2021年秋九年级数学华师大版上册课件：中位线
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华师大版九年级数学上册课件：23.4 中位线 (共11张PPT)
解：∵DE，EF，FD分别为△ABC三边的中位线，△ABC的 周长为112cm, ∴DE+EF+FD= (AB+BC+AC)= ×112=56cm. 又∵DE∶EF∶FD=3∶5∶6， ∴DE=12cm，EF=20cm，DF=24cm．
跟踪训练
8.在△ABC中，AB=10cm，AC=7cm，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂
跟踪训练
6.如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的 中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线 交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP= 12 .
跟踪训练
7.已知△ABC中，D，E，F分别是△ABC三边中点， 且DE∶EF∶FD=3∶5∶6，若△ABC的周长为112cm， 求DE，EF，FD的长．
足为点D，点E为BC的中点.求DE的长. 解：如图，延长CD交AB于F， 易证△ACD≌△AFD，∴AF=AC，DF=CD. ∵AB=10cm，AC=7cm， ∴BF=AB-AF=10-7=3cm， 又∵E为BC中点， ∴DE= BF= ×3=1.5cm.
谢谢观看
第二十三章 图形的相似
23.4 中位线
轻松预习
1.三角形的中位线
（1）定义：连结三角形 两边中点 的线段叫做三角形
的中位线;
（2）定理：三角形的中位线 平行 于第三边，并且 等于 第三边的一半 .
2.三角形的重心
三角形三边上的 中线 交于一点，这个点就是三角
形的重心，重心与一边中点连线的长是对应中线长的 .
∴F为AD的中点，又∵AE=EB，∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF= BD．
跟踪训练
跟踪训练
8.在△ABC中，AB=10cm，AC=7cm，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂
跟踪训练
6.如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的 中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线 交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP= 12 .
跟踪训练
7.已知△ABC中，D，E，F分别是△ABC三边中点， 且DE∶EF∶FD=3∶5∶6，若△ABC的周长为112cm， 求DE，EF，FD的长．
足为点D，点E为BC的中点.求DE的长. 解：如图，延长CD交AB于F， 易证△ACD≌△AFD，∴AF=AC，DF=CD. ∵AB=10cm，AC=7cm， ∴BF=AB-AF=10-7=3cm， 又∵E为BC中点， ∴DE= BF= ×3=1.5cm.
谢谢观看
第二十三章 图形的相似
23.4 中位线
轻松预习
1.三角形的中位线
（1）定义：连结三角形 两边中点 的线段叫做三角形
的中位线;
（2）定理：三角形的中位线 平行 于第三边，并且 等于 第三边的一半 .
2.三角形的重心
三角形三边上的 中线 交于一点，这个点就是三角
形的重心，重心与一边中点连线的长是对应中线长的 .
∴F为AD的中点，又∵AE=EB，∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF= BD．
跟踪训练
2三角线中位线PPT课件(华师大版)
华东师大版《数学 ·九年级（上）》
§24.4.1 三角形的中位线 第一课时
1
1.什么叫三角形的中线？
A
三角形的一个顶点到对边中点的 连线，叫做三角形的中线。
如：线段AF；
2.思考：什么叫三角形的中位线？ D
E 三条
连结三角形两边中点的线段
叫三角形的中位线。 如；线段DE；
B
F
C
思考：一个三角形共有几
则DE5=c_m_____.
2.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,
∠B=70°,则∠AED6=0_度____.
A
A
A
D
D
E
D
E
E
O
B
C
(1)
B (2)
CB
(3)
C
3.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且 AD=20cm，那么OE1=0 cm。
15
例3:如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点， A边平行的直线必平分第三边.
6
例1:求证:三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分.
已知：如图，在△ABC中AD=DB，AF=FC，BE=EC
求证：AE、DF互相平分
A
证明：连结DE、EF
D
F
∵D、E、F分别为AB、BC、AC上中点
∴DE、EF为△ABC的中位线
B EC
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是__矩__形____。
矩形
11
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是正__方_形________ 。
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ___平__行__四__边_形____。
§24.4.1 三角形的中位线 第一课时
1
1.什么叫三角形的中线？
A
三角形的一个顶点到对边中点的 连线，叫做三角形的中线。
如：线段AF；
2.思考：什么叫三角形的中位线？ D
E 三条
连结三角形两边中点的线段
叫三角形的中位线。 如；线段DE；
B
F
C
思考：一个三角形共有几
则DE5=c_m_____.
2.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,
∠B=70°,则∠AED6=0_度____.
A
A
A
D
D
E
D
E
E
O
B
C
(1)
B (2)
CB
(3)
C
3.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且 AD=20cm，那么OE1=0 cm。
15
例3:如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点， A边平行的直线必平分第三边.
6
例1:求证:三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分.
已知：如图，在△ABC中AD=DB，AF=FC，BE=EC
求证：AE、DF互相平分
A
证明：连结DE、EF
D
F
∵D、E、F分别为AB、BC、AC上中点
∴DE、EF为△ABC的中位线
B EC
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是__矩__形____。
矩形
11
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是正__方_形________ 。
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ___平__行__四__边_形____。
华东师大版九年级数学上册第23章第4节《中位线》课件
OC的中点，则EF和MN的关系是___平__行__且__相__等____.
A
E
F
O
M
N
B
C
3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边 形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G
D
F H
B
A
E
证明：连结AC.
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= 1 AC. 2
同理 EF∥AC, EF= 1 AC,
2
∴HG∥EF ,HG=EF.
G D
H
C F
A
E
B
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并 且等于它的一半.
第23章
九年级数学上（HS） 教学课件
图形的相似
23.4 中位线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解中位线的概念和性质；（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点) 3.经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.（难点）
导入新课
观察与思考 问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？
C 则DE= 4 cm，为什么？
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是
各边中点 AB=6cmAC=8cm,BC=10cm，
C
则△DEF的周长= 12 cm
Байду номын сангаас
二 三角形的重心
A
E
F
O
M
N
B
C
3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边 形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G
D
F H
B
A
E
证明：连结AC.
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= 1 AC. 2
同理 EF∥AC, EF= 1 AC,
2
∴HG∥EF ,HG=EF.
G D
H
C F
A
E
B
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并 且等于它的一半.
第23章
九年级数学上（HS） 教学课件
图形的相似
23.4 中位线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解中位线的概念和性质；（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点) 3.经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.（难点）
导入新课
观察与思考 问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？
C 则DE= 4 cm，为什么？
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是
各边中点 AB=6cmAC=8cm,BC=10cm，
C
则△DEF的周长= 12 cm
Байду номын сангаас
二 三角形的重心
中位线复习PPT课件(华师大版)
∵D,F,K是AB,DC,AD边的中点
C
∴EK∥BD, EK=½BD FK∥AC, FK=½AC
∴∠1=∠3 ,∠2=∠4
∵AC=BD ∴EK=FK
∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2 ∴OG=OH
10
例4：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD垂直相交 于点O,MN是梯形ABCD的中位线,∠1＝30°.
8
例3:如图，D,E,F,分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，四边 形DHEF是等腰梯形吗？
D B
∟
A HE
证明： ∵D,F是△ABC两边的中点
∴DF是△ABC的中位线
F
∴DF∥BC,即DF∥HE
∵DH、EF 不平行
∴四边形DHEF是梯形 C ∵ AH是△ABC的高，D是AB的中点
∴DH=½AB ( ? )
连接E与DC边中点F
A
D
EF=½.(AD+BC）（梯形中位线）
E·
F
EF=½.DC（直角三角形斜边中线等
于斜边一半）
B
C
12
作业：
1. 梯形的中位线是16cm，它被一条对角线分成两部分差是4， 求梯形的两底。
2. 梯形上底长10，中位线长12，求下底及梯形被中位线分成的 两部分的面积比。
3. 等腰梯形两底差为4，中位线长为6，腰长为4，求等腰梯形的 面积
长和各角的度数。
A
D
解：(1)∵EF是梯形的中位线
∴EM=½AD;MF=½BC ( ?
即:AD=2EM; BC=2MF ∵EM=4,FM=10 ∴AD=8; BC=20 ∵AB=DC;AB=12 ∴周长=8+20+12+12=52
华师大版九年级上23.4中位线课件(共13张PPT)
第23章 图形的相似
23.4. 中位线
驶向胜利 的彼岸
复习导入
如图，在△ABC中，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 1.如果D是AB的中点，那么E是AC的 中点吗？DE与BC的比是多少？ 2.上述问题的逆命题是什么？
探索新知
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点， 那么DE∥BC，∴DE= 12BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
归纳
（1）我们把连结三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
ห้องสมุดไป่ตู้
应用
应用拓展
在例2中，作另外两条三角形的中 线，是否也有这个结论？
（学生讨论，总结如下）
三角形三边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心 与线一长边的中1 点？的连线的长是对应中
3
巩固练习
73 10 33
答案:1.3 90°.
归纳小结
1.三角形中位线与中线的区别。 2.中点四边形一定是平行四边形，判断他 是不是某一特殊平行四边形，只需要看原 四边形对角线是否垂直或相等。
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳 出来，但证明却隐藏的极深。
——高斯
23.4. 中位线
驶向胜利 的彼岸
复习导入
如图，在△ABC中，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 1.如果D是AB的中点，那么E是AC的 中点吗？DE与BC的比是多少？ 2.上述问题的逆命题是什么？
探索新知
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点， 那么DE∥BC，∴DE= 12BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
归纳
（1）我们把连结三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
ห้องสมุดไป่ตู้
应用
应用拓展
在例2中，作另外两条三角形的中 线，是否也有这个结论？
（学生讨论，总结如下）
三角形三边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心 与线一长边的中1 点？的连线的长是对应中
3
巩固练习
73 10 33
答案:1.3 90°.
归纳小结
1.三角形中位线与中线的区别。 2.中点四边形一定是平行四边形，判断他 是不是某一特殊平行四边形，只需要看原 四边形对角线是否垂直或相等。
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳 出来，但证明却隐藏的极深。
——高斯
华师大版九上数学课件23.4 中位线
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且 等于第三边的一半). 同理可得EF//BA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴ AE、DF互相平分.
知1－讲
总 结
三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关
系的重要依据．当已知线段的中点求某条线段的
长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解 答．
形的重心；
(3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( A．一个 B．两个 ) D．四个
C．三个
知3－讲
知识点
3 中点四边形
1. 中点四边形：顺次连结四边形各边中点所得的四边1) 顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是平行
知2－导
知识点
2 三角形的重心
GE GD 1 . CE AD 3
例3 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的
中点，AD、CE相交于点G.求证：
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
DE 1 = . (三角形的中位线平行于第 ∴DE//AC ， AC 2
三边，并且等于第三边的一半).
知3－练
1
求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边 形是平行边形.
运用中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法：
当题目中有中点时，特别是有两个中点时，如果 中点都在一个三角形中，直接用中位线定理.如果不在 一个三角形中，就需要作辅助线取某边上的中点，构 造三 角形的中位线，然后利用中位线定理及相关的知
C
知1－导
证明： 在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
华东师大版数学九年级上册2中位线课件
23.4 中位线
创设情景 导入新课：
一个农民想将一块三角形田地，平均分给他的四个儿子，要 求四个人所分的形状大小完全相同，你能帮他设计合理的方 案吗？
A
C
B
回顾：
如图： 在 △ABC中，点D、E、 F分别是AB、AC、 BC中点。
如何画出
△ABC的中线？ B
A
D
E
F
C
获取新知
三角形中位线的定义
DE 1 BC 2
D
即：三角形的中位
线平行于第三边，
且等于第三边是一
B
半。
A E C
共同探究 ：
如何验证你的猜想？
方法1:测量
方法2:拼图
方法3:几何证明
A
D
E
B
C
试证明： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于
第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中， AD=DB，AE=EC．
求证：DE∥BC，且
E
D
E
图1
B
C
B
F
C
图2
3.如图2： 在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC
、BC中点。若△ABC的周长为24，面积为16 ，则
△DEF的周1长2 为 ？面积为4 ?
探 三角形三条中线围成的三角形的周长与原周长有什 究 么关系？面积有与原面积什么关系？ ：
结论：
如果三角形的周长为C,那么顺次连接各边中点所得
的中点．
（1）若AB=8cm，求EF的长；
A
（2）若DE=5cm，求BC的长．
（3）若增加M、N分别是BD、BF的中D点， E
问:MN与AC有什么关系？M
为什么？
B NF C
创设情景 导入新课：
一个农民想将一块三角形田地，平均分给他的四个儿子，要 求四个人所分的形状大小完全相同，你能帮他设计合理的方 案吗？
A
C
B
回顾：
如图： 在 △ABC中，点D、E、 F分别是AB、AC、 BC中点。
如何画出
△ABC的中线？ B
A
D
E
F
C
获取新知
三角形中位线的定义
DE 1 BC 2
D
即：三角形的中位
线平行于第三边，
且等于第三边是一
B
半。
A E C
共同探究 ：
如何验证你的猜想？
方法1:测量
方法2:拼图
方法3:几何证明
A
D
E
B
C
试证明： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于
第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中， AD=DB，AE=EC．
求证：DE∥BC，且
E
D
E
图1
B
C
B
F
C
图2
3.如图2： 在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC
、BC中点。若△ABC的周长为24，面积为16 ，则
△DEF的周1长2 为 ？面积为4 ?
探 三角形三条中线围成的三角形的周长与原周长有什 究 么关系？面积有与原面积什么关系？ ：
结论：
如果三角形的周长为C,那么顺次连接各边中点所得
的中点．
（1）若AB=8cm，求EF的长；
A
（2）若DE=5cm，求BC的长．
（3）若增加M、N分别是BD、BF的中D点， E
问:MN与AC有什么关系？M
为什么？
B NF C