x A x x -=-&& 得到)?(?00x x e x x At -=- 只要系统是稳定的，即Ａ的特征值具有负实部，就可做到x ?与x 是稳态等价的。 ３．重构状态方程 原因：①系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有x ?逼近于x ；②不一定能保证Ａ的特征值均具有负实部。 克服这个困难，用对输出量的差值 y y ?-的测量代替对状态误差 x x ?-的测量，当 0|?|lim =-∞ →x x t ，有 0|)?(|lim |?|lim |?|lim =-=-=-∞ →∞ →∞ →x x c x c cx y y t t t 。 同时，引入反馈阵Ｇ，使系统的特征值具有负实部。 状态重构方框图为p213 5.16(a) 要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。 状态观测器方程为x C y Bu Gy x GC A y y G Bu x A x ???)()?(??=++-=-++=& 记为),,(?G B GC A -=∑ 这里的G 称为输出误差反馈矩阵。可以证明，如果 GC A -的特征值具有负实部，那么状态误差x x ?-将逐渐衰减到０，即估计状态x ?逼近于实际的状态x 。逼近的速度取决于G 的选择，即GC A -的特征值的配置。 ４．观测器的存在性 对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。 观测器存在的充要条件是0∑不能观子系统是渐近稳定的。 六．利用状态观测器实现状态反馈的系统（带观测器的状态反馈闭环系统） 1．系统的结构与状态空间表达 结构框图要非常熟悉 p221 图5.21 前提：受控系统完全能控能观，状态反馈闭环系统和观测器都可以任意极点配置。 受控系统),,(0 C B A =∑ cx y Bu Ax x =+=& ＊１式 状态观测器),,(G B GC A G -=∑ x C y Bu Gy x GC A y y G Bu x A x ???)()?(??=++-=-++=& ＊２式 反馈控制率x K v u ?+= ＊３式 整理得整个闭环系统的状态空间表达式Cx y Bv Gy x GC A GCx x Bv BKx Ax x =++-+=++=?)(?&& 也可写成矩阵形式 显然，这是一个2n 维的闭环控制系统。 2．闭环系统的基本性质 （1）分离性 复合系统（由观测器构成的状态反馈闭环系统）其特征多项式等于矩阵BK A +和GC A -特征多项式的乘积。即 闭环系统的极点等于直接状态反馈（BK A +）的极点和状态观测器（GC A -）的极点总和，且相互独立。所以输出误差反馈阵G 和状态反馈阵K 可以分别进行设计。 （2）传递函数矩阵的不变性 可以推出复合系统的传递函数为B BK A sI C s W 1)]([)(-+-=，等于直接状态反馈闭环系统的传递函数。或者说它与采用观 测器反馈无关。 （３）观测器反馈与直接状态反馈的等效性 稳态时，两者等价。 选择Ｋ，可以改变闭环系统的极点到期望极点，从而改善系统性能。 选择Ｇ，可以改变观测器的极点，从而加速使状态误差x x ?-衰减到０。一般取观测器的极点比闭环系统的期望极点（（ BK A +） 的极点）略负，既保证状态误差有较快的衰减速度，又不致引人更多的噪声干扰。 ３．设计步骤(只给出低阶系统的设计步骤)： ①判断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，则状态反馈阵Ｋ和观测器输出误差反馈阵Ｇ存在，且闭环系统和观测器极点可以任意配置。②设计状态反馈阵Ｋ：求 BK A +的特征多项式)(λK f ，由期望的闭环极点得期望的特征多项式)(* λK f ，比较系数， 从而得到Ｋ。③设计观测器输出误差反馈阵Ｇ：求 GC A -的特征多项式)(λG f ，由观测器期望的配置极点得期望的特征多项式 )(* λG f ，比较系数，从而得到Ｇ。④给出观测器方程即＊２式。⑤结合＊1式和＊3式，画出相应的模拟结构图。 信息工程学院现代控制理论课程习题清单 正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点内容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规范形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对 角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性） 空间，称之为______（传递函数，状态空间）。 绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！ 这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&& 2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--?? 《最优控制理论》 课程总结 姓名：肖凯文 班级：自动化1002班 学号：0909100902 任课老师：彭辉 摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。 关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value. Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The Time Domaint’s Model， The Frequency domain’s Model，The Control Law 《现代控制理论》复习资料 题型一：已知系统传函，求①能控标准型、能观标准型 ②约旦标准型 例题：P155 3-4、3-9 解题步骤： 1）根据传函→能控能观标准型 传函：01221110 12211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=--------- ββββ ① 根据传函有无零极点对消判断是否能观能控 ② 写出能控标准Ⅰ型(以三阶为例) ??????????---=210100 010 a a a A ???? ??????=100b ][210βββ=c ③ 写出能观标准Ⅱ型(以三阶为例) ???????? ??---=210100100a a a A ??????????=210βββb ]100[=c 2）根据能控标准型→约旦标准型 ① 求λi ，Pi 0||=-A I λ，求得λi λi 互异时，λiPi=APi λi 有重根时， λ1P 1-AP 1=0 λ2P 2-AP 2=-P 1 λ3P 3-AP 3=-P 2 ② 求T,T -1 T=(P 1，P 2...P n ) ③ 求T -1AT,T -1B,CT Bu T ATz T Z 11--?+= Du CTz y += 题型二：已知状态空间表达式，求①画模拟结构图 ②判断能控性、能观性 ③系统传函 例题：P56 1-7 解题步骤： 1）状态空间表达式→模拟结构图 P15 2）状态空间表达式→判断能控、能观性 见 题型四 3）状态空间表达式→传函 方法一： 根据 模拟结构图 直接写出传函 (见P23 图) 方法二： ① 先求1)()(---A sI A sI 、 ② D b A sI C s W +-=-1)()( 题型三：已知状态空间表达式，①求At e t =)(φ ②u(t),求x(t) 例题：P69 例2-8 P87 例2-6,2-4 解题步骤： 1)求)(t φ 方法一：化为约旦标准型1-=T Te e At At ① 求λi ，Pi ② 求T,T -1 ③ 1-=T Te e At At 方法二：拉氏反变换])[(11---=A sI L e At ① 求1)()(---A sI A sI 、 ② ])[(11---=A sI L e At 方法三：用凯莱-哈密顿定理 ① 求λi ② 求αi (t) ③ 两个特征值：I t A t e At )()(01αα+= 三个特征值：I t A t A t e At )()()(012ααα++= 2)求x(t) τττφφd Bu t x t t x t )()()0()()(0?-+= 华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007 学年第1 学期考试科目：自动控制原理II 考试类型：闭卷考试时间：120 分钟 学号年级专业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分得分 评阅人 1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2 上的电压为输出量的输出方程。并画出相应的模拟结构图。（10分） 解：（1）由电路原理得： 1 1 2 2 12 1 111 2 22 11 1 11 L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =--+ =-+ =- 22 2 R L u R i = 11 22 1 11 1 2 22 1 01 1 00 11 L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ?? --?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? =-+?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? - ???? ?????? ?? ?? g g g []1222 00L R L c i u R i u ??????=?????????? 2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。（8分） 322y y y y u u u +++=++&&&&&&&&& 解：方法一： 12301233,2,10,1,2,1 a a a b b b b ======= ()001110221120331221300 1301 231201 13121102 b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-?==--=-?-?=-=---=-?--?-?= ()010100111232100x x u y x ?????? ? ?=+-? ? ?? ? ?---????? ?=?& 方法二： 《自动控制理论》讲稿 自动控制原理是自动化类专业基础课，是自动控制技术的基础，是研究自动控制共同规律的技术科学。 自动控制理论可分为自动控制原理（经典控制理论）和现代控制理论。开始主要用于研究工程技术领域的自动控制问题，现已将其应用范围扩展工程领域，如应用到经济学、生物医学、社会学、生产管理等领域。自动控制理论已成为普遍使用的基础理论。 我们本学期介绍的自动控制原理是自动控制技术基础的基础，计划授课85学时，其中10学时用于实验。 参考书： 《自动控制原理》，天大、技师、理工合编，天津大学出版社; 《自动控理论》，两航一校合编，国防工业出版社; 《现代控制工程》，（日），绪方胜彦，科出版社; 《自动控制系统》，（美），本杰明，水利电力出版社; 《线性系统理论》 《反馈控制理论》 自动控制理论：经典控制理论（自控原理） 现代控制理论 自动控制理论的划分是以控制理论发展的不同阶段人为归纳为： 建立在时域法、频率法和根轨迹法基础上的经典控制理论和建立在状态空间法基础上的现代控制理论。 经典控制理论：主要研究单输入、单输出（SISO）线性定常系统的分析和设计问题。其基本方法是采用描述输入-输出关系的传递函数为基础，包括：时域法、频域法、根轨迹法、相平面法等，工具：乃氏曲线，伯德图，尼氏图，根轨迹等曲线。现代控制理论：主要研究具有多输入-多输出系统（MIMO）、变参数系统的分析和设计问题。基本方法是：采用描述系统内部特征的状态空间的方法，更多的采用计算机作为其工具。 自动控制原理包括下列内容： 第一章：控制理论的基本概念，开、闭环，分类 第二章：数学模型即：描述系统运动状态的数学表达式——微分方程、传递函数、结构图信、号流程图第三章时域分析法：动态性能、静态性能、一二阶系统分析 第四章根轨迹分析法：常规根轨迹、特殊根轨迹 第五章频域分析法：频率特性、频域指标、频域分析 第六章系统综合与校正 第七章非线性系统与分析 第八章采样控制系 学习要求： 1.掌握自动控制系统的一般概念及其组成与分类； 2.掌握控制系统的基本性能要求。 教学内容： §1-1 概述 §1-2 自动控制的基本方式 §1-3 自动控制系统的类型 §1-4 本章小结 §1-5 思考题与习题 13/2012 59 现代控制理论概述及实际应用意义 王 凡 王思文 郑卫刚 武汉理工大学能源与动力工程学院 【摘 要】控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。本文介绍了现代控制理论的产生、发展、内容、研究 方法和应用以及经典控制理论与现代控制理论的差异，并介绍现代控制理论的应用。提出了学习现代控制理论的重要意义。【关键词】现代控制理论；差异；应用；意义 1.引言 控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。例如，我们的教学也使用了控制理论的方法。老师在课堂上讲课，大家在课堂上听，本身可看作一个开环函数；而同学们课下做作业，再通过老师的批改，进而改进和提高老师的授课内容和方法，这就形成了一个闭环控制。像这样的例子很多，都是控制理论在生活中的应用。现代控制理论如此广泛，因此学好现代控制理论至关重要。 2.现代控制理论的产生与发展现代控制理论的产生和发展经过了很长的时期。从现代控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。其产生和发展要分为以下几个阶段的发展。 2.1 现代控制理论的产生在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统和时变系统的分析与设计问题的解决。 科学技术的发展不仅需要迅速 地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件—现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 2.2 现代控制理论的发展五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规则；1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念；1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理；罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、麦克法轮（G.J.MacFarlane）和欧文斯（D.H.Owens）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。 20世纪70年代奥斯特隆姆（瑞典）和朗道（法国，https://www.360docs.net/doc/8b14724689.html,ndau）在自适应控制理论和应用方面作出了贡献。 与此同时，关于系统辨识、最优控制、离散时间系统和自适应控制的发展大大丰富了现代控制理论的内容。 3.现代控制理论的内容及研究方法 现代控制理论的内容主要有为系统辨识；最优控制问题；自适应控制问题；线性系统基本理论；最佳滤波或称最佳估计。 （1）系统辨识 系统辨识是建立系统动态模型的方法。根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的模型中确定一个被研究系统本质特征等价的模型，并确定其模型的结构和参数。 （2）最优控制问题 在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。主要方法有变分法、极大值原理、动态规划等极大值原理。现代控制理论的核心即：使系统的性能指标达到最优（最小或最大）某一性能指标最优：如时间最短或燃料消耗最小等。 （3）自适应控制问题 在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到一定意义下的最优。模型参考自适应控制 2009级自动化《现代控制理论》考试知识点 1、给出一个动态结构图，求状态空间表达式并画出状态变量图（模拟结构图）。 2、给出2个状态空间表达式，求两者串联后的状态空间表达式。 3、对于齐次状态方程，给出两个初始时刻的解，求状态转移矩阵和系统矩阵。 4、给出状态空间表达式，对其近似离散化并分析前后的能控性。 5、给出1个微分方程，求其能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型状态空间表达式。 6、确定一个非线性系统是否大范围渐近稳定。 2008级自动化《现代控制理论》考试试题 A 卷1、试求图示系统的状态空间表达式。 (7分 ) 2、已知 ，求系统矩阵A 。，，求系统矩阵A 。 (6分) 3、判定系统21011x ?? =??--?? x x 平衡状态是否大范围渐近稳定。 (7分) 4、试对系统1001 11[0 1]u y ????=? ???????= x x +x ， ①判定状态的能控性和能观性。(4分) ②设计状态反馈控制器使其闭环极点为-1+j ，-1-j 。(6分) (共10分) B 卷1、试求方程为 ，系统的状态空间表达式。 (7分) 2、已知 ，求系统矩阵A 。(6分) 3、试求系统112122 2 11212x x x x x x x x x =--+??=-+-? 的平衡状态并分析其稳定性。 (7分) 112221y y y u u y y y u ++=+??++=? 22222322()222354t t t t t t t t t t t te e te e e Φt te e e te e e ?? -++-=?? --++-?? ()cost sint Φt -sint cost ??=???? 现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： 一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T 为周期进行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为 __________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义 能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函 数的所有极点具有______。 9. 控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的_________、_________和较强的_________。 10. 所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的 系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11. 实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r 维控 制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12. _________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的 重要方法。 二． 判断题（共20分，每空2分） 1. 一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。 （×） 2. 传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。 （√） 3. 状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。 （×） 4. 对于任意的初始状态)(0t x 和输入向量)(t u ，系统状态方程的解存在并且 惟 一 。 （√） 5. 传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。 （×） 第一章 控制系统的状态空间表达式 １．状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+= 1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情 况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２．状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器） 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４．状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积 分器的输出选作i x ，输入则为i x ；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。熟练使用梅森公式。 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。 系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。 6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。 状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。 4、在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义，因为从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。 李雅普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。李雅普诺夫第二法给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。 44.何为系统一致能控？系统对于任意的t0Etd均是状态完全能控的。 45.何谓系统的实现问题？由系统传递函数建立状态空间模型这类问题称为系统实现问题。 46.何谓系统的最小实现？将维数最小的实现称为系统的最小实现。从工程的观点看，在无穷多个内部不同结构的系统中，其中维数最小的一类系统就是所谓的最小实现问题。 47.系统最小实现的充要条件是系统和条件能控又能观。 48. 平衡态指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。 49. 平衡点：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。 50. 控制理论最基本的任务是对给定的被控系统设计能满足所期望的性能指标的闭环控制系统即寻找反馈控制律， 51. 极点配置问题，①闭环极点可任意配置的条件，②如何设计反馈增益矩阵使闭环极点配置在期望极点处。 52. 系统镇定问题：受控系统通过状态反馈（或者输出反馈）使得闭环系统渐进稳定。 53. 系统解耦：就是消除系统间耦合关联作用。 状态观测器：重构或估计系统状态变量值的装置称为状态观测器。 状态变量：指能完全表征系统运动状态的最小一组变量。 状态向量：若一个系统有n个彼此独立的状态变量x1（t），x2（t）…xn（t），用它们作为分量所构成的向量x（t），就称为状态向量。 状态空间表达式：状态方程和输出方程结合起来，构成对一个系统动态行为的完整描述。 x(t)=Φ(t-t0)x(t0)的物理意义：是自由运动的解仅是初始状态的转移，状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，其唯一决定了系统中各状态变量的自由运动。状态方程解的意义：线定定常连续系统状态方程的解由两部分相加组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入相应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态相应。 系统能控性：控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。 系统能观性：反应由能直接测量的输入输出的量测值来确定系统内部动态特征的状态的可能性。 经典控制理论讨论的是在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题 状态反馈不改变被控系统的能控性；输出反馈不改变被控系统的能控性和能观测性 第一章 1、输入-输出描述:通过建立系统输入输出间的数学关系来描述系统特性。含：传递函数、微分方程（ 2、状态空间描述通过建立状态（能够完善描述系统行为的内部变量）和系统输入输出间的数学关系来描述系统行为。 3、limg ij (s)=c,真有理分式c ≠0的常数，严格真有理分式c=0，非真有理分式c=∞ 4、输入输出描述局限性：a 、非零初始条件无法使用，b 、不能揭示全部内部行为。 5、状态变量的选取：a 、n 个线性无关的量，b 、不唯一，c 、输出量可作状态变量，d 、输入量不允许做状态变量，e 、有时不可测量，f 、必须是时间域的。 6、求状态空间描述的传递函数矩阵：G(s)=C(sI-A)-1B+D 7、输入-输出描述——>状态空间描述（中间变量法） 8、化对角规范形的条件：系统矩阵A 的n 个特征值λ1，λ2，…, λn 两两互异，或当系统矩阵A 的n 个特征向量线性无关。 9、*x =Ax+Bu * x =A x +B u A =P -1AP B =P -1B *x =P -1* x x =P -1x u =u 10、代数重数σi ：同为λi 的特征值的个数，也为所有属于 λi 的约当小块的阶数之和。几何重数αi ：λi 对应的约当小块个数，也是λi 对应线性相关特征向量个数。 11、组合系统状态空间描述： a 、并联：]*1111*222211212200[]x x B A u A x B x x y C C D D u x ????????????=+????????????????????????=++??????? ，1()()N i i G s G s ==∑ b 、串联：]()*1111*221221212122120x A x B u A B C x B D x x y D C C D D u x ????????????=+????????????????????????=+??????? ，11()()()...()N N G s G s G s G s -= c 、反馈：1121()()[()()]G s G s I G s G s -=+ 第二章 1、求e At :a 、化对角线线规范形法，b 、拉普拉斯法 2、由 *x =Ax+Bu y=Cx+Du 求 x(t)=e At x 0+∫e A(t- τ)Bu(τ) d τ,(t ≥0) 第三章 1、能控性：如果存在一个不受约束的控制作用u(t)在有限时间间隔t0-tf 内，能使系统从任意初 第五章 状态反馈和状态观测器 3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。 (1)写出系统状态空间表达式； (2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。 ) (t y 题3-5-1图 【解】： 方法一： 根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式： []x y u x x 10112101=??????-+??????--=& 23111=? ? ????--=c c U rank U 系统能控，可以设计状态反馈阵。 设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式： 34625)3()(*22++=++=s s s s f 求加入反馈后的系统特征多项式： )22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-= 依据极点配置的定义求反馈矩阵： ]1316[1316 34)22(6 )3(2 1112=?? ?==?? ? ?=+=+-K k k k k k 方法二： [][][]1316)346(311110)(*1021 1 =++? ? ? ???--==--I A A A f U K c 方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发） 求系统传递函数写出能控标准型： 2 321)111()()(2 ++-=+-+=s s s s s s U s Y []x y u x x 10103210 -=??????+??????--=& 求系统希望特征多项式： 34625)3()(*22++=++=s s s s f 求状态反馈矩阵K ~ ： [][][]33236234~ 21 =--==k k K [][] [][]5.05.0311110101 1 1=? ? ? ???--==--Ab b P ????? ?-=??????=105.05.011A P P P []1316~ ==P K K 【解】： 依据系统传递函数写出能控标准型 s s s s s s s U s Y 2310 )2)(1(10)()(23 ++=++= []x y u x x 0010 10032010001 0=????? ?????+??????????--=& 求系统希望特征多项式： 464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f 求状态反馈矩阵： [][][]14434260432 1 =---==k k k K 。 1 v(x) a 1x 12 b 1x 22 c 1 x 32 2x 1x 2 4x 3 x 2 2X 1X 3 a 1 x T 1 1 b 1 2 (1) v(x) x 12 4x 22 x 32 2x 1x 2 6x 3x 2 2x 1x 3 (2) v(x) x 12 10x 22 4x 32 6x 1 x 2 2x 3x 2 2 2 2 (3) v(x) 10x 1 4x 2 x 3 2x 1x 2 2x 3x 2 4x 1 x 3 【解】： (1) 二次型函数不定。 ⑵ 二次型函数为负定。 ⑶ 二次型函数正定。 3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。 【解】： 3-4-1 第四章 控制系统的稳定性 试确定下列二次型是否正定。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 , 1 0, 3 0, 1 4 3 1 1 1 1 4 1 3 1 1 1 3 1 P 4 10 0, 3 10 0, 10 10 P 1 2 1 , 10 1 1 10 1 2 10 1 39 0 1 4 1 1 4 2 1 1 0, 17 a 1 0 a 1 b 1 1 a 1b 1 c 1 4 b 1 4a 1 c 1 【解】： (1) 设 2 2 v(x) 0.5x 1 0.5X 2 V (X ) X 1X 1 X 2X 2 X 1X 2 X 1X 2 X2 x/ ° " °)为半负定。 0 (x 0) 又因为v(x) 0时，有X 2 0, 则X 2 0，代入状态方程得： X 1 0. 所以系统在X 0时，v(x)不恒为零。 则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (2) 设 2 2 v(x) 0.5X 1 0.5X 2 v(x) X 1X 1 X 2X 2 X 1 ( X 1 X 2) X 2(2X 1 3X 2) X 12 3X 22 3X 1X 2 T 1 1.5 1 1 1 1.5 X x 1 0, 1.5 3 1 1 1 1.5 3 T … X Px P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (3) 0 1 1 1 (1) X X (2) x X ； 1 1 2 3 1 1 1 0 (3) x X (4) x X 1 1 0 1 3-4-3 满足正定的条件为: a i | of 1 1 b i a i 0, 1 1 1 1 b 1 2 0 2 C 1 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。 现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分) 解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为 现代控制理论的应用----王力2011117322 现代控制理论的应用 2011117322 王力物联网工程现代控制理论：狭义的是指60年代发展起来的采用状态空间方法研究实现最优控制目标的控制系统综合设计理论；广义的 是指60年代以来发展起来的所有新的控制理论与方法。 采用状态观测器对系统状态进行估计（或称重构）实际反馈控制主要优点是理论体系严谨完整；可获得理想的最优控制性能，设计过程较少依赖经验试凑；主要缺点是要求系统模型准确，否则实际控制性能并非最优，即控制系统鲁棒差；理论较抽象，缺乏直观性，不易理解，需要较多数学知识；性能指标函数中的加权Q和R选取无定量准则可循，也需凭经验选取，故设计结果也与设计人员有关。 自动控制系统是指为实现自动控制目标由自动化仪表与被控对象所联接成闭环系统。其组成结构是由被控对象、测量代表、控制器或调节器和执行器构成反馈闭环结构，其形式有单回路形式和串级双回路形式；性能指标：定性的有稳（定性）、准（确性）、快（速性）；控制律（或控制策略、控制算法）：控制系统中控制器或调节器所采用的控制策略，即用系统偏差量如何确定控制量的数学表示式。 现代控制理论主要应用于航空类飞行器控制现代控制理论是基 于时域的系统分析方法，目前基本都是高端如火箭发射，导弹制导之类的复杂系统基于动态矩阵的预测控制等。比如在汽车中运用的自适应控制，汽车制动防抱死系统的控制，自适应估计等定速巡航系统的初衷是让车辆运行在最佳的发动机转速—油耗平衡点，汽车发动机的转速跟扭矩、油耗是有一定比例关系的，单位距离油耗最省的发动机转速所对应的速度就是巡航速度，这个定速巡航巡航系统就是个典型的现代控制系统，车辆快了，它帮你松油门，车辆慢了，它帮你踩。现代控制理论的应用于实际存在的很大的问题是系统模型是否准确现代控制理论1-8三习题库
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