第一第3节
合集下载
第一章 第三节 道德的历史类型
原始社会道德的基本特征
（3）自发性与外在性并存。 自发性：原始社会的道德萌芽于人类早期的劳动和简 单交往，出于调节个人利益和整体利益的需求。 外在性：原始社会道德是纯真质朴的，往往同其他生 活惯例、风尚习俗以及原始宗教混杂在一起。它以 维护和追求整体利益为基础，以非强制性的习惯、 传统和威信为手段，有力地调节人们的行为活动和 相互关系，是人类道德进一步发展的良好开端。
封建道德之七出
七出，七去（也称七弃）是在中国古代的法律、礼制和习俗中，规 定夫妻离婚所时所要具备的七种条件，当妻子符合其中一种条件时， 丈夫及其家族便可以要求休妻（即离婚）。从其内容来看，主要是 站在丈夫及其家族的角度并 考量 其利益，因此可说是对于妻子的 一种压迫。但另一方面在男性处于优势地位的古代社会中，也使女 性最低限度地免于任意被夫家抛弃的命运。 一、“不顺父母”：亦即妻子不孝顺丈夫的父母。违背孝顺的道德 被认为是很严重的事。 二、“无子”：即妻子生不出儿子来，理由是“绝世”，在传统中 国，家族的延续被认为是婚姻最重要的目的，因此妻子无法生出儿 子来便使得这段婚姻失去意义。以《唐律》为例：妻年五十以上无 子，听立庶以长。疏议据此认为四十九以下无子，未合出之。随传 统中国“一夫一妻多妾制”的逐渐成熟，真正是以无子的原因而休 妻的情形大为减少。 三、“淫”：亦即妻子与丈夫之外的男性发生 性关系 。理由是 “乱族”，也就是认为淫会造成妻所生之子女来路或辈分不明，造 成家族血缘的混乱。
四、“妒” 指妻子好 忌妒 。理由是“乱家”，亦即认为妻子的凶 悍忌妒会造成家庭不和，以及“夫为妻纲”这样的理想 夫妻 关系 的混乱，而许多看法中，更认为妻子对丈夫 纳妾 的忌 嫉有害于家族的延续。 五、“有 恶疾 ” 指妻子患了严重的疾病。理由是“不可共粢盛”，是指 不能一起参与祭祀，在传统中国，参与祖先祭祀是每个家族 成员重要的职责，因此妻有恶疾所造成夫家的不便虽然必定 不只是祭祀，但仍以此为主要的理由。 六、“口多言” 指妻子太多话或说别人闲话。理由是“离亲”，在传统 中国家庭 中，女性尤其是辈分低的女性，被认为不应当多表 示意见，而妻子作为一个从原本家族外进来的成员，多话就 被认为有离间家族和睦的可能。 七、“窃盗” 即偷东西。理由是“ 反义 ”，即不合乎应守的规矩。
人教版高中地理必修1第1章第3节地球的运动 (3)
注3:一般而言在南回归线以南 地区,冬至日正午日影最短;全年 正午日影始终朝南(南极点除外).
③正午太阳高度的应用 : ⅰ确定地方时； ⅱ确定纬度；
ⅲ判断日影长短及方向； ⅳ太阳能热水器倾角的调整图
H+α =90°
集热管
α
水箱
调 节
H杆
例：某校所在地（120°E、40°N）安置一台太阳能热水 器，为了获得最多的太阳光热，提高利用效率，根据太阳 高度的变化随季节调整其支架倾角，下列四幅图中与热水 器安置方式搭配不合理的是（ ）
注：tan35°≈0.7; tan45°6.=221;tan60°≈1.732
次年3.21
3.21
9.23
12.22
(1)房地产开发商在某城市(北纬30度)建造了两幢商品住 宅楼，某房居民买到了北楼一层的一套房子，于春节前住 进后发现正午前后，太阳光线被南楼挡住。请问该房子一 年中正午太阳光线被南楼挡住的时间大约是 A 1个月 B 3个月 C 6个月 D 9个月
D.90°N D.0° D.66.5°N D.66.5°N
①正午太阳高度计算 H= 90°-该地与太阳直射点的纬度差
②正午太阳高度的变化:
ⅰ纬度(空间)变化规律: 由太阳直射点纬线向南北两侧呈等距离对称递减
ⅱ季节(时间)变化规律:
例:设m(0°、30°E)，n(23.5°Ｎ、30°E)两地 正午太阳高度分别为Hm和Hn，判断下列四项中正 确的是 A、Hm和Hn不可能在同一天达到最小值 B、任何时候都Hm≤Hn C、每年约有9个月Hm＞Hn D、任何时候都Hm≥Hn
例：下图中四条曲线分别表示A、B、C、D四地，6月22 日太阳高度的全天变化情况，据此判断下列各选项中，对 四地纬度位置的说法与图示情况相符合的是
③正午太阳高度的应用 : ⅰ确定地方时； ⅱ确定纬度；
ⅲ判断日影长短及方向； ⅳ太阳能热水器倾角的调整图
H+α =90°
集热管
α
水箱
调 节
H杆
例：某校所在地（120°E、40°N）安置一台太阳能热水 器，为了获得最多的太阳光热，提高利用效率，根据太阳 高度的变化随季节调整其支架倾角，下列四幅图中与热水 器安置方式搭配不合理的是（ ）
注：tan35°≈0.7; tan45°6.=221;tan60°≈1.732
次年3.21
3.21
9.23
12.22
(1)房地产开发商在某城市(北纬30度)建造了两幢商品住 宅楼，某房居民买到了北楼一层的一套房子，于春节前住 进后发现正午前后，太阳光线被南楼挡住。请问该房子一 年中正午太阳光线被南楼挡住的时间大约是 A 1个月 B 3个月 C 6个月 D 9个月
D.90°N D.0° D.66.5°N D.66.5°N
①正午太阳高度计算 H= 90°-该地与太阳直射点的纬度差
②正午太阳高度的变化:
ⅰ纬度(空间)变化规律: 由太阳直射点纬线向南北两侧呈等距离对称递减
ⅱ季节(时间)变化规律:
例:设m(0°、30°E)，n(23.5°Ｎ、30°E)两地 正午太阳高度分别为Hm和Hn，判断下列四项中正 确的是 A、Hm和Hn不可能在同一天达到最小值 B、任何时候都Hm≤Hn C、每年约有9个月Hm＞Hn D、任何时候都Hm≥Hn
例：下图中四条曲线分别表示A、B、C、D四地，6月22 日太阳高度的全天变化情况，据此判断下列各选项中，对 四地纬度位置的说法与图示情况相符合的是
第1部分 第一章 第3节 运动快慢的描述
内的平均速度等于直线AC的斜率，t2时刻
的瞬时速度对应图像上B点的切线的斜率。
图1－3－4
返回
[特别提醒]
(1)x－t图像只能用来描述直线运动。
(2)x－t图像表示的是位移x随时间t变化的情况，绝 不是物体运动的轨迹。
返回
3．如图1－3－5所示为甲、乙两物体运动 的x－t图像，则下列说法不正确的是( A．甲物体做变速直线运动，乙物体做 匀速直线运动 图1－3－5 )
3．瞬时速度
运动物体 在某一时刻 (或经某一位置)的速度。 4．速率 瞬时速度的大小叫做速率，瞬时速度是矢量，而速率是 标量。 返回
[重点诠释] 平均速度与瞬时速度的区别和联系
平均速度 瞬时速度
定义
运动质点的位移与所 运动质点在某一时刻或 用时间的比值 某一位置的速度
区 物理 粗略描述物体运动， 精确描述物体运动，和
t1这段时间内保持静止，故甲比乙早出发的时间为t1，C正确；
甲图线的斜率为负值，表明甲向负方向运动，乙图线的斜率 为正值，表明乙向正方向运动，故甲、乙两物体的运动方向 相反，D错误。 [答案] D 返回
［借题发挥］
在分析处理直线运动的位移－图像问题时，应注意以
下几点：
(1)图像是直线还是曲线。如果图像是直线，则表示
位移图像(x－t图)描述物体位移随时间变化的规律，根 据位移图像(x－t图)可分析物体的运动。
(1)由x－t图像可以确定物体各个时刻所对应的位置或物
体发生一段位移所需要的时间。 (2)若物体做匀速直线运动，则x－t图像是一条倾斜的直 线，直线的斜率表示物体的速度。斜率的大小表示速度的 大小，斜率的正、负表示物体的运动方向，如图1－3－3中 的a、b所示，a朝正向运动，b朝负方向运动。 返回
高考语文金版教程第1部分 专题1 第3节
第一部分专题一第三节文言文翻译(时间：45分钟满分：60分)一、东染院使种君墓志铭【宋】范仲淹君讳世衡，字仲平，国之劳臣也。
不幸云亡，其子泣血请铭于予。
予尝经略陕西，知君最为详，惧遗其善，不可不从而书之。
初，康定元年春，夏戎犯延安，我师不利。
君时任鄜州从事，建言：延安东北二百里有故宽州，请因其废垒而兴之，以当寇冲。
朝廷从之，以君董役事，与兵民暴露数月，且战且城。
然处险无泉，议不可守。
凿地百有五十尺，始至于石，工徒拱手曰：“是不可井矣。
”君曰：“过石而下，将无泉耶？尔攻其石，屑而出之，凡一畚，偿尔百金。
”工复致其力，过石数重，泉果沛发，饮甘而不耗。
万人欢呼曰：“神乎！虽虏兵重围，吾无困渴之患矣。
”用是复作数井，兵民马牛皆大足。
自兹西陲堡障患无泉者皆仿此，大蒙利焉。
既而朝廷署故宽州为青涧城，授君内殿承制，知城事，复就迁供备库副使：旌其劳也。
青涧东北一舍而远，距无定河。
河之北有虏寨，虏常济河为患。
君屡使属羌击之，往必破走。
建营田二千顷，岁取其利；募商贾使通其货，或先贷之本，速其流转。
乃建白凡城中刍粮钱币，暨军须城守之具，不烦外计，一请自给。
使一子专视士卒之疾，调其汤饵，常戒以笞责，期于必瘳，士卒无不感泣。
王公尧臣安抚陕西，言君治状。
上悦，降诏褒之曰：“边臣若此，朕复何忧！”庆历二年春，予按巡环州。
乃请于朝，愿易君理环。
君乃周行境内，入属羌聚落，抚以恩意，如青涧焉。
有兀二族受夏戎伪署，君遣人招之，不听。
即出兵诛之，死者半，归者半，尽以其地暨牛羊赏诸有功。
其僭受伪署者咸股栗请命。
由是属羌无复敢贰。
君少尚气节，莅官，能摘恶庇民，青涧与环人，皆画君之像而享事之。
及终，吏民暨属羌酋长朝夕临柩前者数日。
铭曰：呜呼种君，生于贤门。
吾志必立，吾力是陈。
宁以刚折，果由直伸。
捍虏之患，乂边之民。
夙夜乃职，星霜厥身。
生则有涯，死宜不泯。
(选自《范文正公文集》，有删改) 把文中画横线的句子翻译成现代汉语。
(1)朝廷从之，以君董役事，与兵民暴露数月，且战且城。
高一物理必修一第一章第3节《位置变化快慢的描述—速度》
0.86
1.06
1.26
×
×
×
×
×
×
如果是一条直线,压在直线上点的个数尽可能多,分居在直线两边的点的个数基本相等,且对称。
认识图像
02.
1.匀速直线运动的速度图像是一条平行于时间轴的直线．
2.变速直线运动的速度图像随时间而变化
3.若图像位于时间轴的上方,表示物体运动方向与正方向相同；位于时间轴下方,表示物体运动方向与正方向相反。
图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿过苹果瞬间的照片。该照片经过放大后分析出，在曝光时间内，子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的1%~2%。已知子弹飞行速度约为500m/s，因此可估算出这幅照片的曝光时间最接近( ) A、10－3s B、10－6s C、10－9s D、10－12s
位移—时间图像
其他测速度的方法
04.
1.光电门
另外，还常用的超声波、激光、红外线等测速
【例2】光电计时器是一种研究物体运动情况的常用计时仪器，其结构如图(甲)所示，a、b分别是光电门的激光发射和接收装置，当有物体从a、b间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间。现利用图(乙)所示装置测量滑块的速度，图中MN是水平桌面，Q是木板与桌面的接触点，1和2是固定在木板上适当位置的两个光电门，与之连接的两个光电计时器没有画出。实验时，让滑块从木板的顶端滑下，光电门1、2各自连接的计时器显示的挡光时间分别为1.0×10-2s和4.0×10-3s。滑块的宽度d=1.010cm。
实质：是一种快慢不变（V的大小方向都不变）的运动。
匀速直线运动
02.
练一练：在2006年瑞士洛桑田径超级大奖赛男子110米栏的比赛中，刘翔以12秒88打破了英国运动员保持13年之久的世界纪录并夺取该项目冠军。试计算其速度？
1.06
1.26
×
×
×
×
×
×
如果是一条直线,压在直线上点的个数尽可能多,分居在直线两边的点的个数基本相等,且对称。
认识图像
02.
1.匀速直线运动的速度图像是一条平行于时间轴的直线．
2.变速直线运动的速度图像随时间而变化
3.若图像位于时间轴的上方,表示物体运动方向与正方向相同；位于时间轴下方,表示物体运动方向与正方向相反。
图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿过苹果瞬间的照片。该照片经过放大后分析出，在曝光时间内，子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的1%~2%。已知子弹飞行速度约为500m/s，因此可估算出这幅照片的曝光时间最接近( ) A、10－3s B、10－6s C、10－9s D、10－12s
位移—时间图像
其他测速度的方法
04.
1.光电门
另外，还常用的超声波、激光、红外线等测速
【例2】光电计时器是一种研究物体运动情况的常用计时仪器，其结构如图(甲)所示，a、b分别是光电门的激光发射和接收装置，当有物体从a、b间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间。现利用图(乙)所示装置测量滑块的速度，图中MN是水平桌面，Q是木板与桌面的接触点，1和2是固定在木板上适当位置的两个光电门，与之连接的两个光电计时器没有画出。实验时，让滑块从木板的顶端滑下，光电门1、2各自连接的计时器显示的挡光时间分别为1.0×10-2s和4.0×10-3s。滑块的宽度d=1.010cm。
实质：是一种快慢不变（V的大小方向都不变）的运动。
匀速直线运动
02.
练一练：在2006年瑞士洛桑田径超级大奖赛男子110米栏的比赛中，刘翔以12秒88打破了英国运动员保持13年之久的世界纪录并夺取该项目冠军。试计算其速度？
第一章 第3节 电场 电场强度和电场线
两 个 灯 笼 对 对 碰
4、中垂线上以中点的电场线最密.两点电荷的连线上或 中垂线上到两点电荷连线中点等距离处各点的电场线 疏密相同,切向同向。
典型电场的电场线
中 两 垂 军 线 对 的 垒 轴 排 对 兵 称 布 图 阵 形 起始于正电电荷，终止于无穷远处.在中垂线上从两电荷 连线中点到无穷远，电场线先变密后变疏。等量同种点 电荷连线和中垂线上关于中点对称处的电场线疏密相同, 切向相反.
（2）电场强度是反映电场强弱和方向的物理量。
（3）由电场本身的性质决定，E与F、q无关
与检验电荷q是否存在无关
与电荷的正负 无关 与电荷量的多少无 关 与受到的电场力都 无关
比值 法定义 有哪些？
课堂练习
1、由电场强度的定义式 一点： BC
E F q
可知，在电场中的同
A 电场强度E与F成正比，跟q成反比。 B 无论检验电荷的q值（不为零）如何变化，F与q的 比值始终不变。 C 电场中某一点的场强为零，则处在该点的电荷受到 的电场力一定为零。 D 一个不带电的小球在P点受到的电场力为零，则P点 的场强一定为零。
E
四.电场线 电场线的特点 ①假想的曲线，并不真实存在.
②起于正电荷,止于负电荷. ③不相交,不闭合.
④电场线不是电荷的运动轨迹.
典型电场的电场线
发 散 状 中 心 对 称
像 太 阳 光 芒 四 射
1、起始于正电荷，终止于无穷远处. 2、以正点电荷为球心的球面上,电场线疏密相同,但切向各不相同.
+Q
F’ F
在电场中的同一点，比值F/q恒定 在电场中的不同点，比值F/q不同
问题2 怎样描述电场的强弱呢？
F/q 电荷q在电场中的位置所决定，
马克思基本原理第一章第三节客观规律性与主观能动性
客观规律性与主观能动性
一、自然规律和社会规律
二、意识的能动作用
1
一、 自然规律和 社会规律
2
讲授内容
（一）规律及其客观性
（二）自然规律与社会规律的联系 与区别
3
（一）规律及其客观性
1、规律的含义 规律是事物本身所固有的本质的、 必然的、稳定的联系。 规律是事物的本质联系 “规律就是关系”， 就是“本质的关系或本质 之间的关系。” 列宁
————中国式的历史唯心主义
21
讨论： 心有多大，舞台就有多大
22
4
规律是事物的必然联系
电流变化引起磁 场变化，磁场变化引 起电流变化。
5
规律是事物的稳定联系
6
2、规律的客观性
规律的客观性是指， 规律是客观事物本身所固 有的，它不以人的主观意 志为转移。
7
2、规律的客观性
罗马教皇可以烧死布鲁 诺，但它永远烧不死“日心 说”。
8
3、规律的层次性
客观规律因其起作用 的范围和层次不同而具有 不同的层次。 个别规律
特殊规律
一般规律
9
（二）自然规律与社会规律的联系与区别
1、自然规律与社会规律的含义 自然规律是自然现象固有的、本质 的、必然的、稳定的联系。 社会规律是通过人们的活动表现出 来的社会生活过程诸现象间的本质的、 必然的、稳定的联系。
10
2、自然规律与社会规律的联系与区别
联系主要表现：自然规律和社会规 律都具有不以人的意志为转移的客观性。 人不能任意改变、创造或消灭自然规律。 区别主要表现：自然规律是作为一 种盲目的无意识的力量起作用，社会规 律则是通过抱有一定目的和意图的人的 有意识的活动实现的。
11
九年级课文难点解析(第一章 第三节)
I need a pen _to__w_r_i_te_w__it_h_. 我需要一只笔写字。 They are looking for a place _t_o_r_e_st_. 他们想找个休息的地方。
3. Well, once they find people in need, they decide on suitable ways to offer them help. 意思是“他们一旦发现有人需要 帮助，就选定适当的方式来帮助他们。”
“给某人提供帮助”。
e. g. Her family and friends _h_a_v_e_g_i_v_e_n_l_o_ts__o_f_s_u_p_p_o_rt_t_o_h_e_r_. 她的家人和朋友已给她提供很多帮助。
8. It helps poor families afford an education for their children. 意思是“希望工程帮助贫穷家庭负担起孩子的教育。”
He _h_a_s_b_e_e_n_u_s_e_d__to_ getting up early. 他已经习惯了早起。 ⑵used to do sth. 意为“过去总是（常常）做某事”，但 现在不做了，只用于过去时。 e. g. _H__e_u_s_e_d_t_o_b_e_ a quiet boy. 他过去是个安静的男孩。 ⑶be used to do sth. 意为“被用于做某事”。 e. g. Knives _ar_e__u_se_d__to__c_u_t cut things. 小刀被用来切割东西。
2. As a matter of fact, it’s a wonderful place to live. 意思是“事实上，那是一个居住的好地方。”
to live 是动词不定式，用来修饰前面的名词place。在不定 式中，如动词为不及物动词，或者不定式所修饰的名词或代 词是不定式动作的地点、工具等，不定式后必须跟上相应的 介词(但当被修饰词是place时，不定式后面通常不用介词)。 e. g. There is nothing _t_o_w__o_r_ry__a_b_o_u_t . 没有什么可担心的事。
3. Well, once they find people in need, they decide on suitable ways to offer them help. 意思是“他们一旦发现有人需要 帮助，就选定适当的方式来帮助他们。”
“给某人提供帮助”。
e. g. Her family and friends _h_a_v_e_g_i_v_e_n_l_o_ts__o_f_s_u_p_p_o_rt_t_o_h_e_r_. 她的家人和朋友已给她提供很多帮助。
8. It helps poor families afford an education for their children. 意思是“希望工程帮助贫穷家庭负担起孩子的教育。”
He _h_a_s_b_e_e_n_u_s_e_d__to_ getting up early. 他已经习惯了早起。 ⑵used to do sth. 意为“过去总是（常常）做某事”，但 现在不做了，只用于过去时。 e. g. _H__e_u_s_e_d_t_o_b_e_ a quiet boy. 他过去是个安静的男孩。 ⑶be used to do sth. 意为“被用于做某事”。 e. g. Knives _ar_e__u_se_d__to__c_u_t cut things. 小刀被用来切割东西。
2. As a matter of fact, it’s a wonderful place to live. 意思是“事实上，那是一个居住的好地方。”
to live 是动词不定式，用来修饰前面的名词place。在不定 式中，如动词为不及物动词，或者不定式所修饰的名词或代 词是不定式动作的地点、工具等，不定式后必须跟上相应的 介词(但当被修饰词是place时，不定式后面通常不用介词)。 e. g. There is nothing _t_o_w__o_r_ry__a_b_o_u_t . 没有什么可担心的事。
高一化学第1章 第3节 第1课时 物质的量及其单位—摩尔 摩尔质量
可以表示为
()
A．12a/b
B．12b/a
C．bNA
D．aNA
[解析]
Ar(R)＝
b 1
g
＝12a b，B项正确；
12a g
M(R)＝b g·NA mol－1＝bNA g·mol－1，
Ar(R)＝bNA，C项正确。
[答案] BC
已知3.01×1023个X气体分子的质量为16 g，则X气体的摩尔质
量是
A．6 g H2；B.0.5 mol CO2；C.1.204×1024个HCl分子； D.98 g H2SO4；E.92 g乙醇(C2H5OH)；F.4℃时9 mL水[4℃时水 的密度：ρ(水)＝1 g·mol－1]
[解析] 列表计算各项物质的相关物理量。
质量/g 物质的量/mol 分子个数 原子个数
解析：A项，1 mol OH－的质量为17 g；B项，CO2的摩尔 质量为44 g·mol－1；C项，铁原子的摩尔质量与其相对原子
质量不相等；D项，由M＝m(原子)·NA⇒m(原子)＝NMA 答案：D
4．若1g CO2中含有x个原子，则阿伏加德罗常数可表示为
()
1 A.44
mol－1
x B.22
mol－1
H2
6
3
CO2
22
0.5
HCl
73
2
H2SO4
98
1
C2H5OH
92
2
H2O
9
0.5
[答案] A A E D
3NA 0.5NA 2NA
NA 2NA 0.5NA
6NA 1.5NA 4NA 7NA 18NA 1.5NA
物理量之间的换算： (1)要明确各物理量与物质的量的关系。 (2)找出联系各物理量的公式，注意单位的换算。 (3)注意公式应用的条件，物质的组成等。
高中地理必修一 第1章第3节 地球的历史导学案
第一章宇宙中的地球
第三节地球的历史导学案
了解地球生命历史与古地理环境，从地壳运动、生物演化、环境特征等方面，分析不同地质历史时期地球演化的整体特征。
重点：学会使用地质年代表描述地球演化历史
难点：记忆地质年代顺序与特征
二、地球的演化历程
1.A、B两地是否有同一时代的地层？将同时代的地层用虚线连接起来，猜想两地地层产生差异的原因。
2.若将地球46亿年的历史压缩为一天24小时，地球诞生于零点，你能算出图中的时间分别大致对应一天中的什么时刻吗？
3.通过地质年代表了解地球的演化历史。
1.恐龙为什么会灭绝？
2.地球演化历史上两个重要的成煤时期分别对应什么地质年代？结合当时的生物与环境演化、煤炭的形成过程特征解释原因。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
sa tb (a, b)
12
例10 设a 1859, b 1573,求整数s, t,使得 sa tb (a, b).
解 因1859 1 1573 286 143 1573 5 286
1573 5 286 143 286 1859 1 1573 286 2 143
481 1 257 224 257 1 224 33
224 6 33 26
33 1 26 7
26 3 7 5
7 15 2
5 221
2 21
所以 (46480, 39423) 1.
10
法二：绝对值最小余数
46480 1 39423 7057 39423 6 7057 2919
若d p, 则因d | a.于是p | a,与题设p | a矛盾, 故必 d 1, 从而( p, a) 1.
2
练习 若d为奇数，d | a b,d | a b,则 d | (a, b).
3
定理1 设a1 , a2 ,L , an是n个不全为零的整数, 则 (1) a1 , a2 ,L , an与 | a1 |,| a2 |,L ,| an | 的公因数相同; (2) (a1 , a2 ,L , an ) (| a1 |,| a2 |,L ,| an |).
d d'.
例7 因1859 1 1573 286, 1573 5 286 143,
所以 (1859,1573) (1573, 286) (286,143) 143
6
二、广义欧几里得除法
设a, b是任意两个正整数, 记r0 a, r1 b.
反复运用欧几里得除法:
r0 r1q1 r2 ,
上述求两个整数的最大公因数的方法叫做 广义欧几里得除法,也叫做辗转相除法.
8
例8 设a 1859, b 1573,计算(a, b). 解 因1859 1 1573 286
1573 5 286 143 286 2 143
所以(1859,1573) (1859,1573) 143.
(2) 由(1)即得(2). 4
例5 设a,b是两个整数, 则有 (a,b) (a, b) (a, b) (| a |,| b |).
定理2 设b是任一正整数, 则(0,b) = b. 证 因任何非零整数都是0的因数, 而正整数 b的最大因数为b,故 (0, b) b. 例6 (0, 21) 21, (15, 0) 15, (0, b) | b | .
0 r2 r1 ,
r1 r2q2 r3 ,
0 r3 r2 ,
LLLLLLL
rn2 rn1qn1 rn , 0 rn rn1 ,
rn1 rnqn rn1 ,
rn1 0
因为0 L rn rn1 L r2 r1 b,所以经过有
限步骤,必存在n, 使得rn1 0.
7
证 (1) 设d | ai ,1 i n, 则有d || ai |,1 i n. 故a1 , a2 ,L , an的公因数也是 | a1 |,| a2 |,L ,| an | 的公 因数.
反之, 设d || ai |,1 i n, 同样有d | ai ,1 i n. 故 | a1 |,| a2 |,L ,| an | 的公因数也是a1 , a2 ,L , an的公 因数.
7057 2 2919 1219 2919 21219 481
1219 3 481 224 224 7 33 7 7 321
481 2 224 33 33 5 7 2 2 21
所以 (46480, 39423) 1.
11
在广义欧几里得除法中,由
r0 r1q1 r2 , r1 r2q2 r3 , LLLLLL
例2 设a, b是两个整数,则 (b,a) (a,b).
例3 设a, b是两个正整数,如果b | a,则 (a,b) b.
1
素数与任一整数有如下关系 : 例4 设p是一个素数,a为整数,如果p | a,则p
与a互素. 证 设( p,a) d, 则有d | p, 因p是素数,所以
d 1或p.
于是由定理3可知, (a, b) (r0 , r1 ) (r1 , r2 ) (r2 , r3 ) L (rn1 , rn )
(rn , rn1 ) (rn , 0) rn 定理4 设a, b是任意两个正整数, rn是广义欧 几里得除法中最后一个非零余数, 则(a, b) rn .
rn3 rn2qn2 rn1 ,
rn2 rn1qn1 rn ,
rn1 rnqn
rn rn2 rn1qn1 , rn1 rn3 rn2qn2 ,
LLLLL r3 r1 r2q2 , பைடு நூலகம்2 r0 r1q1
逐次消去rn1 , rn2 ,L , r3 , r2 , 可找到整数s, t, 使得
最大公因数可描述为:
d 0是a1 , a2 ,L , an的最大公因数 (1) d | a1 , d | a2 ,L , d | an ; (2) 若e | a1 , e | a2 ,L , e | an ,则e | d .
例1 (14, 21) 7, (15, 21) 3, (14, 15, 21) 1.
例9 设a 46480, b 39423,计算(a,b).
解 法一：最小非负余数
46480 1 39423 7057 39423 5 7057 4138
9
7057 1 4138 2919 4138 1 2919 1219
2919 21219 481 1219 2 481 257
5
定理3 设a, b, c是三个不全为零的整数, 如果 a = bq + c, 其中q是整数,
则(a, b) = (b, c). 证 设(a, b) d, (b,c) d ', 则d | a, d | b,于是
d | a (q)b d | c,
所以d是b, c的公因数, 从而d d '. 同理可证,d '是a, b的公因数, 因而d ' d.故
12
例10 设a 1859, b 1573,求整数s, t,使得 sa tb (a, b).
解 因1859 1 1573 286 143 1573 5 286
1573 5 286 143 286 1859 1 1573 286 2 143
481 1 257 224 257 1 224 33
224 6 33 26
33 1 26 7
26 3 7 5
7 15 2
5 221
2 21
所以 (46480, 39423) 1.
10
法二：绝对值最小余数
46480 1 39423 7057 39423 6 7057 2919
若d p, 则因d | a.于是p | a,与题设p | a矛盾, 故必 d 1, 从而( p, a) 1.
2
练习 若d为奇数，d | a b,d | a b,则 d | (a, b).
3
定理1 设a1 , a2 ,L , an是n个不全为零的整数, 则 (1) a1 , a2 ,L , an与 | a1 |,| a2 |,L ,| an | 的公因数相同; (2) (a1 , a2 ,L , an ) (| a1 |,| a2 |,L ,| an |).
d d'.
例7 因1859 1 1573 286, 1573 5 286 143,
所以 (1859,1573) (1573, 286) (286,143) 143
6
二、广义欧几里得除法
设a, b是任意两个正整数, 记r0 a, r1 b.
反复运用欧几里得除法:
r0 r1q1 r2 ,
上述求两个整数的最大公因数的方法叫做 广义欧几里得除法,也叫做辗转相除法.
8
例8 设a 1859, b 1573,计算(a, b). 解 因1859 1 1573 286
1573 5 286 143 286 2 143
所以(1859,1573) (1859,1573) 143.
(2) 由(1)即得(2). 4
例5 设a,b是两个整数, 则有 (a,b) (a, b) (a, b) (| a |,| b |).
定理2 设b是任一正整数, 则(0,b) = b. 证 因任何非零整数都是0的因数, 而正整数 b的最大因数为b,故 (0, b) b. 例6 (0, 21) 21, (15, 0) 15, (0, b) | b | .
0 r2 r1 ,
r1 r2q2 r3 ,
0 r3 r2 ,
LLLLLLL
rn2 rn1qn1 rn , 0 rn rn1 ,
rn1 rnqn rn1 ,
rn1 0
因为0 L rn rn1 L r2 r1 b,所以经过有
限步骤,必存在n, 使得rn1 0.
7
证 (1) 设d | ai ,1 i n, 则有d || ai |,1 i n. 故a1 , a2 ,L , an的公因数也是 | a1 |,| a2 |,L ,| an | 的公 因数.
反之, 设d || ai |,1 i n, 同样有d | ai ,1 i n. 故 | a1 |,| a2 |,L ,| an | 的公因数也是a1 , a2 ,L , an的公 因数.
7057 2 2919 1219 2919 21219 481
1219 3 481 224 224 7 33 7 7 321
481 2 224 33 33 5 7 2 2 21
所以 (46480, 39423) 1.
11
在广义欧几里得除法中,由
r0 r1q1 r2 , r1 r2q2 r3 , LLLLLL
例2 设a, b是两个整数,则 (b,a) (a,b).
例3 设a, b是两个正整数,如果b | a,则 (a,b) b.
1
素数与任一整数有如下关系 : 例4 设p是一个素数,a为整数,如果p | a,则p
与a互素. 证 设( p,a) d, 则有d | p, 因p是素数,所以
d 1或p.
于是由定理3可知, (a, b) (r0 , r1 ) (r1 , r2 ) (r2 , r3 ) L (rn1 , rn )
(rn , rn1 ) (rn , 0) rn 定理4 设a, b是任意两个正整数, rn是广义欧 几里得除法中最后一个非零余数, 则(a, b) rn .
rn3 rn2qn2 rn1 ,
rn2 rn1qn1 rn ,
rn1 rnqn
rn rn2 rn1qn1 , rn1 rn3 rn2qn2 ,
LLLLL r3 r1 r2q2 , பைடு நூலகம்2 r0 r1q1
逐次消去rn1 , rn2 ,L , r3 , r2 , 可找到整数s, t, 使得
最大公因数可描述为:
d 0是a1 , a2 ,L , an的最大公因数 (1) d | a1 , d | a2 ,L , d | an ; (2) 若e | a1 , e | a2 ,L , e | an ,则e | d .
例1 (14, 21) 7, (15, 21) 3, (14, 15, 21) 1.
例9 设a 46480, b 39423,计算(a,b).
解 法一：最小非负余数
46480 1 39423 7057 39423 5 7057 4138
9
7057 1 4138 2919 4138 1 2919 1219
2919 21219 481 1219 2 481 257
5
定理3 设a, b, c是三个不全为零的整数, 如果 a = bq + c, 其中q是整数,
则(a, b) = (b, c). 证 设(a, b) d, (b,c) d ', 则d | a, d | b,于是
d | a (q)b d | c,
所以d是b, c的公因数, 从而d d '. 同理可证,d '是a, b的公因数, 因而d ' d.故